CC BY
12. Ломакин Е. В. Определяющие соотношения деформационной теории для дилатирующих сред // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1991. № 6. 66-75.
3. Ломакин Е. В. Нелинейная деформация материалов, сопротивление которых зависит от вида напряженного состояния // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1980. № 4. 92-99.
4. Rice J. On the stability of dilatant hardening for saturated rock masses //J. Geophys. Res. 1975. 80, N 11. 1531-1536.
5. Rudnicki J. W., Rice J. Conditions for the localization of deformation in pressure-sensitive dilatant materials // J. Mech. and Phys. Solids. 1975. 23. 371-394.
6. Драгон А., Мруз 3. Континуальная модель пластически хрупкого поведения скальных пород и бетона // Механика деформируемого твердого тела. Направление развития: Сб. статей / Под ред. Г.С. Шапиро. М.: Мир, 1983. 163-188.
7. Park Н., Kim j.-y. Plasticity model using multiple failure criteria for concrete in compression // Int. J. Solids and Streets. 2005. 42. 2303-2322.
8. Wesley L. D. Fundamentals of Soil Mechanics for Sedimentary and Residual Soils. N. Y.: Wiley, 2009.
9. Шемякин E. И. Вопросы прочности твердых тел и горных пород // Проблемы механики деформируемого твердого тела и горных пород: Сб. статей к 75-летию К.II. Шемякина / Под ред. Д.Д. Ивлева и Н.Ф. Морозова. М.: Физматлит, 2006. 26-45.
10. Sakharov A., Karulin Е., Marehenko A., Karulina М., Chistyakov P. Mechanism of shear collapse in sea ice // Proc. 25 Int. Conf. POAC. N 6. Delft, 2019.
11. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально-пластических тел. М.: ИЛ, 1956.
12. Saeki Н., Опо Т., En N., Naok N. Experimental study on direct shear strength of sea ice // Ann. Glaciol. 1985. 6. 218-221.
13. Drueker D. C., Prager W. Soil mechanics and plastic analysis or limit design // Quart. Appl. Math. 1952. 10, N 2. 157-165.
14. Ломакин E. В. Кручение цилиндрических тел с изменяющимися деформационными свойствами // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 2008. № 3. 217-227.
15. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. 5-е изд. М.: Наука, 1976.
Поступила в редакцию 27.10.2021
УДК 539.3
ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРИ СЛОЖНОМ НАГРУЖЕНИИ ПО КРИВОЛИНЕЙНЫМ ТРАЕКТОРИЯМ ДЕФОРМАЦИИ
И. Н. Молодцов1
Предложенный подход к математическому моделированию процессов сложного на-гружения базируется на двух идеях, предложенных A.A. Ильюшиным. Одна из них называется трехчленной формулой A.A. Ильюшина и задает вид дифференциальной зависимости, связывающей между собой векторы — девиаторы напряжений и деформации в двух- и трехмерных процессах сложного нагружения, а другая определяет вид пятимерной траектории деформации постоянных кривизн. Развитие этих идей привело к новому определяющему уравнению и к новому подходу математического моделирования процессов сложного нагружения. Для анализа процессов сложного нагружения с траекториями деформации нулевой кривизны были введены материальные функции Васина, которые оказались в центре математической модели. Они вошли в представления функционалов, формулы диссипативных напряжений и в явное выражение вектора напряжений. В работе изучаются особенности применения нового подхода для процессов с траекториями постоянной кривизны.
1 Молодцов Игорь Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mechmathmsu® mail .ru.
Molodtsov Igor Nikolaevich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theory of Elasticity.
Ключевые слова: сложное нагружение, определяющие соотношения, траектория деформаций и отклик, диссипативные напряжения.
The approach to mathematical modeling of complex loading processes is based on the two ideas given by A. A. Ilyushin. One of them is called the three-term formula of A. A. Ilyushin and sets the type of the differential dependence that connects the stress and strain deviator vectors in two- or-three-dimensional complex loading processes, and the second one determines the type of the five-dimensional deformation trajectory of constant curvatures. The development of these ideas led to a new constitutive equation and to a new approach to mathematical modeling of complex loading processes. For the analysis of complex loading processes with deformation trajectories of zero curvature, Vasin's material functions were introduced. These functions are at the center of the mathematical model. They are used for the representations of functionals and formulas for dissipative stresses and for an explicit representation of the stress vector. In this paper we study the features of applying the new approach to the processes with constant curvature trajectories.
