CC BY
50
УДК 539.3 DOI: 10.12737/1276
Распределение контактных напряжений под круговой пластиной, лежащей
*
на мягком слое
Б. И. Митрин, С. С. Волков
(Донской государственный технический университет)
Рассматривается построение эффективного аналитического решения осесимметрично1 контактной задачи о взаимодействии круглой пластины с двухслойным упругим полупространством. Для этого используется дву-сторонне асимптотический метод. Под действием нагрузки и реакции со стороны слоя пластина изгибается. Решение задачи получено для различных толщин слоя и значений параметра гибкости пластины. Рассмотрены случаи существенного отличия свойств между слоями полупространства. Для этих случаев построены аппроксимации трансформант ядра интегрального уравнения задачи высокой точности. Проведён контроль точности полученных результатов путём сравнения с известным решением задачи об изгибе круговой плиты на упругом слое, лежащем на недеформируемом основании. Исследовано влияние действия распределённой нагрузки на гибкие и жёсткие пластины, в зависимости от толщины слоя и его жёсткости по отношению к подстилающему полупространству.
Ключевые слова: изгиб пластины, круговая пластина, неоднородная среда, теория упругости, аналитические методы.
Введение. Задача об изгибе пластины на упругом изотропном и однородном основании рассматривалась в работах [1, 2]. Решение строилось путём представления контактных напряжений в виде степенного ряда, с последующим определением коэффициентов разложения из бесконечной алгебраической системы уравнений.
Методом ортогональных многочленов такая задача решалась в работах [3, 4], а методом коллокации по чебышёвским узлам — в работах [5, 6]. При этом возникала необходимость построить решение некоторых бесконечных систем линейных алгебраических уравнений и ставилась проблема исследования сходимости полученного решения к точному. В работах [7, 8] для решения задачи применялись асимптотические методы типа «больших Л» и специальных ортогональных многочленов, что позволило получить основные характеристики решения в нескольких формах, каждая из которых эффективна в своей области изменения характерных параметров задачи.
Отметим, что большинство известных решений эффективны только для жёстких пластин. И очень немногие, в частности, представленные в [7, 8], эффективны или для гибких, или для жёстких пластин.
Интерес к решению задачи и её актуальность сохраняется и в настоящее время. Так, в работе [9] решение строилось с использованием разложения напряжения в двойной ряд Фурье. Аналогичный подход использовался в работе [10]. Andrea R. D. Silva с соавторами развил численные методы решения задачи [11].
В настоящей работе развивается подход, основанный на двусторонне асимптотическом методе решения парных уравнений [12], позволяющий получить приближённое решение задачи в единой аналитической форме, применимой во всём диапазоне изменения геометрических и физических параметров задачи как для гибких, так и для жёстких пластин.
Постановка задачи. Круглая пластина радиуса R и постоянной толщины h лежит на границе Г упругого полупространства О, состоящего из однородного мягкого слоя (покрытия) толщины H и
* Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ (ГК № 11.519.11.3028, соглашение № 14.132.21.1693), а также гранта РФФИ № 13-08-01435-а.
однородного полупространства (подложки). С полупространством связана цилиндрическая система координат г', ф, z'; ось z' нормальна плоскости Г и проходит через центр пластины.
Под действием осесимметричной распределённой нагрузки р* (г') и реакции со стороны слоя
пластина изгибается (см. рис. 1). Функция ш* (г') описывает прогибы плиты.
Рис. 1. Схема для постановки задачи
Введём обезразмеривающую замену переменных:
Л = Н /Я ; г - г'¡Я ; ш* (г')- ш (г) Я ,
р* (г') = р (г)ОЯ3, q* (г') = q (г)ОЯ3, где О — цилиндрическая жёсткость пластины, Па-м3.
Коэффициенты Ламе двухслойного полупространства Л и М (z) меняются по следую-
щему закону:
Л о-^Л:;
М И-
М:; М1;
-1 < z < :,
- ГО < Z < -1;
-1 < z < :,
- Го < z < -1.
(1)
Модуль Юнга основания равен Е1 - вЕ: (-1). Безразмерный параметр в определяет скачок упругих свойств на границе «слой — подложка». Увеличение значения параметра в говорит об увеличении жёсткости подстилающего полупространства. Уравнение изгиба пластины имеет вид [14]:
Lw*(г')- р'(г')- q•(г'), 0 < г' < Я,
где L — дифференциальный оператор изгиба пластины; р* (г') — внешняя нагрузка, Па; q* (г' ) — контактные напряжения под плитой, Па; ш* (г') — функция прогиба, м.
