CC BY
47
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 110-118 Механика
УДК 539.3
Критерий экспериментальной идентификации изотропного и кубического материалов *
Д. В. Христич
Аннотация. Разработана программа экспериментов, состоящая из опыта на сжатие и опыта на кручение, по результатам которой можно отличить изотропный материал от кубического. Проведена оценка влияния погрешностей экспериментальных измерений на применимость полученных теоретических критериев.
Ключевые слова: программа экспериментов, упругие константы, изотропный материал, кубический материал, анизотропные материалы.
Твёрдые тела по отношению к своим физическим свойствам разделяют на изотропные и анизотропные. Если вести речь о проявлении упругих свойств, то изотропные тела обладают характерной особенностью: воздействие на изотропное упругое тело гидростатического давления приводит к его чисто объёмным деформациям. Однако существуют анизотропные тела, как естественного происхождения, так и конструкционные, которые при воздействии гидростатического давления ведут себя так же, как изотропные материалы [1, 2]. Их называют объёмно-изотропными и относят к кубической сингонии (кристаллографической системе) [3]. Из опыта на всестороннее сжатие, так же как и из опытов на одноосное растяжение образцов, вырезанных из материала в различных направлениях, невозможно отличить изотропный материал от кубического.
В работах [4, 5] была предложена программа по идентификации типа симметрии упругих свойств анизотропных твердых тел. Целью настоящей статьи является разработка на основе указанной программы такой методики проведения и обработки экспериментов, которая позволит выполнить все необходимые опыты на трёхмерных образцах и по их результатам отличить изотропный материал от кубического.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 10-01-97501-р_центр_а, 12-01-31176-мол_а).
Поведение рассматриваемых упругих материалов при малых деформациях описывается законом Гука
£ = С -Б,
где £ — тензор малых деформаций Коши-Грина, С — тензор упругих податливостей, Б — тензор истинных напряжений Коши.
В каноническом тензорном базисе, введённом и использованном в работах [3, 6-9],
I0 = -—^(а1а1 + а2 а2 + а3 а3); I1 = —^(2а3а3 — а1 а1 — а2 а2);
\/3 ^6
I2 = —^(а1^1 — а2 а2); I3 = —^(а1^2 + а2 а1);
\/2
I4 = —^(а2а3 + а3 а2); I5 = —^(а1^3 + а3 а1) у/2 л/2
тензоры упругих податливостей имеют следующий вид [3, 5]:
Сиз = соо^0 + С11 (I1I1 + I2I2 + I3I3 + I4I4 + I5I5),
Ск = сооI0I0 + Cll(I111 + I2!2) + сзз(I3I3 + I4!4 + I5!5)- (1)
Для того чтобы отличить изотропную среду от кубической, требуется провести два эксперимента: первый — на двухосное растяжение-сжатие вдоль перпендикулярных направлений векторов а1 и а2, при этом тензор напряжений имеет вид Б7 = ¿(аа — Й2Й2); второй — на сдвиг в плоскости векторов а1, а2, при этом тензор напряжений имеет вид Б77 = ¿(а1а2 + а2а1), причём второй эксперимент можно заменить опытом по кручению сплошного цилиндра.
В качестве реакции на первое нагружение и в изотропном, и в кубическом материалах в соответствии с выражениями (1) возникнут деформации
£из = £к = ¿(Сщ11 Cij22')aiaj =
= ¿(С 1111 — Сц22)(а1а1 — Й2Й2) = (С1111 — Сц22)Б, (2)
где С^ы — компоненты тензора упругих податливостей [3, 5].
Во втором опыте на сдвиг в изотропном материале возникнут деформации
£из = ¿(Сч21 + С^12 )aiaj = ¿(С 1212 + С2121)(а1а2 + а2а1) =
= 2£С1212(а1а2 + 0201) = 2С1212Й77.