Key words: complex loading, constitutive equations, deformation and stress trajectories, dissipative stresses.
1. Общий случай пятимерного процесса деформации. В работе [1] для произвольных пятимерных процессов деформации предложен вариант теории упругопластических процессов сложного нагружения. Получены векторные определяющие соотношения (уравнения), приводящие к системе уравнений для углов между направляющим вектором напряжений иа и векторами репера Френе ni,... ,п5. Прообразом этих уравнений в двумерных процессах деформации является трехчленная формула А.А. Ильюшина [2].
Определяющие уравнения в пятимерном пространстве имеют вид
Q ■ л -/ F ■ л -/ и . . _, w . . _,
па = — sin 6*1% Н--sin 02% Н--smc^ngH--sin 6*4 п4,
а а а а (1)
а = P cos 0\.
Векторное уравнение представляет скорость изменения направляющего вектора напряжений в репере из четырех векторов, ортогональных иа и полученных ортогонализацией первых четырех векторов репера Френе. Определяющие уравнения (1), содержащие пять определяющих функционалов Q, F, U, W, P, описывают векторные и скалярные свойства материала, 0i, i = 1,... , 4, — углы из представления направляющего вектора напряжений в репере Френе. Точка обозначает производную функции по длине дуги s траектории деформации. Векторные уравнения сводятся к системе дифференциальных уравнений для четырех углов разложения вектора напряжений в репере Френе (см. [1]).
Векторное уравнение (1) преобразуем подстановкой а = Х(<т/Х), где X(s) — вспомогательная дифференцируемая функция-метрика, зависящая от длины дуги траектории деформации. В результате получим скалярное соотношение
a(s) = (s) ф
sin 0\ sin 02 sin 9s sin 04 '
где
7 = do sin вю sin 020 sin 030 sin 040, olAs) = exp I [ C°S ds 1 ,
\J sin 04 J
Ki, i = 1,..., 4, — кривизны траектории деформации, и векторное уравнение
_ Qi Fi lh W
X =П1-+П2-+П3-+П4-. (3)
Здесь функционалы с индексом являются линейными комбинациями исходных функционалов. Они приведены в статье [1].
Дифференциальное уравнение для функции E, получаемое в результате подстановки формулы (2) в скалярное соотношение (1), интегрируется с результатом
s
sin 0i sin 02 sin 03 sin 04 P Г p2/(2Л?)
вд = (1 + с,И)-^-, CM = -J (4)
Если представление вектора напряжений в репере Френе
ст = <r{cos0iñi — sin 0\ (cos 02^2 — sin 02 (cosdsñs — sin 03 (cos 04й4 — sin 04Й5)))} преобразовать с учетом (2), получим
а = 70:4Е (Viñi - У2Й2 + V3ñ3 - F4ñ4 + ñ5),
где
cos 04 T_ cos 03 T_ cos 02 T_ COs 0i
= -т-^-, ^3 = ■ ■ , V2 = -—-—-, Vi = -—-—-. (5)
sin 04 sin 03 sin 04 sin 02 ... sin 04 sin 0i ... sin 04
Эти функции введены в [1] для процессов сложного нагружения с траекториями деформации произвольной кривизны как решения задач Коши
vr = ^2, 0г(О)=тг/2, 0,(0) = 0, г = 1,... ,4,
Лг
и названы функциями Васина. Эти функции считаются в модели материальными функциями. Они не зависят от геометрии траектории деформации и отвечают свойствам материала. Основными характеристиками этих функций являются величины Лг, i = 1,..., 4, определяющие пластические следы упругих состояний. Из (5) следуют аналитические представления предельных значений углов 0i(s), i = 1, 2, 3:
Л42 Л32Л42 Л22Л32Л42
Ctg03(s) ->■ Ctg02(s) ->■ 3 4 =,Ctg0i(s) ->■ --2 3 4 s ^ ос.
