Модель упругопластического деформирования нелинейных анизотропных материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 239-250

Механика

УДК 539.3

Модель упругопластического деформирования нелинейных анизотропных

*

материалов *

М. Ю. Соколова, Д. В. Христич

Аннотация. Предложены термомеханические модели обратимого и необратимого деформирования анизотропных материалов, обладающих существенной нелинейностью свойств. Модели построены в пространстве напряжений с использованием потенциала Гиббса, что обеспечивает достаточную простоту их экспериментальной конкретизации. Показано, что для жесткопластических материалов в шестимерном пространстве поверхность текучести совпадает с эквипотенциальной поверхностью необратимой составляющей свободной энергии.

Ключевые слова: термомеханика, модели, анизотропия,

нелинейная упругость, необратимые деформации.

Многие материалы наряду с анизотропией механических и термических свойств обладают существенно нелинейным характером деформирования даже в области малых деформаций. Актуальной является задача построения термомеханических моделей анизотропных материалов с различными типами симметрии свойств, адекватно описывающих их поведение как при обратимом (упругом), так и при необратимом (пластическом) деформировании. Важным требованием к таким моделям является их термодинамическая обоснованность. В связи с этим в статье предлагается получить соотношения, определяющие поведение анизотропных материалов при обратимых и необратимых деформациях, на основе общего термодинамического подхода.

В качестве термодинамического потенциала используем потенциал Гиббса, так как это позволит получить нелинейные определяющие соотношения в виде, разрешенном относительно деформаций. Это значительно облегчает обработку экспериментов на растяжение, сжатие и кручение образцов.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 12-01-31176-мол_а, 13-01-97501-р_центр_а).

1. Термомеханическая модель нелинейного обратимого деформирования. В работах [1-3] процессы деформирования и нагружения анизотропных сред рассматривались в шестимерных векторных пространствах так, что тензору деформаций £ = еувгё} (в- = е^) и тензору напряжений Б = Бг-ё1гё-- (£-• = £.д) поставлены в соответствие шестимерные векторы э = эага и а = стага. Связь между их компонентами

в ортонормированных базисах ёг (г = 1, 2, 3) и га (а = 0,1, 2, 3, 4, 5)

определяется известными соотношениями [1-3]

э0 = ^= (£11 + £22 + £33) I э1 = -^6 (2е33 — £11 — £22) I э2 = (е22 — £11) )

э3 = ^2 (£12 + £21) > э4 = (£23 + £32) ) э5 = ^ (е31 + £13) (1-1)

(для тензора Б аналогично).

Векторы га шестимерного пространства являются образами тензоров канонического базиса 1а:

I0 = —= (ё1ё1 + ё2ё2 + ё3ё3), I1 = —6 (2ё3ё3 - ё1ё1 - ё2ё2),

I2 = -1=(ё2ё2 - ё1ё1), I3 = —=(ё1ё2 + ё2ё1),

I4 = —2 (ё2ё3 + ё3ё2), I5 = ^-2(ё3ё1 + ё1ё3).

В случае анизотропных материалов удобно считать, что базисные векторы ёг направлены вдоль главных осей анизотропии.

Удельная элементарная работа напряжений ^А(г) может быть записана в виде свертки й'А(г) = Б ■ -¿£ или в шестимерном пространстве

= —а ■ с?э.

Ро

Основное термомеханическое соотношение в форме Гиббса [8, 9] имеет

вид

— э ■ + 8^Т + ^С = —^ 0, (1.2)

Р0

где 8, Т — удельная энтропия и абсолютная температура, ро — начальная плотность материала, С — термодинамический потенциал Гиббса, ^/-ш — элементарное производство диссипации.

Потенциал Гиббса рассматривается как функция напряжений и температуры С = С(а, Т), тогда выражение для его дифференциала имеет вид

дС дС

¿С = — ■ ¿а + — ¿Т. (1.3)

да дТ

Соотношения, определяющие поведение материала при обратимом и необратимом деформировании, удовлетворяют соотношению (1.2) и могут быть получены путем задания конкретных форм выражений для потенциала Гиббса и производства диссипации.