(3)
Компоненты тензора упругих податливостей изотропного материала связаны соотношениями [3, 5, 10, 11]
/О /О /О
С1111 = С2222 = С3333, С1122 = С2233 = С1133,
С1212 = С2323 = С1313 = 2(С1111 — С1122) - (4)
С учётом последнего из этих соотношений тензор деформаций изотропного материала (3) при сдвиге в плоскости векторов а1, а2 принимает вид
£из = (С1111 — С1122)б77 . (5)
В кубическом материале при сдвиге в плоскости векторов а1, а2
возникают деформации, описываемые тензором
77
£к
= t(Cij21 + Cij12)aiaj = ¿(С1212 + С2121)(а1а2 + а2а1) =
= 2£С1212(а1а2 + «2 «а) = 2С1212Б77. (6)
Для компонент тензора упругих податливостей кубического материала справедливы все соотношения (4) кроме последнего равенства:
/О /О /О
С1111 = С2222 = С3333, С1122 = С2233 = С1133,
С1212 = С2323 = С1313 = 2(С1111 — С1122) - (7)
Поэтому соотношение между тензорами деформаций и напряжений, аналогичное (5) для изотропного материала, при сдвиге в плоскости векторов а1, а2 для кубического материала не выполняется:
47 = 2С1212Б77 = (С1111 — С1122)Б77. (8)
Если реакции материала на нагружения, определяемые постоянными множителями при тензоре напряжений в определяющих соотношениях, будут одинаковыми в двух указанных опытах, то материал изотропный, а если различными — то кубический.
Рассмотрим кубический образец, ребра которого направлены вдоль векторов а1, а2 и перпендикулярного к ним вектора Й3. В этом случае для нахождения компонент тензоров £^з, £7к можно использовать данные экспериментов по одноосному сжатию.
При сжатии куба вдоль оси Ох тензор напряжений Б = —¿а1а1, а тензор деформаций Коши-Грина имеет следующие компоненты:
I Ах/
0
0
0
V
a п
о 51 -1
a
о о — -1
a
(9)
где Ах/ — абсолютная величина изменения расстояния между гранями куба, перпендикулярными оси Ох, ах, а2 — измеряемые в опыте
длины взаимно-ортогональных рёбер куба, перпендикулярных оси Ох, в деформированном состоянии. Для изотропного и кубического материалов выполняется равенство а\ = а2, поэтому компоненты тензора деформаций (9) принимают вид
0
0
0
\
V
a
о а1 -1
a
о о а1 - 1
a
(10)
При сжатии куба вдоль оси Оу тензор напряжений Б = — ¿а2а2, а тензор деформаций Коши-Грина имеет следующие компоненты:
1
-i]
\
о
Ау//
a
о
о о
62 - 1
a
\
(11)
где Ауц — абсолютная величина изменения расстояния между гранями куба, перпендикулярными оси Оу, Ъ\, Ь2 — измеряемые в опыте
длины взаимно-ортогональных рёбер куба, перпендикулярных оси Оу, в деформированном состоянии. При одинаковых по величине нагрузках вдоль осей Ох и Оу для изотропного и кубического материалов выполняются равенства Ъ\ = Ъ2 = а\ и Ах/ = Ауц, поэтому компоненты тензора деформаций (11) принимают вид
-i]
Ia! - 1 a
о о
о
Аж/
a
о
о о
ai_ 1
\
(12)
a
a
Рассматриваемые материалы не являются разносопротивляющимися, поэтому при растяжении вдоль оси Ox тензор напряжений S = tai ai, а тензор деформаций имеет компоненты
/ Аж/
-г]
V
а
0
0
0
(13)
Тогда при растяжении-сжатии вдоль направлений векторов 01, 02 компоненты тензора деформаций определяются как сумма соответствующих компонент тензоров (13) и (12):
/ Аж/
£г] из £г] к
V
+ 01 -1 00 0 0
1
0
Аж/
0
0
0
\
-01 0
(14)
0
Из формулы (2) следует, что измеряемые в экспериментах характеристики напряжённо-деформированного состояния связаны соотношением
— + 01 - 1 = (6-1111 - С1122%
00
где £ = р = , Р — сила, приложенная к кубическому образцу при сжатии.
Тогда множитель (Сцц — С1122), характеризующий отклики изотропного и кубического материалов на растяжение и сжатие, определяется в результате эксперимента на одноосное сжатие по формуле
С1111 - С1122 =
Аж/ + 01 — 0 (Аж/ + А0)0
(15)
Р
где обозначено А0 = 01 — 0 — изменение длины ребра куба в направлении, перпендикулярном оси сжатия.