Лз A2VA34 + A44 А1уА24(Аз4 + А44) + Аз4А44
Уравнение (3) интегрируется, в результате чего образуется новый комплект модулей-функционалов
Q2 = (q1 + f/i—У F2 = f Fl + иъ W,
\ K2) V K3)
которые входят в итоговую формулу для вектора напряжений ä(s) из [3]. Там же имеются и точные представления для функционалов Qi/E, Fi/E, Ui/E, W/E через функции (5). Таким образом, имеем два эквивалентных представления вектора напряжений через функции Васина. В результате интегрирования уравнения (3) в работе [3] получено явное представление диссипативных напряжений
Ís s s s ^
Jed^ + /ñi + Jfh + Jus d^- . (6)
00 0 0 )
Напомним, что при заданных функциях Vi(s),..., V4(s) для определения отклика материала на процесс сложного нагружения по пятимерной траектории деформации с произвольными кривизнами Ki(s),..., K4(s) выше построены явные соотношения (2)-(6).
2. Плоские траектории деформации постоянной кривизны. Математическое моделирование процессов сложного нагружения с плоскими траекториями деформации постоянной кривизны включает скалярные и векторные соотношения
7E(s)cki(s) _ г \пг- -\ т/ feos OA I f cos0i
a(s) = s.n0i , a = 7E«i(s) (Vim - n2), Vl es ^ j , ai(s) es exp ^ J -^ds
E •(*) = ^^ - E (Ж1(1 + V?) + Vf)} , E(s) = (1 + CiW)^, P = 2G = const, (7)
s
ад = §-о (<70 - QoSo) + Q(s)e(s) +ap(s), ap(s) = -E J ed , = 7«i (V? + *i(l + V2)) .
0
Явное представление вектора напряжений из группы формул (7) выделяет из состава напряжений накапливаемые вдоль траектории деформации диссипативные напряжения ар, которые являются решениями дифференциального уравнения
(y) = {vr + 3*1 Vi+ (1 + V?)} . (8)
Правая часть этого уравнения зависит не только от траектории деформации, но и от функции Vi, которая входит в него со второй производной. Поскольку эта же функция одновременно входит и в первое уравнение для вектора напряжений из группы формул (7), то ее естественно включать в состав параметров состояния. Возникает противоречие, которое можно устранить, подчинив универсальную зависимость Васина дифференциальному уравнению второго порядка
cos 9\ \ ** 1 sin вг ) ~ Л?
с постоянным (или переменным) пластическим следом Ai. В этом случае в правую часть уравнения (8) войдут только пластический след и характеристики геометрии траектории деформации, а уравнение для угла примет вид
cosв1 s2 л , . п is2
= ТГГ2' = 77 - arctan ТТТ2
sin di 2A2' 1W 2 \2Ai
Данная зависимость угла от длины дуги траектории деформации считается универсальной материальной зависимостью — свойством материала.
Для траектории деформации постоянной кривизны на плоскости E2 строим репер Френе и, представив в этом репере направляющий вектор напряжений, получим
Щ = (cos a, sin а), йг = (— sin а, cosa), ña = (cos($i — а), — sin(0i — а)), а = ж\8.
Эта формула показывает, что, в отличие от траектории нулевой кривизны, где угол в i изменяется в диапазоне 0 ^ в1 ^ п/2, на траектории постоянной кривизны диапазон изменения угла сокращается и имеется предельное значение eis. Это значение достигается там, где величина a(s) догоняет текущее значение угла сближения направляющих векторов напряжений и деформации ei(s). Для определения этого стационарного значения угла получаем нелинейное уравнение
в и = >íiAia/2 ctg 0is.
Нетрудно видеть, что на отрезке изменения угла имеется единственное решение этого уравнения. Это решение определяет стационарное состояние, которое является также стационарным решением дифференциального уравнения для угла в1 (s):
01 = — — sin 01 = 0. а
Это решение определяет стационарное значение функционала и новое дифференциальное уравнение для угла:
= |L). (9)
V Sin eisj
Новое уравнение для угла в! корректирует универсальную зависимость: после излома траектории деформации на угол п/2 угол ei(s) уменьшается только до предельного значения. Далее угол сохраняет свое значение вдоль траектории. Поскольку стационарное состояние является устойчивым, то при любых начальных условиях углы стремятся к предельному режиму сверху или снизу. Это существенное изменение фазовой картины (9) вводит на траекториях деформации постоянной кривизны
новые универсальные материальные зависимости 01(5). Отметим, что в экспериментах В.Г. Зубчани-нова [4] предельные состояния на круговых траекториях хорошо видны. Имеющиеся там экспериментальные данные позволяют калибровать двумерную теорию сложного нагружения с траекториями деформации постоянной кривизны. Так, для стали 40Х оказалось, что параметр А1 = 3.9 е — 3, а траекториям деформации в виде окружностей с кривизнами 166, 66.7, 22.2 соответствуют предельные значения углов 0.85, 0.50, 0.24 рад. Таким образом, на траекториях деформации постоянной кривизны универсальная зависимость Васина используется на первом участке траектории длиной
А1 ,
Уравнение для метрики в (7) (в приближении Р = 2С) интегрируется с результатом
s
«iW 7 J y/l+WWff
и дает формулу для напряжений a(s) = 7(1 + Ci(s)), откуда следует, что при небольших значениях s/Ai имеем Sai/sin $1 ~ 1, а ~ сто с дальнейшим выходом на зависимость a(s) = сто + 2Gs. Поведение скалярных параметров процесса деформации соответствует данным [4] в экспериментах с круговыми траекториями деформации, где после переходного процесса длиной порядка двух-трех Ai
траектории деформации.