При рассмотрении обратимых процессов полагают, что диссипация отсутствует: = 0. В этом случае основное термомеханическое

соотношение принимает вид

^С = — — э ■ — 8^Т. (1.4)

Р0

Из соотношений (1.4) и (1.3) следует, что

дС _ дС

э = -р0да’ 8 = -дТ. (1.5)

В работе [9] для потенциала Гиббса было принято простейшее

квадратичное представление в виде

С = -1 а ■ А (а) ■ а - а ■ а(Т - То) + С(0)(Т),

где А(а), а — материальные характеристики, С(0)(Т) — составляющая потенциала Гиббса, зависящая только от температуры.

С учетом этого представления на основании соотношений (1.5) получим выражение для деформаций

¿А

э = р0А(а) ■ а + р0<г ■ — ■ а + р0а(Т - Т)) (1.6)

аа

и энтропии

¿С0

8 = а■а- ¿г- (1-7)

В статье [9] для тензора свойств А(а) было предложено линейное

относительно а представление. Обработка данных экспериментов для

мелкозернистого графита показала, что предложенный в [9] вариант представления функции А(а) не вполне адекватно описывает связь между напряжениями и деформациями при сжатии образцов, если константы определены из опытов на растяжение.

В связи с этим предлагается использовать более сложный вариант представления А(а) в виде квадратичной зависимости, которая для анизотропного материала может быть записана в виде

т—1 1 М

Р0А(а) = п + ^ Са (г«а + аг^ + ^ ^ ¿■7 (а ■ ,

а=0 J=1

где п, са, dJ — постоянные, га, т — базисные векторы шестимерного пространства, инвариантные относительно группы ортогональных преобразований, характеризующих симметрию свойств анизотропного материала, и их число, Q,J, М — тензоры второго ранга в шестимерном пространстве, инвариантные относительно группы ортогональных преобразований, характеризующих симметрию свойств анизотропного материала, и их число.

Векторы га и тензоры QJ приведены для анизотропных материалов различных типов в работах [2-4, 8]. Например, для изотропного материала инвариантным вектором является единственный вектор ¿0 (т = 1), а инвариантными тензорами второго ранга два тензора

О1 = 100 и О2 = 111 + 122 + 133 + 144 + 155 (М = 2),

где 1ав = 2 (гагв + *0*а) — базисные тензоры второго ранга в шестимерном пространстве.

Для трансверсально-изотропного материала т = 2 и инвариантными являются векторы ¿0, ¿1; М = 5 и инвариантными являются тензоры О1 = 100,

О2 = 101, О3 = 111, О4 = 122 +133 и О5 = 144 +155. Отметим, что канонические представления для тензора п, приведенные в работах [2, 3, 8], могут быть записаны в виде разложений по инвариантным тензорам QJ: п = nJОJ, .] = 1,...,М.

Подставляя (1.8) в (1.6), получим нелинейные определяющие соотношения для анизотропного материала в виде

/ т—1 \

э = I п + Са (¿аа + ага + (а ■ ¿а)е) 1 ■ а+

М 4 а=0 7 (1.9)

+ Й dJ (а ■ ■ а + ^ (а ■ ■ а) ■ а + а(Т - Т0).

J=1

В статье [9] показано, что тензор п является шестимерным образом тензора упругих податливостей, а вектор а = р0а — шестимерный образ тензора коэффициентов теплового расширения.

Энтропия определяется выражением, также полученным в статье [9]:

Т

в = а ■а + са 1п —, (1.10)

Т0

—1

где сст = с£ + а ■ п 1 ■ а — теплоемкость при постоянных напряжениях са, связанная с теплоемкостью при постоянных деформациях с£ [8].

Запишем соотношения (??) для изотропного материала, рассматривая его как материал с полной группой симметрии свойств. Известно [4, 5, 8], что для изотропного материала п = (3К)— О1 + (2С) — О2, где К и С — модуль объемной упругости и модуль сдвига материала. Вводя обозначения а0 = а ■ ¿0 — гидростатическое напряжение, Г = а ■ О2 — вектор нагружения, в = \/3э ■ ¿0 — относительное изменение объема, е = э ■ О2 — вектор формоизменения и подставляя их в (1.9), получим для изотропного материала закон изменения объема

^3 в = зк + С0 (3ао + т 2) + 2 а1°° + а0(т - т0) (1.11)

и закон формоизменения

е = +2С0а0 +3а2т^ г. (1.12)

Законы (1.11) и (1.12) удовлетворяют условиям совместности, поскольку на основании (1.5) в = -р0 Щ, е = -р0 тр. Из условия ¿10^ = следует,

что И = И = 2с0г.

