CC BY
28
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 166-178
Механика =
УДК 539.3
Критерий экспериментальной идентификации ромбического,
*
моноклинного и триклинного материалов *
Д. В. Христич
Аннотация. Разработана программа экспериментов, состоящая из трёх опытов на кручение, по результатам которых можно различить ромбический, моноклинный и триклинный материалы. Проведена оценка влияния погрешностей экспериментов на применимость полученных теоретических критериев.
Ключевые слова: программа экспериментов, упругие константы, анизотропные материалы.
Важной задачей экспериментального исследования анизотропных
материалов является определение материальных функций и констант,
характеризующих их механические свойства. В частности, требуется разработка программы экспериментов по определению структуры и компонент тензоров, описывающих связь напряжений и деформаций.
Рассматриваются материалы, не чувствительные к виду напряженного состояния, упругое поведение которых при малых деформациях описывается законом Гука
є = С ■ -Б (1)
или
Б = N ■ -є, (2)
где є — тензор малых деформаций, С — тензор упругих податливостей, Б — тензор истинных напряжений Коши, N — тензор упругости.
Как указано в статье [1], актуальной является задача разработки программы минимального числа экспериментов по определению структуры тензора N. Тензоры четвертого ранга С и N описывающие упругие свойства материала, имеют одинаковую структуру для одного типа материала [2].
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-97501-р_центр_а).
В монографии [3] предложена программа экспериментов, с помощью которой можно провести классификацию материалов по кристаллографическим системам. Эта программа предполагает проведение от двух до четырех экспериментов с макрообразцами: 1) нагружение гидростатическим давлением (всестороннее сжатие); 2) растяжение и сжатие одинаковыми усилиями в двух взаимно перпендикулярных направлениях, задаваемых главными осями анизотропии; 3) сдвиги в плоскостях, определяемых главными осями анизотропии.
На основе этой программы в статье [1] разработана методика проведения и обработки экспериментов, необходимых для определения главных осей анизотропии кристаллических материалов. Предложенная методика предполагает выполнение трёх экспериментов на одноосное сжатие. В результате обработки экспериментов вычисляются собственные значения тензора деформаций £. Симметричный тензор £ всегда имеет три действительных собственных значения, причём среди них могут быть равные. Возможны всего три варианта:
1) £1 = £2 = £з;
2) £1 = £2 = £з;
3) £1 = £2 = £з-
В статье [4] рассмотрен случай трёх равных собственных значений тензора деформаций при гидростатическом сжатии. Разработана программа экспериментов, состоящая из опыта на одноосное сжатие и опыта на кручение, по результатам которых можно отличить изотропный материал от кубического, а также определить упругие константы для каждого типа материала. В статье [5] для случая двух равных собственных значений тензора деформаций при всестороннем сжатии предложена программа экспериментов, состоящая из двух опытов на одноосное сжатие и двух опытов на кручение, по результатам которых можно различить тригональный, гексагональный и тетрагональный материалы. В обеих работах проведены оценки влияния погрешностей экспериментальных измерений на применимость полученных теоретических критериев.
Если все собственные значения тензора деформаций при гидростатическом сжатии различны, то материал, согласно [3], является ромбическим, моноклинным или триклинным. Для различения этих материалов требуется произвести эксперименты на сдвиг в плоскостях, задаваемых парами собственных векторов а,1 и Й2, й2 и аз, а1 и йз. Эти эксперименты можно
заменить опытами по кручению сплошных круговых цилиндров моментами, векторы которых Мз, М1, М2 направлены вдоль осей, перпендикулярных указанным плоскостям.
Известно [6], что поведение цилиндров из ромбического, моноклинного и триклинного материала при нагружении указанными крутящими моментами будет различным.
Целью настоящей статьи является разработка на основе указанных качественных различий в поведении цилиндров при кручении методики проведения и обработки экспериментов, которая позволит выполнить все необходимые опыты на трехмерных образцах и по их результатам различить ромбический, моноклинный и триклинный материалы.
В книге [6] решена задача о кручении эллиптического цилиндра из материала с произвольным типом прямолинейной анизотропии. Для проведения и обработки результатов экспериментов по кручению анизотропных цилиндров решим задачу о кручении цилиндра при других, чем в [6], граничных условиях, которые лучше соответствуют возможностям машин для испытаний на кручение.
Рассмотрим однородный круговой цилиндр, находящийся в равновесии под действием усилий, распределённых по торцам и приводящихся к крутящим моментам величиной М и осевой силе величиной Р. Векторы этих нагрузок направлены вдоль оси О,г. На боковой поверхности цилиндра нагрузки отсутствуют. Действие массовых сил не учитывается. Материал цилиндра может быть ромбическим, моноклинным или триклинным.
