CC BY
8
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22, вып. 4. С. 479-493
Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2022, vol. 22, iss. 4, pp. 479-493
mmi.sgu.ru https://doi.org/10.18500/1816-9791-2022-22-4-479-493, EDN: JDIVGD
Научная статья УДК 539.3
Контактная задача для функционально-градиентной
ортотропной полосы
А. О. Ватульян1, Д. К. Плотников20
1 Южный федеральный университет, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Во-ровича, Россия, 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, д. 8-А
2Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра Российской академии наук, Россия, 362025, г. Владикавказ, ул. Ватутина, д. 53
Ватульян Александр Ованесович, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой теории упругости, aovatulyan@sfedu.ru, https://orcid.org/0000-0003-0444-4496, AuthorlD: 3469 Плотников Дмитрий Константинович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений, dustheap@mail.ru, https://orcid.org/0000-0002-2989-1949, AuthorlD: 1037652
Аннотация. В рамках плоской задачи теории упругости исследована задача о равновесии функционально-градиентной ортотропной упругой полосы под действием штампа с гладким основанием. С помощью преобразования Фурье сформирована каноническая система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами относительно трансформант компонент вектора смещений и тензора напряжений. Построена связь между вертикальным смещением и нормальным напряжением на границе, с помощью которой сформулировано интегральное уравнение первого рода с разностным ядром. Символ ядра интегрального уравнения построен численно с помощью метода пристрелки. На основе метода Вишика - Люстерника проведен асимптотический анализ символа ядра при больших значениях параметра преобразования. Построена вычислительная схема решения интегрального уравнения с неизвестной областью контакта на основе метода граничных элементов. Представлены результаты решения контактной задачи для разных законов неоднородности полосы.
Ключевые слова: контактная задача, функционально-градиентная полоса, ортотропный материал, асимптотический анализ, метод граничных элементов
Благодарности: Работа выполнена при частичной поддержке РНФ (проект № 22-11-00265). Для цитирования: Ватульян А. О., Плотников Д. К. Контактная задача для функционально-градиентной ортотропной полосы // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22, вып. 4. С. 479-493. https://doi.org/ 10.18500/1816-9791-2022-22-4-479-493, EDN: JDIVGD
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0)
Article
Contact problem for functionally graded orthotopic strip
A. O. Vatulyan1, D. K. Plotnikov20
1 Southern Federal University, Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences named after I. I. Vorovich, 8-A Milchakova St., Rostov-on-Don 344090, Russia
2Southern Mathematical Institute, Vladikavkaz Scientific Center of the Russian Academy of Sciences, 53 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia
Alexander O. Vatulyan, aovatulyan@sfedu.ru, https://orcid.org/0000-0003-0444-4496, AuthorID: 3469 Dmitry K. Plotnikov, dustheap@mail.ru, https://orcid.org/0000-0002-2989-1949, AuthorID: 1037652
Abstract. Within the framework of plane elasticity, the equilibrium problem for an inhomogeneous orthotropic elastic strip under the action of a stamp with a smooth base is investigated. Based on the Fourier transform, a canonical system of differential equations with variable coefficients with respect to transformants of the displacement vector and stress tensor components is constructed. A connection between the vertical displacement and the normal boundary stress is constructed, with which an integral equation of the first kind with a difference kernel is formulated. Using the shooting method, the kernel symbol for the integral equation of the contact problem is constructed numerically. Based on the Vishik - Lyusternik method, an asymptotic analysis of the kernel symbol for large values of the transformation parameter is carried out. A computational scheme for solving an integral equation with an unknown contact area is constructed. The solution of the contact problem for different laws of strip inhomogeneity is presented.
Keywords: contact problem, functionally graded strip, orthotropic material, asymptotic analysis, boundary element method
Acknowledgements: This work was partially supported by the Russian Science Foundation (project No. 22-11-00265).
For citation: Vatulyan A. O., Plotnikov D. K. Contact problem for functionally graded orthotropic strip. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2022, vol. 22, iss. 4, pp. 479-493 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2022-22-4-479-493, EDN: JDIVGD
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0)
Введение
При изготовлении элементов конструкций ответственного назначения широко применяются различные технологии нанесения покрытий, которые позволяют придать конструктивным элементам желаемые свойства.
В настоящее время при изготовлении покрытий все чаще используются композиционные материалы, обладающие существенно неоднородными свойствами. Одним из направлений в конструировании неоднородных объектов является изготовление функционально-градиентных материалов (ФГМ), свойства которых изменяются по некоторому закону. Наиболее распространенным инструментом для оценки приповерхностных свойств новых материалов являются методы индентирования [1,2]. Применение индентирования для оценки свойств неоднородных структур требует разработки новых эффективных методов моделирования контактного взаимодействия неоднородных тел.
