О ВЫЧИСЛЕНИИ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА ПУАНКАРЕ–СТЕКЛОВА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОЙ УПРУГОЙ ПОЛОСЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

11. Зубчанинов В.Г., Алексеев А.А., Алексеева Е.Г. Проверка постулата изотропии и численное моделирование процессов деформирования материалов на сложных гладких траекториях // Mater. Phys. and Mech. 2016. 29, N 2. 150-157.

12. Гультяев В.И., Зубчанинов В.Г., Алексеев A.A., Саврасов И.А. Проверка постулата изотропии при сложном кинематическом нагружении материала сталь 45 по траекториям деформирования в виде полуокружностей // Вестн. Чуваш. гос. пед. ун-та им. И.Я. Яковлева. Механика предельного состояния. 2021. № 4. 66-74.

13. Коровин И.М. Экспериментальное определение зависимости напряжение-деформация при сложном нагружении по траекториям с одной точкой излома // Инж. журн. Механ. твердого тела. 1964. № 3. 592-600.

14. Ohashi Y. Effect of complicated deformation history on inelastic deformation behavior of metals // Mem. Fac. Eng. Nagoya Univ. 1982. 34, N 1. 1-76.

15. Бондарь В.С., Абашев Д.Р. Пластическое деформирование материалов, чувствительных к виду напряженного состояния // Вестн. Перм. нац. исслед. политехн. ун-та. Механика. 2018. № 1. 29-39.

16. Сенаторова О.Г., Антипов В.В., Бронз А.В., Сомов А.В., Серебренникова Н.Ю. Высокопрочные и сверхпрочные сплавы традиционной системы AL-ZN-MG-CU, их роль в технике и возможности развития // Технол. легких сплавов. 2016. № 2. 43-49

17. Зубчанинов В.Г., Алексеева Е.Г. Запаздывание векторных и скалярных свойств материалов при сложном нагружении // Вестн. Чуваш. гос. пед. ун-та им. И.Я. Яковлева. Механика предельного состояния. 2012. № 4. 26-39.

Поступила в редакцию 20.02.2023

УДК 539.3

О ВЫЧИСЛЕНИИ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА ПУАНКАРЕ-СТЕКЛОВА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОЙ УПРУГОЙ ПОЛОСЫ

А. А. Бобылев1

Рассматривается краевая задача для функционально-градиентной упругой полосы. Получено трехчленное асимптотическое разложение передаточной функции оператора Пуанкаре-Стеклова, отображающего на части границы полосы нормальные напряжения в нормальные перемещения. Построены аппроксимации Паде полученного асимптотического ряда. Предложен подход к вычислению передаточной функции с использованием асимптотического ряда и аппроксимаций Паде, сокращающий вычислительные затраты.

Ключевые слова: функционально-градиентная упругая полоса, оператор Пуанкаре-Стеклова, передаточная функция, асимптотическое разложение, аппроксимация Паде.

A boundary value problem is considered in a functionally graded elastic strip. A three-term asymptotic expansion of a transfer function is obtained for the Poincare-Steklov operator that maps normal stresses to normal displacements on a part of a strip boundary. Pade approximations are determined for the obtained asymptotic series. An approach to computing the transfer function using the asymptotic series and the Pade approximations is proposed, which reduces computational costs.

Key words: functionally graded elastic strip, Poincare-Steklov operator, transfer function, asymptotic expansion, Pade approximation.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-64-5-8

1. Введение. Перспективным направлением повышения триботехнических характеристик материалов является создание так называемых функционально-градиентных покрытий, представляющих собой гетерогенные структуры (композиты) с непрерывным изменением по глубине фазового

1 Бобылев Александр Александрович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ; ст. науч. сотр. Моск. центра фунд. и прикл. матем., e-mail: [email protected].

Bobylev Aleksandr Aleksandrovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theory of Elasticity; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics.

состава и как следствие физико-механических свойств [1]. При исследовании локального контактного взаимодействия тел с покрытиями в качестве расчетной схемы, как правило, выбирается упругая полоса или слой, сцепленные с основанием [2, 3]. Учет поверхностного микрорельефа контактирующих тел в виде волнистости или шероховатости приводит к постановке задач дискретного (множественного) контакта [4, 5].