Матрицы компонент тензора упругих податливостей для этих материалов имеют вид [7] (ввиду симметрии тензора С указываются элементы матрицы в правом верхнем углу):
Ср =
См =
Ст =
( С1111 С1122 С1133 0 0 0 \
С2222 С2233 0 0 0
С3333 0 0 0
С1212 0 0
С2323 0
V С3131 /
( С1111 С1122 С1133 С1112 0 0 \
С2222 С2233 С2212 0 0
С3333 С3312 0 0
С1212 0 0
С2323 С2331
V С3131 /
( С1111 С1122 С1133 С1112 С1123 С1131 \
С2222 С2233 С2212 С2223 С2231
С3333 С3312 С3323 С3331
С1212 С1223 С1231
С2323 С2331
V С3131 /
(3)
(4)
(5)
Введём декартову прямоугольную систему координат Ожу,г таким образом, что её начало О лежит в центре нижнего сечения цилиндра, ось О,г направлена вдоль оси цилиндра, совпадающей с направлением главной
оси анизотропии материала цилиндра а3, а оси Ох и Оу совпадают с направлениями главных осей анизотропии материала цилиндра а і и а2 Будем считать, что компоненты тензора напряжений Б не зависят от осевой координаты г. Тогда уравнения равновесия '7 ■ Б = 0 в проекциях на оси координат примут вид
' дбХх + д£ху = о
дх ду ’
д£ху д$уу
ху + -т^ = 0, (6)
дх ду dSxz , dSyz
+ —yz — О.
dx dy
Напряжения на торцах цилиндра должны удовлетворять следующим интегральным граничным условиям:
Sxzdxdy = 0, JJ SyZdxdy = 0, JJ (TyZx - rxzy)dxdy = M,
S S S
Szzdxdy = P, JJ Szzxdxdy = 0, JJ Szzydxdy = 0. (7)
ESS Если положить
Szz = S, (8)
где S = nR2 — площадь поперечного сечения цилиндра, R — радиус, то последние три из условий (7) будут выполнены.
Остальные три граничных условия для напряжений и уравнения равновесия (6) удовлетворяются при следующих выражениях для компонент тензора напряжений:
S S S =0 S = 2M y S =2Mx (9
Sxx — Syy — Sxy — 0, Sxz — ~R4У, Syz — nR^ x* (9
Компоненты тензора малых деформаций є = 2 и + и 7^ выражаются
через компоненты вектора перемещений и = иеі + ^в2 + адвз следующим образом:
ди 1 / ди д-и\ 1 / дш ди\
єіі = дх’ єі2 = 2^ду + дХ,)’ єі3 = 2^ дХ + д^’ ( )
д-и 1 / д-и дш \ дш
є22 = Т— ’ є23 = 77 1 т:-----+ ТГ- ’ є33 = •
ду 2 \ дг ду / дг
о
о
(11)
Используя определяющие уравнения (1), выражения компонент тензора напряжений (8), (9) и соотношения (10), запишем систему
дифференциальных уравнений для определения перемещений:
ди/ Р
= Спзз -=■ + 2Сц236х - 2СШ1&у,
дж $
7Г~ — С2233Т7 + 2С22230ж — 2С2231ЬУ,
ду $
— С3333 ^ + 2С33230ж - 2С3331ЬУ,
ди д^ $ Р
— + д? — 2С3312 $ + 4С1223Ь? - 4С1231Ьу, д— ди Р
тт + — 2С3331 ^ + 4С2331Ь? - 4С3ш6у,
д? $ д— Р
т;—+ — 2С332377 + 4^2323^? — 462331%,
дг ду $
гле о — 2М где 0 пЯ4 •
При записи этой системы использована матрица компонент тензора С для триклинного материала (5), так как предполагается, что материал цилиндра обладает анизотропией свойств самого общего вида. При рассмотрении ромбического и моноклинного материалов некоторые компоненты тензора С в соответствии с выражениями (3), (4) надо считать нулевыми.
Граничные условия для системы уравнений (11) относительно трёх неизвестных функций
и — и(ж, у, г), V — ^(ж, у, г), — — —(ж, у, г)
имеют вид
и(0, 0, 0) = 1)(0, 0, 0) = Ц0, 0, 0) = 0, и(0, 0,1) = 1)(0, 0,1) = 0,
= 0. (12)
ди дг>
ду дх
(0,0,0)
В аналогичной задаче, рассмотренной в книге [6], осевая сила полагается равной нулю, а элемент оси, проходящий через центр поперечного сечения на одном из концов стержня, жестко закреплен. Предложенная постановка учитывает возможности современных испытательных машин по комбинированному нагружению образца крутящим моментом и осевой силой.
