ПРИКЛАДНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ А.А. ИЛЬЮШИНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика

УДК 539.3

ПРИКЛАДНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ A.A. ИЛЬЮШИНА

На основании анализа экспериментальных результатов процессов сложного нагру-жения по винтовым траекториям деформаций выяснено, что отклик на винтовую траекторию деформации, следующую за простым нагружением, принимает по исчерпанию некоторого следа вполне определенную форму предельного режима, т.е. имеет место соответствие геометрии траектории деформации и формы отклика. Рассматривается вариант определяющих уравнений для описания процессов сложного нагружения с траекториями деформаций произвольной геометрии и размерности. Получены векторные определяющие уравнения и система дифференциальных уравнений для четырех углов из разложения направляющего вектора напряжений в репере Френе. Доказано, что вектор напряжений представляется в виде суммы трех слагаемых: быстро затухающих пластических следов упругих состояний, мгновенных откликов на процесс деформации и накапливаемых вдоль траектории деформации необратимых напряжений. Построен новый метод математического моделирования пятимерных процессов сложного нагружения, аттестованный на двух и трехмерных процессах.

Ключевые слова: сложное нагружение, определяющие соотношения, траектория деформаций и отклик, теорема изоморфизма, калибровка функционалов.

Based on the analysis of the experimental results of the complex loading processes along the helical deformation trajectories, it is found that the response to the helical deformation trajectory takes a certain form of a limiting regime after the simple loading and after the exhaustion of some trace; in other words, the correspondence of the geometry of the deformation trajectory and the shape of the response takes place. A new form of constitutive equations are considered to study complex loading processes with deformation trajectories of arbitrary-geometry and dimension. Some vector constitutive equations and a system of differential equations for the four angles of the stress vector decomposition in the Frenet frame are obtained. It is shown that the stress vector is represented as the sum of the following three components: the rapidly decaying plastic traces of elastic states, the instantaneous responses to deformation processes, and the irreversible stresses accumulated along a deformation trajectory. A new method of mathematical modeling of five-dimensional processes of complex loading is proposed and substantiated for two- and three-dimensional processes.

Key words: complex loading, constitutive equations, deformation and stress trajectories, theorem of izomorphism, calibration of functionals.

1. Основные уравнения. Хорошо известной в теории упругопластичеких процессов является так называемая формула A.A. Ильюшина [1]:

где ё, <т — пятимерные векторы деформации и напряжений, построенные на основе девиаторов соответствующих тензоров; — длина дуги траектории деформации; па — направляющий вектор напряжений; Р^ — определяющие функционалы.

В двумерном пространстве деформации Е2, где согласно Френе

1 Молодцов Игорь Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mechmathmsuQmail .ru.

Molodtsov Igor Nikolaevich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theory of Elasticity.

И. H. Молодцов

l

(1)

na = COS 9\П\ — sin в\П2

уравнению (1) соответствует одно скалярное уравнение для угла в\:

01 = XI - -sinвъ (2)

а

Все величины здесь являются функциями длины дуги траектории деформаций s, к (s) обозначает кривизну траектории деформации. Производные величин по длине дуги в (1) были выписаны явно, но далее для компактности формул заменяются точкой. Интегрируем уравнение (1) подстановкой <т = Е (<j/E) . Тогда получим, что при условии

IdE Ida Q

--COS в\ (б)

Е ds a ds а

уравнение интегрируется:

s

ä(s) = J^ - Qoeo) + Q(s)£(s) - s Jed

(4)

Формула (4) представляет решения (1) в виде суммы трех слагаемых. Первое из них отвечает влиянию на напряжение в некоторой точке траектории деформации истории, т.е. деформации и напряжений в начальной точке процесса. Согласно принципу запаздывания векторных свойств A.A. Ильюшина, это влияние ограничено некоторым малым следом запаздывания. Это означает, что первое слагаемое является быстро затухающим пластическим следом упругих состояний и ответственная за это скалярная функция E(s) также должна затухать. Второе слагаемое соответствует мгновенному отклику напряжений на процесс деформации в той же точке, а третье суть накапливаемые вдоль траектории деформации необратимые напряжения:

ap(s) = —Е J ed

Функция Е имеет смысл метрики, и уравнение (3) связывает между собой три функции $i(s), <(s), E(s). В нашем рассмотрении это уравнение будет использовано ниже как уравнение для <(s). Изменение метрики происходит с момента начала изменения пластической деформации, и поэтому функция E(s) в нашем случае ассоциирована с пластичностью.