В [6] рассмотрены задачи дискретного контакта однородной упругой полосы с жестким штампом, имеющим поверхностный микрорельеф. С использованием оператора Пуанкаре-Стеклова (ОПС) получены граничные вариационные формулировки задач множественного одностороннего контакта. При конечномерной аппроксимации граничных вариационных задач, в отличие от вариационных задач, используемых в методе конечных элементов [7], требуется дискретизировать только часть границы области — зону возможного контакта, что существенно уменьшает размерность получаемых дискретных задач и снижает вычислительные затраты.

Для упругой полосы ОПС Q : дп ^ ип, отображающий на части Гд границы (в зоне возможного контакта) нормальные напряжения дп в нормальные перемещения ип, имеет вид

где д(-) — функция Грина. Получить представление этой функции в явном виде для произвольной функционально-градиентной полосы (ФГП) весьма затруднительно.

Учитывая, что правая часть равенства (1) является интегральным оператором типа свертки, с помощью интегрального преобразования Фурье можно получить алгебраическое соотношение, связывающее трансформанты нормальных перемещений ип(а) и нормальных напряжений дп(а):

где а — параметр преобразования Фурье, С(а) = д(а) — трансформанта функции Грина. Действие ОПС сводится к выполнению прямого и обратного преобразований Фурье и перемножению трансформант.

Функцию С(а), следуя [8], будем называть передаточной функцией. В случае однородной полосы выражение для передаточной функции может быть получено аналитически [9]. Для ФГП эту функцию удается построить с помощью численно-аналитической методики для специальных законов изменения ее упругих свойств по толщине, в частности степенного или экспоненциального [3]. В случае произвольного закона используются приближенные подходы, основанные как на замене непрерывно-неоднородной полосы многослойной с кусочно-постоянной зависимостью упругих модулей от координаты [10], так и на прямом численном интегрировании краевых задач для систем дифференциальных уравнений по поперечной координате [8, 11]. Проблемы реализации таких подходов вызваны наличием экспоненциальных составляющих у фундаментальных решений соответствующих систем дифференциальных уравнений, что приводит к неустойчивости численных процедур решения задач Коши и их дискретных аналогов и к плохой обусловленности систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при удовлетворении граничным условиям. Основным способом преодоления указанных трудностей является применение метода модулирующих функций, предложенного в [12]. Суть этого метода состоит в выделении в явном виде экспоненциальных составляющих при построении матрицы Грина, в результате чего проблема сводится к отысканию некоторых модулирующих функций ограниченной вариации.

В [13] для построения передаточной функции предложен новый подход, основанный на использовании вариационной формулировки краевой задачи для трансформант перемещений. Аппроксимация вариационных уравнений производилась методом конечных элементов. Для численного решения задачи применяется нестационарный итерационный метод, на каждом шаге которого методом прогонки решаются две системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональными матрицами. Разработан эвристический алгоритм выбора последовательности параметров итерационного метода, обеспечивающей сходимость итерационного процесса для любых значений параметра преобразования Фурье а.

Таким образом, для произвольной ФГП передаточная функция может быть построена численно. В этом случае для приближенного вычисления результата действия ОПС с помощью соотношения (2) целесообразно использовать дискретные преобразования Фурье, для эффективной численной реализации которых применяют алгоритмы быстрого преобразования Фурье.

(1)

ип(а) = С(а)д_п (а),

(2)

При решении контактных задач для упругой полосы частота дискретизации полагается равной 2п/Ь, где Ь — размер вычислительной области, а число вычисляемых значений передаточной функции равно половине числа граничных элементов [6]. Для решения задач дискретного контакта требуются достаточно мелкие сетки. В [6] при решении задачи о вдавливании в упругую полосу жесткого штампа с поверхностным рельефом, имеющим 512 микровыступов, использовалась сетка из 219 = 524288 элементов. Для уменьшения вычислительных затрат в случае больших значений параметра а целесообразно прибегнуть к ее асимптотическому разложению при а ^ то.

