CC BY
013. Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. Получение макроскопических соотношений упругости сложных кристаллических решеток при учете момеитных взаимодействий па микроуровне // Прикл. матем. и механ. 2007. 71, № 4. 595 615.
14. Беринский И.Е., Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. Применение моментного взаимодействия к построению устойчивой модели кристаллической решетки графита /'/' Изв. РАН. Мсхан. твердого тела. 2007. № 5. 6 16.
15. Беринский И.Е., Кривцов A.M., Кударова A.M. и др. Современные проблемы механики. Механические свойства ковалентных кристаллов: учеб. пособие / Под общ. ред. A.M. Кривцова. O.G. Лободы. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та. 2014.
16. Саркисян С. О. Стержневая и континуалыго-моментная модели деформаций двумерных наноматериа-лов // Физ. мезомехан. 2022. 25, № 2. 109 121.
17. Ильюшин A.A. Загадки механики деформируемых тел // Нерешенные задачи механики и прикладной механики. М.: Изд-во МГУ. 1977. 68 73.
18. Бровка Г.Л., Ильюшин A.A. Об одной плоской модели перфорированных плит // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1993. № 2. 83 91.
19. Бровка Г.Л. Моделирование неоднородных сред сложной структуры и континуум Коссера /'/' Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1996. № 5. 55 63.
20. Бровка Г.Л., Иванова O.A. Моделирование свойств и движений неоднородного одномерного континуума сложной микроструктуры типа Коссера /'/' Изв. РАН. Мсхан. твердого тела. 2008. № 1. 22 36.
21. Саркисян С. О. Модель топких оболочек в моментиой теории упругости с деформационной концепцией ''сдвиг плюс поворот" // Физ. мезомехан. 2020. 23. № 4. 13 19.
22. Саркисян С. О. Вариационные принципы моментно-мембранной теории оболочек // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2022. № 1. 38 47.
23. Саркисян С. О. Моментно-мембранная теория упругих цилиндрических оболочек как континуальная модель деформаций однослойной углеродной нанотрубки // XIII Всесоюз. съезд по теоретической и прикладной механике. 21 25 августа 2023 г. СПб.: Изд-во СПбГПУ. 2023.
24. Саркисян С. О. Моментно-мембранная теория упругих гибких пластин как континуальная геометрически нелинейная теория листа графена /'/' Докл. РАН. Физика. Технические науки. 2023. 509. № 1. 39 45.
25. Жилин П.А. Теоретическая механика. Фундаментальные законы механики. СПб.: Изд-во СПбГПУ. 2003.
26. Новожилов В.В. Современные проблемы механики. Основы нелинейной теории упругости. Л.: М.: ГИТТЛ. 1948.
27. Nowacki W., Olszak W. Micropolar Elasticity. Wien: Springer-Verlag. 1974.
28. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М.: Л.: ГИТТЛ. 1949.
29. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Механика упругих оболочек. М.: Наука. 2008.
30. Altenbach J., Altenbach Н., Eremeyev V.A. On generalized Cosserat-type theories of plates and shells: a short review and bibliography // Arch. Appl. Mech. 2010. 80. N 1. 73 92.
31. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. М.: ГИТТЛ. 1956.
Поступила в редакцию 21.11.2023
УДК 539.3
ЗАДАЧА ОДНОСТОРОННЕГО ДИСКРЕТНОГО КОНТАКТА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОЙ УПРУГОЙ ПОЛОСЫ
А. А. Бобылев1
Рассмотрена задача о вдавливании жесткого штампа конечных размеров с поверхностным микрорельефом в функционально-градиентную полосу. Приведены граничные вариационные формулировки задачи с использованием оператора Пуанкаре Стеклова. отображающего контактные напряжения в перемещения. При аппроксимации этого оператора применялось дискретное преобразование Фурье. Для вычисления передаточной
1 Бобылев Александр Александрович капд. физ.-мат. паук, доцепт каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ: ст. пауч. сотр. Моск. центра фупд. и прикл. матем.. e-mail: abobylovOgmail.com.
Bubylev Aleksandr Aleksandrovich Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor. Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theory of Elasticity: Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics.
© Бобылов Л.Л., 2024 © Bobvlnv Л.Л., 2024
(cc)
функции использовалась вариационная формулировка краевой задачи для трасформант перемещений. Установлен ряд закономерностей контактного взаимодействия.
Ключевые слова: односторонний дискретный контакт, функционально-градиентная полоса, граничное вариационное неравенство, оператор Пуанкаре-Стеклова.
The problem is considered for the indentation of a functionally graded strip by a rigid punch of finite dimension with a surface microrelief. Boundary variational formulations of the problem are given using the Poincaré-Steklov operator that maps contact stresses to displacements. To approximate this operator, the discrete Fourier transform is applied. A variational formulation of a boundary value problem for transforms of displacements is used to calculate a transfer function. Some regularities of contact interaction are established.
Key words: unilateral discrete contact, functionally graded strip, boundary variational inequality, Poincaré-Steklov operator.
DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-2-8
1. Введение. Перспективным направлением повышения триботехнических характеристик материалов является создание так называемых функционально-градиентных покрытий, представляющих собой гетерогенные структуры (композиты) с непрерывным изменением по глубине фазового состава и как следствие физико-механических свойств [1]. При исследовании локального контактного взаимодействия тел с покрытиями в качестве расчетной схемы, как правило, выбирается упругая полоса или слой, сцепленные с основанием [2, 3]. Учет поверхностного микрорельефа контактирующих тел в виде волнистости или шероховатости приводит к постановке задач дискретного (множественного) контакта [4-7]. Подробный обзор современного состояния исследований в области механики дискретного контакта, включая основные подходы к постановке задач, методы аналитического и численного решения, конкретные результаты и области их практического использования, представлен в [8].