Функция прогибов пластинки должна удовлетворять следующим граничным условиям:
/^2
СС ш V сСш
+ гс
сСгу '
- :.
Условия (2) соответствуют свободному краю пластины, V — коэффициент Пуассона пластины.
г-1
г-1
При сделанных предположениях решение задачи сводится к решению следующей системы уравнений [13]:
L0w (г) = р(г)- д(г), 0 < г < 1, (2)
( W2
где L0
б2 1 б
бг2 г бг
{£(а)!(аЛ) J0 (аг)ба = sw (г), 0 < г < 1,
0
да
{£(а) J0 (аг)ба = 0, г > 1,
0
; ¿(аЛ) — трансформанта ядра.
(3)
Параметр 5 характеризует изгибную жёсткость пластины:
5 = ©ДЕТ1, (4)
где © характеризует упругие свойства слоя на поверхности (© = 2М0 (Л0 + М0) (Л0 + 2М0)-1, Па).
Парное интегральное уравнение (3) устанавливает связь между контактными напряжениями и прогибами пластины. Связь функции ф(а) с контактными напряжениями д(г) имеет вид:
1 да
Q(с) = |ц(р)Jo (ар)рбр, а(г) = {£(а)Л(аг)аба. (5)
0 0
Построение решения. Представим функцию прогибов в виде ряда по формам собственных колебаний круглой пластины со свободным краем, аналогично работе [14]:
да 1
W (0=Е ^Фт (4 ^ = ^ (Р) Фт (Р) Р^ (6)
т=0 0
где Ф0 (г) = 72, Фт (г) = А [Л (V)" Jl (к I (к )10 (кг)].
Постоянные Ат и кт, для т = 0,1,...,10 приведены в [14].
Учитывая линейность задачи, разложим функцию контактных напряжений д(г) в ряд следующего вида:
4(г)=Х WmQm (4 0 < г < 1.
(7)
Функции цт (г) находятся из парного интегрального уравнения (3) с правой частью вида (6).
Для построения решения парного интегрального уравнения (4) воспользуемся известным решением, полученным в работе [15], в случае, когда правая часть (4) представима в виде ряда по функциям Бесселя и учтём, что трансформанта ядра ¿(а) может быть аппроксимирована следующим выражением [12]:
¿(а) ~ И = П
Л и2 + а2
Ь а, Ь ес .
(8)
!=! и2 + Ь2
Таким образом, решение парного интегрального уравнения (4) с правой частью (7) можно получить в виде:
дЦ (г) = 2Т2п-5 (0)(1 - г2 )"/2 + £с,0Ф (г,а, Л"1)
[ '=0
(г) = 2п-1 Ат5 (Лкт ) ф (г, ,кт ) - Jl {кт ) I-1 (кт ) ^ (/Л^ ) Ф (г, кт )
ь£С,тФ (г ,а, Л 1)
, т = 1,2,.
2
Постоянные С" определяются из системы линейных алгебраических уравнений:
N
ХС0с(аЛ-1ЛЛ-1) + (:)ЛЬ-1 -:, к -1,2,...,м,
/-1
£ С" а (а Л1, Ь-Л1) + в (к", Ь-Л1) - Jl (к") I-1 (к") Y (к", ьк Л1) -:,
/-1
к -1,2,...,1; " -1,2,..., где а (а,Ь)-^а + ЬсЬа](Ь2 - а2 )-1, в (а,Ь)- (Ла) а (/а, Ь), Y (а, Ь)- (/Ла) а (а, Ь).
В свою очередь, контактные напряжения qNm (г) и р(г) можно представить в виде ряда:
qNN (О = S Уфj Г), ym = Н (Р) Фj (Р) Р^Р ,
j=0
P(r)=S Р тФ m (г), Р m =J P (р) Фт (р) р^ .
(9)
(10)
Тогда, подставив разложения (7), (9), (10) в (3), имеем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов , которую запишем в каноническом виде:
wт + kmmSw-Em = Pmkm\ т = 0,1,2,_>
j=0
(11)
Em = 2П1 As
L ()Fm - J (km ) I" (km ) LN (/Ak; ) Rm + S CS"n
_ n=0
j = J Ф (р, ikj ) Фm (р) р^р = Am [x (kj , km ) - J {km ) I-1 {km ) * (km , k, )] ,
0 1
Rm = J Ф (р, kj ) Фm (р) р^р = Am [X (k- , km ) - J1 (km ) I"1 (km ) X (ikj , ikm )] ,
0
1
Sm = J Ф (р, a Л 1) Фm (р) р^р = Am [X (a, A-1, km ) - J (km ) I"1 (km ) X (/в,,Г1, ikm )] .