В [8] приведен главный член асимптотического разложения при а ^ то. Выполненные вычислительные эксперименты (см. п. 10) показали, что для однородной полосы при а > 10 относительное расхождение численного и одночленного асимптотического решений не превышает 10-5. Для ФГП такая же близость решений достигается лишь для значений а, больших на несколько порядков. Поэтому для расширения диапазона использования асимптотического решения необходимо увеличить количество его членов.

В настоящей работе для ФГП построены три члена асимптотического разложения передаточной функции ОПС при а ^ то. Постановка краевой задачи теории упругости, с помощью решения которой определяется ОПС, дана в п. 2. Краевая задача для трансформант перемещений, полученная в результате применения преобразования Фурье, приведена в п. 3. В пункте 4 производится переход к малому параметру, в результате получена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных. Внешнее асимптотическое разложение решения этой краевой задачи строится в п. 5, а внутреннее — в п. 6. Трехчленное асимптотическое разложение передаточной функции приведено в п. 7. Для полученного отрезка асимптотического ряда в п. 8 построены аппроксимации Паде (АП). Алгоритм вычисления передаточной функции с использованием асимптотического ряда и АП предложен в п. 9, а в п. 10 приведены результаты численных экспериментов, подтверждающие существенное сокращение вычислительных затрат.

2. Постановка краевой задачи. Сформулируем краевую задачу, с помощью которой вводится ОПС. Пусть ФГП толщины Н занимает область О = {х = (х^х2) € М2 : |х1| ^ то, 0 ^ х2 ^ Н}. Границу полосы х2 = 0 обозначим через Го, а границу х2 = Н — через Г1. Под ик(х), 0к1(х), к, I = 1, 2, будем понимать соответственно компоненты вектора перемещений и тензора напряжений в точке х € О. Предполагается, что ФГП находится в условиях плоской деформации, деформации малы, а массовые силы и напряжения в недеформированном состоянии отсутствуют. Параметры Ламе материала ФГП будем считать достаточное число раз дифференцируемыми функциями координаты Х2. Из физических соображений следует, что существуют постоянные Л* > 0 и > 0, такие, что

Л(Х2) ^ Л*, ^(Х2) ^ 0 < Х2 < Н. (3)

Напряженно-деформированное состояние полосы О описывается системой уравнений

011,1 + ^ 12,2 = 0, 0-12,1 + 022,2 = 0, (4)

011 = (Л + 2^)«1,1 + Ли2,2, 012 = М«1,2 + И2д), 0 22 = Л«1Д + (Л + 2^)^2,2- (5)

По границе Го полоса соединена с недеформируемым основанием. В случае полного сцепления граничные условия имеют вид

и1 = и2 = 0 на Го. (6)

На части границы Гд С Г1 приложена нормальная нагрузка:

022 = 9, 021 = 0. (7)

Остальная часть границы Г1 \ Гд свободна от внешних нагрузок:

022 = 021 = 0- (8)

Предполагается, что участок границы Гд является конечным, а главный вектор внешних усилий имеет ограниченную величину:

ё1ашГ„ < то,

< то. (9)

Для замыкания постановки краевой задачи необходимо задать условия на бесконечности. Обычно в качестве таковых используются условия, характеризующие определенный порядок изменения перемещений и напряжений на бесконечности. Как правило, эти условия носят чисто математический характер. Более естественным является условие конечности потенциальной энергии деформации полосы

У [А(М1Д + П2,2)2 + 2^(й\1 + й|2) + М«1,2 + и2,1)2] ^ < ГС), (10)

П

которое вполне замыкает постановку задачи и определяет поведение решения на бесконечности [9]. Введем безразмерные параметры:

Хг = Хг/Н, Щ = йг/Ь, О^ = О^/Е*, г] = 1, 2,

Л = Х/Е*, Д = Ц./Е*, д = д/Е*,

где Е* — характерное значение модуля Юнга, например максимальное или среднее значение по толщине ФГП. Перейдем во всех соотношениях (3)—(10) постановки задачи к безразмерным параметрам. Для упрощения обозначений символ "далее будем опускать.