Задача дискретного контакта однородной упругой полосы с жестким штампом конечных размеров, имеющим поверхностный микрорельеф, рассмотрена в [9]. На поверхности возможного контакта полосы со штампом задавались условия одностороннего гладкого контакта. Отметим, что априори задавалась лишь предельно допустимая (номинальная) область контакта, которая включает множество отдельных пятен фактического контакта, положение и размеры которых заранее неизвестны и подлежат определению. Как следствие задачи одностороннего контакта являются нелинейными. Наиболее распространенный подход к решению такого класса задач состоит в применении вариационных методов [10-12].
В [9] с использованием оператора Пуанкаре-Стеклова (ОПС) получены граничные вариационные формулировки и на их основе разработан вычислительный алгоритм решения задач одностороннего дискретного контакта для однородной упругой полосы. В настоящей работе этот алгоритм обобщен на случай произвольной функционально-градиентной полосы (ФГП). Идея обобщения состоит в применении для построения ОПС численного алгоритма, предложенного в [13]. Отметим, что при конечномерной аппроксимации граничных вариационных задач, в отличие от вариационных задач, используемых в методе конечных элементов [14], требуется дискретизировать только часть границы области — зону возможного контакта. Это существенно уменьшает размерность получаемых дискретных задач и снижает вычислительные затраты.
Постановка рассматриваемой задачи одностороннего дискретного контакта дана в п. 2. Интегральное представление решения, на основе которого в п. 4 построен ОПС, приведено в п. 3. Используемый подход к построению передаточной функции ОПС для ФГП изложен в п. 5. Граничные вариационные формулировки задачи одностороннего дискретного контакта приведены в п. 6, а в п. 7 построена конечномерная аппроксимация — задача квадратичного программирования. Анализ численных решений задач о вдавливании в ФГП штампа конечных размеров с регулярным поверхностным микрорельефом представлен в п. 8. В заключении указано возможное обобщение предложенного подхода к решению задач одностороннего дискретного контакта.
2. Постановка задачи одностороннего дискретного контакта. Пусть изотропная ФГП толщиной h в прямоугольной декартовой системе координат OxiХ2 занимает область Q = {x = (x1,x2) € R2 : |x11 ^ œ, 0 ^ x2 ^ h}. Границу полосы x2 = 0 обозначим через Го, а границу Х2 = h — через Г^. Под Uk(x), aki(x), k,l = 1, 2, будем понимать соответственно компоненты вектора перемещений и тензора напряжений в точке x € Q. Предполагается, что ФГП находится в условиях плоской деформации, деформации малы, а массовые силы и напряжения в недефор-мированном состоянии отсутствуют. Параметры Ламе материала полосы являются произвольными
ограниченными непрерывными функциями координаты ж^ Л = Л(ж2) и ^ = ^(ж2). Из физических соображений следует, что существуют постоянные Ао > 0 и ^о > 0, такие, что
Л(ж2) ^ Ло, ^(Ж2) ^ ^0, 0 ^ Ж2 ^ Л. (1)
Напряженно-деформированное состояние ФГП описывается системой уравнений:
О" 11,1 + ^ 12,2 = 0, СТ12Д + 022,2 = 0, (2)
011 = (Л + 2^)^1,1 + Ли2,2, 012 = М«1,2 + ^2,1), 022 = Л«1,1 + (Л + 2^)^2,2 В О. (3)
По границе Го ФГП соединена с недсформируемым основанием. В случае полного сцепления граничные условия имеют вид
и1 = и2 = 0 на Го. (4)
В ФГП вдавливается гладкий жесткий штамп, основание которого имеет поверхностный микрорельеф. Часть границы Г1, по которой возможен контакт полосы со штампом, обозначается Гр. Положение и предельные размеры Гр, т.е. номинальная область контакта, задаются априори исходя из геометрических соображений. Предполагается, что часть границы Гр является односвязной и конечной. При вдавливании штампа с поверхностным микрорельефом номинальная область контакта Гр включает множество отдельных пятен фактического контакта, положение и размеры которых заранее неизвестны.
Форма основания штампа и его поверхностный микрорельеф описываются функцией Ф(ж1), значение которой в точке х € Гр равно расстоянию от этой точки до поверхности штампа, измеренному вдоль направления внешней нормали к границе Гр. Расстояние Ф(ж1) отсчитывается по отношению к недеформированному состоянию полосы. Для определенности будем полагать, что штжеГр Ф(ж1) = 0 В случае штампа с поверхностным микрорельефом функция Ф(ж1) является мультимодальной (многоэкстремальной). Положение штампа определяется вектором перемещений 5 = (¿1, ¿2) и углом поворота ^>3 штампа как жесткого целого. Перемещения и углы поворота штампа предполагаются малыми. Главный вектор Р = , и главный момент Мз внешних сил, приложенных к штампу, считаются заданными. В качестве центра приведения сил выбирается точка хс = (жЦ,ж2)• Далее рассматривается задача нормального контакта упругой полосы со штампом, поэтому будем полагать
¿1 = 0, = 0, -то < ^2 < 0, |Мз| < то.