Как правило, при описании деформирования покрытий используются модели полосы и полуплоскости, свойства которой изменяются в приповерхностном слое. Контактные задачи представляют собой один из разделов смешанных задач теории упругости и, как правило, сводятся к исследованию интегрального уравнения или системы интегральных уравнений первого рода со слабой особенностью. Одним из эффективных способов аналитического решения контактных задач являются асимптотические методы. В основополагающей работе в этом направлении [3] впервые был применен метод больших лямбда. В монографии [4] представлены общие вопросы контактного взаимодействия, методы исследования интегральных уравнений для малых и больших областей контакта (метод больших лямбда и метод малых лямбда).
В контактных задачах для неоднородных структур основная трудность состоит в том, что для произвольных законов неоднородности символы ядер интегральных операторов невозможно построить в явном виде. В [5] ряд результатов в рамках метода больших лямбда был распространен на неоднородную полосу. В основе решения задачи лежит аппроксимация символа ядра интегрального уравнения. В работах [6,7] данный подход распространен на задачи для многослойных структур с неоднородным покрытием.
Другим способом исследования контактных задач является построение приближенных моделей деформирования неоднородных оснований. В [8] представлен ряд моделей контактного взаимодействия тел с тонкими покрытиями и прослойками. Монография [9] посвящена построению асимптотических моделей трехмерных контактных задач линейной теории упругости. В [10,11] на основе гипотез о характере компонент поля смещений построены модели деформирования неоднородной упругой полосы, позволяющие рассматривать произвольные законы неоднородности, в том числе разрывные.
Также решение контактных задач может быть построено на основе численных методов. Отметим работу [12], где разработан численный метод нахождения распределения контактного давления между упругими телами, в том числе для полосы и штампа. В статьях [13, 14] представлены решения контактных задач для функционально-градиентных покрытий под действием штампа. В [15] исследована контактная задача для неоднородной упругой полосы, причем символ ядра проанализирован с помощью сочетания численных схем и асимптотического подхода, а решение интегрального уравнения получено с помощью метода граничных элементов.
Важное место в теории контактных задач для функционально-градиентных материалов занимают задачи, где учтены не только градиентность материала, но и анизотропия. В работе [16] исследована задача о действии жесткого штампа на анизотропное полупространство. В [17] представлено решение контактной задачи для ортотропного полупространства и жесткого штампа.
Среди работ, посвященных контактным задачам для анизотропной полосы, отметим [18-25].
В настоящей работе рассмотрена контактная задача для функционально-градиентной ортотропной упругой полосы и штампа с гладким основанием.
1. Постановка задачи
В рамках плоской задачи теории упругости рассмотрим задачу о контактном взаимодействии без трения функционально-градиентной ортотропной упругой полосы толщиной К и штампа с гладким основанием, внедряющегося в полосу под действием силы Р. Нижняя граница полосы жестко сцеплена с недеформируемым основанием.
Коэффициенты тензора модулей упругости полосы С^- являются произвольными функциями координаты хз: С^- = С^-(хз), х3 £ [0,^], удовлетворяющими условиям положительной определенности упругой энергии.
Уравнения равновесия и определяющие соотношения для ортотропной полосы имеют вид
+ &гз,з = 0, + &зз,з = 0. &11 = СЦ (х3)и1,1 + Суз (хз)щ,з,
&33 = С13 (Хз)щ,1 + С33 (хз)щ,з,
&13 = С55 (хз)(щ,3 + Щ,1).
где щ, Gij — компоненты вектора перемещений и тензора напряжений соответственно. Граничные условия контактной задачи имеют вид
u1 (х1, 0) = из(х1, 0) = 0, a13(x1, h) = 0, ^зз(x1 ,h)=0, IX1I > a, U3(x1 ,h) = -5 + f (Х1), ^ а, (1)
где 5 — глубина внедрения штампа, 2а — область контакта, а функция f (х1) характеризует основание штампа.
Постановку задачи замыкает условие равновесия штампа
а
Р = J q(x1 )dx1, q(X1 ) = азз(X1 ,h).
—a
Введем безразмерные параметры следующим образом:
& = хг/h, щ = иг/h, Ъц = оц/С0, i,j = 1, 3, ß = a/h, 5 = 5/h, f = f/h, Cij = CoCij (b), p = P/C0 h, q = q/Co, где C0 - характерное значение C55, например среднее значение на отрезке [0,h]:
h
Со = h J С55 (хз)Лхз. o
Для удобства далее опустим символ «"». Стандартной схемой решения контактной задачи является сведение ее к интегральному уравнению с разностным ядром относительно контактного давления. Поскольку коэффициенты дифференциального оператора являются переменными, то такая схема может быть реализована на основе численного решения вспомогательной задачи.
2. Вспомогательная задача о действии нормальной нагрузки
Рассмотрим вспомогательную задачу о действии нормальной нагрузки q(£1), локализованной на отрезке [-ß,ß] верхней границы полосы. Применяя преобразование Фурье по координате £1, получим каноническую систему дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами относительно трансформант компонент смещений и напряжений в виде
X' = АХ, Х1 = iÜ1, Х2 = щ, Х3 = Ш13, ХА = азз, (2)
где щ, (7^ — символы Фурье компонент вектора перемещений и тензора напряжений.