3. Применение преобразования Фурье. Введем преобразования Фурье от компонент перемещений и напряжений обычными формулами:

с те

йк(а, х2) = У ик(х1,х2) ехр(—гах1) йх1, Ок1(а, х2) = J окг(х1,х2) ехр(—гах1) йх1. (11)

— с —с

Далее будем полагать, что все преобразования Фурье (11) существуют.

Умножим уравнения (4) и (5) на ехр(—гах1) и проинтегрируем по х1 от —то до то. В результате получим систему равенств, которые после интегрирования по частям превращаются в систему соотношений относительно трансформант йк, О кг и их производных, рассматриваемых как функции переменной х2:

гаа11 + а'12 = 0, гаа12 + О22 = 0, О11 = га(Х + 2ц)%11 + Хй'2, О12 = ^(Щ + гай2), О22 = гаХй1 + (Х + 2у)й!2. (12)

Исключив из этой системы трансформанты напряжений Ткг и сделав замену

й1(а, х2) = г1(а,х2), й2(а,х2) = гг2(а,х2), (13)

придем к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

(^г'1)' — а(р1г2)' — аХг2 — а2(Х + 2^)г1 = 0, (14)

((Х + 2^)г'2)' + а(Хг1)' + а^г[ — а2^г2 = 0. (15)

Применим далее преобразование Фурье к граничным условиям (6)—(8), предполагая существование преобразования Фурье заданной на Гд функции д(х1):

д(а) = У д(х1) ехр(—гах1) йх1. (16) Гд

В результате с учетом (12) и (13) получим краевые условия для системы уравнений (14), (15):

г1 =0, г2 = 0 при х2 = 0, (17)

(Х + 2ц)г2 + аХг1 = —р, — ац.г2 = 0 при х2 = 1, (18)

где

р = гд = го2а\Х2=1- (19)

Из формул (2), (13), (16) и (19) вытекает соотношение для определения передаточной функции С(а) с помощью решения краевой задачи (14), (15), (17), (18):

С(а) = -^г(а, 1)/р(а). (20)

4. Переход к малому параметру. Введем малый параметр е = 1/а. Полагая а = 0, запишем систему уравнений (14), (15) и краевые условия (17), (18) в виде

е2(^и1)' - е(^2)' - еЛг2 - (Л + = 0, (21)

е2((Л + 2^)г2)' + е(Л^1)' + е^ - № = 0, (22)

г1 = 0, г2 = 0 при х2 = 0, (23)

е(Л + 2^)г2 + Лг1 = -ер, е^г^ - ^г2 = 0 при х2 = 1. (24)

Система уравнений (21), (22) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных. Метод асимптотического интегрирования таких уравнений, состоящий из двух итерационных процессов, предложен в [14].

5. Внешнее асимптотическое разложение. С помощью первого итерационного процесса построим приближенное решение V£ = (г1£,г2£) краевой задачи (21)—(24) в виде многочлена по е:

г^(е, х2) = г^(о)(х2) + ег^)(х2) + е2г^)(х2) + е3г^з) (х2) + ..., г = 1,2. (25)

Подставляя (25) в (21)—(24) и собирая члены с одинаковыми степенями е, получаем для определения г»(п), г = 1, 2, п = 0,1, 2,..., следующую рекуррентную последовательность краевых задач: при ео

(Л + 2^Н(о) = 0, (26)

№(о) = ° (27)

г1(о)(0)=0, г2(о)(0)=0, (28)

г1(о)(1)=0, г2(о)(1)=0; (29)

при е1

(Л + 2^)г1(1) = -(Л + ^)г2(о) - ^'г2(о), (30)

№(1) = (Л + ^К(о) + Л'г1(о), (31)

г1(1)(0)=0, г2(1)(0)=0, (32)

Л(1)г1(1)(1) = -р - (Л(1) + 2М(1))г2(о)|Ж2=1, гад(1) = гЦЦ^; (33) при еп, п = 2, 3,... ,

(Л + 2^)г1(п) = -(Л + ^)г2(п_1) - ^'г2(п_1) + (^гi(n-2))^ (34)

№(п) = (Л + ^К(п-1) + Л'г1(п_1) + ((Л + ^К^)^ (35)

г1(п)(0)=0, г2(п)(0) = 0, (36)

Л(1)г1(п) (1) = -(Л(1) +2^(1))г2(п_1)|Я2=1, г2(п)(1) = г'^) Ц=г (37)

Имея в виду условие (3), несложно проверить, что тривиальное решение

г,(п) = 0, г = 1,2, п = 0,1,2,..., (38)

является единственным решением, удовлетворяющим всем соотношениям (26)—(37), кроме первого краевого условия из (33). Для удовлетворения этому условию построим вблизи точки х2 = 1 дополнительное решение типа погранслоя, используя второй итерационный процесс [14].