Контактное взаимодействие ФГП со штампом описывается линеаризованными условиями одностороннего гладкого контакта:
«2 ^ Ф + ¿2 + <£з(ж1 - ж1), 022 ^ 0, 021 = 0, 022 « - Ф - ¿2 - <£з(ж1 - жЦ)] = 0 на Гр. (5)
Г1
021 = 022 = 0 на Г1 \ Гр. (6)
Уравнения равновесия жесткого штампа имеют вид
У 022 й Гр = У 022(ж1 - ж1) й Гр = Мз. (7)
Отметим, что соотношения (7), по существу, представляют собой нелокальные граничные условия.
Для существования решения рассматриваемой контактной задачи далее будем предполагать, что внешние силы и моменты, приложенные к жесткому штампу, согласованы между собой таким образом, что существует распределение нормальных напряжений 022 ^ 0 на Гр, удовлетворяющее уравнениям равновесия штампа (7).
Чтобы выделить класс единственности решения в рассматриваемой контактной задаче, будем использовать условие конечности потенциальной энергии деформации ФГП:
У [Л(и1,1 + и2,2)2 + 2^(«?д + «2,2) + ^(«1,2 + «2д)2] йО < то. (8)
п
Задача состоит в определении полей перемещений и и напряжений а, удовлетворяющих уравнениям (2), граничным условиям (4)—(6), условиям равновесия штампа (7) и условию (8). Также необходимо найти смещение ¿2 и угол поворота штампа. Подчеркнем, что в рассматриваемой задаче одностороннего дискретного контакта априори задается лишь номинальная область контакта Гр, положение и размеры пятен фактического контакта заранее неизвестны и подлежат определению в процессе решения задачи.
3. Интегральное представление решения. Рассмотрим вспомогательную краевую задачу
и
(4) и (6), условию (8), а также граничным условиям
021 = 0, 022 = q на Г,
р-
Из результатов [15-17] следует, что если выполняются условия (1), то для любого элемента q € ¿2(Гр) эта задача имеет единственное решение, которое может быть записано в виде
u(®) = y g(x,6)q(6) , x € Q, (9)
rP
где g(x,£i) — ядро интегрального представления, которое может быть интерпретировано как поле перемещений — решение краевой задачи о действии нормальной сосредоточенной единичной силы, приложенной в точке x = (£i, h) на Гр.
Решение (9) вспомогательной краевой задачи удовлетворяет всем условиям сформулированной в п. 2 задачи одностороннего дискретного контакта, кроме условий одностороннего гладкого контакта (5) и условий равновесия штампа (7). Поэтому использование интегрального представления (9) позволяет свести решение рассматриваемой контактной задачи к нахождению на Гр нормальных напряжений 022 € ¿2(Гр), удовлетворяющих следующей системе неравенств и уравнений:
022 < 0 на Гр, (10)
^2(022) ^ Ф + ¿2 + ^э(xi - ж!) на Гр, (11)
022 Ы022) - Ф - ¿2 - <Рэ(ж1 - ж!)] = 0 на Гр, (12)
У 022 dГр = F2, У 022(Ж1 - ж!) dГр = Мэ, (13)
Гр Гр
где ^2(022) — нормальные перемещения на Гр, соответствующие нормальным напряжениям 0224. Оператор Пуанкаре—Стеклова. Для решения системы (10)—(13) необходимо построить ОПС Брз : q ^ w, отображающий посредством решения (9) нормальные напряжения q(xi) = 022(ж 1, h) на части Гр границы ФГП в нормальные перемещения w(xi) = U2(xi,h) на Гр.
Соответствующее решению (9) выражение для ОПС Брз : q ^ w в случае q € ^(Гр) имеет вид
w(xi) = У #рз(ж1 - 6Ж6) d£i. (14)
Гр
Ядро интегрального представления (14) является разностным. Выражение в явном виде этого ядра для произвольной ФГП неизвестно. Правая часть (14) является интегральным оператором типа свертки. Применяя интегральное преобразование Фурье по координате ж1, получим алгебраическое соотношение, связывающее трансформанты нормальных перемещений W(a) и нормальных напряжений д(а):
W(a) = ^s (a)q(a), (15)
где а — параметр преобразования Фурье; gj3s(a) — трансформанта ядра интегрального представления (14). Таким образом, действие ОПС Sr>s сводится к выполнению прямого и обратного преобразований Фурье и перемножению трансформант.
5. Передаточная функция оператора Пуанкаре-Стеклова. Функцию gj3s(a), следуя [18], будем называть передаточной функцией. В случае однородной полосы выражение для передаточной функции может быть получено аналитически [15]. Для ФГП эту функцию удается построить
с помощью численно-аналитической методики при специальной зависимости ее упругих свойств по толщине, в частности степенной или экспоненциальной зависимости [3]. В случае произвольного закона изменения упругих свойств по толщине используются приближенные подходы, основанные как на прямом численном интегрировании краевых задач для систем дифференциальных уравнений по поперечной координате [17, 18], так и на замене непрерывно-неоднородной полосы многослойной с кусочно-постоянной зависимостью упругих модулей от координаты [19]. Вычислительные проблемы, появляющиеся при реализации таких подходов, обусловлены наличием экспоненциальных составляющих у фундаментальных решений соответствующих систем дифференциальных уравнений. Это приводит к плохой обусловленности систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при удовлетворении граничным условиям, и к неустойчивости численных процедур решения задач Коши и их дискретных аналогов. Главным способом преодоления указанных трудностей является выделение в явном виде экспоненциальных составляющих, в результате чего проблема сводится к отысканию функций ограниченной вариации. Такой способ лежит в основе метода модулирующих функций [20].
