Об одной модели деформирования неоднородной полосы и идентификации ее свойств Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE. 2019. No. 4

УДК 539.3 DOI 10.23683/0321-3005-2019-4-19-26

ОБ ОДНОЙ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ ПОЛОСЫ И ИДЕНТИФИКАЦИИ ЕЕ СВОЙСТВ*

© 2019 г. А.О. Ватульян1,2, А.А. Поддубный1

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия, 2Южный математический институт ВНЦРАН, Владикавказ, Россия

ON A MODEL OF DEFORMATION OF AN INHOMOGENEOUS STRIP AND IDENTIFICATION OF ITS PROPERTIES

A.O. Vatulyan1'2, A.A. Poddubny1

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia, 2Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Russia

Ватульян Александр Ованесович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия; заведующий отделом дифференциальных уравнений, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362027, Россия, e-mail: vatulyan@math.sfedu.ru

Поддубный Алексей Андреевич - аспирант, кафедра теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: poddubny_sfedu@mail.ru

Alexander O. Vatulyan - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of the Department of Elasticity Theory, Vo-rovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Head of the Department of Differential Equations, Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Marcusa St., 22, Vladikavkaz, Republic of North Osse-tia - Alania, 362027, Russia, e-mail: vatulyan@math.sfedu.ru

Alexey A. Poddubny - Postgraduate, Department of Elasticity Theory, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: pod-dubny_sfedu@mail.ru

* Работа выполнена при частичной поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (проект 9.4726.2017/8.9).

Представлена модель деформирования кусочно-неоднородной в нормальном направлении упругой полосы, состоящей из двух неоднородных полос, при контактном взаимодействии с параболическим штампом. Сформулированы гипотезы о характере изменения компонент поля перемещений, на основе которых с использованием метода Канторовича и вариационного принципа Лагранжа представлена упрощенная постановка задачи. Из вариационного принципа были получены уравнения Эйлера функционала в виде системы двух дифференциальных уравнений четвертого порядка. С помощью интегрального преобразования Фурье найдена связь трансформант вертикального смещения и контактного напряжения. Контактная задача сведена к исследованию интегрального уравнения Фредгольма, причем приближенное выражение символа ядра интегрального уравнения построено на основе упрощенной постановки задачи. Приводится сравнительный анализ результатов прикладной модели и расчетов на основе МКЭ. Представлены результаты зависимостей сила - внедрение, внедрение - величина зоны контакта, а также вертикального смещения. Решение обратной задачи реализовано с использованием метода Прони на базе известной информации о вертикальных смещениях верхней границы полосы на равномерной сетке. Такой подход позволил восстановить закон изменения модуля Юнга кусочно-неоднородной полосы в классе линейных функций при постоянном значении коэффициента Пуассона.

Ключевые слова: упругость, контактная задача, неоднородность, полоса, вариационный метод, обратная задача, идентификация свойств, индентирование.

The paper presents a model of deformation of a piecewise inhomogeneous elastic strip, consisting of two inhomogeneous strips in contact interaction with a parabolic stamp. Hypotheses are formulated on the nature of changes in the components of the displacement field, based on which a simplified statement of the problem is formulated using the Kantorovich method and

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 4

the variational Lagrange principle. From the functional ofpotential energy and the variational principle, Euler equations were obtained in the form of a system of two fourth-order differential equations. Due to the integral Fourier transform, a relationship was found between the transformants of the vertical displacement and the contact pressure. The contact problem is reduced to the study of the Fredholm integral equation, and an approximate expression of the kernel symbol of the integral equation is constructed on the basis of a simplified statement of the problem. A comparative analysis of the results of the applied model and calculations based on the FEM is presented. The results of the force - penetration, penetration - magnitude of the contact zone, and also vertical displacement are presented. The inverse problem is solved using the Prony method based on the known information about the vertical displacements of the upper boundary of the strip on a uniform grid. This approach allowed us to restore the law of variation of the Young's modulus of a piecewise inhomogeneous strip in the class of linear functions with a constant value of the Poisson's ratio.

Keywords: elasticity, contact problem, heterogeneity, strip, variotional method, inverse problem, properties' identification, indentation.

