CC BY
24
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• 11
Построенный базис в силу ортогональности финитных функций и применения треугольной сетки является эффективным средством решения краевых задач математической физики и механики сплошных сред для областей с криволинейными границами, в которых используется независимая аппроксимация искомых функций и их производных. Ортогональность базисных функций позволяет, например, в задачах теории упругости исключить в аналитической форме узловые неизвестные силовых факторов из системы сеточных уравнений до начала ее решения на ЭВМ. В результате такого исключения устраняется главный недостаток вариационно-сеточных методов, основанных на смешанном вариационном принципе Рейсснера [6] и имеющих на той же сетке большее число узловых неизвестных по сравнению с методами, основанными на вариационном принципе Лагранжа [6]. При этом сохраняется преимущество смешанных методов, которое объясняется отсутствием численного дифференцирования перемещений при определении напряжений и выражается в уравновешенной гладкости приближенных решений для кинематических и силовых факторов.
" W I
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets // Communs. Pure and Appl. Math. 1988. V. 41. P. 909 - 996.
2. Leontjew V.L., Ziplow M.P. Über eine Projektionen netzlichen Methode, die mit Anwendung der miteinander orthogonalen ununterbrochenen Basisfunktionen mit dem endlichen Truger verknüpfen ist // Des 1. Russisch-Deutschen Symposiums "Intelligente Informationstechnol. in der Entscheidungsfindung", 24-28 November 1995. M., 1995. S.169
-173. ' "" ' T ....... - - ■ -- ......
3. Леонтьев BJL, Лукашанец Н.Ч. О сеточных базисах ортогональных финитных функций // ЖВМ и МФ. 1999. Т. 39. №7. С. 1158 -1168.
4. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.
5. Леонтьев В.Л. Применение ортогональных финитных функций, связанных с треугольными сетками, в математическом моделировании // Материалы Всероссийской научной конференции (27-30 сентября 2000 года, г. Ставрополь). Часть 1. Ставрополь: Изд-во СГУ, 2000. С. 54-58.
6. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1978.
Леонтьев Виктор Леонтьевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Механика и теория управления» Ульяновского государственного университета, окончил физико-механический факультет Ленинградского политехнического института. Имеет монографию и статьи в области теории стайное, численных методов, вариационного исчисления, механики деформируемого твердого тела.
И. МЕХАНИКА
УДК 539.3 Ю.П. АРТЮХИН
л
КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕМБРАН С ПОДВИЖНЫМ ШТАМПОМ
Тонкостенные конструкции в виде мембран широко применяются в качестве исполнительных элементов в системах автоматического управления. В этом случае для проектирования таких систем необходимо знать статическую характеристику: зависимость перемещения штампа от давления. Обычно исполнительные мембранные элементы выполняются в виде мембран, -жестко соединенных в середине со штампами так, что область контакта его при работе не изменяется. Для увеличения степени свободы системы предлагается сделать контакт мембраны с подвижным штампом при работе элемента переменным. Статическая характеристика в этом случае будет иной. Контактные задачи для мембран с неподвижным штампом в линейной постановке рассмотрены в [I]. В данной статье исследуются одномерные контактные задачи взаимодействия мембран с подвиэ/сным штампом. Обсуэ/сдается вопрос в каком случае необходимо ставить задачу в линейной и нелинейных постановках.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть предварительно напряженная мембрана изгибается давлением ч{х>у\ Допустим, что углы поворота мембраны 0 при изгибе невелики.