3. Трехмерные траектории деформации постоянной кривизны. В этом случае траектория деформации имеет два постоянных параметра — кривизну к и крут к v к2. В процессе деформации
£1 = £10 + ccos(a), e3 = csin(a), е2 = a (J^ + kir^J + ,
где c, а = const, k целое, рассматривается задача
= 7a2(s) {V* + + , | = 7a2(s) (~V¿ + - x2(l + V22)) ,
— / \ w 4 , Wл,- л,- . _ Ч ф) 7«2(s) , . . . sin 6»! Sin 6>2
*{*) = 7 S(e)a2W (Vini - V2n2 + ns),W)= ВД = (1 + Ci«) ^ ,
Г, Ъ = Щ =
sin $1 sin $2 sin $2 S J \SJ J к1 V S /
оо
При заданных углах в i, в2 она определяет отклик материала на заданный процесс деформации s(s).
Вычисляем векторы репера Френе для винтовой траектории деформации и подставляем их в выражение для направляющего вектора напряжений в репере Френе:
ña = cos^iñi — sin0i(cos02ñ2 — sin02ñ3).
Получим трехмерный вектор
ña = sin sin02 í Acos(a — ao), —, ( V\ + — ) , Asin(a — ao) ) ,
^ V*2 + к2 V K2/ J
\r 2 / \ 2
V2 ,2_ к2 Л К1 т/ 1 , T/2
ao = arceos —, A = 0 —„ 1--Vi +V9.
A k2 + H%\ K2 ) 2
Эти соотношения, как и раньше в двумерном случае, приводят к стационарным режимам для углов $1, $2 • Получаем нелинейное уравнение
eos + ]jl +
2 / \ \ 4 / л \ 2
/ A2 ^ /1 к1 4
к2 + к2 V A1) V V1 К2
т^ т^-— =1
из которого находим стационарное значение V и угол 015. Для установления вида скорректированных зависимостей углов 01,02 от длины дуги траектории деформации решаем систему дифференциальных уравнений
01 = Ж\ (cos 02 - COS 02 s 4—TT" ) V sin 0isj
А Л Sin 01s Sin 02.Л Sin 02 (10)
02 = 1--r-7-- Kl -T—pr (COS 01 - COS 6и) ,
\ Sin 01 sin 02 J sin 01
01 (0)= n/2, 02(0)= n/2.
Данные зависимости корректируют соответствующие функции Васина в процессах сложного нагру-жения по винтовым траекториям деформации в E3. Универсальные функции Васина и в данном случае определяют стационарные состояния 01s, 02s. Более того, при сложном нагружении по винтовым траекториям деформации в пространстве E3 за переходным процессом длиной порядка следа запаздывания формируется установившийся режим (10), повторяющий геометрию процесса деформации. Этот результат полностью соответствует экспериментам Васина и др. [5].