Коэффициенты матрицы А зависят от законов неоднородности полосы и определяются формулой
А
(
а
0
Схэ С
1
33
а
2 Сц С33 — С
у2
13
V
С33 0
—а
^55 0
0
а
\
—а
С33 Сп
^33 0
Граничные условия вспомогательной задачи в трансформантах примут вид Х1 (а, 0) = 0, Х2(а, 0) = 0, Х3(а, 1) = 0, ХА(а, 1) = Q(a), где (^(а) — трансформанта Фурье нормальной нагрузки:
(3)
№) = У Я($1 )ехр(ш&№1.
В ряде работ [7,26] подобные канонические системы строились относительно других характеристик, тогда коэффициенты матрицы А содержат производные от законов неоднородности полосы и не могут быть использованы для кусочно-непрерывных законов неоднородности.
Решение краевой задачи (2), (3) построим численно с помощью метода пристрелки [27]. Для оператора (2) сформулируем следующие вспомогательные задачи Коши:
Х((1) (а, 0) =0, Х21} (а, 0) = 0, (а, 0) = 1, Х^(а, 0) = 0,
-(1)
(1),
-(1),
Х((2) (а, 0) =0, X?* (а, 0) = 0, (а, 0) = 0, Х?>(а, 0) = 1.
Решение краевой задачи (2), (3) представим в виде линейной комбинации решений вспомогательных задач Коши
(2)
(2)
(2)
X,(а,&) = с^(а,6) + с2X™(а,&), 3 = 1, 4.
Неизвестные с1 и с2 найдем, удовлетворяя краевым условиям (3) при £3 = 1. Окончательно решение вспомогательной краевой задачи получим в виде
X,-) = (Х<2)(а, 1)х(1)(а,?3) - (а, 1)Х<2)(«,£,)) А-1 (а)Я(а), Д(а) = Х(»(а, 1)Х<2)(а, 1) - Х(2)(а, 1)Х<1)(а, 1).
Для нахождения оригиналов компонент вектора перемещения осуществим обратное преобразование Фурье. Вертикальная компонента поля смещений определяется формулой
(2)
Щ&,6) = -^ I *2К^1¿а.
(4)
0
Р
—оо
3. Формулировка интегрального уравнения и его исследование
На основе (4) и граничных условий (1) сформулируем интегральное уравнение контактной задачи в виде
Р
I Кг] - 6)я(г])^ = -5* (), !6! (5)
-Р
причем ядро интегрального уравнения имеет вид
1
к (г) = — К (а) е%аЧа, г = 7] - £ь
J-oo
где символ ядра К (а) — передаточная функция, являющаяся мероморфной и связывающая трансформанты вертикального смещения и нагрузки
Х2(а, 1)=К (а)Я(а). Она определяется через решения вспомогательных задач равенством
К (а) = (х^ (а, (а, 1) - Х™ (а, 1)Х(2) (а, Д-1 (а).
Символ ядра интегрального уравнения играет ключевую роль при исследовании контактных задач. Нетрудно показать, меняя в (2) а на -а, что для любых законов неоднородности К (а) является четной функцией, т. е. К (-а) = К (а).
Проведем асимптотический анализ передаточной функции при малых и больших значениях параметра преобразования а. Для удобства рассмотрим краевую задачу (2), (3), полагая Q(а) = 1, что соответствует действию сосредоточенной силы в точке ^ = 0 верхней границы полосы. Тогда краевые условия примут вид
Х^а, 0)=0, Х2(а, 0) = 0, Х3(а, 1) = 0, Х4(а, 1) = 1. (6)
4. Анализ символа ядра при малых значениях параметра преобразования
Представим решение краевой задачи (2), (6) при малых значениях а в виде регулярных разложений
Х, (а, &) = Х#((з) + аХ, 1 (&) + а2Х]2 (^) + ••• + атХ]т (&) + ... (7)
Подставляя (7) в каноническую систему (2), составляя и решая краевые задачи при одинаковых степенях а, найдем главные члены разложения в виде
г (\Т
Х10 (Ь) = 0, Х20 (ь) = ТТГ^, Хзо (Ь) = 0, Х40 (Ь) = 1,
] С33 (т)
0
6 Т
(1ц
3) = -УУ Т, Х21 «3^
00
Х31 (6) = -/ ¿Т, Х41 (Ь)=0,
3 С33 (т)
1
а для т ^ 2 Х~т определяются рекуррентным образом согласно формулам
6
х1т (£3) = х2(то-1) (т)(т+
+
т
1
С55 (Г) 0 1
Си (г,)Сзз(Ц) - С2з(V) Х (п) С13(г,) ) -^-Х1(™-2) (Г,) - ^Х4(ш-1) (Г1)
Х2ж (6) =
С13 (Г)
Сзз (г)
Х1(то-1) (г) (т + Хз(то-1) (г])(г]
(1т,
6
Х3т( $3 )
С11 (г)С33(г) - С?3(г) Х С13(г) Х ■
-Х1(т-2) (Т)йТ - ( Х4(т-1)
С33 (Т) С33 (г)
Х4Ш(6) = I Х3(то-1) (т)(т.
