CC BY
90
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.1. С. 216-224
Механика
УДК 539.3
Варианты нелинейной связи между напряжениями и деформациями в анизотропных материалах *
Д. В. Христич
Аннотация. Предложены несколько вариантов нелинейных определяющих соотношений для анизотропных материалов. Проведен анализ этих соотношений с точки зрения их удовлетворения общей и предельной формам обобщения частного постулата изотропии на анизотропные материалы.
Ключевые слова: анизотропия, нелинейность, определяющие соотношения, частный постулат изотропии.
Одним из ключевых положений теории процессов А.А. Ильюшина является частный постулат изотропии, сформулированный им в работах [1, 2]. Принятие частного постулата изотропии в качестве гипотезы позволяет уменьшить число аргументов материальных функций, входящих в нелинейные определяющие соотношения, и, следовательно, сократить число экспериментов, необходимых для конкретизации этих соотношений.
А.А. Ильюшин отмечал [1], что утверждения частного постулата могут быть обобщены на случай анизотропных материалов. В работах [3, 4] для трансверсально-изотропного материала было сформулировано такое обобщение и проведено его экспериментальное подтверждение для процессов, происходящих в плоскости изотропии такого материала. В работах [5-8] обобщение частного постулата на случай анизотропных тел выполнено на основе понятия о собственных упругих состояниях материала, введенного в работе Я.К. Рыхлевского [9].
В данной статье предлагаются варианты нелинейных определяющих соотношений для анизотропных материалов, построенные в рамках частного постулата А.А. Ильюшина.
Пусть процессу деформирования соответствует его образ в шестимерном пространстве [1, 2], представляющий собой траекторию деформирования —
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты №№ 13-01-97501-р_центр_а, 14-01-31138-мол_а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 467).
годограф шестимерного вектора э(Ь) — с построенным в каждой точке вектором напряжений а(Ь). Используемая далее связь между координатами шестимерных векторов э и а и компонентами тензоров деформаций е и напряжений Б приведена в работах [7, 10]. В случае анизотропных материалов важно, чтобы компоненты тензоров е и Б были определены относительно декартовой системы, оси координат которой направлены вдоль главных осей анизотропии.
Запишем в шестимерном пространстве закон Гука в виде
а — п • э,
где п — образ тензора упругости материала в шестимерном пространстве, и определим собственные значения Аа и собственные векторы иа тензора п:
п ' ^а — Аа^а-
Для тензора второго ранга в шестимерном пространстве наибольшее число различных собственных значений равно 6. Каждому однократному корню Аа можно поставить в соответствие одномерное собственное подпространство с базисным тензором 0,а — иа Соа. Каждому корню Аа кратности к может быть поставлено в соответствие собственное подпространство размерности к с базисным тензором
в=а+к- 1
0.а = ^ ^в^в - (1)
в=а
Ввиду инвариантности собственных значений и собственных векторов базисные векторы 0,а инвариантны относительно группы собственных ортогональных преобразований.
Собственными упругими состояниями материала в понимании Я.К.Рыхлевского [9] являются деформации еа, соответствующие шестимерным векторам ша. Собственные упругие состояния для материалов, относящихся к различным кристаллографическим системам, определены в работах Н.И.Остросаблина [11, 12]. В работах [5-8] эта задача была решена в рассматриваемом шестимерном пространстве. В частности, установлено [5-8], что неодномерные собственные подпространства присущи не всем анизотропным материалам, а только одноосным кристаллам (тетрагональным, тригональным, гексагональным), а также кубическим и изотропным средам (трансверсально-изотропный материал в отношении упругих свойств ведет себя как гексагональный кристалл).
Обобщение частного постулата на нелинейные анизотропные материалы [5, 8] утверждает: образ процесса с траекторией деформирования, расположенной в неодномерном собственном подпространстве тензора начальной упругости, инвариантен относительно группы собственных ортогональных преобразований. Из данного обобщения следует, что
образ процесса в каждом неодномерном собственном подпространстве определяется только внутренней геометрией траектории деформации и не зависит от ориентации данной траектории относительно базисных векторов этого подпространства.
Предельной формой частного постулата называется предположение, что образ процесса нагружения, как и траектория деформации, расположен в том же собственном подпространстве. С учетом этого предположения записан [6, 7] вариант нелинейных соотношений для анизотропных
материалов в виде
г=к
Г(а) =Е
г=1
т=£
(а) ^ 1 ^ ^(а)
*(а)(т),х1а)(т),-,%Га)1(т)\ т_0о ~ функционал процесса
где А(а)
деформирования э(а)(£), г^а) — базис собственного подпространства
размерности к, ковариантный относительно собственных ортогональных преобразований, 5(а) и %(а) — длина дуги и кривизны собственной траектории. В случае гладких собственных траекторий в качестве базиса 0-а) удобно принять связанный с траекторией процесса э(а) (£) базис Френе.