Сдвиговые напряжения Б11 = £(0102 + 0201) в плоскости векторов 01, 02 можно реализовать в эксперименте по кручению сплошного цилиндра с приложением вектора крутящего момента по направлению оси 01. При таком нагружении в цилиндре возникают напряжения, описываемые тензором [12]
= 512(0102 + 0201) + 513(0103 + 0з01) =
0
0
0
0
= Сгж3(0102 + 0201) — Сгж2(0103 + 0301),
где О = N1212 = 4с1212 — модуль сдвига изотропного или кубического материала, т — постоянная крутка цилиндра, определяемая как разность углов поворота торцов цилиндра, отнесённая к его длине.
Ненулевые компоненты тензора деформаций при кручении имеют вид
тт
£12 = £21 = 2 ж3, £13 = £31 = — 2 ж2-
Непосредственная проверка выполнения одного из равенств (5) или (6) в таком опыте невозможна, так как напряжённо-деформированное состояние в образце не является однородным и не описывается одними только тензорами Б11 и £¿3 или еЦ. Однако коэффициент пропорциональности между тензорами деформаций и напряжений при сдвиге можно найти, рассматривая интегральные характеристики напряжённо-деформированного состояния.
Крутящий момент, приложенный к цилиндру, связан с круткой соотношением [12]
М = 2 ОтпК4,
где К — радиус цилиндра.
Из этого соотношения найдём
О = 2М
пК4 т ’ а затем
С 1 пК4т (16)
С1212 = 4О = ~Ш' (16)
Таким образом, для нахождения этой константы материала в
эксперименте по кручению сплошного цилиндра требуется измерить
крутящий момент и относительный угол закручивания торцов образца.
Из соотношений (2), (5), (6), (8), (15), (16) следует, что если
(Аж/ + А0)0 пК4 т
Р = 4М ,
то С1212 = 1 (С1111 — С1122), и материал изотропный, а если
(17)
(Аж/ + А0)0 пК4 т
-----Р------- = 1^ (18)
то С1212 = 2 (С1111 — С1122), и материал является кубическим.
Полученные критерии отнесения материала к одному из двух типов являются чисто теоретическими, так как условие (17) подразумевает выполнение точного равенства. На практике при выполнении экспериментов все величины измеряются с некоторыми погрешностями. Рассмотрим влияние погрешностей измерений на применимость условий (17) и (18) к исследованию реальных материалов.
Преобразуем условия (17) и (18), введя величину
^ 4м (Аж/ + А0)0
к = —Пряь—• (19)
Для использования критериев (17), (18) в ходе экспериментов измеряются следующие величины: крутящий момент М = М(1 ± ем); рёбра куба в недеформированном состоянии 0 = 0(1 ± еа); абсолютная величина изменения расстояния между гранями куба, перпендикулярными оси Ож (оси сжатия), Аж/ = Аж/(1 ± ех); изменение длины ребра куба, перпендикулярного оси Ож (оси сжатия), А0 = А0(1 ± е'х); осевая сжимающая сила Р = Р(1 ± ер); радиус цилиндра К = К(1 ± ед); абсолютный угол закручивания торцов цилиндра Аф = Аф(1 ± ер); базовая длина цилиндра, на которой измеряется угол закручивания его торцов, I = 1(1 ± еI). Каждая величина измеряется с относительной погрешностью £М, еа, ех, е'х, £р, £Д, еч>, £1, при этом М, 0, Аж/, А0, Р, К, Аф, I — точные (истинные) значения наблюдаемых величин.
Преобразуем величину К, определяемую выражением (19), с учётом погрешностей измерений:
к=
4М(1 ± ем)0 (1 ± еа) 1(1 ± е1) пР(1 ± ер)К (1 ± ед)4Аф(1 ± Ер)
Аж/(1 ± ех) + А0(1 ± е'х) 0(1 ± еа) 0(1 ± е'а)
• (20)
Величины еа и еа характеризуют относительные погрешности измерений двух различных рёбер куба.