(т,
Тогда передаточная функция для малых значений параметра а с учетом четности может быть записана в виде
К (а) = Х2 (а, 1) = Х20 (1) + а2Х22 (1) + • • • + атХ2ГО(1) +
причем главный член разложения имеет вид
1
Х20(1) = ./ СШ*'
5. Анализ символа ядра при больших значениях параметра преобразования
В случае больших значений параметра преобразования Фурье каноническая система представляет собой краевую задачу для векторного уравнения с малым параметром при старшей производной. Численный анализ такой системы наталкивается на определенные трудности, и поэтому далее построим асимптотику символа ядра с помощью асимптотического метода. Исследование символа ядра при больших а проведем на основе метода Вишика - Люстерника [28]. В работе [15] была исследована каноническая система вида (2) в изотропном случае, и главные члены асимптотики символа ядра при больших значениях параметра преобразования были построены на основе анализа решения задачи для однородной полосы. В настоящей работе представлен более простой способ получения асимптотик. Произведем в (2) замену
У1 =аХ1, ^2 = аХ2, ^3 = Х3, Г4 = Х4.
(8)
Тогда каноническая система примет вид У' = аА1 У, где коэффициенты матрицы
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22, вып. 4 А1 не зависят от а и имеют вид
Аг
(
0 С
33
С11С33 - с2
13
\
С33 0
-1
0
0 0
1
0
С55
1
0
33С со
С13
0
С33
1 0
\
/
Для проведения асимптотического анализа передаточной функции при больших а достаточно построить погранслойное решение краевой задачи в окрестности £3 = 1. Решение краевой задачи при больших положительных а (а > 0) в окрестности £3 = 1 представим в виде
У = Уо + — VI + —У2 + ... а а2
Ограничимся построением главного члена асимптотического разложения (8), который согласно методу Вишика - Люстерника может быть найден из решения задачи Коши для системы с постоянными коэффициентами вида
ъ'о(:п)=А2Уо(п), У03(0)=0, Уоа(0) = 1, V = а(1 - Ь),
(9)
где А2 = - Аг |6=1.
Пусть А, — собственные числа матрицы А2, выберем из них Хг, А2 такие, что Ке(Аг) < 0, Ке(А2) < 0. Будем строить погранслойные решения, убывающие внутрь полосы. Получим решение в виде
А2
Уо(т1) = ^——^-аг- л А\ 0,2ех™
А2 - А1
где векторы а, имеют вид
а.
(
С13 + А2С33
2
С11С33 - С13
А2 - А1
С11 + АуС13
=1 А7 (С11С33 - С13)
, -А7 , 1
3=1
,1
т
Структура символа ядра при больших значениях параметра преобразования а (а > 0) определяется формулой
К (а) = 1 Уо(0) + \у 1(0) + —У2 (0) + ...
а а2 а
С учетом четности передаточной функции асимптотика К (а) при больших значениях а может быть записана в виде
К (а) = С |а|-1 + о(|а|-1), (10)
причем главный член асимптотики в (10) находится в аналитическом виде
С11С33 - С\3 - 2С13С55
С
/
2(С2 -у/С1) С
11
С1
2
С11С33 - с13
С1
С
11
6=1
С33'
С2 =
С33С55
(11)
Отметим, что при переходе к изотропному случаю главный член асимптотики (10) определяется формулой
Л + 2Д
С =
2Л(Л + Л)
= 1
где Л, Л ~ безразмерные параметры Ламе полосы, что соответствует результатам асимптотического анализа, проведенного в [15].
В таблице представлены значения упругих модулей полосы С? в размерном виде, главного члена асимптотики (10) и собственные числа матрицы А2 (А1, Л2 : Re(A1 ) < 0, Re(À2) < 0) для некоторых минералов.
Упругие постоянные С^- (109 Н/м2), собственные числа матрицы А2 (9),
коэффициент С (11) Table. Elastic constants Cij (109 N/m2), eigenvalues of matrix A2 (9),
coefficient С (11)
Минерал Си Сзз Сбб Ci3 Ai А2 С
Топаз 282.0 295.0 133.0 85.0 -0.910 +0.386г -0.910 —0.386г 0.919
Ангидрит 93.8 112.0 26.5 15.2 -0.537 -1.703 0.592
Сера 24.0 48.3 8.7 17.1 -0.831 +0.117г -0.831 —0.117г 0.568
Барит 89.0 107.0 28.1 31.7 —0.685 —1.331 0.649
Целестин 104.4 128.6 27.9 60.5 —0.946 +0.073г —0.946 —0.073г 0.627
Вольфрамит 176.7 233.1 63.1 79.6 -0.926 +0.117г -0.926 —0.117г 0.680
Сегнетова соль 25.5 37.1 3.2 11.6 —0.336 —2.465 0.341
6. Решение интегрального уравнения. Метод граничных элементов
Ввиду четности функций К(а) и д(¿ц) интегральное уравнение (5) может быть представлено в виде
Р
I кг(V, 6МШ'П = -5* +7(6), 0 < ^ 3, (12)
о
оо
где кг (г!, &) = 1 / К (а) [еов(а(^ + ^) + еов(а(^ - ^))] йа. о
Решение (12) построим численно с помощью метода граничных элементов [29]. Разобьем отрезок интегрирования [0,3] на N отрезков ^^ = [щ,щ+1], на каждом из которых искомая функция считается постоянной и равной д^, и потребуем выполнения (12) в точках коллокаций £1<7- = (щ + щ+г)/2.