Решение системы уравнений (11), удовлетворяющее граничным условиям (12), имеет вид
и = —^г [С1123^2 — 2С1131хУ — (С2223 + 2С'і231)у2 + С3323^(1 — ^) —
П Л4
Р
—2(С2323 + С3131 )у^] +--732 (61133ж + С3312у),
ПЛ2
v — ;л^4 [(С1131 + 2С1223)ж2 + 2С2223жу — С2231у2 — С3331г(г — 1) +
Р
+2(С2323 + С3131)жг] +-Т2 (63312ж + C2233У),
ПЛ2
——
2М
пЛ4
[2С2331?2 + 2(С2323 — С3131)жу — 2С2331у2 + 2С3323жг — 2С3331уг —
Р
—С33231ж + 633311у] +----^2 (С3333г + 2С3331ж + 2С3323у)-
пЛ2
При этом постоянная крутка цилиндра, определяемая как разность углов поворота торцов цилиндра, отнесенная к его длине, вычисляется по формуле [6]
4(С2323 + 63131)М
т —---------ПЛ----------■ (13)
Если осевая сила равна нулю, то перемещения точек цилиндра под действием только крутящего момента выражаются следующими формулами:
и — —54 [С1123ж2 — 2С1131жу — (С2223 + 2С1231)у2 + п я4
+С3323г(1 — г) — 2(С2323 + С3131)уг] ,
[(Сп31 + 2С1223 )ж2 + 2С2223жу — С2231у2 — (14)
—
пЛ4
—С3331г(г — 1) + 2(С2323 + С3131)жг] ,
;П^4 [2С2331ж2 + 2(С2323 — С3131)жу — 2С2331у2 +
+2С3323жг — 2С3331 уг — С33231ж + С3331^у] ■
В общем случае анизотропии упругих свойств материала ось цилиндра (прямая ж — 0, у — 0) изгибается и принимает форму кривой, описываемой уравнениями
^ 2С3323МП 2Л 2С3331Мп 2а !л ^
х = -^ПкГ-(Ь — " >■ у — ~1Гйг~ (ь - * >■ (15)
С учетом представлений тензоров упругих податливостей (3)—(5)
выражения перемещений (14) и уравнения изогнутой оси цилиндра (15) при действии крутящего момента для рассматриваемых типов анизотропных материалов принимают следующий вид: для ромбического материала
—4 (62323 + 63131 )М 4(6*2323 + Сзізі)М
=----------пё-----------^ "р =-------------ПЁ----------^
4(6*2323 — С3і3і)М , .
Ыр = ---------ПЁ4------(16)
Хр = 0, Гр = 0; (17)
для моноклинного материала
—4(6*2323 + С3131 )Му^ " _ 4(62323 + С3і3і)М
2М
Ым = —^4 [2С2331^2 + 2(С2323 — С3131)хУ — 2С233іУ2] , (18)
П Ё4
Хм = 0, Гм = 0. (19)
Для триклинного материала выражения перемещений и уравнения изогнутой оси цилиндра имеют вид (14) и (15) соответственно.
Расположим систему координат Ожуг таким образом, что ось Ож направлена вдоль оси цилиндра, совпадающей с направлением главной оси анизотропии материала цилиндра а3, а оси Ог и Оу совпадают с направлениями главных осей анизотропии материала цилиндра (?1 и Выражения перемещений при кручении цилиндра будут следующими: для ромбического материала
—4(С1212 + С3131)М 4(С1212 + С3131)М
иР —----------ПЛ-----------у", VP—-------------ПЛ--------ж",
4(С1212 — С3131)М
м— —пл---------------------жу; (20)
для моноклинного материала им — ПЛ4 [С3312ж2 — (С2212 + 2С2331)у2 + С1112г(1 — г) — 2(С1212 + С3131)уг] ,
2М
vм — —54 [2С2212жу + 2(С1212 + С3131)жг] , (21)
пЛ4
2М
Мм — —54 [2(С1212 — С3131)жу + 2С1112жг — С11121ж] ; пЛ4
для триклинного материала
и
[С3312^2 — 2С3331ХУ — (С2212 + 2С2331)у2 +
2М
ПЁ4
+С1112^(1 — ^) — 2(С1212 + 63131)У^] )
2М Г/_ _ ч 2
[(С3331 + 2С1223 )х2 + 2С2212хУ — С223іУ2 — (22)
пЛ4
—С1131г(г — 1) + 2(С1212 + С3131)жг] I м — пЕ4 [2С1231ж2 + 2(С1212 — С3131)жу — 2С1231у2+