4. Применение модели для винтовых траекторий деформации в E5. В [2, 6] получено уравнение линии постоянных кривизн в пространстве E5 в специальном ортонормированием репере, который зависит от кривизн траектории деформации К1,..., к и в котором уравнение линии постоянных кривизн в пространстве E5 имеет канонический вид
ё = Д [ei(coso; — 1) + ёз sina] + Б [e4(cos/? — 1) + 65 sin/?] + ^-аёг, a = k\s, /3 = k2s, (11)
k1
где
1
к\ = ~{ж1 + ж1 + ж1 + ж1 + ^(ж\ + ж1 + ж1 + ж^)2 - 4{ж\ж1 + ж\ж\ + xfxf)), kl = ]-{ж1 + ж1 + ж1 + ж2а- ^(ж{ + ж1 + ж1 + х|)2 - 4{ж\ж1 + ж\ж\ +
2
Находим репер Френе на пятимерной винтовой линии (11), подставляем его в разложение направляющего вектора напряжений в репере Френе. Получаем пятимерный вектор с компонентами
К5 = ъта{-Ак1[У1 + ^+К1И^
К2 Ж2Ж4) \KiK2 Ж1Ж3Ж4 \ К2) Ж1Ж2Ж4)
-Ак\---)+Acosa¡k¡ (—У2 + —(ж2 + ^) vA - k¡---vA ,
Ж1Ж2Ж3Ж4} у \Ki Ж1Ж3 \ Ж2) ) Ж1Ж2Ж3 J
(1/1^2X4 + V3X1X4 + ж\Жз),
kik2
sino: Akf iv2 + —(ж2 + V4--\ +
I Ж3 \ K2 Ж1Ж2Ж3
k4
M /т/ , Ki K2 K1K3 k2 / K2\ K3k2
+ cos a Ahl < Vi H--V3--— V3 H----±— ж2 H-----L--h
[ K2 KiK2 K2K4 KiK3K4 \ K2 ) KiK2K4 KiK2K3K4
Приведены только три первые компоненты, поскольку четвертая и пятая получаются из первой и третьей заменой в них A на B, ki на k2. Структура вектора позволяет преобразовать его к виду
sin 0i... sin 04 {cos(a — а0), C , sin(a — a0), cos(e — в0), sin(e — в0)} ,
где
С = sin 01 . . .sin 04, 7 (V1X2XA + V3X1X4 + Ж1Ж3). ki k2
Обозначим
KiK2 K2K4 Ki K2 K3 K4
К1 K1K3 |Д K2) K2) v A A
Поскольку материальные функции Васина связаны друг с другом посредством следовых реакций A¿, любые три функции могут быть выражены через одну например
i 2 л 2 \ 2
v2 = ^vb v3 = t¿vu v4 = -ív1.
A2 A3 A4
Тогда получим два нелинейных уравнения
U A2 , B2
COSÁIS = —, COSÁIS = —,
A B
которые определяют стационарные состояния ,..., , стационарные значения углов и функционалов, а затем и системы уравнений для углов 01,..., 04 :
oía a sin 01
01 = К\\ COS 02 — COS 02s~
'sin 0
1s
ü sin 02 , , f sin 02 sin 01s
#2 = >il———(COS 0is — COS 0i) + K2 COS 03 — COS 03s-
sin 01 \ sin 02s sin 01
oía sin 01s sin 02s sin 03 \ sin 03/ sin 01s .
03 = >Í3 COS 04--—--—--——COS 04s + . n COS 02s - COS 02 , (12)
sin 01 sin 02 sin 03s sin 02 sin 01
• / sin 01s sin 02s sin 03 sin 04s \ , sin 0^ sin 01s sin 02s л л
04 = X4 1--—ü--—ü--—ü--r-7- + --Г-7- COS 03s - COS 03
sin 01 sin 02 sin 03s sin 04 sin 03 sin 01 sin 02
Система уравнений (12) имеет точки покоя, которые являются горизонтальными асимптотами зависимостей углов от длины дуги, и ее можно интегрировать при любых начальных значениях углов из диапазона от 0 до п/2. Эта система дает два комплекта функций 01(s),..., 04(s), которые корректируют функции Васина на соответствующих участках траектории деформации в пятимерных процессах сложного нагружения с траекториями деформации постоянной кривизны.
5. Выводы. Предложенный подход к математическому моделированию процессов сложного нагружения с траекториями деформации произвольной кривизны является отдельным вариантом теории упругопластических процессов. В работе получены следующие результаты:
1) даны постановки задач математического моделирования процессов сложного нагружения с траекториями деформации произвольной кривизны в пространствах различной размерности от двух до пяти;
2) на траекториях постоянной кривизны показана роль универсальных функций Васина в моделировании процессов сложного нагружения с траекториями деформации постоянной кривизны и реализованы алгоритм и метод корректировки универсальных функций, обеспечивающие их выход на стационарные режимы (если они имеются); это явление, в экспериментах называемое стабилизацией, хорошо заметно в опытах с круговыми и винтовыми траекториями деформации [4, 5];
3) все скалярные и векторные дифференциальные уравнения, входящие в постановки задач, точно проинтегрированы, за исключением процедуры корректировки универсальных функций;
4) установлены определяющие функционалы-модули, входящие в постановки задач, даны их явные выражения через функции Васина.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Молодцов И. Н. Прикладные вопросы теории упругопластических процессов A.A. Ильюшина // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2020. № 5. 33-38.
