К вопросу об определяющих законах связи общей математической теории пластичности Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

УДК 539.3 DOI 10.18522/1026-2237-2020-2-48-52

К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ЗАКОНАХ СВЯЗИ ОБЩЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

© 2020 г. В.Г. Зубчанинов1

1 Тверской государственный технический университет, Тверь, Россия

TO THE QUESTION OF DETERMINING LAWS OF COMMUNICATION GENERAL MATHEMATICAL THEORY OF PLASTICITY

V.G. Zubchaninov1

1Tver State Technical University, Tver, Russia

Зубчанинов Владимир Георгиевич - доктор технических наук, профессор, кафедра сопротивления материалов, теории упругости и пластичности, Тверской государственный технический университет, наб. Афанасия Никитина, 22, г. Тверь, 170026, Россия, е-mail: vlgzub@gmail.com

Vladimir G. Zubchaninov - Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Materials Resistance, Theory of Elasticity and Plasticity, Tver State Technical University, Afanasiya Nikitina Emb., 22, Tver, 170026, Russia, e-mail: vlgzub@gmail. com

Обсуждается вопрос о достоверности и пределах применимости общих законов математической теории пластичности. В новом направлении теории пластичности, теории процессов упругопластического деформирования, приводится постулат изотропии, устанавливающий инвариантность связи между напряжениями и деформациями. Однако эта инвариантность при ортогональных преобразованиях образа процесса и его векторов в линейном координатном пространстве может быть нарушена в связи с изменением инвариантов вида напряженно-деформированного состояния. Однако многочисленные опыты показывают, что влияние этих инвариантов является слабым и им можно пренебречь.

В теории течения основной гипотезой является предположение о разложении полных деформаций на упругие и пластические части. Такое разложение при сложном нагружении невозможно и противоречит понятию о полном и неполном пластическом состояниях материала. В работе показано, что теория течения является частным случаем теории процессов. Получен расширенный вариант теории течения, который может быть использован для траекторий деформирования средней кривизны, позволяющий использовать в теории течения гипотезу о разложении полных деформаций.

Ключевые слова: упругость, пластичность, постулат изотропии, процессы деформирования, инварианты, напряженно-деформированное состояние, определяющие соотношения, сложное нагружение.

The paper discusses the question of the reliability and applicability of the general laws of the mathematical theory ofplasticity. In a new direction of the theory of plasticity (the theory of elastic-plastic deformation processes) the isotropy postulate is given, which establishes the invariance of the connection between stresses and strains. However, this invariance during orthogonal transformations of the image of the process and its vectors in the linear coordinate space can be violated due to a change in the invariants of the form of the stress-strain state. However, numerous experiments show that the influence of these invariants is weak and can be neglected.

In the theory of flow, the main hypothesis is the assumption of the decomposition of total deformations into elastic and plastic parts. Such decomposition under complex loading is impossible and contradicts the concept of the complete and incomplete plastic states of the material. This article shows that the flow theory is a special case of the theory ofprocesses. An extended version of the theory of flow is obtained, which can be used for medium-curvature deformation trajectories, and which makes it possible to use the hypothesis of decomposition of total deformations in the theory of flow.

Keywords: elasticity, plasticity, isotropy postulate, deformation processes, invariants, stress-strain state, defining relations, complex loading.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

Для девиаторов напряжений (Stj) и деформаций ( Э I j) их компоненты определяются формулами Su = оу,- — Оп8

Ouij

Э ij — £ij £0Sij-

Инварианты девиатора напряжений

(Ji = = S1± + S22 + S33 = 0<

IJ2 — SijSij

= СТ2,

ьз — Ы —

СГ3 COS 3(р

где

Тензоры напряжений, деформаций и их инварианты

Напряженно-деформированное состояние

(НДС) в точке тела, отнесенного к декартовой системе координат хI, I = 1 ,7,3, в физическом пространстве известно, если заданы компоненты Оу и тензоров напряжений (о^) и деформаций (е^) как непрерывные функции координат этих точек х ^ и времени С. Геометрически тензоры (оу) и (£0) в данных точках могут <т = " ЪгУ + (<т22 - <733)2 + (<т33 - аг1У + 6(а?2 + <т|3 + о^) -

быть представлены в виде тривекторов 5 I = оу¡еу, Е I = £уIеу, I,] = 1,7,3, на трех взаимно ортогональных площадках, где { е - ортонорми-рованный координатный репер.