Если анизотропный материал имеет р однократных собственных значений и ц собственных значений кратностями к1, к2,..., кд соответственно, то связь между векторами напряжений и деформаций имеет вид
г=р а=д+р+1 (=к
(Г = ^ а(г)^г + ^ ЕА(а)^(а), (2)
г=1 а=р+1 (=1
где Г(г) = Г(г) ^г(г)]Т=^0 — функционал процесса деформаций в одномерном собственном подпространстве с базисным вектором иг.
Если процесс деформирования простой, а траектория деформаций — луч, то соотношения (2) значительно упрощаются:
г=р а=д+р+1
Г = ^2 Г(г) (э(г))иг + ^2 А(а)8(а))э(а), (3)
г=1 а=р+1
где э(г) = э ■ и г — линейные инварианты деформаций; э(а) = э ■ Оа — собственные векторы деформаций — проекции вектора деформаций в неодномерные собственные подпространства с базисными тензорами 0,а (1); 5(а) = л/э(а) ■ э(а) — квадратичные инварианты деформаций.
Ортогональная система собственных векторов Ог, г = 1,...,р, соответствующих однократным собственным значениям, связана с базисными векторами шестимерного пространства ¿о, ¿1,..., гр-1 тензором поворота, поэтому первое слагаемое в формулах (2), (3) можно записать в
г=р в=р—1
виде ^ а(г)(Э(г)}Шг = &в(Э£)*в, где &в = & ■ 1/3, Э£ = Э ■ 1р — проекции
г=1 в=0
векторов напряжений и деформаций на координатные оси.
Представим это слагаемое в виде
в=р—1 а=р—1в=р—1
Е &в(эв}*в = Е Е ^ав(Э0, Э1,..., Эр-1)Эа?в,
в=0 а=0 в=0
где N = N„^¿«¿,0 — симметричный тензор второго ранга в подпространстве с базисом ¿0, ¿1,..., ¿р-1. Тогда определяющие соотношения (3) принимают вид
а=р— 1 в=р— 1 а=д+р+1
& = Е Е (Э0, Э1,..., Эр— 1)Эа%в + Е А(а)в(а))Э(а). (4)
а=0 в=0 а=р+1
Если функции Мав(э0, Э1,эр—1) и А(а)5(а)) считать постоянными, то выражение (4) оказывается записью закона Гука
в=р— 1 а=д+р
& = Naвэ“*в + ^а'Э(«)’
в=0 а=р
где N„¡3, — компоненты тензора упругости материала.
Нелинейные определяющие соотношения (4) удовлетворяют предельной форме частного постулата для анизотропных материалов, поскольку функции N0.13(э0, Э1,..., эр— 1) зависят только от линейных инвариантов деформаций, а функции А(а)в(а)) зависят только от одноименного квадратичного инварианта.
Вариант соотношений, в которых учитывалось бы взаимное влияние процессов в разных собственных подпространствах, и удовлетворяющих обобщению частного постулата на анизотропные материалы, можно записать в виде
г=р
& 'У ' &(г)(э(г), 5(р+1), 5(р+2), •••, 5(д+р+1))шг + г=1
«=9+р+1
+ Е А(®) (э(1), Э(2), ..., Э(p),s(a))Э(a), (5)
а=р+1
где материальные функции &^), А(а) зависят одновременно от линейных и квадратичных инвариантов деформаций.
Если первое слагаемое преобразовать так же, как и в соотношениях (3), из выражения (5) получим вариант соотношений в виде
а=р—1в=р—1
Е Е
а=0 в=0
- =ЕЕ ^ав(э0, э1, ..., Эр—1, в(р+1), в(р+2), •••, в(д+р+1))эа*в+
а=<?+р+1
+ Е "^(а)Э(1), Э(2), •••, Э(р), в(а))э(а) • (6)
а=р+1
В соотношениях (6) влияние процессов в разных собственных подпространствах сказывается только на скалярных свойствах материала. Если некоторый процесс целиком лежит в неодномерном собственном подпространстве, то есть э = Э(а), то соответствующий вектор напряжений также расположен в этом подпространстве, то есть а = <Г(а).