+2С1112жг — 2С1131 уг — С11121ж + С11311у] •
Уравнения изогнутой оси цилиндра при такой ориентации главных осей анизотропии материала имеют вид: для ромбического материала
Хр — 0, Ур — 0; (23)
для моноклинного материала
Хм — ^^(1^ - г2), Ум — 0; (24)
для триклинного материала
Хт — (и - г2), Ут — (1; - г2). (25)
Крутка цилиндра определяется по формуле
4(6*1212 + ^3131)М ,
т —---------ПЛ----------• (26)
Если ввести систему координат Ожуг таким образом, что ось Оу направлена вдоль оси цилиндра, совпадающей с направлением главной оси анизотропии материала цилиндра а3, а оси Ож и Ог совпадают с направлениями главных осей анизотропии материала цилиндра (?1 и й2, то компоненты поля перемещений при кручении цилиндра представляются следующими выражениями:
для ромбического материала
—4(6*2323 + С1212 )Е 4(62323 + С*1212)Е
ир —-----------------------ПЛ-у", VP —-------ПЛ---------ж",
4(6*2323 — 61212)^
м —-----------пл----------жу; (27)
для моноклинного материала —4М
им — -----[61112жу + (62323 + 61212)у^] I
Пй4
[(61112 + 262331)ж2 — 63312у2 — 62212г(г — 1) + 2(62323 + 61212)жг] )
— 2М пй4
Мм — “^4 [2 (62323 — 61212)жу — 262212уг + 622121у] ; (28)
ПЯ4
для триклинного материала 2М
ит=
[61123ж2 — 261112жу — (63323 + 261231)у2 +
пЯ4
+62223г(1 — г) — 2 (62323 + 61212)уг] )
Vт — 54 [(61112 + 262331)ж2 + 263323жу — 63312у2 (29)
П Я4
—62212г(г — 1) + 2 (62323 + 61212)жг] )
2М
Мт ----
[261223ж2 + 2 (62323 — 61212)жу — 261223у2 +
пй4
+262223жг — 262212уг — 622231ж + 62212^у] •
Уравнения изогнутой оси цилиндра при такой ориентации главных осей анизотропии материала имеют вид: для ромбического материала
Хр = 0, Ур = 0; (30)
для моноклинного материала
Хм — 0, Ум — 2622Я4М (1г - г2); (31)
Пя4
для триклинного материала
Хт — ^б2!2^- г2), Ут — ^(1г - г2). (32)
Крутка цилиндра в этом случае вычисляется по формуле
4(61212 + 62323)Е /„„ч
т —--------Пя---------• (33)
V
м
Из формул (17), (23), (30) следует, что ось цилиндра из ромбического материала, направленная вдоль любой из главных осей анизотропии материала, при кручении остаётся прямой.
Формулы (19), (24), (31) показывают, что в зависимости от того, по какой из трёх главных осей анизотропии направлена ось цилиндра из моноклинного материала, она может оставаться прямой или изгибаться в одной из координатных плоскостей Ож* или Оу*.
Из формул (15), (25), (32) следует, что ось цилиндра из триклинного материала при его закручивании изгибается независимо от того, по какой из трёх главных осей анизотропии она направлена, причём изогнутая ось не остаётся в какой-либо координатной плоскости.
Таким образом, для идентификации триклинного материала требуется один эксперимент по кручению цилиндра, ось которого направлена вдоль одной из главных осей анизотропии исследуемого материала, а для идентификации ромбического и моноклинного материалов необходимо провести два таких эксперимента с цилиндрами, оси которых совпадают с двумя различными главными осями анизотропии.