Кроме того, предполагаем, что деформации являются малыми. Поэтому будем считать, что
5/77(3)« 9, сот(д)« 1. (1.1)
Тогда уравнения равновесия малого элемента мембраны в декартовых координатах х,у будут иметь вид:
дх % дх ду дх дхду ду
Здесь -и>{х,у) - прогиб, Т",Г}';,5"' - полные нормальные и сдвигающие
усилия, возникающие от начального предварительного натяжения в плоскости х, у и от изгиба. Таким образом,
Т'х1 = Г,0 + тх, г;=ту0+ту, г+5-.. (1.3)
Символы с индексом нуль относятся к усилиям предварительного натяжения. Усилия так выражаются через деформации 8^,8 ,у и перемещения
и, v, и>:
г; = к(г: +уе;), т; = к{г; + V е" ), Г (1.4)
* дип 1
в" =-+ -
дх 2
/
д\уп дх
\
п
дуп 1
> е. =
дх
н—
/
а>у"
\
п
ди" Эу" дн>" дм"
» Уху
+
ду дх
+
дх ду
(1.5)
где К =
Е17
1 — v
; Е - модуль упругости; V - коэффициент Пуассона; И - тол-
щина мембраны.
Перемещения и деформации представим в виде суммы слагаемых от предварительного натяжения и изгиба:
и" = г*0 + у" = У0 =
8^ = 80 + , 8; = 8^0 + Еу, У; = У^о + Уд>,. (1.6)
Компоненты деформаций (1.5) удовлетворяют уравнению совместности деформаций
+
2 /а
у
ду1 дх1 дхду
'д2м>п
\
v
/
с> У 9 V
дх2 ду2
(1.7)
«
Выражая деформации через усилил и используя уравнения равновесия (1.2), представим уравнения (1.7) в виде:
32 (1.8)
+
дх2 ' дх2
Уравнения (1.2)-(1.8) дают систему нелинейных уравнений для определения напряженно-деформированного состояния мембраны. Обычно [2] эти уравнения получают из нелинейных уравнений теории пластин, полагая из-гибную жесткость равной нулю. В теории пластин критерием применения линейной теории служит величина малости прогиба, которая составляет менее половины её толщины. В противном случае прогибы считаются большими и необходимо применять нелинейные уравнения. В теории мембран нельзя применять этот критерий. Основным предположением для существования системы (1.2)-(1.7) является одинаковый порядок усилий предварительного натяжения и изгиба. Если усилия предварительного натяжения на два порядка больше усилий от изгиба, то последними можно пренебречь, а также аналогичными перемещениями и деформациями:
Т>ТХо, г; *Ту0, Г *50, е; «8Л0,«8,0, у;
В этом случае уравнения (1.2), (1.8) становятся линейными и принимают
вид:
дтх0 а?
о
дх ду
= 0,
а?0 37:
а*
+
>'0
= 0,
Г.
д2м> д2м/ „ д2м
+ 25,
Л° дх2 ° дхду
+ Т.
у о
ду
= -я(х,у)У2{тхо+Ту0)=0.
(1.9)
В том случае, когда усилия предварительного натяжения по всем кромкам
постоянны !Г0д. = Г0, Ту0 = Т0, S0 = О, получим известное линейное уравнение изгиба мембраны
T0V2w = -q{x,y). (1.10)
Причем уравнение (1.10) описывает как малые, так и большие (по сравнению с толщиной) прогибы мембраны. Ограничения накладываются на углы поворота, которые должны подчиняться условию (1.1). Это означает, что максимальные значения угла которые появляются у края мембраны, должны быть меньше 15 градусов.
При контакте мембраны с подвижным штампом область, занимаемая мембраной, будет делиться на неизвестную область контакта и свободную область. Задача заключается в отыскании неизвестной границы области контакта. В виду того, что с изменением нагрузки область контакта меняется, зависимость перемещения штампа от давления даже для уравнения (1.10) будет нелинейной.
2. ДЛИННАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ МЕМБРАНА
Рассмотрим одномерную контактную задачу взаимодействия плоского подвижного штампа с полосой мембраны, вырезанной вдоль короткой стороны. Предварительно напряженная мембрана усилием Г0, длиной L под равномерным давлением q прижимается своей средней частью размером 2Ь к подвижному гладкому штампу. Поступательное движение штампа сдерживается пружиной, имеющей жесткость /с. Штамп вначале находится на расстоянии d от мембраны и пружина не напряжена. С возрастанием давления мембрана, касаясь штампа, поднимает его на высоту w[b\-d, где w[b] - прогиб мембраны в области контакта на границе Ь. Требуется определить область контакта 26, форму мембраны и влияние давления на перемещение штампа. Пусть усилие от предварительного натяжения будет одного порядка с усилием, возникающим от изгиба мембраны. Деформации от растяжения
du/dx и от изгиба (dw/dx)2 будут также одного порядка. Поэтому в этой постановке задача будет нелирюйной. Из условий равновесия штампа: F = 2bq, F=k[w{b)-d\, где F-усилие в пружине. Исключая F, получим:
м(b)=d+—, w(b) > d. (2.1)
к
Выбирая начало координат в середине мембраны и пользуясь симметрией деформаций, сформулируем краевую задачу в области контакта (0<х<Ь)\
' du'
w, (x)=w(b) -const, К—-=С,, и,(0)=0 (2.2)
dx
и вне области контакта (b<x<L/2):
Т-
сЬс
=-я,тх=к
дм
дги !
—- + -
дх 2
\
СЫ?2 сЬс
7
=с„
(2.3)
уф)=м>(Ь), -—2-(б)= 0, м>2 (¿/2)=О, «(¿/2)= О,
с1х
где Т = Т0+ТХ - полное усилие от предварительного натяжения и изгиба; Тх = Кех - усилие, вызванное изгибом мембраны; ех - горизонтальная деформация; (х), и,(х) - вертикальные и горизонтальные перемещения точки х мембраны в области контакта; и>2(х), и2(х) - перемещения вне области контакта. Выполняя условия сопряжения = их{Ь)=иг{Ь) и решая
краевые задачи (2.2), (2.3), получим
2 ьа
щ(х)='С0Ху ™,(х)=с/ +-, (0<х<6);
и2(х)=С0
х---
ч 2,
6 (С, + Т0):
(х-б)3-
/
V
1-ь 2
\
/
, (Ь<х<Ь/2);
\\>2 (х) =
2 (С,+Г0)
/
ч
Ь
--X
2
V
/
I
-2 6 + х
\
/
, где С0 =
(2.4)
Постоянная С, и граница области контакта 6 определяется из уравнений:
3/,С, (С, + Т0 )2 = ^
/
2
\3
/
9
/
Ь
-ъ
\
= 2 (С1+Г0 Ы +
2^
7
\
у
(2.5)
„ , а , ь дь{\-у2) я
Вводя безразмерные величины: а*=—, 6* = —, =—Л-——Як=т>
к
ь
ЕИ
т
80 = — - приведем (2.5) к виду: К
24С0(С0 + е0 )2 = (1 - 26. У, 26* )2 = 8(С0 + 80X* + ). (2.6)
Исключая отсюда С0, имеем уравнение для определения неизвестной 6,:
З^.х3 -24£0/)Л- = 64£>3, Л: = 1-26., £> = Л + 26,^. (2.7)
Затем по найденному значению х определим С0:
С = е 0 " 8£)
(2.8)
Полученные соотношения можно использовать в задаче с неподвижным штампом, если положить жесткость пружины бесконечно большой к -> со, то = 0, £> = с1.. В этом случае удобнее систему (2.7) представить в виде:
ЩС0+с0)
а.а* = и, /.о. = 1- .1
9
С1 + 80С02 = 0, 26. = 1-
(2.9)
Переходя к безразмерным координатам и перемещениям: х = —, ил -
щ
= —, /=1,2 - преобразуем формулы (2.4): при (0<х<Ь+\ (х) = их(х) = С0х ;
при (Ь< х < 1/2), м>2 (х) =
2(С0+80)
г
\
(1\\>2 _ _ д*(х - ы) сЫ (С0+80)
, и2(х)=С1
о
/
1
— X ч2 У
\
/
\
--2Ы + х 2
\
/
(2.10)
1
х — 2
) б(С0+80):
(Зс - Ы У
/
V
1-6. 2
N
У
Полагая в формулах (2.6) и (2.10) Ы = 0, получим решение задачи об изгибе полосы в отсутствии ограничения:
/
2(С0+в0)
1
- X
ч
N
/
, и(х) = С()х -
2—3
б(С0+80)2'
-|<Г 1 Х- 2'
(2.11)
где величина С0 является вещественным корнем кубического уравнения
С0 + 2е0С0 + £0С0
24
= 0.