Дифференциальное уравнение (3) преобразуется с помощью формулы (2) для исключения функционала Q:

Е <7 (sin 91) cos в1

т; = ~ Н--:—7--• Q ;

Е 7 Sin в1 Sin в1

после чего интегрируется с результатом

Е 7 sin в1 ( ¡' cos в1 , .

=--ехр - / iti-—- ds . (5)

Ео <о sin вю I J sin в1

Мы получили два основных уравнения модели — уравнение (2), которое будет использовано для калибровки функционала Q, и уравнение (5) для вычисления <(s). Третье уравнение получается дифференцированием формулы для 7p(s):

Ё

= Ё + ^ ~ ^

Это уравнение после преобразований определит зависимость и собственно уравнение для ар.

Е.

убывающей, но в остальном она пока произвольна.

2. Общий случай пятимерного процесса деформации. В пункте 1 мы построили три вида соотношений, которые решают двумерную задачу, т.е. задачи калибровки функционала и нахождения зависимостей <(s) и e1(s). Поэтому и в случае пятимерных процессов деформации ставится

задача отыскания определяющих уравнений, приводящих к системе уравнений для углов репера Френе, в каждое из уравнений которой входит единственный функционал. В этом случае задача калибровки функционалов будет максимально простой. Рассматриваем пятимерное пространство девиатора деформации с репером, состоящим из направляющего вектора напряжений и еще четырех векторов, построенных на основе ортов репера Френе:

_ _/ _ ñ\ — eos 9\ña sin #1

_/ _ ñ2 - {ñ2,ña)ña - (ñ2,ñ'i) п[ n2 = : л i

sin #2

_, _ ñ3 - (ñ3,ña)ña - (ñ3,ñi) ñ[ - (ñ3,ñ'2) ñ'2 _/ _ Щ - (ñ4,ña)ña - (ñ4,ñi) ñ[ - (ñ4,ñ'2) ñ'2 - (ñ4,ñ'3) %

nA = : 7¡ )

sin #4

ña = eos 9\ñ\ — sin 9\ (eos 02ñ2 — sin 02 (eos 93ñ3 — sin 93 (eos 64ñ4 — sin 64П5))).

Определяющие уравнения в пятимерном пространстве выбираются по аналогии с трехчленной формулой A.A. Ильюшина и имеют вид

па = — sin Oin'i + — sin в2П2 + — sin в3п'3 + — sin в4п'4. a a a a

(7)

Кроме четырех определяющих функционалов Q,F,U,W в уравнение (7), в выражение производной направляющего вектора напряжений, неявно входит функционал P, отвечающий за скалярные свойства материала. Как и выше в двумерном случае, в пространствах высокой размерности строим уравнения для углов, аналогичные (2). В пятимерном пространстве напряжений результат приводит к системе дифференциальных уравнений для четырех углов разложения вектора напряжений в репере Френе:

в\ = cos в2 — — sin в\, а

a a c°s #1 • а 1 F sin #2

6>2 = >Í2 COS 6>3 - Kl . Sin 6>2 H---r^T,

sin #1 a sin #1

a n cos #2 . . U sin #3

93 = X3COS04 - Sin 03---———

sin #2 a sin #1 sin #2

• cos #3 W sin #4

6*4 = K4 — K3 ——— Sin (74 +

(8)

' sin 03 a sin Q\ sin 02 sin 03

Система уравнений (8) решает поставленную выше задачу. В каждое из ее уравнений входит один функционал, и он легко этим уравнением определяется. В пятимерном пространстве деформаций E5 уравнения (7) при условии

£ a sin #1 sin #2 sin #3 sin #4 If cos #4 ,

exp \ — щ ——— as

£0 ao sin #1o sin #20 sin #3o sin #4o

повторяющем формулу (5) в E2, упрощаются:

sin #4

(9)

-Qi , _ Fi , _ f/i , _ W

ni— + n2Y + n3Y n4Y'

а после интегрирования дают искомую трехчленную формулу для напряжений:

a(s) = atr(s) + o>(s) +ap(s).

Здесь

cos вг f cos вз cos

sin вг \ sin в2 sin в2 sin в3

г г г г COs в2 „ cos в2 cos в4 Fi=F-U -—- cos в3 + —— sin в2 sin в2 sin в3

тт тт и?cos вз

Ui = U — W-— COS 6I4.

sin вз

Выражения отдельных компонент напряжений подобны формулам (4) и естественным образом обобщают их. Так, пластический след упругих состояний усложняет историю

2 /- (п , ТТ 1 (г7 C/l0_ Wo_

o"tr = тт" 1 °о - QlO + £До- Uo--^10 + Wo- nw--П20--mo

Ео t V K20 J K10 V K30) K20 K30

но опять определяет смысл функции E(s) как следовой реакции, ответственной за реализацию принципа запаздывания.