Вектор напряжений 5п в той же точке на площадке с нормалью п = п¡е^ представляется формулой Коши

5п = 5 ьп I = Хье Х1 = оцПу (1)

При ортогональном преобразовании координатного репера с помощью матрицы имеем е е ,

При неизменном векторе и тензоре напряжений в целом длина вектора сохраняется. Поэтому Х■ Х■ = (IиХу)(11кХк) = Ху8]кХк, откуда

I 1к = $к, 1,],к = 1,7 ,3 . (2)

Соотношение (2) показывает, что при ортогональном преобразовании координатного репера он остается ортонормированным. Направление вектора , при котором он совпадает с направлением нормали п, называют собственным направлением, а сам вектор - собственным или главным

вектором напряжений. В этом случае 5п Опп ОП^1 ¡п1е V

модуль девиатора; р - угол вида напряженного состояния формоизменения. Аналогичные соотношения имеют место и для тензора деформаций.

Решение кубического уравнения (4) для собственных значений напряжений имеет вид ' (2

СГ-1 = СГп +

■ о cos р г

О) = СГп +

а3 = а0 +

Per cos

Per cos

(т-v).

Критерии пластичности Мизеса - Надаи 1

VT

а — ^С2 + О2 - 03)2 + СO3 - Ol)

2 —

= =

(3)

Сравнивая (3) и (1), получим систему уравнений

( Оу - Оп8и)пу = 0, ПуПу = 1 , (4)

для которой определитель | о ^у — оп8 ¡у1 = 0 .

Раскрывая его, получаем характеристическое уравнение

Оп — кОп + кОп — ¡3 = 0 , (5)

где коэффициенты - инварианты

(к = = ^ + а2 + а3 = За0,

I /у = а, , ап

где - предел текучести при растяжении.

Если в точке тела реализуются процессы деформирования и нагружения, то компоненты тензоров (тривекторов) и вектора 5 п изменяются. Вектор 5п изменяет свое направление и модуль. В этом случае все три инварианта НДС изменяются. При простом нагружении все компоненты тензоров изменяются пропорционально одному параметру, например времени С. В этом случае направляющие тензоры удовлетворяют равенствам

- = —, $ ¡=1Ъ I и (6)

а э > I] э у; V /

где является универсальным

законом (единой кривой упрочнения материала);

- пластический модуль сдвига.

Параметры вида НДС: с о в 3 р = с о в 3 гр , р = тр , а третьи инварианты вида формоизменения

— Wij] — °1°2°3-1 1

Здесь o0—-Oi i—- cOi + O2 + 03) ,

1 COS3c'P

5 Л — |Э ij

|

Э COS3ip

3V6

пропорци-

$ = ^ ОцОц = ^о^ + о2 + о2 - среднее нормальное напряжение и модуль тензора напряжений соответственно.

]п = = ^ 3^6

ональны Уз = ( 7 вр) У| .

Это означает инвариантность закона (6) при ортогональном преобразовании тривектора.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

А.А. Ильюшин [1] при сложном нагружении предложил принять закон связи напряжений и деформаций в тензорном виде

{rlnЧ - •

с _у4 А d dIJ ■ .■ _ 2 о с ij _ An=О Ап dsn 'J _ 1 ,2, о, (7)

а0 = 3 Ks0,

где К - объёмный модуль. В этом случае при ортогональном преобразовании координат и координатного репера {e i} сохраняются все три инварианта тензоров, от которых зависят коэффициенты Ап. Однако при фиксированной координатной системе, но ортогональном преобразовании тривекторов и Sn уравнение (7), вообще говоря, изменяется, что означает некоторую проблему в теории пластичности.