0
Здесь j = 1,2,...; m = 0,1,2,...,
x (a, b) = b1 ^cos a sin b + в (sin (a - b) (a - b)-1 - sin (a + b) (a + b)-1 )j,
X (a, b) = (a2 + b2) 1 (ashacos b + bsin scha).
В частности,
E0 = 2n-1V2s
E0 = n 4s
LN (0) Amk-J (sin km - J1 (km ) I^ {km ) sh (km )) + S CS
N
L (0) + ANCanlsh(anA-1)
n=1
Щ = 2n-1V2A;s[Ln1 (Akj)kj1 sink} - J (k; )I-1 (k; )Ln1 (iAk; )k;1sh(k;) +
N
+ASClatsh(anA1) .
n=1 _
Используя метод редукции, сведём решение бесконечной системы алгебраических уравнений (11) к решению системы линейных алгебраических уравнений следующего вида:
Wmk +SwrJ = Pm, m = 0,1,2,.,M .
j=0
После определения коэффициентов wm (т = 0,1,.,М) для фиксированного значения М из (12), находим контактные напряжения
М
4(г)=Х Wmqm (г), 0 < г < 1 (13)
т=0
и прогибы пластины
М
W (г)=Х WmФm (г), 0 < г < 1. (14)
т=0
Численные результаты. Рассмотрим случай мягкого упругого однородного слоя, лежащего на более жёстком упругом основании. Предполагаем, что параметр в принимает значения 2, 100,
1000; коэффициент Пуассона слоя равен коэффициенту Пуассона подложки: v0 = V! = 0,3. Считаем, что слой жёстко сцеплен с основанием (аналогично можно рассмотреть случай, когда слой свободно лежит на подложке).
На рис. 2 приведены графики трансформант интегрального уравнения (4) и их аппроксимации, задаваемые формулой (8), в случае отличия упругих свойств слоя и основания в 2, 100 и 1000 раз. Причём рис. 2, а соответствует случаю отличия упругих свойств покрытия и основания в 2 раза, 2, б— в 100 раз и 2, в — в 1000 раз.
Рис. 2. Трансформанты ядра интегрального уравнения и её аппроксимации
18
Для оценки погрешности аппроксимации трансформанты выражениями вида (8) использовалась следующая формула:
^ (и) =
^ (и)-Ми)
!(и)
• 100%.
(15)
Максимальная погрешность аппроксимации трансформанты ядра не превышает 3,4 % для графиков на рис. 3.
В случае, когда подложка в 2 раза более жёсткая, чем покрытие, погрешности аппроксимации менее 3,5 % можно добиться при N = 1 (соответственно 1,4 % при N = 8), а в случае, когда основание в 1000 раз более жёсткое, чем покрытие, для снижения погрешности до 3,1 % понадобилось N= 20.
В работе [16] показано, что по мере роста значений параметра в трансформанты ядер приближаются к предельному графику, соответствующему случаю недеформируемого основания. Ниже покажем, что значения контактных напряжений для в = 1000 и недеформируемого основания [17] близки друг к другу.
Рассмотрим случай, когда на пластинку действует равномерно распределённая нагрузка. Упругий однородный слой мягче основания в 1000 раз.
Рис. 3. Контактные напряжения для однородного слоя, лежащего на упругом (в = 1000 , сплошная линия) или недеформируемом (прерывистая линия) основании
На рис. 3 сплошной линией изображены графики контактных напряжений, построенных для аппроксимации трансформанты ядра при в = 1000, график которой построен на рис. 2, в. Прерывистой линией обозначены результаты из работы [17], полученные для средней зоны значений параметра Л, как для гибких, так и для жёстких пластин (параметр 5= 0,1 и 5= 4 соответственно). Сравнивая данные результаты с полученными в этой работе, можно обнаружить, что их значения близки друг к другу, разница между ними не превышает 6,5 %. Заметим, что графики на рис. 3 построены двухсторонне-асимптотическим методом, для которого доказана сходимость метода как для больших, так и для малых значений характерного геометрического параметра задачи Л [18]. Анализ графиков на рис. 3, показывает, что метод охватывает и зону средних Л. Таким образом, можно говорить, что при построении достаточно точной аппроксимации трансформанты ядра интегрального уравнения (4), используя двусторонне-
асимптотический метод, можно получить решение задачи во всём диапазоне значений характерного геометрического параметра Л, как для гибких, так и для жёстких пластин.