В настоящей работе для построения передаточной функции применялся альтернативный подход [13], опирающийся на использование вариационной формулировки краевой задачи для трас-формант перемещений. Аппроксимация вариационных уравнений производилась методом конечных элементов. Для численного решения задачи использован нестационарный итерационный метод, на каждом шаге которого методом прогонки решались две системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональными матрицами. Разработан алгоритм выбора последовательности параметров итерационного метода, обеспечивающей его сходимость для любых значений параметра преобразования Фурье а.
В [13] проведена верификация разработанного вычислительного алгоритма для ФГП, параметры Ламе материала которой являлись экспоненциальными функциями, путем сравнения полученных результатов с известным численно-аналитическим решением [3]. Также в [13] даны рекомендации по использованию адаптивных конечно-элементных сеток.
При решении задач дискретного контакта требуется вычислять значения передаточной функ-
а
а
использующий полученное в [21] трехчленное асимптотическое разложение передаточной функции и построенные на его основе аппроксимации Паде.
6. Вариационные формулировки задачи. Для решения системы (10)—(13), содержащей уравнения и неравенства, используется вариационный подход. Введем необходимые для построения вариационных формулировок задачи функциональные пространства — гильбертов триплет
Н1/2 (Гр) С ¿2(Гр) С Н-1/2(Гр) [9]. Учитывая плотность вложения ¿2(Гр) С Н-1/2(Гр), оператор Sps, определенный формулой (14), можно продолжить по непрерывности на Н-1/2(гр) и аналогично [9] рассматривать как оператор, действующий из Н?-1/2(Гр) в Н 1/2(Гр).
Обозначим через (■, •) отношение двойственности н-1/2(гр) ('> ') н!/2(гр)> порожденное продолжением скалярного произведения в .¿2(Гр). Введем на Н-1/2 (Гр) непрерывные билинейную и линейную формы
а(р, ц) = (р, Spsq), Ь(р) = (р, Ф) ,
предполагая, что Ф € Н1/2(Гр). Аналогично [9] можно показать, что если выполняются условия (1),
то билинейная форма а(-, ■) является симметричной и коэрцитивной на Н-1/2(Гр).
Гр
V = { р € Н-1/2(Гр) : р < 0, (р, 1) = ^2, (р, Х1 - х1) = М3 } . (16)
Нетрудно видеть, что множество V является замкнутым выпуклым множеством в Н-1/2(Гр). Кроме того, в соответствии со сделанными при постановке задачи предположениями это множество непусто.
Аналогично [9] можно показать, что решение ц € £2(Гр) системы (10)—(13) удовлетворяет граничному вариационному неравенству: найти элемент ц € V, такой, что
а(р - ц, ц) - Ь(р - ц) ^ 0 Ур € V. (17)
Отметим, что неравенство (17) не содержит неизвестных смещения §2 и угла поворота ^>3 жесткого штампа. Как показано в [9], это является следствием того, что элементы множества статически допустимых нормальных напряжений V удовлетворяют уравнениям равновесия штампа (13).
q
циониого неравенства (17) удовлетворяет системе уравнений и неравенств (10)—(13) по крайней мере в обобщенном смысле, т.е. условия (10) и (12) выполняются в смысле пространства H-1/2(Гр), условие (11) — в смысле пространства H1/2(Гр), а условия (13) — после продолжения по непрерывности на H-1/2(Гр):
(q, 1) = F, (q, ж1 - ж?) = М3.
Поскольку билинейная форма а(-, ■) является положительно-определенной, а множество V — непустым замкнутым выпуклым множеством в H-1/2(Гр), вариационное неравенство (17) эквива-
q€V
J(q) = inf {J(p) = a(p,p)/2 - b(p)} . (18)
р&У
Решение вариационного неравенства (17) и задачи минимизации (18) существует и единственно (см. [10, 22]).
7. Конечномерная аппроксимация задачи. Выбор метода аппроксимации задачи (18) определяется в первую очередь возможностью построения эффективной с вычислительной точки зрения аппроксимации ОПС (14). Из (15) следует, что действие ОПС сводится к выполнению пары (прямого и обратного) преобразований Фурье и перемножению трансформант. Использование преобразования Фурье наиболее эффективно в случае периодических функций благодаря дискретности их спектра и как следствие возможности перехода от непрерывного преобразования к дискретному. С учетом того, что для ФГП передаточная функция ОПС строится численно, основная идея используемого подхода состоит в аппроксимации искомых нормальных напряжений периодическими сеточными функциями и применении алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ). Для уменьшения возникающей ошибки периодичности [23, 24] вводится расширенная вычислительная область Гс С Г1, такая, что
Гр d Гс, D = diamTc = kc diam^, kc € N, (19)
где kc > 1 — коэффициент расширения вычислительной области.
Введем на Гс регулярную (равномерную) сетку Tc, состоящую из М одноузловых граничных элементов нулевого порядка размером öe = D/M. Узлы Тс обозначим tm, m = 1 , М. Часть Тс, расположенную на Гр и содержащую L элементов, обозначим Тр. Из (19) следует, что L = M/kc.