Из соотношений (1.11) и (1.12) следует, что в изотропном материале изменение объема может происходить и при отсутствии гидростатических напряжений (например, при кручении), однако изменение формы не может происходить под действием только гидростатических напряжений, когда

Г =0.

При одноосном изотермическом растяжении изотропного материала, когда Б = £е3е3, а0 = ^, Г = 5*1, выражение для деформаций £33 на

основании полученных соотношений можно представить в виде

£33 = 5 + ^3С052 + 3 (От + 2а^ 53, (1.13)

где Е — модуль Юнга.

На рисунке 1 приведены зависимости 5 (£33), полученные по соотношениям (1.13) для процессов одноосного растяжения и сжатия (кривые 5 и 3). Если положить константы С0 = 01 = 02 = 0, то зависимость 5 (£33) является линейной (кривая 2). Если положить равной 0 только константу С0, то кривые растяжения и сжатия совпадают. Характер кривых растяжения и сжатия при 01 = 02 = 0 также показан на рисунке 1 (кривые 4 и 1).

2. Термомеханическая модель необратимого деформирования.

При рассмотрении необратимых процессов полагают, что диссипация отлична от нуля и 0/-ш > 0.

4 ✓ * 1

/ 2 Ч 4

✓

\ 5

5"

0 0,025 0,05 0,075 0,1

Рис. 1. Зависимости между напряжениями и деформациями при одноосном растяжении и сжатии

В работах [7, 8, 10, 11] предлагалось для анизотропного материала выделить такую составляющую деформаций Э(о), которая в течение всего процесса упругопластического деформирования оставалась бы обратимой. Эта составляющая деформаций для изотропного материала представляет собой объемную деформацию, которая изменяется упруго и при пластическом деформировании. В шестимерном пространстве вводится термомеханический базис ¿0, ¿1, ¿2, t3, ¿4, t5 такой, что вектор ¿0 направлен вдоль обратимой составляющей деформаций Э(0), а векторы ¿1, ¿2, t3, ¿4, ¿5 образуют ортогональное к ¿о подпространство. Векторы термомеханического базиса нормируются соотношением ¿а ■ ¿в = 5ав (а, в = 0,1, 2, 3, 4, 5).

Представим вектор деформаций и вектор напряжений разложениями по термомеханическому базису в виде

э = э(0) + э±, 7 = г(0) + ¿^, (2-1)

где Э(0) = (э ■ ¿0)£0, ¿7(0) = (7 ■ ¿0)£0 — обратимые составляющие векторов деформаций и напряжений, э_1, (г± — ортогональные дополнения векторов э и 7, полностью расположенные в подпространстве с базисом ¿1, ¿2, ¿3, ¿4, ¿5.

Вследствие ортонормированности термомеханического базиса свертка векторов э и 7 может быть представлена в виде

Э ■ 7 = Э(0) ■ г(0) + э± ■ ,

тогда основное термомеханическое соотношение в форме Гиббса (1.2) принимает вид

— Э(0) ■ 1(7(0) + — ■ (1,(7^ + dG — —1 w < 0.

Р0 () () р0

(2.2)

Представим потенциал Гиббса суммой двух функций, первая из которых зависит только от составляющей напряжений 7(0) и температуры, а вторая

— только от составляющей напряжений <7^:

^ (7, Т) = С(0) (7(0),Т) + (7±). (2.3)

Тогда из (2.2) и (2.3) следует, что

1С(0) =-----Э(0) ■ 1т"(0) — <§1Т, =----■ 1(7^ — 1^. (2.4)

р0 р0

Конкретизируя выражение для составляющей потенциала Гиббса С(0), получим определяющие соотношения для Э(0) и выражение для энтропии. Простейшее представление для С(0) можно записать в виде квадратичной формы

С(0) = — 2р0 А07(0) ■ 7(0) — а ■ 7(0)(Т — т0) + С(0) (Т), (2.5)

где А0, а — постоянные, С(0)(Т) — составляющая потенциала Гиббса, зависящая только от температуры, для которой в [9] было получено выражение

С(0)(Г) = — с„Т° ( Т0 1п | — | + 1) .

Исходя из (2.4) и (2.5), получим, что

э(0) = А07(0) + а (Т — Т0) , (2.6)

а энтропия определяется соотношением (1.10).