Рассмотрим случай в -100. Трансформанта ядра и её аппроксимация для закона, описанного выше, построена на рис. 2, б.
На рис. 4 изображены контактные напряжения для гибкой пластины (5 = 0,1). Как видно из графиков, для больших и средних значений параметра Л (диапазон изменения Л от 1 до 4), распределение контактных напряжений близко к значениям, соответствующим однородному полупространству. Для малых Л (Л - 0,1; 0,25) графики контактных напряжений сильно отличаются по поведению и по значениям от соответствующих однородному полупространству. Таким образом, можно сказать, что относительная толщина мягкого упругого слоя существенно влияет на распределения контактных напряжений под пластиной.
Рис. 4. Контактные напряжения. Закон 1, 5= 0,1, 1= 10, М = 10
На рис. 5 изображены контактные напряжения для жёсткой пластины (5 = 3). Анализ графиков на рис. 5 аналогичен рис. 4. Отметим интересный качественный результат, заключающийся в том, что при малых Л (Л - 0,1; 0,25) максимум контактных напряжений в диапазоне
г е [0..0,95] достигается в центре пластины.
Рис. 5. Контактные напряжения. Закон 1, 5= 3, N= 10, М= 10
Заключение. С помощью двусторонне-асимптотического метода получено эффективное аналитическое решение осесимметричной контактной задачи о взаимодействии круглой пластины с двухслойным упругим полупространством. Найдены в аналитическом виде контактные напряжения и функция прогибов пластины. Построенное решение является двусторонне-асимптотически точным, то есть оно эффективно как в зоне больших, так и малых значений характерного геометрического параметра задачи (отношение толщины слоя к радиусу пластины) для гибких и жёстких пластин. Численные результаты, приведённые в работе, показывают, что полученные аппроксимации высокой точности для трансформанты ядра интегрального уравнения задачи позволяют получить решение, которое эффективно и в зоне средних значений характерных геометрических параметров задачи. Библиографический список
1. Горбунов-Посадов, М. И. Расчёт балок и плит на упругом полупространстве / М. И. Горбунов-Посадов // Прикладная математика и механика. — 1940. — Т. 4, вып. 3. — С. 61-80.
2. Ишкова, А. Г. Об изгибе полосы и круглой пластины, лежащих на упругом полупространстве / А. Г. Ишкова // Инженерный сборник. — 1960. — Т. 23. — С. 171-181.
3. Гребенщиков, В. Н. Расчёт круглой пластинки на упругом полупространстве / В. Н. Гребенщиков // Теория расчёта и надёжность приборов : сб. трудов II Саратовской обл. конф. молодых учёных. — Саратов, 1969. — С. 48-51.
4. Александров, В. М. Универсальная программа расчёта изгиба балочных плит на линейно-деформируемом основании / В. М. Александров, Л. С. Шацких // Сб. трудов 7-й Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. — Москва, 1970. — С. 46-51.
5. Шацких, Л. С. К расчёту изгиба плиты на упругом слое / Л. С. Шацких // Известия Академии наук СССР. Механика твёрдого тела. — 1972. — № 2. — С. 170-176.
6. Александров, В. М. Эффективное решение задачи о цилиндрическом изгибе пластинки конечной ширины на упругом полупространстве / В. М. Александров, И. И. Ворович, М. Д. Солодовник // Известия Академии наук СССР. Механика твёрдого тела. — 1973. — № 4. — С. 129-138.
7. Александров, В. М. Асимптотическое решение задачи о цилиндрическом изгибе пластинки конечной ширины на упругом полупространстве / В. М. Александров, М. Д. Солодовник // Прикладная механика. — 1974. — Т. 10, вып. 7. — С. 77-83.
8. Босаков, С. В. К решению контактной задачи для круглой пластинки / С. В. Босаков // Прикладная математика и механика. — 2008. — Т. 72, № 1. — С. 59-61.
9. Kashtalyan, M., Menshykova, M. Effect of a functionally graded interlayer on three-dimensional elastic deformation of coated plates subjected to transverse loading. Composite Structures, 2009, vol. 89, no. 2, pp. 167-176.