Введение

Эффективным методом улучшения износостойкости различных элементов конструкций является нанесение защитных покрытий (антикоррозионных, термобарьерных и др.) [1-3]. При эксплуатации функционально-градиентных структур с покрытиями возникает ряд проблем. Так, например, концентраторами напряжений являются места резкого изменения физико -механических характеристик, т.е. границы сопряжения материалов. Покрытия с изменяющимися по толщине свойствами позволяют улучшить прочность и износостойкость конструкций из таких материалов и продлить их долговечность. Для успешного использования таких покрытий и оценки их контактной прочности необходима разработка метода определения приповерхностных свойств элементов конструкций из неоднородных материалов.

Одним из наиболее распространенных методов является контактный способ оценки податливости среды, или метод индентирования. Этот метод зарекомендовал себя как эффективный способ определения материальных свойств образцов без их полного разрушения. Основные инженерные формулы, использующиеся в современных устройствах индентирования, базируются на классическом решении контактной задачи Герца [4], а также на популярной модели Оливера - Фарра аппроксимации кривой сила -внедрение [5]. Контактное взаимодействие для функционально-градиентных материалов не всегда может быть описано теорией Герца с удовлетворительной точностью [6, 7] и требует решения новых контактных задач. В этой ситуации необходимо развивать более адекватные математические модели процессов индентирования с учетом неоднородных свойств образцов и покрытий.

Основным методом исследования контактных задач в рамках модели однородной теории упругости является сведение краевой задачи к решению интегрального уравнения с логарифмическим или сингулярным ядром [8]. При решении задач о контактном взаимодействии для неоднородных структур ядро интегрального уравнения не может быть найдено в аналитическом виде и строится либо численно, либо на основе приближенных моделей. В ряде работ были разработаны численно-аналитические схемы построения символа ядра и решения интегрального уравнения для функционально-градиентного покрытия, лежащего на упругом полупространстве [9], а также для непрерывно-неоднородного слоя и полупространства [10]. В [9] для расчета контактных напряжений, возникающих на поверхности, используется двухсторонний асимптотически точный метод решения контактных задач теории упругости для тел с неоднородными покрытиями. Данный метод позволяет получить приближенные полуаналитические решения высокой точности для контактных давлений, возникающих на поверхности неоднородных покрытий при произвольном характере изменения упругих модулей по глубине.

В [11] полученные интегральные уравнения для модели двухслойного основания решены методом больших X. Асимптотический метод для относительно тонких слоев был применен в [12]. В [13] для задачи с переменной областью контакта использован метод нелинейных граничных уравнений.

Иной подход к решению задач контактного взаимодействия для неоднородных сред заключается в разработке упрощенных моделей основания на основе некоторых допущений [14, 15], что позволяет находить приближенное выражение для ядра интегрального уравнения в аналитическом виде и более простым способом - кривые

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

сила - внедрение. Созвучные этому подходы для оценки контактного деформирования для кусочно-неоднородной полосы и реализованы в настоящей работе.

Исследования показали, что такие подходы позволяют дать оценку градиентности свойств покрытия и основания и построить решения простых обратных задач для функционально-градиентных материалов с покрытиями.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 4

Постановка задачи

Рассмотрим контактную задачу о внедрении жесткого штампа в упругую двухслойную неоднородную полосу в рамках плоской постановки. Полоса состоит из двух частей: полосы 1 толщиной к и полосы 2 толщиной ^ . Их свойства изменяются произвольным образом по толщинной координате и могут терпеть разрыв на границе (рис. 1).

1 р

[ 1

,, 2

К 1

/////////////////////

Рис. 1. Схема нагружения / Fig. 1. Loading scheme

Полосу будем считать жестко защемленной по нижнему основанию. Гладкий штамп параболической формы вдавливается в полосу силой P, силы трения между полосой и штампом отсутствуют. Коэффициенты Лямэ — положительные функции вертикальной координаты u = ), Л = Л(x3).

Уравнения равновесия и определяющие соотношения задачи в плоском случае имеют вид

i, j = 1,3,

j = 0

5м i дыз 1 8ы1 ™3

£11 , £зз =, S13 = ~z (т; + ),

8x1 8x3 2 8x3 8x1

°"11 = ^(sii +S33) + 2US11, ^33 = ^(sii + S33) + 2US33, o"i3 = 2US13.

1 , 8u3-

Граничные условия представимы в форме хь0) = Мз(х1;0) = 0, ст1з(хь к) = 0 , <У33(х1,к) = 0, |х1 > а,

1 2 I I

и3(х1,к) = 5--х1 , < а,

2К

где а — полуширина области контакта; R — радиус кривизны штампа.