(2.12)
(2.13)
Сделаем расчет перемещений мембраны, принимая следующие данные:
94 С'
80 = 10~3, v = 0,3, — = 10~"6, ~ = 103.
Е И
Перемещения свободной мембраны в этом случае выражаются следующими функциями:
й(х) = 0,12550б(0,25-х2), и(х) = (о,00262531-0,0105012-х2)х. (2.14) Максимальный угол поворота достигается на крае и составляет »(0,5) = 7,15°. Интересно проверить выполнение исходных предположений.
Величина деформаций от изгиба С0 = 2,62531 -10~3 имеет один порядок с начальной деформацией е0. Как показывают расчеты, величины сШ/сК и
1/2 (сВ/¿х)2 тоже оказываются соизмеримыми.
Оценим условия применимости линейной теории. Пусть исходные данные имеют вид: в0=8-10~\ у = 0>3, — = 0,4-10~7, - = 104. Тогда
Е к
С0 = 8,44673-10 ° на два порядка меньше предварительной деформации.
Угол поворота на крае равен 1,3°, а максимальный прогиб составляет 56,281
толщин мембраны. По линейной теории это значение составляет 56,8875 толщин, что дает погрешность в 1,056%.
Добавляя к данным (2.13) значение безразмерного расстояния
= 1,5 • 10~2 в случае неподвижного штампа (<г/А. = 0), из уравнений (2.9) получаем: С0 =0,00113167, Ы =0,234906, 8(0,5)= 6,48°. Перемещения мембраны будут иметь вид:
%(х) =1,5-10"2, и(х) = 0,00113167• Зс, (0<3с <0,23406);
Я(х) = 0,213447(0,5 - Зс Х0,0301884 + Зс), (0,23406<3с <0,5), (2.15) л (Зс) = 0,000393705 - 0,00389637 • Зс + 0,0214045 • Зс2 - 0,0303732 • х3.
Наконец при учете подвижности штампа =1,5-10"2) дополнительная деформация С0 =0,00157597, граница контакта Ы = ОД 64142, угол наклона
0(0,5)= 6,8°. Перемещения равны
й(3с) = 0,0199243, и(х) = 0,00157597 • 5с, (0<Зс <0,164142);
0,176633(0,5ХОД71716 + 5с), (0,164142<3с<0,5); (2.16)
й(х) = 0,0000919835-0,0001052 • 5с + 0,0102422• Зс2 - 0,0207994• Зс3. Результаты вычислений по формулам (2Л4)—(2.16) представлены на рис. 1-2. Причем верхние кривые относятся к перемещениям нестесненной мембраны. Средние кривые показывают форму мембраны, прогибы которой ограничены подвижным штампом. Нижние кривые иллюстрируют эпюры
перемещений при контакте мембраны с неподвижным штампом.