Далее векторы и матрицы будем обозначать большими латинскими буквами, а их элементы — соответствующими малыми латинскими буквами.
Введем на Tc сеточные функции нормальных напряжений и перемещений
Qc = (q(ti),q(t2),...,q(tM))T, wc = (w(ti),w(t2),...,w(tM))T,
а также редукции этих функций на Тр:
Qp = RQc, ^р = RW c,
где r — прямоугольная матрица размера L х М, в каждой строке которой имеется ровно один
1
Обратные операции тривиального продолжения (дополнения нулевыми элементами) Q^ и Wp на Tc могут быть выполнены с помощью транспонированной матрицы RT:
Qc = RTQp, W c = RTW р. М
F = [/mk ], fmk = w(m-1)(k-1), w = exp(-2ni/M).
Матрица Фурье F обратима, обратная матрица имеет вид F-1 = Fвде F* — эрмитово сопряженная матрица.
F Qc Wc
нормальных напряжений и перемещений:
Qc = (qi, q2,..., Qm)T = FQc = FRTQp, Wc = (wb w2,..., wm)T = FWc = FRTWp. (20)
Сеточные функции Qc и №с являются вещественными, поэтому из свойств дискретного преобразования Фурье следует, что компоненты Qс и с удовлетворяют условиям
¡и-т = ¡т, Ни-т = ¿<4, т = 1,2,..., И - 1. (21)
Для сеточных функций соотношение (15) примет вид
\УС = О^ с, (( = diag(¡o,¡l¡и-1), (22)
где с учетом (21)
н
9о=9Рз(0) = 1' + 2^(ж2)' 9ш = 9м-т = 9Рз{2т1тк/В), т = 1,2,..., М/2.
0
Несложно показать, что ¡о представляет собой коэффициент податливости рассматриваемой
Г1
Из (20) и (22) следует, что сеточная аппроксимация интегрального представления (14), определяющего ОПС Sps, имеет вид
= SQp, (23)
где
S = ЯР* ОРЯТ/И. (24)
Матрица ^ ^^^^^^^^ ^^^^^^^той матрицей порядка Ь. Для вычисления произведения этой матрицы на вектор формировать ее в явном виде не требуется, достаточно программно реализовать вычисление произведений каждой из матриц в правой части (24) на векторы. Учитывая, что матрицы И и ИТ содержат только Ь ненулевых элементов, равных 1, вычисление произведений этих
Ь
матрицы (( на вектор требует выполнения И операций умножения. Для вычисления произведений матриц ¥ и ¥ * на векторы целесообразно использовать алгоритмы БПФ. Поэтому далее будем полагать И = 2т, т € N. В этом случае число операций для выполнения одного преобразования имеет порядок О(Ит) = О (ИИ).
При аппроксимации задачи (18) применяется гранично-элементный подход. Для вычисления билинейной а(■, ■) и линейной Ъ(-) форм используется квадратурная формула прямоугольников, узлы которой совпадают с узлами сетки Тр. Тем самым определяются аппроксимирующие билинейная а^-, ■) и линейная Ь^-) формы в пространстве М^:
а1(Рр, Qp) = PT¡SQp5e, Ь1 (Рр) = Фт Р р§е,
где Ф = (Ф1 ,ф2,...,фь)Т — сеточная аппроксимация на Тр функции Ф(х1), описывающей форму основания штампа и его микрорельеф.
При аппроксимации множества статически допустимых нормальных напряжений V, определенного формулой (16), применяется комбинированный подход. Для аппроксимации ограничений
в виде неравенств используется коллокационный метод, а при аппроксимации ограничений в виде
Тр
В результате получается замкнутое выпуклое множество статически допустимых узловых нормальных напряжений:
V! = € Мь: & < 0, г = ^ сш = ^ С2г(1г = Мз 1 "
1 г=1 г=1 )
Коэффициенты Оц ж С2% вычисляются по формулам
Си = бе, С2г = 5е(х\ ~ х\), 1 = 1,Ь, где х1 — координата узла и сетки Тр.
В результате для задачи минимизации (18) получим сеточную аппроксимацию — задачу квадратичного программирования: найти сеточную функцию нормальных напряжений Qp € RL, такую,
Ji(Qp)= inf {Ji(Q) = QTSQSe/2 - ФтQSe} . (25)
' QeVi
Размерность задачи (25) равна L — количеству узлов сетки на Гр — и не зависит от размера вычислительной области Гс, т.е. от выбора коэффициента расширения вычислительной области kc.
Для численного решения задачи квадратичного программирования (25) в настоящей работе использовался алгоритм на основе метода сопряженных градиентов, предложенный в [25] при решении задач одностороннего дискретного контакта для упругой полуплоскости. В [9] этот алгоритм применялся при решении задач одностороннего дискретного контакта для однородной упругой полосы. Следует отметить, что алгоритм [25] позволяет вычислять не только сеточную функцию нормальных напряжений Qp € RL, но и смещение ¿2 и угол поворота жесткого штампа.
8. Численные результаты. Разработанный вычислительный алгоритм решения задач одностороннего дискретного контакта для ФГП реализован на языке FORTRAN с применением программного пакета для разработчиков NVIDIA НРС SDK. Для выполнения БПФ использовалась библиотека cuFFT, позволяющая с помощью технологии CUDA производить вычисления на графических процессорах.