Векторы напряжений и деформаций в линейном координатном шестимерном Е 6 пространстве

А.А. Ильюшин [1] для наглядного геометрического отображения векторных свойств материалов в процессах деформирования и нагружения предложил представить тензоры , в виде векторов напряжений и деформаций :

e , e , , где e - орто-

нормированный координатный репер, Х± = alv Х2 = а22, Х3 = а33,

Х4 _ V2а1 2 , Х5 _ V2а2з , Х6 _ 42а12, Y1 = е11; Y2 = е22, F3 = е33,

Y 4 _ V2 £i2, Y5 _ V2 £23, Y6 _ V2 £i3. Условием тождественности было принято равенство модулей тензоров и векторов Х1Х1 _ GljGlj _ S2 , YiYi _ £ij£ij _ E2. При ортогональном преобразовании координатного репера с матрицей А ( а ij) длины векторов S и E сохраняются. Поэтому Х[ _ aijXj, Х[Х[ _ XjXj, или , откуда сле-

дует соотношение

аijaiк _ Sjk, i,j, к_1,2,...,6. (9)

Соотношение (9) показывает, что при преобразовании сохраняются ортонормированность координатного репера и длина (второй инвариант) вектора.

Для полной физической тождественности тензоров и векторов в необходимо отметить, что в , как и в физическом пространстве, не может быть более трех собственных значений напряжений и деформаций [2, 3]. Сам А.А. Ильюшин утверждал, что все три инварианта в физическом пространстве остаются инвариантами и в линейном координатном пространстве при ортогональном преобразовании векторов и тензоров. Поэтому в вместо определяющих соотношений (4), (5) в фи-

зическом пространстве получаем соотношения в форме [4]

~laij-XSij] _ 0 , Л6 - МгЛ5 + М2Л4 - М3Л3 + М4Л2 - М5Л + М6 = 0.

Данное характеристическое уравнение определяет собственные значения. В общем случае тензоров второго порядка действительных собственных значений может быть не более шести. Коэффициенты , , содержат главные миноры матрицы А (а ij) ортогонального преобразования. Однако из физических соображений тождественности векторов и тензоров напряжений и деформаций ясно, что их может быть не более трех в E6. Это значит, что три инварианта тензоров в физическом пространстве остаются инвариантами векторов и в линейном пространстве E6 [2]. При ортогональном преобразовании векторов S и Э с помощью матрицы при неизменном координатном репере e , , имеем

Х\ _ ßijKj, Х\х1 _ ХjХj, i,j _ 12,.■ ■,6 ,

Х[Х[ _ (ßijXj)(ßikXk) _ XjSjkXk, i,j,к _1,2.....6 ,

откуда получаем соотношение

ßijßik_8jk, i,j,k _ 1,2.....6 . (10)

Сравнивая (8)-(10), видим, что aij _ ßij, т.е. матрицы преобразования координатного репера и вектора совпадают. Однако во втором случае преобразования вектора напряжений совпадают только модули вектора и тензора. Первый и третий инварианты тензоров и вектора изменяются. Аналогично для вектора деформации. А.А. Ильюшин в совмещенном пространстве ввел понятие образа процесса деформирования, под которым понимаются траектория деформирования, описываемая концом вектора E в E6 (либо Э в E5), и построенные в каждой ее точке векторы напряжений (либо в ), а также приписанные к ним скалярные параметры (температура , давление и др.). В каждой точке траектории строится также подвижный линейно независимый ортонормиро-ванный репер Френе - Ильюшина {Pk} , орты которого удовлетворяют рекуррентным формулам [2, 5, 6]