Регулярная часть напряжений в пятимерном процессе определяется не только деформацией, но и производными деформации вплоть до третьего порядка:

7r =

in ^^W 1 (v Vi- W-

Q1 H--e H--Fi H--rn H--n2 H--n3.

\ K2 J K1 \ K3 ) K2 K3

Необратимые напряжения представимы в виде

s s

*,<•>=- /4 +/(* ++/+ /^ ■ (-)

I 0 0 0 0 )

Задача математического моделирования процессов сложного нагружения является крайне сложной из-за необходимости калибровки определяющих функционалов. Современная экспериментальная техника такова, что мы можем обеспечить калибровку процессов с размерностью не выше трех. По образному выражению Б.Е. Победри, "в ближайшие 2-3 сотни лет не следует ждать появления техники и технологий для экспериментального изучения процессов деформации высокой размерности" (цитирование производится по памяти и, возможно, не слишком точно). В любом случае искать классические решения задачи безнадежно сложно. Однако... Заметим, что все без исключения полученные выше формулы являются точными. Для процессов деформации любой размерности неизвестными механическими функциями задачи являются: углы, функционалы, напряжения а и величина а, а известными — деформации, длина дуги s и кривизны. Еще есть функция £, которая была введена при разрешении определяющих уравнений. Она входит во все без исключения формулы и соотношения, но уравнения для нее нет: она произвольна, хотя ее смысл и назначение понятны (реализация принципа запаздывания).

3. Калибровка функционалов и выбор метрики. Как выше уже было отмечено, в условиях лабораторий недостаточно экспериментальных возможностей для моделирования пятимерных процессов с независимым контролем отдельных функционалов, в связи с этим предлагается неклассический подход.

Поскольку в каждом из уравнений (8) присутствует только один функционал процесса, то и будем определять эти функционалы из уравнений для углов (обычно поступают иначе). Идею проиллюстрируем на двумерном процессе. Из (2) находим

\ sin 91 I

где заменяем a(s) соответствующим выражением из (5), а затем вычисляем интеграл и записываем дифференциальное уравнение (6). В результате имеем

¿_ - í„COSÉ?i eos 9\ . О . 1 / Г COS 9\ ,

аР = - \ 2 ■ Л ~ + . 2 л - + cos 01 > ехр - / XI . ds

£ sin 91 sin 91 sin 9\ sin2 9\ 1 \ i sin 9\

Здесь y = (ст0 sin 9ю)/£• Заметим, что в последней формуле смешались величины разной физической природы. С одной стороны, есть величины, которые мы относим к необратимостям, такие, как

изменение метрики и необратимые напряжения, с другой — величины, характеризующие отклик материала на данный процесс деформации. Мы искусственно разделяем эти величины, полагая,

1 | „cos 01 01 n^ 2 COS • , 2 Л 1 I f COS 01 , I 1

sin 9^ sin 91 sin 91 sin2 91 I l J sin 91 / k2

E_ °

= " (12)

Входящий в (11) и (12) калибровочный параметр k является пластическим следом. Уравнение

91(s)

характеристиками ао,ёо, <7о, So, sin 0ю по произвольной траектории e(s) сложной геометрии. Это уравнение можно привести к дифференциальному уравнению 3-го порядка без интеграла в правой части.

1. В частном случае процесса деформации в виде двухзвенной ломаной линии (к = 0) уравнение (11) упрощается:

( 91 Y 1

I sin2 01 у k2

и интегрируется:

0i(S) = f-arctg(¿), 010 = |.

График зависимости 0i/0io хорошо соответствует экспериментальным данным P.A. Васина [2] по сложному нагружению, когда реализовывались траектории деформации с различными углами излома от нуля до п/2. Выяснилось, что зависимость 0i(s) для траектории с изломом на угол п/2 включает в себя на соответствующих участках и диаграммы траекторий с меньшими углами излома. P.A. Васин предположил, что данная диаграмма не зависит от траектории деформации и является универсальной функцией материала. Именно это обстоятельство и привело нас к идее разделения в уравнении для ap. Нахождение зависимости 0i(s) окончательно решает задачу калибровки функционала, определяет функцию a(s) и необратимые напряжения ар. Вычисления a(s) показывают, что в момент излома траектории деформации начинается процесс разгрузки, а затем имеет место нагружение с повторным выходом в пластическую зону. В [3] подобные процессы изучались экспериментально, и полученные в настоящей работе результаты показывают их полное согласие с экспериментом.