Разработана процедура апостериорного анализа полученных численных решений. Для оценки погрешности выполнения сеточных аппроксимаций условий (10)—(13) использовался набор параметров:
L L
£q = max qi/qnom, £/ = | У^ cuqi - F2I/IF2I, em = | V C2iqi - Мз|/|Мз| для M3 = 0,
i=1 i=1
ezp = min zi [qi ^ 0]a/^21, £zm = max |zi| [qi < 0]a/^21, Zi = фi + ¿2 + - ж1) - Wi,
l^i^L l^i^L
где qnom = F2/diamrp — средние (номинальные) контактные напряжения; Zi — конечный зазор (проникание) между упругой полосой и штампом в узле ti сетки Tp; [-]а — скобка Айверсона (функция, равная 1 для истинного аргумента и равная 0 в противном случае); Wi — нормальное перемещение
узла ti сетки Tp. Сеточная функция нормальных перемещений Wp = (wi, W2,..., wl) , соответству-Qp
Апостериорный анализ проводился для всех полученных численных решений. В результате установлено, что при проведении вычислений с двойной точностью во всех случаях eq = 0, а для остальных параметров выполнялись неравенства: £/ < 10-8, £m < 10-7, ezp < 10-10 и ezm < 10-8.
При верификации алгоритма и разработанного программного обеспечения использовалась рассмотренная в [9] тестовая задача о вдавливании в упругую полосу штампа, форма основания которого описывается квадратичной функцией. Проведено сравнение решений для случаев наличия и отсутствия момента внешних сил, приложенных к штампу, относительно точки начального контакта. Также выполнено сравнение численных решений рассмотренных ниже задач дискретного контакта для штампов с регулярным поверхностным микрорельефом с решениями, полученными с помощью известного алгоритма [26]. С учетом возможностей последнего при постановке контактных задач использовалось лишь первое из уравнений равновесия штампа (7) и полагалось ^>3 = 0. Выполненные расчеты показали, что при проведении вычислений с двойной точностью относительные среднеквадратичные расхождения решений (сеточных функций нормальных напряжений) не 10-7
Получены численные решения ряда задач одностороннего дискретного контакта ФГП и жесткого штампа, в частности для пяти ФГП, v которых модуль Юнга E и коэффициент Пуассона v изменялись по одному из следующих законов:
1) E(0 = E1 + (E2 - Eoe, v (e) = v1 + (v2 - v1)e;
2) E(0 = E2 + (E1 - E2)e, v (e) = v2 + (v1 - v2)e;
3) E(0 = E1 + (E2 - E1)e2, v (e) = v1 + (v2 - v1)e2
4) E (0 = E2 + (E1 - E2)e2, v (e) = v2 + (v1 - v2)e2
5) E(0 = Ef E^, v (e) f 1-f = vf v2 ' >
где £ = Х2/К; Е\ = Е*; Е\ = 4Е*; = 0, 4; ^ = 0,1; Е* — масштабный множитель (размерная величина, МПа).
Далее приведены результаты анализа численных решений задач для штампов с регулярным поверхностным микрорельефом, состоящим из К микровыступов. Номинальная область контакта полагалась равной Гр = {0 ^ Х1 ^ й, х2 = К}. Форма основания штампов задавалась функцией
Ф(Х1)=Ф1(Х1 ) + Ф2(£1)/К, (26)
где Ф1 (Х1) — выпуклая функция, определяющая макроформу штампа; $2(^1) — строго выпуклая функция, характеризующая форму микровыступов; £1 = {КХ1/й} — "быстрая" координата, {■} — дробная часть числа.
Для заданной пары функций Ф1(Х1) и $2(£1) формула (26) определяет однопараметрическое семейство штампов 2(К), в качестве параметра которого выступает число микровыступов К. Штампы, принадлежащие одному семейству, имеют одинаковую макроформу, а их микровыступы являются подобными.
Расчеты выполнялись для семейства жестких штампов, макроформа и поверхностный микрорельеф которых описывались соответственно функциями
)= eid 1 - cos^1 (n(xi/d - 0, 5)) , Ф2(6) = 1 - cos^2- 0, 5)) , (27)
где в1 ^ 0, в2 > 0, > 0,$2 > 0 — безразмерные параметры. Ранее в [9, 25] рассматривалось аналогичное семейство штампов с функциями Ф1(ж1) и Ф2(£0 степенного вида.
Из формул (26) и (27) следует, что однопараметрическое семейство штампов 2(K) определяется набором параметров {,01, в2, В качестве примера па рис. 1 изображены профили штампов
с 16 и 64 микровыступами для значений параметров: Д =3 ■ 10-5, в2 = 10-4, $1 = $2 = 1- Следует отметить, что масштабы изображения по вертикальной и горизонтальной осям отличаются на пять порядков.
Нормальная компонента главного вектора (погонная сила) и главный момент внешних сил, приложенных к штампу, задавались в виде
F = -/d£*, M3 = eF2d,
где / > 0 — безразмерный параметр внешней нагрузки; e — безразмерный параметр, характеризующий эксцентриситет равнодействующей внешней нагрузки относительно центра приведения xc = (0, 5d,h).
Необходимое количество L граничных элементов на Гр определялось путем сравнения решений, полученных на вложенных сетках при их двукратном последовательном измельчении. При решении задач для семейства штампов 2(K) каждый микровыступ аппроксимировался на сетке из 256 граничных элементов. Наибольшее общее количество элементов сетки для штампа с K = 4096 микровыступами составило L = 220 = 1048576 элементов.