^ _ -Kk- i Pk - l+XkPk+ъ к _ 1,2^■ ■,6, откуда

dЭ _ i d 2Э P l_ — , P 2 _ ---,

ds ds2

d3 d l d23\ K2 P3_Kl-+-s --)•

ds +ds у 1 ds2 )

Разлагая векторы a, dа/ds в этом репере, получаем определяющие уравнения связи напряжений и

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

деформаций. Удобнее это сделать в девиаторном подпространстве Е5. Учитывая упругий закон Гука для объемной деформации, получаем а0 = 3 К £0, а = Ркрк,

^ = ПРк, к = 1,2.....5.

(11)

Соотношения (11) выражают собой постулат изотропии для начально изотропных сред: соотношения (11) связи между напряжениями и деформациями и их образ процесса инвариантны относительно ортогональных преобразований вращения и отражения в Е6 и Е5. Постулат определяет векторные свойства материалов, а коэффициенты в (11) зависят от инвариантов НДС. Однако при ортогональном преобразовании образа процесса как жесткого целого может измениться НДС. Это означает, что соотношения (11) могут потерять свою инвариантность при реализации сложных процессов деформирования и нагружения.

Между тем экспериментальные исследования многочисленных конструкционных материалов по проверке постулата изотропии показали, что влияние изменения вида НДС и их инвариантов при ортогональных преобразованиях является слабым и им можно пренебречь.

Гипотеза компланарности в теории пластичности

Гипотеза компланарности предполагает, что три вектора а, сСа, сС Э всегда лежат в одной соприкасающейся плоскости подвижного репера Френе -Ильюшина координатного пространства. Представим вектор формоизменения [6] в Е6

а = аа = а (с о Бд ^ + б 1 пд 1р2) , (12)

где а - единичный вектор напряжений; д1 - угол сближения; со Бд 1 = а ■ . Дифференцируя (12) по длине дуги траектории деформирования 5 ( ^ , получим

1 а 1а Л 1р

Т=Та+аТ,

ах ах ах

йа ар! п йр2 . п где — = -г^соБдт + -Т^тдт +

ах ах ах

+ (-^ Б 1 П д- + р2СОБд^1^ .

<1р ! Л 1р2 Л _ — = *1Р 2, —=-*1Р 1, "2 = 0 ,

(13)

Р2

Sini?!

[Р — р ! С О SU J.

(14)

(15)

-— + Кл =--sin дл,

1. ds а

(16)

где М 1 (б,к ^ , а = Ф (б,к1 ) - функционалы процесса деформирования.

Первое выражение из (16) можно представить также в виде

^ ¿Э 1 а а ( 1 а ^

Р 1 = — = —-г + (с о б д 1--—) а.

^ «[й \ 1 М1 dsJ

Теория пластического течения является частным вариантом теории упругопластических процессов. Основная гипотеза теории течения - предположение о возможности разложения полных деформаций и на их упругие , и пласти-

ческие , части, т.е.

I] I]

£ц = £§ + £%• Э и = Э ец + Э I. (17)

Полагая в уравнениях (16) М 1 = 2С, где С -упругий модуль сдвига, получим

¿Э

1 da ( „ 1 da\ Л =---Ь ( С О S и ---) Р,

^ 2 G ds \ 1 2 G dsj

I «Mi , 2G . --h Хл =--Sintfi .

v ds a

В соответствии с (17) — — —— —— d3

ds 2G ds' ds , 2G ds

ds

(18)

(19)

( q 1 dffV =( С О SU ---) Р.

v 1 2G dsj

Соотношения (18), (19) - новые в общей теории пластичности. Они следуют как частный вариант из теории процессов упругопластического деформирования материалов при сложном нагружении для траекторий деформирования малой и средней кривизны.

Новые уравнения теории течения содержат параметры сложного нагружения , а также угол сближения , характеризующий векторные свойства материалов.