В соотношениях (5) представим функции -(*) в виде
«=<?+р+1
а(*) = Кг(э(г))э(г) + Е ^“»(*(а))82а)>
а=р+1
тогда эти соотношения записываются в виде
*=р / «=9+р+1 \
а = Е ( К*(э(*))э(») + Е ^а«(8(а))52аП +
*=1 \ а=р+1 /
а=<?+р+1 / *=р \
+ Е | А(а) (э(1) , э(2)э(р),^(а)) ^ (8(а))5[аП э(а). (7)
а=р+1 \ *=1 /
Соотношения (7) также удовлетворяют обобщению частного постулата на анизотропные материалы, но позволяют описать отклонение вектора напряжений от собственного вектора деформаций: когда э = Э(а), вектор
*=р ^ ( ~ *=р \
напряжений а = ^ Сагв2а)с5 * + ( А(а) + X] 2^а*в(а) ) э(а), причем это
*=1 V *=1 /
отклонение имеет второй порядок малости. Следовательно, в соотношениях (7) влияние процессов в разных собственных подпространствах сказывается как на скалярных, так и на векторных свойствах материала.
Для пояснения запишем соотношения (4), (6) и (7) для изотропного материала. В этом случае следует считать ш1 = ¿о, э(1) = в — относительное изменение объема, П(а) = г1г1 + ¿2*2 + ¿3*3 + ¿4*4 + ¿5*5, э(2) = е — вектор
формоизменения, в(2) = в = д/э2 + э2 + э2 + э4 + э5. Тогда соотношения (4) принимают вид
а = Жоо(в)в?о + А(1)(в)е,
а в случае постоянных Noo = K, A(i) = 2G получаем закон Гука для изотропного материала
а = K0Ío + 2 Ge.
Соотношения (6) принимают вид
а = Noo(0,s)6)Ío + ^4(1)(0,s)e, а из выражения (7) следует
а = (K(^$ + Goi(s)s2) *o + (^4(i)(0, s) + 2Goi(s)s) e- (8)
Последний вариант соотношений описывает в изотропном материале дилатационные явления, а именно: появление гидростатического
напряжения при сдвиговых деформациях, когда э = e. При чисто объемном деформировании (э = 0¿o) в соответствии с (8) напряжения являются гидростатическими.
Если в соотношениях (8) положить
K(^) = Co + Ci$í Goi(s) = Дь A(i)(^ s) = Aos + A1S2,
то получим пятиконстантный вариант определяющих соотношений, предложенный в работе [13].
Как показано в работах [7, 8], гексагональный материал имеет
4 собственных подпространства: два одномерных подпространства с
базисными векторами
uji = io cos Z + ii sin Z, J2 = — io sin Z + ii cos Z,
где tg Z = --------/2ra01 2 определяется через компоненты тензора
raoo-rail + V(raoo-rail )2 +4«01
начальной упругости, и два двумерных подпространства с базисными тензорами Q3 = ¿2¿2 + ¿3*3 и Q4 = ¿4*4 + ¿5*5.
Спектральное разложение вектора деформаций в этом случае имеет вид
Э = 3(i)W(i) + 3(2)W (2) + Э(3) + Э(4), (9)
где 3(i) = э ■ cJi, Э(2) = э ■ J2 — линейные инварианты деформаций; Э(3), Э(4) — проекции вектора деформаций в неодномерные собственные подпространства.
Поскольку векторы Ji, J2 связаны с базисными векторами ¿o, ¿i матрицей поворота на угол, не зависящий от процесса деформирования, а определяемый только начальными упругими свойствами материала, то в качестве линейных инвариантов деформаций можно выбрать 3o = э • ¿o и si = э • ¿i, которые выражаются через компоненты тензора деформаций £ £ijeíej :
эо — ^/3(єи + Є22 + Єзз)’ Э1 = ^/б(2Є33 — Єп — Є22)" Квадратичные инварианты деформаций определяются соотношениями
3(3) — у[э(3) ■ э(3)> 5(4) — уэ(4) ■ э(4)- (10)
Соотношениям (9) и (10) соответствуют спектральные разложения
тензора деформаций є и выражения для квадратичных инвариантов в виде
Є — Є(1) + Є(2) + Є(3) + Є(4) , (11)
причем Є(3) — Єіі(віві — Є2Є2) + Єі2(еіЄ2 + Є2Є1), Є(4) — Є23(в2в3 + в3в2)+ +
+Є3і(ЄіЄ3 + Є3Єі), 5(3) — ^у/Єіі + є22, 5(4) — 1 л/Є2Т+ЄзТ•
Отметим, что в разложении (11) первые два слагаемых линейно связаны с двумя первыми слагаемыми спектрального разложения, предложенного Б.Е. Победрей [14], а третье и четвертое совпадают с тензорами, входящими в разложения Б.Е. Победри.