Определим температурные деформации материала как 3^=0, тогда из соотношений (2.6) следует, что в рассматриваемом материале

э(0) 1о'(0)=0 =“ (Т — Т0) .

Учитывая, что составляющая деформаций э(0) направлена вдоль вектора ¿0 термомеханического базиса, получим (э ■ ¿0) ¿0|^=0 = а (Т — Т0), тогда

<° = |. (2*7) Из (2.7) следует, что вектор ¿0 сонаправлен с вектором температурных деформаций и может быть определен по известным коэффициентам температурного расширения материала. Такое определение ¿0 обуславливает название термомеханического базиса.

В случае изотропного материала температурные деформации являются чисто объемными, поэтому ¿0 = ¿0, а весь термомеханический базис совпадает

с используемым базисом шестимерного пространства. Тогда обратимая и необратимая составляющие векторов напряжений и деформаций в изотропном материале имеют вид

Э(0) = —3 0?о, Э± = е, (Г(0) = Ст0?0, Тх = т.

Константа А0, входящая в (2.5) и (2.6), для изотропного материала равна А = (3К)-1.

Следуя работам [10, 11], будем предполагать, что работа необратимой составляющей напряжений полностью рассеивается:

йш = — Тх ■ йэх. (2.8)

Р0

Это предположение означает, что в подпространстве, ортогональном к Э(0), обратимые деформации не происходят. В случае изотропного материала это соответствует модели жесткопластического материала.

Из предположения (2.8) и выражения (2.4) следует, что

йСх = — — эх ■ йТх----— Тх ■ йэх = — — й (эх ■ Тх). (2.9)

Р0 Р0 Р0

Будем строить зависимость эх (Тх) так, чтобы она удовлетворяла предельной форме обобщения частного постулата А.А. Ильюшина,

сформулированного в работах [6-8]. В соответствии с обобщением

частного постулата образ термомеханического процесса, расположенный в собственном подпространстве тензора начальной упругости, инвариантен относительно группы собственных ортогональных преобразований. Если условия пластического течения записать в виде Тх ■ Л ■ Тх = — [3, 8, 10, 11], то следует предположить, что собственные подпространства тензора пластической анизотропии и тензора начальной упругости совпадают. Такое предположение было использовано и в теории пластичности анизотропных материалов А.С. Кравчука [12].

Для простого в широком смысле по терминологии Б.Е. Победри [12] процесса траектории нагружения в каждом собственном подпространстве являются лучевыми. В этом случае связь между напряжениями и деформациями в каждом собственном подпространстве может быть записана в виде

Эх(а) = А(а) (Тх(а)) ^ , (2.10)

Тх(а)

где индекс (а) указывает на то, что в соотношение (2.10) входят проекции векторов эх и Тх в собственные подпространства, Тх(а) = |Тх(«)| _ длина соответствующей проекции.

На основе структуры тензоров начальной упругости их собственные подпространства в рассматриваемом шестимерном пространстве определены в работах [5, 8]. В частности, для изотропного материала собственными подпространствами являются одномерное с базисом ¿0 и пятимерное девиаторное с базисом ¿1, ¿2, ¿3, ¿4, ¿5-

Определяющие соотношения для простых необратимых процессов нагружения в жесткопластических анизотропных материалах принимают вид

N о

= Е Ае» К«») • (2Л1>

а=1 °±(а)

где функции А(а) (ода)) определяют характер упрочнения материала, а N

— число собственных подпространств.

Исходя из соотношений (2.8) и (2.11) получим выражение для составляющей потенциала Гиббса:

N о о

=-----э± ■ =------А(а) (о±(а)) о±(а) а±

ро ро о±(«)

2

и поскольку сг±(а) ■ = о^(а) окончательно получим

1 N

=-----^ А(а) (°±(а)) °±(«)- (2-12>

Р0 а=1

На основании соотношений (2.8) и (2.11) можно получить и выражение для производства диссипации, которое после преобразований принимает вид

1 Д ( дА(а) \

^ д-------о±(«) + 2А(«) йо±(«)- (2-13>

Ро 0=1 V до±(а ) ( ) ( V ( )

Для рассматриваемых жесткопластических анизотропных материалов на основании соотношений (2.5) и (2.12) потенциал Гиббса определяется выражением

1 1 N 0 0

С = - 2Р0 А0О(0) ■ О(0) - А(а) (°Д«)) ±(^) ( )±(а) -

2р0 р0 а =1 °^(а )

/ т т т \

-а ■ °(0)(т - т0>- сстт0 ^ —1п - ^ >

а деформации в простых процессах нагружения могут быть найдены из соотношения

N о

Э = А0<Г(0) + ^ А(а ) ((Г±(а)) ---— + а (Т — Т0> • (2-14>

а=1 °±(а )

Введем в рассмотрение потенциал свободной энергии Ф так, что

С = Ф —— Э ■ о, р0

а в случае только необратимых деформаций

Сх = Фх----—Эх ■ 0х

р0

или ^Сх = ^Фх — 1 ^ (Эх ■ ох>.