6. Внутреннее асимптотическое разложение. Вблизи точки х2 = 1 решение типа погран-слоя гше = ('1£ ,'2е) ищется в виде многочлена по е:

'ге(е, х2) = ешг(1) (С) + е ш^) (С) + е (С) + ..., г = 1,2,

где С = (1 — х2)/е — "растянутая" координата.

Разложим параметры Ламе материала ФГП в ряд Тейлора в точке х2 = 1:

Х(х2) = Хо + Х1(х2 — 1) + Х2(х2 — 1)2/2 + Хз(х2 — 1)3/6 + ... = = Хо — еХ1С + е2Х2С2/2 — е3ХзС3/6 + ...,

Мх2) = Мо + М1(х2 — 1) + М2 (х2 — 1)2/2 + Мз(х2 — 1)3/6 + ... = = Мо — ещ£ + е2М2С2/2 — е3Ц3С3/6 + ...,

(39)

(40)

(41)

йк х

где А0 = А(1), ¡1о = 1), \к = —г

йх2

(1кЦ,

Х2 = 1 ^к (1х 2

Х2 = 1

, к = 1,2,....

Принимая во внимание (38), подставим (39)—(41) в (21)—(24). Собирая далее члены с одинаковыми степенями е, получаем для определения 'г(п), г = 1, 2, п = 1, 2,..., следующую рекуррентную

при е

2

последовательность краевых задач: при е1

Мо'щ) + (Хо + Мо)'2(1) — (Хо + 2цо)'1(1) = 0, (Хо + 2мо)'2(1) — (Хо + Мо)'^) — Цо'2(1) = 0, (Хо + 2мо)'2(1) |?=о — Хо'1(1) (0) = р, ш[(1) \?=о + '2(1) (0) = 0, '1(1)(С)=0, '2(1)(С) = 0, С

Мо'"(2) + (Хо + Мо)'2(2) — (Хо + 2мо)'1(2) = = М1С''{(1) + М1''1(1) + (Х1 + М1)С'2(1) — (Х1 + 2М1)С'1(1) + М1'2(1),

(Хо + 2мо)'2(2) — (Хо + Мо)'1(2) — Мо'2(2) = (Х1 + 2м1)С'2(1) — (Х1 + М^С'^) + (Х1 + 2м1)ш2(1) — Х^о — М1С'2(1),

(Хо + 2Мо)ш2(2) \?=о — Хо'1(2) (0) = 0, '[(2) \?=о + '2(2) (0) = ° ш1(2)(С) = 0, '2(2) (С) = 0, С

Мо'"(3) + (Хо + Мо)'2(3) — (Хо + 2мо)'1(3) = = М1Ы{(2) + М1'1(2) + (Х1 + М1)С'2(2) — (Х1 + 2М1)С'1(2) + М1'2(2) — —М2С2'1(1) /2 — М2С'\(\) — (Х2 + М2)С2'2(1)/2 + (Х2 + 2М2)С2'1(1)/2 — М2С'2(1),

(Хо + 2Мо)'2(3) — (Хо + Мо)'11(3) — Мо'2(3) =

= (Х1 + 2М1)С'2(2) — (Х1 + М1)С''1(2) + (Х1 + 2М1)'2(2) — Х1'1(2) — М1С'2(2) — — (Х2 + 2М2)С2'2(1) /2 + (Х2 + М2)С2w'l(1)/2 — (Х2 + 2М2)С'2(1) + Х2С'1(1) + М2С2'2(1)/2,

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

при е

3

(50)

(Ао + 2^)4(3) lç=o - Aowi(3) (0) = 0, w1(3) |Ç=Q + w2(3) (0) = 0, (52)

wi(3) (0=0, W2(3) (£) = 0, £ ^TO; (53)

Для решения краевых задач (42)—(45), (46)—(49) и (50)—(53) применялась система компьютерной алгебры SageMath. Полученные аналитические решения использовались для построения трехчленного асимптотического разложения передаточной функции ОПС. Сами решения в настоящей работе не приводятся ввиду их громоздкости.