В [9] при решении задач о вдавливании в однородную упругую полосу штампов однопараметри-ческого семейства 2(К), макроформа и поверхностный микрорельеф которых описывались соответственно функциями $1(^1) и $2(^1) степенного вида, была установлена следующая закономерность: если условия нагружения штампов таковы, что пятна контакта отдельных микровыступов остаются изолированными друг от друга, то существуют единая огибающая контактного давления, единая огибающая нормализованных контактных усилий и единая огибающая относительных величин фактических площадей контакта микровыступов, форма и положение которых зависят от упругих постоянных материала полосы, параметров внешней нагрузки, а также от отношения размера области контакта к толщине упругой полосы. Анализ полученных в настоящей работе численных результатов позволил установить существование аналогичных единых огибающих и для рассмотренных ФГП, при этом форма и положение огибающих также зависят от закона изменения упругих свойств по толщине полосы. Отметим, что единые огибающие существуют для семейств штампов 2(К) как с функциями $1(^1) и $2(^1) степенного вида, так и с функциями (27), а также с их различными комбинациями.
Относительные среднеквадратичные расхождения е^ = 105 • е^
£г Номер полосы Количество микровыступов К
16 32 64 128 256 512 1024 2048
£ 1 1 6649 3703 2022 1082 558 282 129 45
2 3298 1829 1021 543 287 145 66 23
3 6505 3517 1913 1029 535 269 119 41
4 2568 1490 862 484 254 129 59 20
5 3498 1967 1079 575 299 150 67 23
£2 1 4811 2394 1191 587 284 132 57 19
2 7295 3685 1841 909 440 205 88 29
3 3881 1937 962 473 229 107 46 15
4 8455 4292 2154 1066 517 241 103 34
5 6099 3057 1522 751 363 170 72 24
ёз 1 3297 751 294 95 43 20 8 3
2 2527 712 279 111 52 25 10 3
3 3149 725 288 97 43 20 8 2
4 2504 743 275 111 52 25 10 3
5 2531 665 258 116 55 25 11 3
Установлен ряд новых закономерностей процесса вдавливания штампов семейства 2(К) в упругую полосу. Рассмотрим процесс вдавливания в полосу штампа, имеющего К микровыступов, при изменении параметра внешней нагрузки / в интервале [0, /*] и проведем численный анализ зависимости от этого параметра следующих характеристик контактного взаимодействия: относительной фактической площади контакта
8 = ш^г; /["22 < 0|° = в1<иу-
Гр
осадки штампа ¿2 = В^(/); угла поворота штампа Рэ = (/).
Введем на [0, /*] равномерную сетку Tf = {/т = шД/, А/ = /*/Mf} и сеточные функции Вгк = Rf Вгк ,г = 1, 2, 3 где Rf — оператор ограничения на сетку Tf. Для вычисления сеточных функций производилось пошаговое нагружение штампа. При проведении расчетов полагалось, что Mf = 100.
В ходе вычислительных экспериментов наблюдалась сходимость последовательностей сеточных функций В К, г = 1, 2, 3, при увеличении количества микровыступов К. В качестве примера для семейств а штампов 2(К), профили представителей которого изображены на рис. 1, в таблице приведены относительные среднеквадратичные расхождения е = ||Вг — Вд||2 / ||В0)^2, г = 1,2,3, где Q = 4096 — максимальное количество мик-
— 2 — 3 ..... 4
Рис. 2. Зависимость относительной фактической площади контакта от параметра внешней нагрузки в = В1 (/)
ровыетуиов в серии расчетов. Значения параметров внешней нагрузки задавались следующими:
/ * = 5 ■ 10 , е = 0, 05. Толщина ФГП полагалась равной Н = Коэффициент расширения вычислительной области принимался равным кс = 16.
На основании результатов вычислительных экспериментов можно предположить существование для рассмотренного семейства штампов 2(К) предельных кривых в = Вд(/), §2 = В2(/) и ^>3 =
В3(/)•
На рис. 2-4 приведены соответственно графики зависимостей в = Вд(/), §2 = В^(/) и ^з = Вд(/) для Q = 4096. Номера кривых 1-5 соответствуют номерам ФГП, параметры которых были указаны выше. Нетрудно видеть, что относительная фактическая площадь контакта в = Вд (/) и осадка штампа §2 = Вд(/) непрерывно возрастают с увеличением внешней нагрузки, а угол поворота штампа ^з = В^(/) в случае приложения внешней нагрузки с ненулевым эксцентриситетом относительно центра приведения мгновенно возрастает до некоторой конечной величины и далее постепенно уменьшается с ростом внешней нагрузки.
Рис. 3. Зависимость осадки штампа от параметра внешней нагрузки 62 = BQ (f)
1.5
1.4
1.3
105-Ф3
1.2
0.00
0.25
0.50
0.75
АГ
Рис. 4. Зависимость угла поворота штампа от параметра внешней нагрузки <^>3 = BQ (f)
9. Заключение. Разработанный подход к решению задач дискретного контакта для ФГП может быть обобщен на случай стратифицированной упругой полосы, параметры Ламе которой являются кусо чно-непрерывными функциями.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Saleh В., Jiang J., Fathi R., Al-hababi Т., Xu Q., Wang L., Song Dan., Ma A. 30 Years of functionally graded materials: An overview of manufacturing methods. Applications and Future Challenges // Composites. Part B: Engineering. 2020. 201. 108376.
2. Александров B.M., Мхитарян C.M. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука. 1963.