После дискретизации получим систему линейных алгебраических уравнений относительно узловых неизвестных д^ в виде
N
= 9т, ш =1..N, дт = - +7 (), (13)
3=1
где
Hjm = —
к
1
+-к
К (а)
о а
ж q
[sin(a(r] + ^) + sin(a(r] - £1))] da+
— [sin(a(r] + £1) + sm(a(rj - ^))} da.
a
(14)
В контактных задачах для штампа с гладким основанием область контакта не известна и зависит от глубины внедрения. Как правило, при реализации вычислительных схем решения интегральных уравнений в контактных задачах задаются значения глубины внедрения штампа или действующей на него силы, а затем определяется величина области контакта, которая нелинейным образом зависит от задаваемых величин. В ряде работ определение величины области контакта строится с помощью итерационного процесса, в котором начальная область контакта полагается заведомо большей, чем действительная, а затем уточняется на каждом шаге из условия неотрицательности контактного давления.
При реализации вычислительной схемы, построенной в настоящей работе, задается значение р, а величина внедрения определяется из условия равенства нулю контактного давления на границах контактной области, которое после дискретизации является условием равенства нулю узлового значения искомой функций вблизи границы контакта и может быть записано в виде
^n = 0,
(15)
где — определитель матрицы, получающейся заменой Ж-го столбца матрицы Н на вектор-столбец д. Отметим, что параметр 5* входит в правые части интегральных уравнений линейно, и уравнение (15) является линейным алгебраическим уравнением относительно 5*, что позволяет просто найти связь 5*(р).
При вычислении коэффициентов алгебраической системы (13) интегрирование по отрезку [0, Ь] в (14) осуществляется с помощью квадратурных формул Гаусса, а значения интегралов на полуинтервале [ Ь, ж) представляются через специальные функции.
7. Результаты вычислительных экспериментов
Ниже представлены некоторые результаты вычислительных экспериментов. Упругие модули полосы зависят от координаты :
С] = Рк (Ь)С%] , к = 1, 2,
что при ) = 1 соответствует аустенитной стали со следующими значениями параметров с11 = 2.036, сх3 = 1.124, с33 = 1.674. В качестве законов неоднородности полосы (рис. 1) рассмотрены:
1) квадратичные возрастающие (£3) = 1.5+ 0.5;
2) линейные убывающие ) = — £3 + 1.5. Причем средние значения законов неоднородности равны
1 1 У ((3)<%3 = [ <Р2(&Ж3 = 1.
Рис. 1. Законы неоднородности полосы
Fig. 1. Band inhomogeneity laws
Решения задачи построены для различных конфигураций граничных элементов. Проведено сравнение значений контактного давления в общих для разных разбиений точках коллокации. Проведенный анализ показал сходимость вычислительной схемы при увеличении количества отрезков разбиения. Более эффективным является построение неравномерной сетки граничных элементов со сгущением вблизи границ области контакта.
На рис. 2, 3 представлены решения контактных задач для законов неоднородности 1 и 2. На рис. 2 кривые соответствуют различному количеству граничных элементов: кружочками обозначено решение для неравномерной сетки со сгущением вблизи границ области контакта при N = 10, остальные кривые соответствуют равномерному разбиению (X = 10, 30, 90). Распределение контактного давления для разных законов построено при одинаковом значении внедрения 5* = 0.01. Контактное давление достигает наибольшей величины для закона, имеющего большее значение на верхней границе полосы.
q
0.025 0.020
0.010
0.005
0.000
• • N=10 ....... n= 10 ---n= 30 - n = 90
Q
0.008 0.006 0.004 0.002
СН
• • n= 10 \
....... n= 10
---N"=30
- n= 90
-0.10 -0.05 0 0.05 ^
а / a
-0.10 -0.05 0 0.05 ^ б / b
Рис. 2. Контактное давление под штампом: а — закон 1, б — закон 2 (цвет online) Fig. 2. Contact pressure under the stamp: a is law 1, b is law 2 (color online)
На рис. 3 представлены результаты вычислительных экспериментов, построенные для штампа с основанием параболической формы 7) = £2/2г при значениях параметров: г = 5, N = 30, ln/h = 0.01, lp — длина отрезка Ар.
0.001
0 ООО! [:[:[:: OQ-Q-Z 0 СС-. S„ а / a
P
0.001251
0.00100
0.00075
0.00050
0.00025-
0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 §* б / b
Рис. 3. Зависимость сила - внедрение: а — закон 1, б — закон 2 Fig. 3. The force - intrusion dependence: a is law 1, b is law 2
Заключение
Исследована контактная задача для функционально-градиентной ортотропной упругой полосы и штампа с гладким основанием. Проведен асимптотический анализ символа ядра интегрального уравнения контактной задачи при малых и больших значениях параметра преобразования. Показано, что значение символа ядра в нуле, характеризующее среднее значение контактного давления, определяется среднеин-тегральным значением податливости полосы, а поведение на бесконечности, определяющее структуру контактного давления у границ области контакта, определяется значениями упругих модулей на верхней границе полосы. Представлена вычислительная схема решения интегрального уравнения контактной задачи, позволяющая исследовать задачи с переменной областью контакта, не прибегая к затратной схеме ее определения в расширенной области. Построены основные характеристики контактного взаимодействия для различных законов неоднородности.