и
5
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Рис. 1. Распределение прогиба удлиненной
мембраны
5
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Рис. 2. Горизонтальные смещения удлиненной вдоль половины её короткой длины мембраны по короткой стороне
о 3
. КРУГЛАЯ МЕМБРАНА, КОНТАКТИРУЮЩАЯ С ЛШДКОСТЬЮ И
ПОРШНЕМ
Рассмотрим задачу взаимодействия круглой мембраны с плоским подвижным поршнем. В отличие от предыдущей задачи давление, действующее на мембрану, создается жидкостью и заранее неизвестно. Исполнительный мембранный элемент имеет следующую модель. В жесткий цилиндрический сосуд с дном в виде круглой мембраны налита жидкость объемом
О0 = пК2Н0, где Я - радиус мембраны; Н0 - высота уровня жидкости до деформации. Деформация дна ограничена поршнем, упирающимся в упругую пружину. Сопротивлением рычагов пренебрегаем. Задача заключается в определении поступательного перемещения поршня в зависимости от уровня жидкости в сосуде.
Усилие, возникающее в пружине,равно У7 = к(0-с1), где к - жесткость;
с1 - начальное расстояние поршня от дна мембраны (в отсутствии жидкости); О - некоторое конечное расстояние. Рассматривая равновесие поршня, получим Р = пЬ2а. Здесь Ь - неизвестный радиус области контакта, а - гидро-
статическое давление жидкости, равное а = у(Я + О), у - удельный вес жидкости, И — неизвестная высота уровня жидкости от края деформированной мембраны. Весом самой мембраны пренебрегаем. Учитывая выше изложенное, выразим О через Я:
D =
/ о \
. и b уН d +---'—
/
1--
2 ^ л b у
ч
(3.1)
у
Если преграда неподвижна, то к со и D = d .В этом случае величина D
не зависит от области контакта.
Предполагая, что постоянное предварительное натяжение Т0 является
достаточно большим по сравнению с мембранным усилием от изгиба, воспользуемся линейным дифференциальным уравнением (1.10), которое в силу осевой симметрии получит вид
_ Ф)
где V2 =
d
1 d
о
dr1 г dr
г - полярный радиус.
Гидростатическое давление на мембрану равно <? = -у[Я -^(г)]. Здесь знак минус поставлен потому, что и{г) < 0. Положительным прогиб считает-
ся при перемещении мембраны вверх. Отсюда получаем следующую краевую задачу [3]:
* ™ + + = а2Я, {Ь<г<И), н>(г) = -1), (0</-<б), а2 = (3.2)
dr
г dr
Т<
о
Граничные и контактные условия имеют вид:
*>(Л) = 0, м/(г>) = -£>, — (ь) = о.
dr
Из условия несжимаемости жидкости следует связь между величинами Я
(3.3)
и Я0:
H = H^2~)w{r)rdr.
" о
(3.4)
Здесь из высоты Я0 вычитается интеграл, так как прогиб является величиной отрицательной.
Уравнение (3.2) представляет дифференциальное уравнение Бесселя, общее решение которого можно записать следующим образом:
Щ = Сх У0 (от)+С2 У0 (аг) + Я, (3.5)
где С1? С2 - произвольные постоянные; J0(z)9 У0(г) - функции Бесселя и
Неймана нулевого порядка. Найдем форму мембраны в отсутствии контакта, когда её максимальный прогиб меньше расстояния d. В этом случае постоянную С2 для устранении особенности в центре следует принять равной нулю,
а С1 определится из условия отсутствия прогиба на краю мембраны:
/0(сс г)
w(r) = Я
1-
J0(aR)
w
(о )<d.