Условие равновесия штампа

а

Р(а, 5) =| д( х1 '^х1 .

Построение упрощенной модели

Сформулированная смешанная задача для оператора с переменными коэффициентами может быть исследована на основе сведения к интегральному уравнению относительно контактного давления, ядро которого определяется численно [9, 10]. Рассмотрим иной подход для нахождения приближенного решения. В [15] были сформулированы гипотезы, позволяющие анализировать контактные задачи для непрерывных законов неоднородности, однако они не позволяют учесть сопряжение соответствующих компонент тензора напряжений на границе раздела. Для преодоления этой особенности введем в рассмотрение несколько иные гипотезы о характере компонент поля перемещений.

„« = м(x1) Ъ , м(1) = w(x1)^,

u (2) =-

x3 - h

u( x1) +

u(2) =-X3-h w( xi) + Ъ-Ь w (xi).

hi

^ U (xi) h2

x3 - h

(1)

h

Ь

'2 к2 Верхний индекс соответствует полосе, в которой соответствующая функция определяет перемещения. Свойства каждой из полос могут изменяться произвольным гладким образом по тол-щинной координате. Функции и(х1) , ^(х^ -смещения на границе слоев хз = к1 ; и (х^ , Ж(х1) - смещения на верхней границе хз = к . Функции (1) выбраны так, что выполняется непрерывность смещений на границе слоев.

Из условий сопряжения на границе полос для компонент вектора напряжений 013, 033 получаем

a

h

2

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION. h2

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 4

U = (1 + G1—)u + h2(G1 - 1)w',

h

W = h2G2u '+(1 + G3 hh2)w,

(2)

где Gi =

^2

G2 =

К1 — К К2 + 2 ^2

G =

К — 2^1

Ä2 + 2 ^2

К = lim Л,(*з):

Х3 ^h —0

К = lim К( хз),

Х3 ^h +0

K = lim Kx,), K2 = lim Kx)-

X3 ^h -0 X3 ^h +0

Таким образом, гипотезы о структуре полей перемещений принимают вид

"(2) = (-~~—h + (x3 -h1)a1)u(x1) + (x3 - A1)a2w'(x1),

,(2)-

= (—

h2

Х3 — h h

+ (Х3 — h1 )b1)w(Х1) + (Х3 — h1 )b2u'(Х1) , (3)

где Ü1 =

^1h2 + ^2h1

a? =

fh —M2

М2И1И2 М2

ъ + 2^2) + МЛ + 2^1) ^ = Л — Л

^ (Л + 2^) ' ^2 + 2^2 Соотношения (3) фактически задают гипотезы ломаной нормали для функционально-градиентной полосы. Для формулировки соответствующих краевых задач для введенных новых функций рассмотрим вспомогательную задачу о действии нормальной нагрузки д( Х1) на отрезке [— а, а] верхней границы полосы. Запишем функционал потенциальной энергии для двухслойной полосы:

1 h1

П = П1 +П2 =1 J J (гЦ)еЦ)dx1 dx3 +

9 , , г] г]

2 0 — го

1 И ^ (2) (2) а + — | | <г>- )е>-)дх^з — | дщ(Х1, Щй%1 . (4)

2 А1 —го —а

С учетом принятых гипотез преобразуем функционал (4).

1 го

П = - | ((А1 + В1 У2 + (А2 + В4 )и'V +

2 —го

+ (А3 + В6)м>2 + (А4 + В7)и2 + (А5 + В8)и^'+

+ (А6 + В9)^' +В2и' +B5wW+

2 * * + В10ии' '+В11^,'и' '+В12и" — Ъф* — Н2Ь2ди* )дх1,

где А, В], В] - постоянные, представляющие

собой некоторые интегральные характеристики законов неоднородности. В силу громоздкости выражений приведем, например, А\ и В\2.

A = J (К(Хз) + 2^(Х3)) -г- dx3,

#12 = J^2( Х3)

h1

M1

^2

^ h1x3 — К

К + 2^2

dx3 .

Варьируя упрощенный функционал на основе вариационного принципа Лагранжа и приравнивая коэффициенты при одинаковых вариациях, получим систему двух дифференциальных уравнений четвертого порядка с постоянными коэффициентами:

2В12и1Г — (В2 — В11)^"'+(—2(А1 + В1) + 2В10)и' '— — (А2 + В4 — А5 — В8)^'+2(А4 + В7)и + 2А2Ь2д ' = 0, (5) 2В3^1У + (В2 — В11 )и '''+(—2(А + В9) + 2В5 ''+

+ (А2 + В4 — А5 — В8)и'+2(А3 + В6)м> — ТИ^ц = 0 .