2. Второй случай имеет отношение к пространственным траекториям деформации в E3. Рассматривается прямолинейное продолжение криволинейной плоской траектории в направлении, перпендикулярном плоскости траектории. В этом случае вычисления приводят к двум дифференциальным уравнениям для двух углов наклона направляющего вектора напряжений в пространственном репере Френе:

1 Í ( él \ _ 2¿ ¿ COS02 1 + COS 6>1 cos 02 Л- _ 0- 2 Лсов^г + sin 02 \ \ 1 _ 1 sin 62 1 I sin2 Ol J sin 62 sin2 Ol sin 91 sin 02 V V sin 02 COS 02 У У J A2(s)'

( 02 Y 1

0^ В2 (8)'

Здесь А и В — известные функции длины дуги траектории деформации. В дифференциальное уравнение для вектора необратимых напряжений входит неизвестная метрика Е(з). Она выбирается из условия наличия в уравнении точки покоя.

3. В пятимерном процессе сложного нагружения увеличивается количество вычислений, но принципиальных сложностей нет. Основные уравнения (8) используются для определения функционалов и, Ш через углы 01, 02, 0з, 04, соотношения (9) — для вычисления а(з) при заданной функции Е(з) и (10) — для калибровки самих углов.

Во всех без исключениях случаях требуется дополнительное задание одной скалярной функции Е(з). Эта функция отвечает за реализацию принципа запаздывания векторных свойств материала. При вычислениях она бралась в виде затухающей экспоненты

Е = Е0ехр ,

но чаще всего имела затухание на бесконечности, как 0(1/з).

4. Выводы. Предложенная и изученная здесь математическая модель процессов сложного на-гружения по траекториям деформации любой размерности и сложности пригодна как для процессов активного нагружения, так и для разгрузки. Она решает проблему калибровки определяющих функционалов и сводит основную задачу к задаче определения одной скалярной фунции-метрики £(s). Даже грубое приближение этой функции оказалось приемлемым с точки зрения механики и физики. Предложенный подход и для наиболее простых двумерных процессов дал возможность точно (в рамках модели) определить ранее неизвестный вид экспериментальной зависимости P.A. Васина. Отыскание необратимых напряжений позволяет решить задачу калибровки модели, а при использовании представлений (4) или более сложных в пространствах высокой размерности — точно сформулировать теорему изоморфизма A.A. Ильюшина. В нашем рассмотрении теорема изоморфизма устанавливает подобие геометрии траектории деформации и формы отклика. Первоначально обнаруженное при анализе экспериментов по сложному нагружению процессов с винтовыми траекториями деформаций [4], оно оказалась пригодным в случае спиральных траекторий, а также круговых и многих других. Данное исследование, а конкретно разделение напряжений на составные части за пределами следа запаздывания, как раз и приводит к такому соответствию.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильюшин A.A. Пластичность. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

2. Вавакин A.C., Васин P.A., Викторов В.В., Широв Р.И. Экспериментальное исследование упругопластиче-ского деформирования стали при сложном нагружении по криволинейным пространственным траекториям деформаций. Деп. в ВИНИТИ 16.10.86. № 7298-В86. М., 1986.

3. Зубчанинов В.Г. Постулат изотропии и закон сложной разгрузки сплошных сред // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2011. № 1. 27-37.

4. Молодцов И.Н., Бабаева Д. О. Некоторые математические модели упругопластических процессов сложного нагружения // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2018. 22, вып. 2. 19-36.

Поступила в редакцию 06.09.2019

УДК 531.8

ЗАНОС КОЛЕСНОГО АППАРАТА НА "МИКСТЕ"

А. В. Влахова1, А. П. Новодерова2

Рассматривается двухосный четырехколесный аппарат в начале движения на "миксте" — участке опорной плоскости с разными коэффициентами трения для левого и правого колес одной оси. В зависимости от условий движения взаимодействие колес аппарата с опорной плоскостью описывается моделью увода или моделью сухого трения Кулона. С использованием методов фракционного анализа и теории сингулярных возмущений получена оценка импульса угловой скорости, который приобретает корпус аппарата после завершения быстрого переходного процесса выравнивания контактных сил на колесах ведущей оси.

Ключевые слова: "микст", занос колесного аппарата, фракционный анализ, теория сингулярных возмущений, модель кулонова трения, модель увода.

The dynamics of a biaxial four-wheeled vehicle is simulated when drive wheels of one of its axes get into the "^-split surface". The "^-split surface" is a section of the reference plane with

1 Влахова Анастасия Владимировна — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vlakhovaQmail.ru.

2 Новодерова Анна Павловна — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: an. novoderovaQyandex. ru.

Vlakhova Anastasiya Vladimirovna — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Applied Mechanics and Control.

Novoderova Anna Pavlovna— Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Applied Mechanics and Control.