Найдём границы изменения величин, стоящих в квадратных скобках:
1 — ех Аж/ Аж/ 1 + ех Аж/ 1 — е'х А0 А0 1 + е'х А0
--------=— ^ ^-----------------=—, ------------- — ^ ^ х — •
1 + еа 0 0 1 — еа 0 1+ е'а 0 0 1 — е'а 0
Для нахождения пределов изменения суммы этих величин можно считать, что ех = е'х, еа = еа, тогда
1 — ех Аж/ + А0 ^ Аж/ + А0 ^ 1 + ех Аж/ + А0
1 + еа 0 "" 0 ^ 1 — еа 0 ’
Аж/ + А0 1 ± ех Аж/ + А0
0 1 ± еа 0 ’
С учётом этого преобразования формула (20) принимает вид
К = 4М0 (Аж/ + А° (1 ± еМ)(1 ± еа)2(1 ± е1)(1 ± ех) (21)
пРК^Аф (1 ± £р)(1 ± ед)4(1 ± ер)(1 ± е'а)
то есть
Обозначим
К 4М01 (Аж/ + А0) пРК4 Аф
Если все величины в эксперименте измерены без погрешностей, то при K = 1 материал изотропный, а при K = 1 материал кубический.
Предполагая, что исследуемый материал является изотропным (K = 1), найдём пределы изменения величины K. Для этого упростим выражение (21), оставляя в числителе и знаменателе слагаемые, содержащие величины относительных погрешностей, которые являются малыми по сравнению с единицей, только в первой степени:
K = 1 ± (eM + 2ea + £l + £x)
1 ± (eP + 4ед + ev + eQ Получим для оценки величины K следующее двойное неравенство:
1 _ (eM + 2ea + el + ex) ^ K < 1 + + 2ea + el + ex) (22)
1 + (eP + 4eR + e^ + e'a) 1 _ (eP + 4eR + e^ + ea)
При следующих значениях относительных погрешностей измерений, некоторые из которых приведены в [13]: eM = 0,005, el = 0,0001, ea = e'a = 0, 0001, ex = 0, 005, eP = 0, 005, eR = 0, 0001, e^ = 0, 01 — двойное неравенство (22) принимает вид
0, 975 ^ K ^ 1, 025,
то есть отклонение от точного равенства K = 1 для изотропного материала не превышает ±2, 5%.
Можно считать, что если при некоторых значениях относительных погрешностей измерений величина K отличается от единицы не более, чем на 5%, то есть 0, 95 ^ K ^ 1, 05, то исследуемый материал является изотропным. В противном случае материал является кубическим.
Таким образом, полученные условия (17) и (18) позволяют по данным одного эксперимента на одноосное сжатие и одного эксперимента на кручение с достаточной точностью определить, является исследуемый материал изотропным или кубическим.
Список литературы
1. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Нелинейные соотношения анизотропной упругости и частный постулат изотропии // Прикладная математика и механика. 2007. Т. 71. В. 4. С. 587-594.
2. Маркин А.А., Соколова М.Ю., Христич Д.В. Постулат А.А. Ильюшина для анизотропных материалов и вариант определяющих соотношений // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2011. № 1. С. 38-45.
3. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1988. 192 с.
4. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Определение типа исходной анизотропии и распространение частного постулата Ильюшина на начально анизотропные материалы // Устойчивость, пластичность, ползучесть при сложном нагружении: сб. научных трудов. Тверь: ТвТГУ, 2000. В. 2. С. 66-71.
5. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханические модели обратимого конечного деформирования. Тула: ТулГУ, 2010. 268 с.
6. Соколова М.Ю. Структурные тензоры анизотропии в пространстве А.А.Ильюшина // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2001. Т. 7. Вып. 2. С. 141-148.
7. Соколова М.Ю. Вариант термомеханических соотношений конечного деформирования анизотропных материалов // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2002. Т. 8. Вып. 2. С. 139-145.
8. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.
9. Христич Д.В. Аналитическое определение симметрии свойств квазикристаллов // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 81-88.
10. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
11. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 416 с.
12. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твёрдого тела: учеб. пособие для втузов. М.: Высшая школа, 1979. 318 с.
13. http://www.instron.ru/wa/product/5900-Series-Single-Column-Testing-Systems.aspx
Христич Дмитрий Викторович (dmitrykhristich@rambler.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Criterion of experimental identification of isotropic and cubic materials
D. V. Khristich
Abstract. A program of experiments consisting of compression test and torsion test by results of which it is possible to distinguish isotropic material from the cubic one is developed. An evaluation of experimental measurements errors influence on the applicability of obtained theoretical criteria is carried out.
Keywords: experimental program, elastic constants, isotropic material, cubic material, anisotropic materials.
Khristich Dmitry (dmitrykhristich@rambler.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 24-09.2012