На основе вариационного принципа также получены стыковые условия, которые не приводятся в силу громоздкости.

Используя преобразование Фурье и соотношения (2), установим связь между нагрузкой на верхней границе и вертикальным смещением на ней и получим выражение для передаточной функции:

W = K (а)~ K (а) =

(6)

6 4 2

а3а + а2а + а1а + a0

Ь4а8 + Ь3а6 + Ь2а4 + Ь1а2 + Ь0

Переходя от трансформант в (6) к оригиналам, получаем операторное уравнение, связывающее вертикальные смещения с нагрузкой:

Ь4Ж(8) — Ь3Ж(6) + Ь2Ж(4) — Ь1Ж(2) + Ь0Ж =

= — а3д(6) + а2д(4) — а1д(2) + а0д . (7)

Приравнивая вертикальные смещения в зоне контакта к перемещениям штампа и учитывая убывание на бесконечности Ж(Х1) ^ 0, (Х1 ^ го),

2

получим, что в зоне

Ж = —6 + — х,2 , (Iх,|<а). 2Я 1 1 11

контакта операторное уравнение (7) для определения напряжений принимает вид

-a3q(6) + a2q

(4) — aq+aoq = — ^^ + b>(—8 + ^ Х12). (8)

o

2

3

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.

Характеристические числа для оператора шестого порядка в левой части (8) имеют вид Л12 = ±Л, Л3 4 = <р±iy, Л5 6 = ±^+ iу.

Учитывая четность функции q(xi) , находим решение (8) в виде

q( x1) = C1 (eÄixi + e) + (C2 + iC3 )(e + e) +

+ (C2 - iC3)(e^Xi + e^xi) + Bmx2 + B00.

Подставляя найденное решение в систему дифференциальных уравнений (5), найдем решение для функций u,w . Решая систему из 8 уравнений на основе стыковых условий, определим 7 неизвестных констант и параметр 5. Они зависят от параметра a и в силу громоздкости не приведены.

Результаты численного исследования прямой задачи

Далее представлены результаты вычислительных экспериментов для некоторых законов неоднородности (кусочно-линейных и кусочно-квадратичных; для простоты далее считаем толщину полосы равной 1):

Л( *3) = 0,5x3 + 0,5; Л2( x3) = -i,ix3 + 3; U (x3) = x3 + 2; u2 (x3) = -i,5x3 + 3,2;

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 4

II)

Рис. 2. Вертикальное смещение верхней границы / Fig. 2. Vertical displacement of an upper border

Л1 (х3) = -1,6х3 + 5; Л2 (х3) = х3 + 2,7; /и1 (хз) = -1,6х3 + 3; /и2 (х3) = х3 + 4,3;

1П) Л (хз ) = -0,5х| + 0.7; Л2 ( хз ) = -1,1 хз + 3;

И (хз ) = -х3 + 2; ц2 (хз ) = -1,5хз + 3,2.

В формулах нижний индекс задает номер слоя, в котором закон определяет неоднородные свойства. Группа I): слой 1 — возрастающие линейные законы, слой 2 - убывающие; группа II): слой 1 — убывающие линейные законы, слой 2 - возрастающие; в группе III) представлены квадратичные убывающие законы в слое 1 и линейные убывающие в слое 2. Геометрические параметры слоев задаются соотношениями к1 = 0,9 , к2 = 0,1 . На рис. 2 представлен график вертикального смещения верхней границы полосы в приконтактной зоне. Рисунок 3 показывает зависимость силы, действующей на штамп, от внедрения.

Зависимость внедрение - величина зоны контакта представлена на рис. 4. Кривые обозначены римскими цифрами по группам соответствующих им законов.