7. Трехчленное асимптотическое разложение передаточной функции. Используя полученные аналитические решения г = 1,2, п = 1,2,3, краевых задач (42)—(45), (46)-(49) и (50)-(53), по формуле (20) вычислим трехчленное асимптотическое разложение передаточной функции:

Сз£ (е) = еС + е2С2 + е3Сз + 0(е4), (54)

где

Ао + 2^о

=

2^о (Ао + ^о)' = Л1 (ЗЛ^ + бЛр/хр + АцРт

2~4(А0+/х0)2 4/Х2(Ло+/Х0)2 '

_ Л2 (6Л^ + 12Л0/х0 + 7/Хд)/Х2 (Ар - 2цр\1Ц1 8(Ло + /хо)2 8/х2(А0+/х0)2 4№(Ао + 2/х0)(Ао + /хо)3

(2Ао + 3^о)А2 (11 Ао + 56А3^о + 100Ао^2 + 78Ао ^о + 24^4)^1 8(Ао + 2№)(АО+Ы3 8/х3(АО + 2№)(АО+Ы3

Нетрудно видеть, что для однородной полосы С = Сз = 0. Отметим также, что полученное выражение для С совпадает с главным членом приведенного в [8] разложения передаточной функции

аде) = еС1 + о(е).

При решении прикладных задач упругие свойства материалов, как правило, задаются с помощью модуля Юнга Е и коэффициента Пуассона V. Далее приведены выражения для коэффициентов асимптотического разложения (54) через эти параметры и их производные:

Gi =

2(1 - vo2)

G =

Eo

(l + г/р)(2-v0)E1 _ (1 - 2щ)щ El Eo

(1 + г/0)(7-2Щ)Е2 (5 — 4г/р)г/2 ЪЕхух (1 + щ)(6 - щ)Е\ (1 + z/Q>2 3 4El + АЕ0 2El + 2Е3 Е0(1 - »I):

E v

ж2=1 ' fc dxo

, k = 1,2.

i

где Eo = E(l), i/o = 1/(1), Ek =

x2=i ux2

8. Аппроксимации Паде. В настоящее время использование АП считается одним из перспективных подходов к суммированию степенных рядов. АП являются наилучшими рациональными аппроксимациями заданного степенного ряда, они конструируются непосредственно по его коэффициентам и позволяют осуществлять аналитическое продолжение этого ряда за пределы его круга сходимости [15].

Построим АП [n/m]

q0 + aie + ... + апеп

- 1 + bl£ + ... + bm£m

для трехчленного асимптотического разложения передаточной функции Сэ£ (е). Коэффициенты АП определяются из условия [15]

Сэв(е)= Р[п/т] (е) + 0(е4),

где п + т = 3. Несложно показать, что для С3е(е) существуют две АП: [1/2] и [2/1]. Выражения для коэффициентов обеих АП можно получить в явном виде:

[1/2] : ас = 0, ^ = ^, = -^М, ^ = (^2 - Сз)/С?;

[2/1] : ас = 0, а1 = , а2 = (^2 - Сз)/^2, Ь1 = -Сз/^.

9. Алгоритм вычисления передаточной функции. При использовании для решения задач дискретного контакта вычислительного алгоритма [6] необходимо найти значения передаточной функции С{а) в точках сетки ак = ксоа, к = 0, К. Для ФГП это можно сделать с помощью вычислительного алгоритма [13], однако при больших значениях K потребуются значительные вычислительные затраты. С целью их сокращения предлагается следующий подход. С помощью алгоритма [13] последовательно вычисляются сеточные значения передаточной функции ) начиная с малых к = 0,1, 2,... и для каждого индекса к производится проверка условий

|С(а*) - ^(1/а*)| <5|С(аЛ)|, г = 1,2,3,4, (55)

где {^1,^2,^3,^4} = {С1е, С3е, Р[1/2], Р[2/1]} — набор аппроксимирующих функций; 5 — заданный параметр, характеризующий расхождение значений.