(3.6)
Используя свойство бесселевой функции
»*
= (3.7)
о
из соотношения (3.4) получим
Н = Н0Я аЛМ) 2У,(аЛ)
При и>(0)> ¿/ в условиях контакта мембраны с поршпем из первого и
_ Нф) Н 3, (л*)
третьего равенства находим постоянные С. =-----г, С2 ~ -г,
А (¿г, х) Л(а, х)
где А (я,л*) = (с/) К,(х)- У,(х) К0(а); х = аЬ ; а = аЯ. Здесь применены следующие формулы для функций Бесселя и Неймана:
Ж Ж
Окончательно прогиб будет выражаться формулой
м = ни _ . (3.9)
I Л
В этом выражении величина х остается пока неизвестной. Выполняя условия \\>(Ь) = -0 и используя свойство Вронскиана
их
получим трансцендентное уравнение для определения области контакта
■ / Ч 2 ./ Л й пх Т0 пх Н к
/ 2
тис Т,
о
1-
V к J
(3.10)
г 2
С учетом (3.7) и интегрального соотношения ]7 = — + 2 У,(л),
о 71
находим уровень жидкости Я при изгибе мембраны из уравнения (3.4)
н = —-.__я° "2 -т. (3.11)
Ца и, (а)-У, (а)У, (*)] + ? У, (х)
Проделаем расчеты, принимая следующие числовые данные для тонкой круглой мембраны радиуса Л = 10 см, толщиной /? = 0,01 см из материала
' _ » * ."'Л' и* * Эф' ^ -
типа плексигласа с модулем упругости Е = 5,25-10' кГ/см и коэффициентом Пуассона у = 0,35. Начальное натяжение Т0 =62,8205 кГ/см, что соответствует радиальной деформации 80 = ОД 05. Удельный вес жидкости типа
этилиодида у = 1,933-10"*' кГ/см с высотой столба #0 = 250 см. Начальное положение поршня ¿/ = 0,05 см, жесткость пружины А: = 100 кГ/см. Решение аналогичной нелинейной задачи в литературе отсутствует. Поэтому восполь-
зуемся нелинейным решением изгиба круглой мембраны при действии равномерного давления, полученного в рядах Г. Генки [4] без учета предварительного натяжения. Из этого решения найдем при наших параметрах радиальное усилие от изгиба, принимая давление д = уН0. Как показывают расчеты, радиальное мембранное усилие достигает максимального значения в центре до 10 кГ/см, убывая на краю до значения 0,8 кГ/см. Поэтому правомерно пренебречь средним усилием от изгиба по сравнению с усилием Т0.
Безусловно, такое сравнение является только оценочным. Более точное сравнение можно сделать, только решив нелинейную задачу изгиба предварительно натянутой мембраны под гидростатическим давлением. По формулам (3.6)-(3.11) сделаны вычисления прогибов мембраны, результаты которых помещены на рис.3.
W
Рис.3. Распределение прогибов круглой мембраны по радиусу под действием гидростатического давления. Нижняя кривая соответствует случаю отсутствия ограничения прогиба. Средняя кривая - при ограничении прогиба подвижным поршнем. Верхняя кривая - при ограничении прогиба неподвижным поршнем
-0.05
-0.1
-0.15
Максимальный прогиб для свободной мембраны равен 0,192 см. Подвижный поршень достигает отметки 0,146 см и имеет границу контакта на радиусе 2,52 см. Неподвижный поршень контактирует с мембраной на радиусе 6,1 см. Наибольший уклон поверхности мембраны получается в случае
отсутствия ограничения на прогибы и составляет 2,2°. Все вычисления и построения графиков выполнены при помощи системы Mathematica 4.0, для которой решение далее такой сложной системы трансцендентных уравнений (3.10), (3.11), выраженных через функции Бесселя и Неймана, не составило большого труда.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Артюхин Ю.П., Чумарина О.В. Контактная задача для мембраны произвольного очертания с жесткой плоскостью // Труды междунар. конф., иосвящ. памяти A.B. Сачен-кова. Актуальные проблемы механики оболочек. Казань: УНИГ1РЕСС, 1998. С. 14-18.
2. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956.
3. Ильгамов М.А. Статические задачи гидроупругости. Казань, 1994.
4. Hencky H. Uber den Spannungszustand in Kreisrunden Platten mit Verschwindender Biegungssteifigkeit, Zeit. f. Math. u. Phyzik., 63,1915. S. 311-317.
Артюхин Юрий Павлович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Теоретическая механика» Казанского государственного университета, окончил физико-математический факультет Казанского государственного университета. Имеет монографии и статьи в области теории и методов расчета пластин и оболочек.