Выразим момент М из формулы (13) через крутку т и подставим в уравнения изогнутой оси цилиндра (15):
Х — 2(С 63ТГС ) (1* - г2)’ У — 2(С б3Тг ) (1* - г2). (34)
2( С2323 + С3131) 2( С2323 + С3131)
Если ось о* направлена вдоль оси цилиндра, совпадающей с направлением главной оси анизотропии материала цилиндра 03, а оси Ож и Оу совпадают с направлениями главных осей анизотропии материала цилиндра (?1 и 02, то цилиндр из ромбического или моноклинного материала не изгибается в поперечном направлении. В случае триклинного материала поперечный изгиб при кручении происходит в плоскости, образующей с плоскостью Ож* угол
63331
0т — аг^ —-------• (35)
63323
Рассмотрим случай, когда ось Ож направлена вдоль оси цилиндра, совпадающей с направлением главной оси анизотропии материала цилиндра 03, а оси о* и Оу совпадают с направлениями главных осей анизотропии материала цилиндра 01 и 02. Исключим из формул (24) и (25) момент М, выражая его из формулы (26) через крутку т:
Хм — 2(С —1+2г ) (1* - *2), Ум — 0; (36)
2(С1212 + С3131)
Хт — 2(С —1+2ГС--------) (1* - *2), Ут — 2(С —1+1ГС--------) (1* - *2). (37)
2( С1212 + С3131) 2( С1212 + С3131)
Для моноклинного материала поперечный изгиб при кручении происходит в координатной плоскости Ож* (0м — 0°), а для триклинного — в плоскости, образующей с плоскостью Ож* угол
0т — аг^ 6— • (38)
61112
Если ось Оу направлена вдоль оси цилиндра, совпадающей с направлением главной оси анизотропии материала цилиндра 03, а оси Ож и О* совпадают с направлениями главных осей анизотропии материала цилиндра (?1 и 02, то уравнения изогнутой оси цилиндра с учётом связи момента и крутки принимают вид
Хм — 0, Ум — 622_+2С ) (1* - *2); (39)
2( С1212 + С2323)
Хт — 2(С > (1* -г2>- Ут — 2(С —2г+гС ■,(к -г2)- (40)
2( С1212 + С2323) 2( С1212 + С2323)
В этом случае для моноклинного материала поперечный изгиб при кручении происходит в координатной плоскости Оу* (0м — 90°), а для триклинного — в плоскости, образующей с плоскостью Ож* угол
0т — аг^66— • (41)
62223
Полученные критерии отнесения материала к одному из трёх типов являются теоретическими, так как в экспериментах ось цилиндра может изгибаться при кручении, например, из-за неточного изготовления образца (отклонение от формы прямого кругового цилиндра, несовпадение оси цилиндра с осью анизотропии материала) или установки образца в испытательной машине с некоторой несоосностью. Оценка погрешности предложенной в статье [1] системы экспериментов по определению главных осей анизотропии произвольного анизотропного материала показывает, что при относительной погрешности измерения деформаций кубического образца до 5 % отклонение направлений главных осей анизотропии, определённых из опыта, от их истинной ориентации составляет не более 5°.
Проведенное численное исследование влияния ошибки определения ориентации главных осей анизотропии на положение плоскости, в которой происходит изгиб цилиндра, позволяет утверждать, что в опытах по кручению цилиндра из моноклинного материала угол 0м отклоняется от найденных теоретических значений
0м — 0°, 0м — 90°
не более чем на 5°.
Можно считать, что если при относительной погрешности измерения деформаций образца до 5 % угол между плоскостью, в которой происходит
изгиб цилиндра, и плоскостью Oxz или Oyz в обоих экспериментах составляет не более 5°, то исследуемый материал является моноклинным. Если во всех экспериментах этот угол больше 5°, то материал триклинный. Если во всех опытах ось цилиндра практически остаётся прямой (поперечные перемещения точек оси пренебрежимо малы), то материал ромбический.
Таким образом, полученные условия (34)—(41) позволяют на основе трёх экспериментов на кручение с достаточной точностью определить, является исследуемый материал ромбическим, моноклинным или триклинным.
Список литературы
1. Христич Д.В., Каюмов Р.А., Мухамедова И.З. Программа экспериментов по определению главных осей анизотропии материала // Изв. КГАСУ. 2012. № 3 (21). С. 216-224.
2. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики: учебное пособие. М.: Наука, 1979. 640 с.
3. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханические модели обратимого конечного деформирования. Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. 268 с.
4. Христич Д.В. Критерий экспериментальной идентификации изотропного и кубического материалов // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 110-118.
5. Христич Д.В. Критерий экспериментальной идентификации гексагонального, тригонального и тетрагонального материалов // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполе-ва. 2013. № 2. С. 67-72.
6. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 416 с.
7. Соколова М.Ю. Структурные тензоры анизотропии в пространстве А.А.Ильюшина // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2001. Т. 7. Вып. 2. С. 173-178.
Христич Дмитрий Викторович (dmitrykhristich@rambler.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Criterion of experimental identification of rhombic, monoclinic
and triclinic materials
D. V. Khristich
Abstract. A program of experiments consisting of three torsion tests by results of which it is possible to distinguish rhombic, monoclinic and triclinic materials is developed. An evaluation of experimental measurements errors influence on the applicability of obtained theoretical criteria is carried out.
Keywords: experimental program, elastic constants, anisotropic materials.
Khristich Dmitry (dmitrykhristich@rambler.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 21.09.2013