Список литературы
1. Головин Ю. И. Наноиндентирование и механические свойства твердых тел в субмикро-объемах, тонких поверхностных слоях и пленках // Физика твердого тела. 2008. Т. 50, № 12. С. 2113-2142. EDN: RCRLTN
2. Epshtein S. A., Borodich F. M., Bull S. J. Evaluation of elastic modulus and hardness of highly inhomogeneous materials by nanoindentation // Applied Physics A. 2015. Vol. 119, iss. 1. P. 325-335. https://doi.org/10.1007/s00339-014-8971-5
3. Ворович И. И., Устинов Ю. А. О давлении штампа на слой конечной толщины // Прикладная математика и механика. 1959. Т. 23, № 3. С. 445-455.
4. Ворович И. И., Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. Москва : Наука, 1974. 456 с.
5. Бабешко В. А. Асимптотические свойства решений одного класса интегральных уравнений, возникающих в теории упругости и математической физике // Доклады АН СССР. 1969. Т. 186, № 6. С. 1273-1276.
6. Александров В. М., Бабешко В. А. Контактные задачи для упругой полосы малой толщины // Известия Аакадемии наук СССР. Механика. 1965. № 2. С. 95-107.
7. Айзикович С. М., Александров В. М., Белоконь А. В., Кренев Л. И., Трубчик И. С. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред. Москва : Физматлит, 2006. 240 с. EDN: OPWVHF
8. Александров В. М., Мхитарян С. М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. Москва : Наука, 1983. 488 с.
9. Аргатов И. И. Асимптотические модели упругого контакта. Санкт-Петербург : Наука, 2005. 447 с. EDN: QJQFGH
10. Ватульян А. О., Плотников Д. К. Об одной модели индентирования функционально-градиентной полосы // Доклады Академии наук. 2019. Т. 485, № 5. С. 564-567. https://doi.org/10.31857/S0869-56524855564-567
11. Ватульян А. О., Плотников Д. К., Поддубный А. А. О некоторых моделях индентирования функционально-градиентных покрытий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2018. Т. 18, вып. 4. С. 421432. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2018-18-4-421-432
12. Conway H. D., Vogel S. M., Farnham K. A., So S. Normal and shearing contact stresses in indented strip and slabs // International Journal of Engineering Science. 1966. Vol. 4, iss. 4. P. 343-359. https://doi.org/10.1016/0020-7225(66)90036-X
13. Волков С. С., Васильев А. С, Айзикович С. М., Селезнев Н. М., Леонтьева А. В Напряженно-деформированное состояние упругого мягкого функционально-градиентного покрытия при внедрении сферического индентора // Вестник Пермского национального
исследовательского политехнического университета. Механика. 2016. № 4. С. 20-34. https://doi.Org/10.15593/perm.mech/2016.4.02
14. Vasiliev A. S., Volkov S. S., Aizikovich S. M. Approximated analytical solution of contact problem on indentation of elastic half-space with coating reinforced with inhomogeneous interlayer // Физика и механика материалов. 2018. Т. 35, вып. 1. С. 175-180. https: //doi.org/10.18720/MPM.3512018_20
15. Ватульян А. О., Плотников Д. К. К исследованию контактной задачи для неоднородной упругой полосы // Прикладная математика и механика. 2021. Т. 85, № 3. С. 283-293. https://doi.org/10.31857/S0032823521030103
16. Ватульян А. О. О действии жесткого штампа на анизотропное полупространство // Статические и динамические смешанные задачи теории упругости / отв. ред. И. И. Ворович. Ростов-на-Дону : Изд-во Ростовского ун-та, 1983. С. 112-115. EDN: XQUWZM
17. Пожарский Д. А. Контактная задача для ортотропного полупространства // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2017. № 3. С. 100-108. EDN: YQQEKT
18. Batra R. C., Jiang W. Analytical solution of the contact problem of a rigid indenter and an anisotropic linear elastic layer // International Journal of Solids and Structures. 2008. Vol. 45, iss. 22-23. P. 5814-5830. https://doi.org/10.1016/j-.ijsolstr.2008.06.016
19. Erbas B., Yusufoglu E., Kaplunov J. A plane contact problem for an elastic orthotropic strip // Journal of Engineering Mathematics. 2011. Vol. 70. P. 399-409. https://doi.org/ 10.1007/s10665-010-9422-8