Рис. 3. Зависимость сила - внедрение / Fig. 3. Relation force-penetration

Рис. 4. Зависимость внедрение - величина зоны контакта / Fig. 4. Relation penetration - contact zone

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 4

Ниже представлены сравнительные результаты для предложенной модели и модели, построенной на основе метода конечных элементов (КЭ). Конечноэлементная модель рассчитана для прямоугольника конечной длины 21 с соотношением hll = 0,2. Для реализации модели использован КЭ-пакет ANSYS. Применены конечные элементы РЬЛКЕ182. В качестве контактных элементов были использованы С01ЧТЛ172, ТЛЯОЕТ169. В КЭ-модели непрерывные законы неоднородности смоделированы путем создания многослойного тела (10 слоев) с различными значениями параметров Лямэ в слоях. Радиус закругления штампа и соотношение толщин слоев: R=10h, Ь2=0,1М. Результаты для прикладной модели представлены сплошной линией, результаты для КЭ -модели -прерывистой (рис. 5, 6).

Результаты сравнительного анализа свидетельствуют о том, что приближенная модель дает завышенное значение смещения на верхней границе и заниженное значение зависимости сила -внедрение.

Обратная задача (ОЗ)

Исследуем ОЗ об определении законов неоднородности покрытия (слоя 2) Л2 (хз ), 1^2 (хз) по информации о вертикальном смещении верхней границы полосы вблизи контактной зоны. Рассмотрим простейший вариант изменения законов неоднородности в виде линейных зависимостей. В самом простом варианте будем считать, что требуется определить ^, характеризующие законы неоднородности покрытия следующего вида:

Л2(x3) = - № - k2)(x3 - h) + k2

(9)

Рис. 5. Вертикальное смещение верхней границы / Fig. 5. Vertical displacement of an upper border

Мхз) =- ^ - х3 - к) + ¿4 . к2

Отметим, что Л (к) = ¿2, И (к ) = ¿4,

Ла(к1) = ¿1, И2(к\) = ¿з . Операторное и характеристическое уравнения для определения перемещений вне зоны контакта имеют вид

Ж(8) - Ж(6) + Ь. Ж(4) - К Ж(2) + Ж = 0

лЛ - ^ Л6 + Ъ, Л4 - h. ЛЛ + ъл = 0,

Рис. 6. Зависимость сила - внедрение / Fig. 6. Relation force-penetration

причем

Ъ0 = AA0, bi = ДА - D3Di0 - ВД, Ъ2 = DiDi0 + D5D6 + D3D8 + D4D7 + D2D9 : Ъ3 = D2D7 - DiD8 - D3D6 , Ъ4 = DiD6, где

Di = 2Bi2 = 2 |U2(x3)

h

Ui - U2 ^ Л - Л2

--hix3 -

U2

Л + 2j2

dx3 .

Пусть информация о смещении на верхней границе полосы известна на равномерной сетке с шагом А:

4 з

Ж{хк)=^лЛхк, *=1...8, хк=х0+М.

I=1

Тогда с помощью метода Прони [16] задача об определении коэффициентов и параметров в

2

Ъ

Ъ

Ъ

Ъ

4

4

4

4

Ъ

Ъ

Ъ

Ъ

4

4

4

4

2

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.

показателе Aj сводится к последовательному решению линейных систем и нахождению корней полиномов.

4

Л8 - a3 Л6 + a2 Л4 - a1 Л2 + a0 = П (Л - Л )(Л + Л).

i=1

При решении обратной задачи была получена алгебраическая система из четырех уравнений относительно параметров .

Рассмотрим несколько вариантов решения ОЗ.

1. Пусть на поверхности слоя-покрытия известны значения функций Л(^) = ^2, №2$) = . Чтобы восстановить законы неоднородности в классе линейных функций, нужно определить параметры ki и к3. Имея информацию о вертикальном смещении верхней границы слоя в 8 точках и используя метод Прони, получим алгебраическую систему для определения k1 и k3 .

2. Будем считать коэффициент Пуассона постоянным, а модуль упругости - линейной функцией. В этом случае необходимо определить 3 параметра.

3. Предположим, что коэффициенты Лямэ в каждой полосе заданы как некоторые линейные функции формулами (9), необходимо определить 4 параметра.

Результаты вычислительных экспериментов показали, что в первых двух случаях параметры восстановлены с относительной погрешностью не более 0,001 %. В третьем случае оказалось, что в такой постановке ОЗ не имеет единственного решения. Так, в тестовом примере в качестве входных данных были рассмотрены значения параметров: ki=0,1, £2=0,2, £з=0,3, £4=0,4. В результате решения ОЗ получены следующие наборы параметров:

к1 = 0,101, к2 = 0,199, к3 = 0,300, к4 = 0,399; к1 = 0,813, к2 = 0,191, к3 = 0,299, к4 = 0,256, что свидетельствует о том, что в этой ситуации входной информации недостаточно для единственного решения сформулированной задачи.