Запишем предложенные варианты определяющих соотношений для гексагонального материала. Соотношения (4) принимают вид
а — (N00(эо, эфо + N0^0, Э!)Э!) іо + (^(эо, Э^Эо + ^ц(эо, Эl)Эl) *1 +
+^4(3)(5(3))э(3) + А(4) (5(4))э(4)- (12)
Если в соотношениях (12) положить материальные функции константами: ^0(э0, э^ — п00, N01(э0, э^ — п01, N11(э0, э1) — піі,
А(3)(5(3)) — п22, ^4(4) (5(4)) — п44, то получим запись закона Гука для гексагонального материала
а — (пооэо + П01э1) *0 + (По1эо + Пиэ!) іі + П22 ^2*2 + э3?3) + П44 (э4?4 + эб?б) ,
где П — Па0*а*0 _ тензор упругости.
Соотношение (6) для гексагонального материала имеет вид
а — (N00(эо, э1,5(3),5(4))эо + N01 (эо, эЬ5(3),5(4))э1) Іо +
+ (N01(э0, э1, 5(3), 5(4))э0 + ^^11 (э0, эъ 5(4))э0 *1 +
+-4(3) (э0, эЪ 5(3)) э(3) + А(4) (Эо, эь 5(4)) Э(4)
и требует для своей конкретизации определения пяти материальных функций.
Таким образом, в статье предложены несколько вариантов нелинейных определяющих соотношений для анизотропных материалов. Для одноосных кристаллов, кубического и изотропного материалов проведен анализ этих соотношений с позиций их удовлетворения общей и предельной формам сформулированного для анизотропных материалов обобщения частного постулата А.А. Ильюшина.
Список литературы
1. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.
2. Ильюшин А.А. Вопросы общей теории пластичности // Прикладная математика и механика. 1960. Т. 24. № 3. С. 399-411.
3. Ковальчук Б.И. К теории пластического деформирования анизотропных материалов // Проблемы прочности. 1975. № 9. С. 8-12.
4. Лебедев А.А., Косарчук В.В., Ковальчук Б.И. Исследование скалярных и векторных свойств анизотропии материалов в условиях сложного напряженного состояния. Сообщение 1. Об условии текучести анизотропных материалов // Проблемы прочности. 1982. № 3. С. 25-31.
5. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Нелинейные соотношения анизотропной упругости и частный постулат изотропии // Прикладная математика и механика. 2007. Т. 71. Вып. 4. С. 587-594.
6. Маркин А.А., Соколова М.Ю., Христич Д.В. Постулат А.А.Ильюшина для анизотропных материалов и вариант определяющих соотношений // Известия РАН. Механика твердого тела. 2011. № 1. С. 38-45.
7. Маркин А.А., Соколова М.Ю., Христич Д.В. Процессы упругопластического конечного деформирования. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. 374 с.
8. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Собственные состояния анизотропных материалов и частный постулат изотропии // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород: сб. научных статей к 75-летию Е.И.Шемякина. М.: Физматлит. 2006. С. 423-433.
9. Рыхлевский Я.К. О законе Гука // Прикладная математика и механика. 1984. Т. 48. Вып. 3. С. 420-435.
10. Соколова М.Ю. Построение образа процесса нагружения в начально анизотропной среде // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1995. Т. 1. Вып. 2. С. 144-150.
11. Остросаблин Н.И. О структуре тензора модулей упругости. Собственные упругие состояния // Динамика твердого деформируемого тела. Сибирское отделение АН СССР. Ин-т гидродинамики. 1984. Вып. 66. С. 113-125.
12. Остросаблин Н.И. Собственные модули упругости и состояния для материалов кристаллографических сингоний // Динамика упругопластических систем. Сибирское отделение АН СССР. Ин-т гидродинамики. 1986. Вып. 75. С. 113-125.
13. Толоконников Л.А., Маркин А.А. Определяющие соотношения при конечных деформациях // Проблемы механики деформируемого твердого тела: межвузов. сб. трудов / Калинин. политех. ин-т. Калинин: Изд-во КГУ, 1986. С. 49-57.
14. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1974. 206 с.
Христич Дмитрий Викторович ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Variants of nonlinear relation between stresses and strains in
anisotropic materials
D. V. Khristich
Abstract. Some variants of nonlinear constitutive relations for anisotropic materials are offered. The analysis of these relations from the point of view of their satisfaction to general and limit forms of generalization of partial isotropy postulate on anisotropic materials is performed.
Keywords: anisotropy, nonlinearity, constitutive relations, partial isotropy postulate.
Khristich Dmitry ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 11.01.2014