10. Kashtalyan, M. Three-dimensional elasticity solution for bending of functionally graded rectangular plates. European Journal of Mechanics A/Solids. 2004, vol. 23, no. 5, pp. 853-864.
11. Silva, Andrea R. D., Silveira, Ricardo A. M., GoncRalves, Paulo B. Numerical methods for analysis of plates on tensionless elastic foundations. International Journal of Solids and Structures, 2001, vol. 38, nos. 10-13, pp. 2083-2100.
12. Айзикович, С. М. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений / С. М. Айзикович // Прикладная математика и механика. — 1990. — Т. 54. — С. 872-877.
13. Айзикович, С. М. Изгиб пластин, лежащих на неоднородном основании / С. М. Айзикович, И. С. Трубчик // Сб. трудов 14-й Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. — Тбилиси, 1987. — Т. 1. — С. 47-52.
14. Цейтлин, А. И. Об изгибе круглой плиты, лежащей на линейно деформируемом основании / А. И. Цейтлин // Известия АН СССР. Механика твёрдого тела. — 1969. — № 1. — С. 99-112.
15. Аналитические решения смешанных осесимметричных задач для функционально-градиентных сред / С. М. Айзикович [и др.]. — Москва : Физматлит, 2011. — 192 с.
16. Волков, С. С. Аналитическое решение осесимметричной контактной задачи о вдавливании штампа в мягкий слой / С. С. Волков, С. М. Айзикович, И. В. Погоцкая // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. — 2012. — № 2. — С. 19-26.
17. Павлик, Г. Н. Взаимодействие фундаментных плит с линейно-упругим основанием / Г. Н. Павлик // Механика контактных взаимодействий : сб. статей / под ред. И. И. Воровича, В. М. Александрова. — Москва, 2001. — С. 254-277.
18. Айзикович, С. М. Асимптотическое решение задачи о взаимодействии пластины с неоднородным по глубине основанием / С. М. Айзикович // Прикладная математика и механика. — 1995. — Т. 59, вып. 4. — С. 688-697.
Материал поступил в редакцию 4.03.2013.
References
1. Gorbunov-Posadov, M. I. Raschet balok i plit na uprugom poluprostranstve. [Calculation of beams and plates on elastic half-space.] Prikladnaya matematika i mekhanika, 1940, vol. 4, iss. 3, pp. 61-80 (in Russian).
2. Ishkova, A. G. Ob izgibe polosy i krugloy plastiny, lezhashchikh na uprugom poluprostranstve. [On sweepy and round plate bending lying on elastic half-space.] Inzhenernyy sbornik, 1960, vol. 23, pp. 171-181 (in Russian).
3. Grebenshchikov, V. N. Raschet krugloy plastinki na uprugom poluprostranstve. [Calculation of circular plate on elastic half-space.] Teoriya rascheta i nadezhnost priborov : sb. trudov II Saratovskoy obl. konf. molodykh uchenykh. [Computational theory and reliability of devices : Proc. II Saratov reg. conf. of young scienists.] Saratov, 1969, pp. 48-51 (in Russian).
4. Alexandrov, V. M., Shatskikh, L. S. Universalnaya programma rascheta izgiba balochnykh plit na lineyno-deformiruyemom osnovanii. [Universal calculation program for bending beam slabs on linear deformable base.] Sb. trudov 7-y Vsesoyuznoy konferentsii po teorii obolochek i plastin. [Proc. VII AllUnion Conf. on shell and plate theory.] Moscow, 1970, pp. 46-51 (in Russian).
5. Shatskikh, L. S. K raschetu izgiba plity na uprugom sloye. [To the calculation of plate bending on elastic layer.] Izvestiya Akademii nauk SSSR. Mekhanika tverdogo tela [Mechanics of Solids]. 1972, no. 2, pp. 170-176 (in Russian).
6. Aleksandrov, V. M., Vorovich, I. I., Solodovnik, M. D. Effektivnoye resheniye zadachi o tsilindricheskom izgibe plastinki konechnoy shiriny na uprugom poluprostranstve. [Effective solution to the problem on cylindrical bending of finite width plate on elastic half-space.] Izvestiya Akademii nauk SSSR. Mekhanika tverdogo tela [Mechanics of Solids]. 1973, no. 4, pp. 129-138 (in Russian).