Заключение

В работе представлена прикладная модель контактного взаимодействия двухслойной упругой неоднородной по толщине полосы и жесткого штампа. Проведен сравнительный анализ результатов численных исследований таких характеристик, как вертикальное смещение, зависимость

ЕСТЕСТВЕННЫЕНАУКИ. 2019. № 4 NATURAL SCIENCE. 2019. No. 4

сила - внедрение, зависимость внедрение - величина зоны контакта. Модель показала неплохое совпадение с КЭ-моделированием. На основе разработанной модели решена обратная задача определения линейных законов неоднородности по информации о вертикальном смещении верхней границы полосы на регулярной сетке. Проанализированы различные случаи определения законов неоднородности по заданной информации.

Литература

1. Lackner J.M., Waldhauser W., Major L., Kot M. Tribology and Micromechanics of Chromium Nitride Based Multilayer Coatings on Soft and Hard Substrates // Coatings. 2014. Vol. 4. P. 121-138.

2. Chen J., Geng M., Li Y., Yang Zh., Chai Y., He G. Erosion Resistance and Damage Mechanism of TiN/ZrN Nanoscale Multilayer Coating // Coatings. 2019. Vol. 9. P. 64-75.

3. Szala M., WalczakM., Pasierbiewicz K., Kaminski M. Cavitation erosion and sliding wear mechanisms of AlTiN and TiAlN films deposited on stainless steel substrate // Coatings. 2019. Vol. 9. P. 340-356.

4. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости / пер. с англ. М.И. Рейтмана; под ред. Г.С. Шапиро. М.: Наука, 1975. 576 с.

5. Oliver W.C., Pharr G.M. Measurement of hardness and elastic modulus by instrumented indentation: Advances in understanding and refinements to methodology // J. Mater. Res. 2004. Vol. 19, № 1. P. 3-20.

6. Broitman E. Indentation Hardness Measurements at Macro-, Micro- and Nanoscale: A Critical Overview // Tri-bol Lett. 2017. Vol. 65. P. 23-41.

7. Головин Ю.И. Наноиндентирование и механические свойства твердых тел в субмикрообъемах, тонких поверхностных слоях и пленках // Физика твердого тела. 2008. Т. 50, вып. 12. С. 2113-2142.

8. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М. : Наука, 1974. 456 c.

9. Волков С. С., Васильев А. С., Айзикович С.М., Селезнев Н.М., ЛеонтьеваА.В. Напряженно-деформированное состояние упругого мягкого функционально-градиентного покрытия при внедрении сферического индентора // Вестн. ПНИПУ. Механика. 2016. № 4. С. 20-34.

10. Айзикович С.М., Александров В.М., Белоконь А.В., Кренев Л.И., Трубчик И.С. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред. М. : Физматлит, 2006. 240 с.

11. Чебаков М.И., Колосова Е.М. Контактные задачи для двухслойных оснований и методы их решений // Современные проблемы механики сплошной среды : тр. XIV междунар. конф., г. Азов, 20-23 июня 2010 г. Ростов н/Д.: ЦВВР, 2010. С. 339-342.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

12. Чебаков М.И. К теории расчета двухслойного цилиндрического подшипника // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2009. № 3. С. 163-170.

13. Чебаков М.И. Контактная задача для двойного слоя с учетом сил трения // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2005. № 3. С. 22-24.

14. Ватульян А.О., Плотников Д.К., Поддубный АА. О некоторых моделях индентирования функционально-градиентных покрытий // Изв. Сарат. ун-та. Математика. Механика. Информатика. 2018. Т. 18, вып. 4. С. 421-432.

15. Ватульян А.О., Плотников Д.К. Об одной модели индентирования функционально-градиентной полосы // Докл. Академии наук. Механика. 2019. Т. 485, № 5. С. 564-567.

16. Ватульян А.О. Коэффициентные обратные задачи механики. М.: Физматлит, 2019. 272 с.

References

1. Lackner J.M., Waldhauser W., Major L., Kot M. Tribology and Micromechanics of Chromium Nitride Based Multilayer Coatings on Soft and Hard Substrates. Coatings. 2014, vol. 4, pp. 121-138.