20. Greenwood J. A., Barber J. R. Indentation of an elastic layer by a rigid cylinder // International Journal of Solids and Structures. 2012. Vol. 49, iss. 21. P. 2962-2977. https://doi.org/10.1016/jJ.iJsolstr.2012.05.036
21. Argatov I. I., Mishuris G. S., Paukshto M. V. Cylindrical lateral depth-sensing indentation testing of thin anisotropic elastic films // European Journal of Mechanics — A/Solids. 2015. Vol. 49. P. 299-307. https://doi.org/10.1016/j-.euromechsol.2014.07.009
22. Можаровский В. В., Кузьменков Д. С. Методика определения параметров контакта индентора с ортотропным покрытием на упругом изотропном основании // Проблемы физики, математики и техники. 2016. Вып. 4 (29). С. 74-82. EDN: XEEKKX
23. Можаровский В. В., Марьина Н. А., Кузьменков Д. С. Реализация решения контактной задачи о вдавливании жесткого цилиндрического индентора в изотропную вязкоупругую полосу на ортотропном основании // Проблемы физики, математики и техники. 2018. Вып. 2 (35). С. 51-56. EDN: XUFGCL
24. Comez I., Yilmaz K. B., Guler M. A., Yildirim B. On the plane frictional contact problem of a homogeneous orthotropic layer loaded by a rigid cylindrical stamp // Archive of Applied Mechanics. 2019. Vol. 89. P. 1403-1419. https://doi.org/10.1007/s00419-019-01511-6
25. Yilmaz K. B., Comez I., Guler M. A., Yildirim B. The effect of orthotropic material gradation on the plane sliding frictional contact mechanics problem // The Journal of Strain Analysis for Engineering Design. 2019. Vol. 54, iss. 4. P. 254-275. https: //doi.org/10.1177/0309324719859110
26. Бабешко В. А., Глушков Е. В., Зинченко Ж. Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. Москва : Наука, 1989. 344 с.
27. Бахвалов Н. С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). Москва : Наука, 1975. 632 с.
28. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи математических наук. 1957. Т. 12, № 5 (77). С. 3-122.
29. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. Москва : Мир, 1984. 244 с.
References
1. Golovin Yu. I. Nanoindentation and mechanical properties of solids in submicrovolumes, thin near-surface layers, and films: a review. Physics of the Solid State, 2008, vol. 50, iss. 12, pp. 2205-2236. https://doi.org/10.1134/S1063783408120019
2. Epshtein S. A., Borodich F. M., Bull S. J. Evaluation of elastic modulus and hardness of highly inhomogeneous materials by nanoindentation. Applied Physics A, 2015, vol. 119, iss. 1, pp. 325-335. https://doi.org/10.1007/s00339-014-8971-5
3. Vorovich I. I., Ustinov Iu. A. Pressure of a die on an elastic layer of finite thickness. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1959, vol. 23, iss. 3, pp. 637-650. https://doi.org/10.1016/0021-8928(59)90158-3
4. Vorovich I. I., Alexandrov V. M., Babeshko V. A. Neklassicheskie smeshannye zadachi teorii uprugosti [Non-classical Mixed Problems in Elasticity Theory]. Moscow, Nauka, 1974. 456 p. (in Russian).
5. Babeshko V. A. Asymptotic properties of the solutions of a class of integral equations occurring in elasticity theory and mathematical physics. Soviet Physics. Doklady, 1969, vol. 14, pp. 529-531.
6. Alexandrov V. M., Babeshko V. A. Contact problems for an elastic strip of small thickness. Izv. USSR Academy of Sciences. Mechanics, 1965, iss. 2, pp. 95-107 (in Russian).
7. Aizikovich S. M., Aleksandrov V. M., Belokon A. V., Krenev L. I., Trubchik I. S. Kontaktnie zadachi teorii uprugosti dlya neodnorodnyh sred [Contact Problems of Theory of Elasticity for Inhomogeneous Media]. Moscow, Fizmatlit, 2006. 240 p. (in Russian). EDN: OPWVHF
8. Alexandrov V. M., Mhitaryan S. M. Kontaktnie zadachi dlya tel s tonkimi pokritiyami i podlozhkami [Contact Problems for Bodies with Thin Coatings and Layers]. Moscow, Nauka, 1983. 488 p. (in Russian).