Принимая гипотезу (2.8) о том, что работа необратимой составляющей напряжений полностью рассеивается, и с учетом выражения (2.9), придем к выводу, что необратимая составляющая свободной Энергии удовлетворяет соотношению

^Фх = 0,

из которого следует, что в шестимерном пространстве Эквипотенциальная поверхность составляющей свободной энергии Фх = Фх определяет условие пластичности анизотропного материала

ох ■ Лх - ох = фх. (2• 15>

Условие (2.15) является аналогом условия текучести Мизеса-Хилла и отражает тот факт, что напряжения 0(0), соосные с обратимой составляющей деформаций Э(0) не могут вывести материал в состояние пластического течения.

Таким образом, в данной статье для моделей обратимого и необратимого деформирования нелинейных анизотропных материалов получены выражения для потенциала Гиббса, энтропии, производства диссипации, а также соотношения, определяющие связь между напряжениями и деформациями в форме, разрешенной относительно деформаций.

Список литературы

1. Соколова М.Ю. Построение образа процесса нагружения в начально анизотропной среде // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1995. Т. 1. Вып. 2. С. 144-150.

2. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханика конечного деформирования анизотропных тел // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2001. Т. 7. Вып. 2. С. 130-137.

3. Соколова М.Ю. Вариант термомеханических соотношений конечного деформирования анизотропных материалов // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2002. Т. 8. Вып. 2. С. 139-145.

4. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Вариант определяющих соотношений нелинейной термоупругости // Прикладная механика и техническая физика. 2003. Т. 44. № 1. С. 170-175.

5. Маркин А.А., Соколова М.Ю., Христич Д.В. Собственные упругие состояния анизотропных материалов различных типов // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2005. Т. 11. Вып. 2. С. 60-69.

6. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Нелинейные соотношения анизотропной упругости и частный постулат изотропии // Прикладная математика и механика. 2007. Т. 71. Вып. 4. С. 587-594.

7. Маркин А.А., Соколова М.Ю., Христич, Д.В. Постулат А.А. Ильюшина для анизотропных материалов и вариант определяющих соотношений // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2011. № 1. С. 38-45.

8. Маркин А.А., Соколова М.Ю., Христич Д.В. Процессы упругопластического конечного деформирования. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. 374 с.

9. Соколова М.Ю., Астапов Ю.В. Термомеханическая модель нелинейного анизотропного материала // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 102-109.

10. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханические модели необратимого конечного деформирования анизотропных тел // Проблемы прочности. 2002. № 6. С. 5-13.

11. Соколова М.Ю. Вариант соотношений идеальной термопластичности анизотропных материалов // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2004. № 1. С. 66-69.

12. Кравчук А.С. О теории пластичности анизотропных материалов // Расчеты на прочность / Сб. науч. тр. Выпуск 27. М.: Машиностроение, 1986. С. 21-29.

13. Победря Б.Е. Деформационная теория пластичности анизотропных сред // Прикладная математика и механика. 1984. Т. 48. В. 1. С. 29-37.

Соколова Марина Юрьевна ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Христич Дмитрий Викторович ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

The model of elasto-plastic deforming of nonlinear anisotropic

materials

M.Yu. Sokolova, D.V. Khristich

Abstract. Thermomechanical models of reversible and irreversible deforming of anisotropic materials having essential nonlinearity of properties are offered.

The models are built in the stress space with use of Gibbs potential that provides sufficient simplicity of their experimental concretization. It is shown that for hard-plastic materials in the six-dimensional space yield surface coincides with equipotential surface of irreversible component of free energy.

Keywords: thermomechanics, models, anisotropy, nonlinear elasticity, irreversible deformations.

Sokolova Marina ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modeling, Tula State University.

Khristich Dmitry ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 06.04-2013