2. Ильюшин A.A. Пластичность. М.: Изд-во АН СССР, 1963.
3. Молодцов И. Н. Теория пятимерных упругопластических процессов средней кривизны // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2022. № 2. 39-45.
4. Зубчанинов В. Г. Механика процессов сплошных сред. М.: Физматлит, 2010.
5. Вавакин А. С., Васин Р. А., Викторов В. В., Широв Р. И. Экспериментальное исследование упругопласти-ческого деформирования стали при сложном нагружении по криволинейным пространственным траекториям деформаций. Деп. в ВИНИТИ 16.10.86. № 7298-В86. М., 1986.
6. Молодцов И. Н., Бабаева Д. О. Некоторые математические модели упругопластических процессов сложного нагружения // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2018. 22, вып. 2. 19-36.
Поступила в редакцию 08.11.2021
УДК 532.517
ЛИНЕЙНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СТРАТИФИЦИРОВАННОГО ТЕЧЕНИЯ ДВУХ ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ
О. А. Логвинов1
Проанализирована устойчивость к малым возмущениям двухслойного параболического течения в плоском канале. Дисперсионное соотношение между длиной волны возмущения и интенсивностью его нарастания справедливо во всем диапазоне волновых чисел при малых и умеренно больших числах Рейнольдса. Полученные результаты согласуются с известными выводами асимптотической теории. Кроме того, выявлен новый эффект для течений, обладающих помимо стратификации вязкости еще и стратификацией плотности. Соответствие экспериментальным данным приемлемое.
Ключевые слова: стратифицированное течение, линейная устойчивость, уравнение Орра-Зоммерфельда.
Stability to small perturbations of two-layered parabolic flow in a plane channel is analyzed. The dispersion relation between a disturbance wavelength and its growth rate is valid in the whole range of wavenumbers and for moderately large Reynolds numbers. The results coincide with known asymptotic theory conclusions. Besides, a new effect for flows not only with viscosity-stratification but also with density stratification is revealed. The agreement with experimental data is acceptable.
Key words: stratified flow, linear stability, Orr-Sommerfeld equation.
Введение. Течения со стратификацией вязкости возникают в различных природных и промышленных процессах: при движении магмы в земной коре или лимфы по сосудам, при входе спускаемых аппаратов в атмосферу или транспортировке жидких полезных ископаемых по трубопроводам. Вязкость в таких течениях может претерпевать скачок (для несмешивающихся жидкостей) или меняться непрерывно вместе с температурой или концентрацией [1].
Возможна промежуточная ситуация, при которой жидкости смешиваются, но граница между ними размывается слабо (числа Пекле велики). В настоящей работе рассматривается подобное двухслойное стратифицированное течение двух вязких, плохо смешивающихся жидкостей в плоском канале с жесткими стенками, когда на межфазной границе отсутствуют силы поверхностного натяжения.
Исследования линейной устойчивости подобной границы обычно начинаются с выделения стационарного решения, соответствующего течению с кусочно-параболическим распределением скорости по поперечной координате. Задача на малые возмущения в плоском канале для подобного течения сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению Орра-Зоммерфельда, которое решается аналитически при помощи асимптотических методов или интегрируется численно.
В пионерской работе [2] упомянутое уравнение Орра-Зоммерфельда исследовалось аналитически в длинноволновом приближении. Собственные функции раскладывались в ряд по степеням малого безразмерного волнового числа (точнее, малым должно быть его произведение на число Рейнольдса) . Интенсивность роста возмущений на межфазной границе оказалась строго положительной и пропорциональной числу Рейнольдса. Таким образом, впервые теоретически была показана возможная неустойчивость границы раздела двухслойного параболического течения для сколь угодно малых чисел Рейнольдса.
1 Логвинов Олег Анатольевич — канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: oleglogvinovQmail.ru.
Logvinov Oleg Anatol'evich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Leading Scientific Researcher, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Gas and Wave Dynamics.