9. Argatov I. I. Asimptoticheskie modeli uprugogo kontakta [Asymptotic Models of Elastic Contact]. St. Petersburg, Nauka, 2005. 447 p. (in Russian). EDN: QJQFGH
10. Vatulyan A. O., Plotnikov D. K. A model of indentation for a functionally graded strip. Doklady Physics, 2019, vol. 64, iss. 4, pp. 173-175. https://doi.org/10.1134/ S1028335819040074
11. Vatulyan A. O., Plotnikov D. K., Poddubny A. A. On some models of indentation for functionally-graded coatings. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2018, vol. 18, iss. 4, pp. 421-432 (in Russian). https://doi.org/10.18500/ 1816-9791-2018-18-4-421-432
12. Conway H. D., Vogel S. M., Farnham K. A., So S. Normal and shearing contact stresses in indented strip and slabs. International Journal of Engineering Science, 1966, vol. 4, iss. 4, pp. 343-359. https://doi.org/10.1016/0020-7225(66)90036-X
13. Volkov S. S., Vasilev A. S, Aizikovich S. M., Seleznev N. M., Leonteva A. V. Stressstrain state of an elastic soft functionally-graded coating subjected to indentation by a spherical punch. PNRPU Mechanics Bulletin, 2016, no. 4, pp. 20-34 (in Russian). https://doi.org/10.15593/perm.mech/2016.4.02
14. Vasiliev A. S., Volkov S. S., Aizikovich S. M. Approximated analytical solution of contact problem on indentation of elastic half-space with coating reinforced with inhomogeneous interlayer. Materials Physics and Mechanics, 2018, vol. 35, iss. 1, pp. 175-180. https: //doi.org/10.18720/MPM.3512018_20
15. Vatulyan A. O., Plotnikov D. K. On a study of the contact problem for an inhomogeneous elastic strip. Mechanics Solids, 2021, vol. 56, no. 7, pp. 1379-1387. https://doi.org/10. 3103/S0025654421070268
16. Vatulyan A. O. On the action of a rigid stamp on an anisotropic half-space. In: I. I.Vorovich (ed.) Staticheskie i dinamicheskie smeshannye zadachi teorii uprugosti [Static and Dynamic Mixed Problems of Elasticity Theory]. Rostov-on-Don, Rostov University Publ., 1983, pp. 112-115 (in Russian). EDN: XQUWZM
17. Pozharskii D. A. Contact problem for an orthotropic half-space. Mechanics of Solids, 2017, vol. 52, pp. 315-322. https://doi.org/10.3103/S0025654417030086
18. Batra R. C., Jiang W. Analytical solution of the contact problem of a rigid indenter and an anisotropic linear elastic layer. International Journal of Solids and Structures, 2008, vol. 45, iss. 22-23, pp. 5814-5830. https://doi.org/10.1016/jj.ijsolstr.2008.06.016
19. Erbas B., Yusufoglu E., Kaplunov J. A plane contact problem for an elastic orthotropic strip. Journal of Engineering Mathematics, 2011, vol. 70, pp. 399-409. https://doi.org/10. 1007/s10665-010-9422-8
20. Greenwood J. A., Barber J. R. Indentation of an elastic layer by a rigid cylinder. International Journal of Solids and Structures, 2012, vol. 49, iss. 21, pp. 2962-2977. https://doi.org/10.1016/jj.ijsolstr.2012.05.036
21. Argatov I. I., Mishuris G. S., Paukshto M. V. Cylindrical lateral depth-sensing indentation testing of thin anisotropic elastic films. European Journal of Mechanics — A/Solids, 2015, vol. 49, pp. 299-307. https://doi.org/10.1016/jj.euromechsol.2014.07.009
22. Mozharovsky V. V., Kuzmenkov D. S. The technique for determining the parameters of a contact for indenter with the orthotropic coating on the elastic isotropic substrate. Problems of Physics, Mathematics and Technics, 2016, iss. 4 (29), pp. 74-82 (in Russian). EDN: XEEKKX
23. Mozharovsky V. V., Maryina N. A., Kuzmenkov D. S. Realization of solution of the contact problem on indentation of rigid cylindrical indenter in isotropic viscoelastic strip on the orthotropic basis. Problems of Physics, Mathematics and Technics, 2018, iss. 2 (35), pp. 51-56 (in Russian). EDN: XUFGCL
24. Comez I., Yilmaz K. B., Guler M. A., Yildirim B. On the plane frictional contact problem of a homogeneous orthotropic layer loaded by a rigid cylindrical stamp. Archive of Applied Mechanics, 2019, vol. 89, pp. 1403-1419. https://doi.org/10.1007/s00419-019-01511-6
25. Yilmaz K. B., Comez I., Guler M. A., Yildirim B. The effect of orthotropic material gradation on the plane sliding frictional contact mechanics problem. The Journal of Strain Analysis for Engineering Design, 2019, vol. 54, iss. 4, pp. 254-275. https://doi.org/10. 1177/0309324719859110
26. Babeshko V. A., Glushkov E. V., Zinchenko Zh. F. Dinamika neodnorodnykh lineino-uprugikh sred [Dynamics of Inhomogeneous Linearly Elastic Media]. Moscow, Nauka, 1989. 344 p. (in Russian).
27. Bakhvalov N. S. Chislennye metody (analiz, algebra, obyknovennye differentsial'nye uravneniia) [Numerical Methods (Analysis, Algebra, Ordinary Differential Equations)]. Moscow, Nauka, 1975. 632 p. (in Russian).
28. Vishik M. I., Ljusternik L. A. Regular degeneracy and boundary layer for linear differential equations with a small parameter. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 1957, vol. 12, iss. 5 (77), pp. 3-122 (in Russian).
29. Benerdzhi P., Batterfild R. Metody granichnykh elementov v prikladnykh naukakh [Boundary Element Methods in Applied Sciences]. Moscow, Mir, 1984. 244 p. (in Russian).
Поступила в редакцию / Received 06.06.2022
Принята к публикации / Accepted 05.08.2022
Опубликована / Published 30.11.2022