При свободном пластическом течении а а ,

п — — « ¿Э а

т.е. с о б д 1 = а ■ р 1 = 1 , получаем — = — , или

ds

а = а-

d3

ds

Учитывая (14), (15), из (13) получаем систему общих уравнений для плоских траекторий теории процессов

1т5=м1р1 + {^-м1с О Бд 1)р,

Отметим, что гипотеза о разложении полных деформаций на упругие и пластические при сложном нагружении неприемлема и является проблемной для траекторий большой кривизны.

Заключение

Автор данной статьи в период 1949-1954 гг. учился на физико-математическом факультете по специальности «механика» в Ростовском государственном университете (РГУ). В это же время мо-

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

лодой доцент И.И. Ворович вместе с такими же молодыми доцентами Н.Н. Моисеевым и Л.А. То-локонниковым начали свою научно-педагогическую деятельность на этом же факультете РГУ, приехав из Москвы.

В дальнейшей научно-педагогической деятельности И.И. Ворович был избран академиком РАН, возглавил кафедру теории упругости и стал директором Научно-исследовательского института математики и механики при РГУ. Н.Н. Моисеев был избран академиком АН СССР и РАН и возглавил Вычислительный центр АН СССР. Л.А. Толоконников стал заслуженным деятелем науки и техники и был награжден орденом Ленина за успешную научно-педагогическую деятельность. Таковы были наши учителя на физмате РГУ.

Эта замечательная тройка молодых талантливых ученых-механиков положила начало развитию современной механики в РГУ. Впоследствии возникла известная в стране Ростовская научная школа механики деформируемого твердого тела под руководством академика РАН И.И. Воро-вича.

Иосиф Израилевич Ворович является выдающимся ученым-механиком России. Его научные работы представляют выдающийся вклад в развитие механики и математики в России и СССР.

Мы, студенты 1954 г. выпуска, ученики И.И. Воровича, всегда уважали и любили его за человечность, глубокие профессиональные знания и педагогическое мастерство, за те фундаментальные знания, которые он нам передал.

Помним! Благодарим! Уважаем!

Литература

1. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. 310 с.

2. ИльюшинА.А. Труды (1946-1966). Т. 2: Пластичность. М.: Физматлит, 480 с.

3. Ильюшин А.А. Пластичность. Общая математическая теория. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.

4. Зубчанинов В.Г. Общая математическая теория пластичности и постулаты макроскопической определимости и изотропии А.А. Ильюшина // Вестн. Московского ун-та. Математика. Механика. 2018. № 5. С. 29-45.

5. Зубчанинов В.Г. Устойчивость и пластичность. Т. 2: Пластичность. М.: Физматлит, 2008. 336 с.

6. Зубчанинов В.Г. Механика процессов пластических сред. М.: Физматлит, 2008. 352 с.

References

1. Ilyushin A.A. (1990). Mechanics of a continuous medium. Moscow, Moscow State University Press, 310 p. (in Russian).

2. Ilyushin A.A. (1946-1966). Works. Vol. 2: Plasticity. Moscow, Fizmatlit Publ., 480 p. (in Russian).

3. Ilyushin A.A. (1963). Plasticity. General mathematical theory. Moscow, USSR Academy of Sciences Press, 272 p. (in Russian).

4. Zubchaninov V.G. (2018). General mathematical theory of plasticity and the postulate of macroscopic definiteness and isotropy of A. A. Ilyushin. Vestn. Moskovskogo un-ta. Matematika. Mekhanika, no. 5, pp. 29-45. (in Russian).

5. Zubchaninov V.G. (2008). Stability and plasticity. Vol. 2: Plasticity. Moscow, Fizmatlit Publ., 336 p. (in Russian).

6. Zubchaninov V.G. (2008). Mechanics of plastic media processes. Moscow, Fizmatlit Publ., 352 p. (in Russian).

Поступила в редакцию /Received_4 апреля 2020 г. /April 4, 2020