2. Chen J., Geng M., Li Y., Yang Zh., Chai Y., He G. Erosion Resistance and Damage Mechanism of TiN/ZrN Nanoscale Multilayer Coating. Coatings. 2019, vol. 9, pp. 64-75.

3. Szala M., Walczak M., Pasierbiewicz K., Kaminski M. Cavitation erosion and sliding wear mechanisms of AlTiN and TiAlN films deposited on stainless steel substrate. Coatings. 2019, vol. 9, pp. 340-356.

4. Timoshenko S.P., Gud'er Dzh. Teoriya uprugosti [Elasticity theory]. Tr. from Engl. by M.I. Reitman; Ed. G.S. Shapiro. Moscow: Nauka, 1975, 576 p.

5. Oliver W.C., Pharr G.M. Measurement of hardness and elastic modulus by instrumented indentation: Advances in understanding and refinements to methodology. J. Mater. Res. 2004, vol. 19, No. 1, pp. 3-20.

6. Broitman E. Indentation Hardness Measurements at Macro-, Micro- and Nanoscale: A Critical Overview. Tri-bol Lett. 2017, vol. 65, pp. 23-41.

7. Golovin Yu.I. Nanoindentirovanie i mekhaniches-kie svoistva tverdykh tel v submikroob"emakh, tonkikh poverkhnostnykh sloyakh i plenkakh [Nanoindentation and mechanical properties of solids in submicrovolumes, thin

. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 4

surface layers and films]. Fizika tverdogo tela. 2008, vol. 50, iss. 12, pp. 2113-2142.

8. Vorovich I.I., Aleksandrov V.M., Babeshko V.A. Neklassicheskie smeshannye zadachi teorii uprugosti [Non-classical mixed problems of the theory of elasticity]. Moscow: Nauka, 1974, 456 p.

9. Volkov S.S., Vasil'ev A.S., Aizikovich S.M., Seleznev N.M., Leont'eva A.V. Napryazhenno-deformiro-vannoe sostoyanie uprugogo myagkogo funktsional'no-gradientnogo pokrytiya pri vnedrenii sfericheskogo indentora [Stress-strain state of an elastic soft functional-gradient coating with the introduction of a spherical indenter]. Vestn. PNIPU. Mekhanika. 2016, No. 4, pp. 20-34.

10. Aizikovich S.M., Aleksandrov V.M., Belokon' A.V., Krenev L.I., Trubchik I.S. Kontaktnye zadachi teorii uprugosti dlya neodnorodnykh sred [Contact problems of the theory of elasticity for inhomogeneous media]. Moscow: Fizmatlit, 2006, 240 p.

11. Chebakov M.I., Kolosova E.M. [Contact problems for two-layer bases and methods for their solutions]. Sov-remennye problemy mekhaniki sploshnoi sredy [Modern problems of continuum mechanics]. Proceedings of the XIV International Conference. Azov, June 20-23, 2010. Rostov-on-Don: TsVVR, 2010, pp. 339-342.

12. Chebakov M.I. K teorii rascheta dvukhsloinogo tsilindricheskogo podshipnika [On the theory of calculating a two-layer cylindrical bearing]. Izv. RAN. Mekhanika tverdogo tela. 2009, No. 3, pp. 163-170.

13. Chebakov M.I. Kontaktnaya zadacha dlya dvoinogo sloya s uchetom sil treniya [Contact problem for a double layer taking into account friction forces]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2005, No. 3, pp. 22-24.

14. Vatul'yan A.O., Plotnikov D.K., Poddubnyi A.A. O nekotorykh modelyakh indentirovaniya funktsional'no-gradientnykh pokrytii [On some models of indentation of functional gradient coatings]. Izv. Sarat. un-ta. Matemat-ika. Mekhanika. Informatika. 2018, vol. 18, iss. 4, pp. 421432.

15. Vatul'yan A.O., Plotnikov D.K. Ob odnoi modeli indentirovaniya funktsional'no-gradientnoi polosy [On one model of indentation of a functional gradient strip]. Dokl.

Akademii nauk. Mekhanika. 2019, vol. 485, No. 5, pp. 564567.

16. Vatul'yan A.O. Koeffitsientnye obratnye zadachi mekhaniki [Coefficient inverse problems of mechanics]. Moscow: Fizmatlit, 2019, 272 p.

Поступила в редакцию /Received_15 апреля 2019 г. /April 15, 2019