7. Aleksandrov, V. M., Solodovnik, M. D. Asymptotic problem of the cylindrical bending of a plate of finite breadth in an elastic half-space. Soviet Applied Mechanics, 1974, vol. 10, iss. 7, pp. 749-754 (in Russian).
8. Bosakov, S. V. The solution of the contact problem for a circular plate. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2008, vol. 72, no. 1, pp. 59-61.
9. Kashtalyan, M., Menshykova, M. Effect of a functionally graded interlayer on three-dimensional elastic deformation of coated plates subjected to transverse loading. Composite Structures, 2009, vol. 89, no. 2, pp. 167-176.
10. Kashtalyan, M. Three-dimensional elasticity solution for bending of functionally graded rectangular plates. European Journal of Mechanics A/Solids. 2004, vol. 23, no. 5, pp. 853-864.
11. Silva, Andrea R. D., Silveira, Ricardo A. M., GoncBalves, Paulo B. Numerical methods for analysis of plates on tensionless elastic foundations. International Journal of Solids and Structures, 2001, vol. 38, nos. 10-13, pp. 2083-2100.
12. Aizikovich, S. M. An asymptotic solution of a class of coupled equations. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1990, vol. 54, no. 5, pp. 719-724.
13. Aizikovich, S. M., Trubchik, I. S. Izgib plastin, lezhashchikh na neodnorodnom osnovanii. [Bending of plates lying on an inhomogeneous foundation.] Sb. trudov 14-y Vsesoyuznoy konferencii po teorii plastin i obolochek. [Proc. XIV All-Union Conf. on shell and plate theory.] Tbilisi, 1987, vol. 1, pp. 47-52 (in Russian).
14. Tseitlin, A. I. Ob izgibe krugloy plity, lezhashchey na lineyno deformiruyemom osnovanii. [On bending of circular plates lying on linear deformable base.] Izvestiya AN SSSR. Mekhanika tverdogo tela [Mechanics of Solids]. 1969, no. 1, pp. 99-112 (in Russian).
15. Aizikovich, S. M., Aleksandrov, V. M., Vasiliev, A. S., Krenev, L. I., Trubchik, I. S. Analiticheski-ye resheniya smeshannykh osesimmetrichnykh zadach dlya funktsionalno-gradiyentnykh sred. [Analytical solutions to mixed axisymmetric problems for functionally-graded media.] Moscow : Fizmatlit, 2011, 192 p. (in Russian).
16. Volkov, S. S., Aizikovich, S. M., Pogotskaya, I. V. Analiticheskote reshenite osesimmetrichnoy kontaktnoy zadachi o vdavlivanii shtampa v myagkiy sloy. [Analytical solution of the axisymmetric con-
tact problem on the indentation of a soft layer.] Ekologicheskiy vestnik nauchnykh tsentrov Chernomor-skogo ekonomicheskogo sotrudnichestva, 2012, no. 2, pp. 19-26 (in Russian).
17. Pavlik, G. N. Vzaimodeystviye fundamentnykh plit s lineyno-uprugim osnovaniyem. [Interaction of foundation slabs with linear-elastic ground.] Vorovich, I. I., Aleksandrov, V. M., eds. Mekhanika kontaktnykh vzaimodeystviy : sb. statey. [Contact Mechanics : coll. works.] Moscow, 2001, pp. 254-277 (in Russian).
18. Aizikovich, S. M. Asymptotic solution of the problem of the interaction of a plate with a foundation inhomogeneous in depth. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1995, vol. 59, no. 4, pp. 661-669.
CONTACT STRESS DISTRIBUTION UNDER CIRCULAR PLATE ON A SOFT LAYER
B. I. Mitrin, S. S. Volkov
(Don State Technical University)
An effective analytical solution to an axisymmetric contact problem on the interaction between a circular plate and a double-layer elastic half-space is considered. For this, a bllateral asymptotic method is applied. The plate bends under the load and the foundation response. The solution is constructed for different layer thickness and plate flexibility parameters. Cases when half-space layer properties differ significantly are considered. For these cases, kernel transform approximates of the high-accuracy problem integral equation are constructed. The obtained results accuracy is checked through the comparison with the known solution to the problem on the circular plate bending on an elastic layer bearing on the non-deformable foundation. The effect of the distributed load on flexible and rigid plates depending on the interlayer thickness and its stiffness against the underlying half-place is investigated. Keywords: plate bending, circular plate, inhomogeneous medium, theory of elas-ticity, analytical methods.