3. Barber J.R. Contact Mechanics. Cham: Springer. 2018.
4. Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия. М.: Наука. 2001.
5. Аргатов И.И., Дмитриев Н.Н. Основы теории упругого дискретного контакта. СПб.: Политехника. 2003.
6. Торская Е.В. Модели фрикционного взаимодействия тел с покрытиями. М.: Ижевск: Ин-т компьютерных исследований. 2020.
7. Goryacheva /., Makhomkaya Yu. Discrete Contact Mechanics with Applications in Tribology. Amsterdam: Elsevier. 2022.
8. Горячева И.Г., Цуканов И.Ю. Развитие механики дискретного контакта с приложениями к исследованию фрикционного взаимодействия деформируемых тел // Прикл. матем. и механ. 2020. 84. № 6. 757 789.
9. Бобылев А.А. Алгоритм решения задач дискретного контакта для упругой полосы // Прикл. матем. и механ. 2022. 86, вып. 3. 404 423.
10. Kravchuk A.S., Neittaanrnaki Г. J. Variational and Quasi-Variational Inequalities in Mechanics. Dordrecht: Springer. 2007.
11. Wriggere F. Computational Contact Mechanics. Berlin: Springer-Verlag. 2006.
12. Yastrebov V.A. Numerical Methods in Contact Mechanics. N.Y.: ISTE/Wiley, 2013.
13. Бобылев А.А. Численное построение трансформанты ядра интегрального представления оператора Пуанкаре Стеклова для упругой полосы // Диффереиц. уравнения. 2023. 59. № 1. 115 129.
14. Бобылев А.А., Белашова И.О. Численное решение плоских контактных задач для упругих тел с функци-оналыго-градиентными покрытиями // Нелинейный мир. 2013. 11. № 10. 689 695.
15. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешки В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука. 1974.
16. Айзикович С.М. Статические контактные задачи для неоднородного по глубине основания // Механ. контактных взаимодействий. М.: Ф1П.\1,\ТЛПТ. 2001. 199 213.
17. Айзикивич С.М., Александров В.М., Белоконь А.В., Кренев Л.И., Трубчик И.С. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.
18. Ватульян А. О., Плотников Д.К. К исследованию контактной задачи для неоднородной упругой полосы // Прикл. матем. и механ. 2021. 85. вып. 3. 283 293.
19. Никишин В. С. Статические контактные задачи для многослойных упругих тел // Механ. контактных взаимодействий. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001. 214 233.
20. Бабешки В.А., Глушкив Е.В., Глушкива Н.В. Методы построения матриц Грина для стратифицированного упругого полупространства /'/' Жури, вычисл. матем. и матем. физ. 1987. 27, № 1. 93 101.
21. Бобылев А.А. О вычислении передаточной функции оператора Пуанкаре Стеклова для функционально-градиентной упругой полосы // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2023. № 5. 52 60.
22. Хлуднев A.M. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2010.
23. Wang Q.J., Zhu D. Intel-facial Mechanics: Theories and Methods for Contact and Lubrication. Boca Raton: CRC Press. 2019.
24. Wang Q.J., Sun L., Zhang X., Liu S., Zhu D. FFT-bascd methods for computational contact mechanics // Front. Mcch. Eng. 2020. 6. N 61. 92 113.
25. Бобылев А.А. Применение метода сопряженных градиентов к решению задач дискретного контакта для упругой полуплоскости // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2022. № 2. 154 172.
26. Polonsky I.A., Keer L.M. A numerical method for solving rough contact problems based on the mnlti-lcvcl mnlti-snmmation and conjugate gradient techniques // Wear. 1999. 231. N 2. 206 219.
Поступила в редакцию 14.12.2023
УДК 539.3
МЕРА НЕПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ РАЗГРУЗКИ В ТЕОРИИ МАЛЫХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
Д. В. Георгиевский1, Н. А. Раутиан2
С позиции теории малых упругопластичсских деформаций анализируется напряженно-деформированное состояние сплошной среды на различных траекториях разгрузки после простого активного процесса. Показывается, что если разгрузка непропорциональная, то определяющие соотношения, связывающие дсвиаторы напряжений и деформаций, тсн-зорно нелинейны, т.е. единичные направляющие этих дсвиаторов но совпадают. Устанавливается, что в пятимерном девиаторном пространстве Илыошина существует только одна точка полной разгрузки и она принадлежит отрезку предшествующего активного нагруже-ния. Вводится в рассмотрение мера непропорциональности разгрузки, характеризующая степень отклонения траектории пассивного процесса деформации от упомянутого ранее
1 Георгиевский Дмитрий Владимирович доктор физ.-мат. паук. проф.. зав. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ: директор НИИ механики МГУ: сотр. Моск. центра фупд. и прикл. матем.. e-mail: georgievOmecli.mat.li.msu.su.
Georgievskii Dimitri Vlatlimirovich Doctor of Fliysical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Head of the Cliair of Elasticity Theory: Director of the Institute of Mechanics: Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics.
2Paymuau Надежда Александровна доктор физ.-мат. паук, доцепт каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ: сотр. Моск. центра фупд. и прикл. матем., e-mail: nraut.ianOmail.ru.
Rautian Nadezhda Aleksandruvna Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Cliair of Mathematical Analysis: Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics.
(о) Георгиевский Д. В., Раутиан Н.Л., '2024 (о) Georgievskii D. V'., Rautian N.A., 2024
(cc)