Обозначим через к(г), г = 1,2,3,4, наименьшее значение индекса к, начиная с которого условие (55) для аппроксимирующей функции ^ выполняется подряд заданное число раз I. Для практических расчетов можно полагать I = 5 10. Пусть к(т) — наименьшее из к(г). Тогда начиная с к = к(т) + I для вычисления передаточной функции вместо алгоритма [13] следует использовать аппроксимирующую функцию Ет. Если к(т) совпадает с двумя или более к(г), то можно воспользоваться любой соответствующей этим индексам аппроксимирующей функцией.

10. Вычислительный эксперимент. Для подтверждения эффективности предложенного подхода был проведен вычислительный эксперимент для шести типов ФГП, у которых коэффициент Пуассона принимался постоянным по толщине V = 0.3, а модуль Юнга изменялся по одному из следующих законов:

1) Е(Х2)=0.5 + Х2; 2) Е(ж2) = 0.5 + х2; 3) Е(хг) = 0.5ехр(2ж2);

4) Е(х2) = 1.5 - Х2; 5) Е(х2) = 1.5 - х2; 6) Е(^2) =4 - 0.5 ехр(2х2).

В таблице приведены значения к(г), г = 1, 2, 3, 4, для каждой из перечисленных выше ФГП. Для однородной полосы (Е(х2) = 1) аналогично получено к(1) = к(2) = 8.

Результаты вычислительного эксперимента

ifeW 1 2 3 4 5 6

kM 40440 76943 > 105 > 105 > 105 > 105

kw 46 47 61 168 382 2572

k^ 29 53 19 97 234 1498

kw 26 56 67 86 189 1281

При проведении расчетов принимались следующие значения параметров: l = 10, 5 = 10-5, = 1. Параметры алгоритма работы [13] выбирались в соответствии с указанными там рекомендациями.

11. Выводы. Анализ результатов проведенного вычислительного эксперимента показал, что предложенный подход к вычислению передаточной функции ОПС для ФГП с использованием трехчленного асимптотического разложения и построенных на его основе АП позволяет существенно сократить вычислительные затраты.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Saleh B., Jiang J., Fathi R., Al-hababi T., Xu Q., Wang L., Song Dan., Ma A. 30 Years of functionally graded materials: An overview of manufacturing methods. Applications and Future Challenges // Composites. Part B: Engineering. 2020. 201. 108376.

2. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1963.

3. Barber J.R. Contact Mechanics. Cham: Springer, 2018.

4. Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия. М.: Наука, 2001.

5. Торская Е.В. Модели фрикционного взаимодействия тел с покрытиями. М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2020.

6. Бобылев А.А. Алгоритм решения задач дискретного контакта для упругой полосы // Прикл. матем. и механ. 2022. 86, вып. 3. 404-423.

7. Бобылев А.А., Белашова И.С. Численное решение плоских контактных задач для упругих тел с функционально-градиентными покрытиями // Нелинейный мир. 2013. 11, № 10. 689-695.

8. Ватульян А.О., Плотников Д.К. К исследованию контактной задачи для неоднородной упругой полосы // Прикл. матем. и механ. 2021. 85, вып. 3. 283-293.

9. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974.

10. Никишин В.С. Статические контактные задачи для многослойных упругих тел // Механика контактных взаимодействий. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 212-233.

11. Айзикович С.М., Александров В.М., Белоконь А.В., Кренев Л.И., Трубчик И.С. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

12. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Методы построения матриц Грина для стратифицированного упругого полупространства // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. 27, № 1. 93-101.

13. Бобылев А.А. Численное построение трансформанты ядра интегрального представления оператора Пуан-каре-Стеклова для упругой полосы // Дифференц. уравнения. 2023. 59, № 1. 115-129.

14. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи матем. наук. 1957. 12, вып. 5. 3-122.

15. Бейкер Дж., мл., Грейвс-Моррис П. Аппроксимация Паде. М.: Мир, 1986.

Поступила в редакцию 09.03.2023