О ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ ОПЕРАТОРА ПУАНКАРЕ--СТЕКЛОВА ДЛЯ УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аналогично во втором случае

— = + ГШ

4 г/2 16 г/4 32 г/6 ' 1 j

2 4 ß2 36 ß3

ИЛИ V =----1--.

9 16 512

С помощью замены z = ut, а = —z, ß = -fo рассматриваемое в настоящей работе уравнение (4)

V2 v

сводится к другой форме x'' + (а + ß cos z)x = 0, используемой в [6], и полученные формулы (11), (12), (15), (16) приводятся к виду, записанному в [6]. В [7] уравнение x'' + (а+ 4qcos zi)x = 0 сводится к соответствующему уравнению в [6] заменой z = 2zi, ß = — 4q.

Таким образом, получили уравнения граничных кривых, которые в точности совпадают с результатами [6] и [7].

Заключение. В работе применен метод исследования уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами, существенной особенностью которого является то, что после стандартного перехода к амплитуде и фазе уравнение для фазы становится независимым. Построены первое, второе, третье и четвертое приближения для второй резонансной области, а также первое, второе и третье приближения для третьей резонансной области уравнения Матье, которые описывают поведение решений как внутри резонансной области, так и снаружи. Показано, что вблизи границы, но вне резонансных зон, имеет место движение типа биений, а внутри границы — экспоненциальный рост. Дано описание поведения решений вне резонансных зон в аналитическом виде, в том числе приведена оценка периода биений, что ранее не встречалось в литературе. Представлено сравнение полученных уравнений границ устойчивости с известными результатами, которое показывает, что, несмотря на неизученную сходимость данного метода, он дает формулы, которые в точности совпадают с известными в литературе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hill G. On the part of the motion of the lunar perigee which is a function of the mean motions of the sun and moon // Acta Math. 1886. 8. 1-36.

2. Якубович В.А., Старжинский В.M. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.

3. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: ИЛ, 1952.

4. Norris J. W. The nonlinear Mathieu equation //Int. J. Bifurcation and Chaos. 1994. 4. 71-86.

5. Буданов В.M. Редукция уравнения Матье к нелинейному уравнению первого порядка // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2016. № 1. 66-69.

6. Маркеев А.П. Линейные гамильтоновы системы и некоторые задачи об устойчивости движения спутника относительно центра масс. М.; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2009.

7. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1964.

Поступила в редакцию 02.10.2020

УДК 539.3

О ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ ОПЕРАТОРА ПУАНКАРЕ-СТЕКЛОВА ДЛЯ УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ

А. А. Бобылев1

Рассматривается оператор Пуанкаре-Стеклова, отображающий на части границы полуплоскости нормальные напряжения в нормальные перемещения. Сформулирована краевая задача, с помощью которой вводится оператор Пуанкаре-Стеклова. Приведено инте-

1 Бобылев Александр Александрович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ;

ст. науч. сотр. Моск. центра фунд. и прикл. матем., e-mail: abobylovQgmail.com.

Bobylev Aleksandr Aleksandrovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov

Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theory of Elasticity; Moscow Center for

Fundamental and Applied Mathematics.

тральное представление исследуемого оператора, построенное на основе решения Фламана о действии сосредоточенной нормальной силы на границе упругой полуплоскости. Установлено, что свойства оператора Пуанкаре-Стеклова зависят от выбора кинематических условий, задающих смещения полуплоскости как жесткого целого. Получены условия положительной определенности оператора Пуанкаре-Стеклова. Показано, что для обеспечения положительной определенности оператора можно использовать соответствующее масштабирование расчетной области.

Ключевые слова: оператор Пуанкаре-Стеклова, упругая полуплоскость, положительно-определенный оператор.

The Poincare-Steklov operator that maps normal stresses to normal displacements on a part of a half-plane boundary is studied. A boundary value problem is formulated to introduce the associated Poincare-Steklov operator. An integral representation based on the solution to the Flam ant problem for an elastic half-plane subjected to a concentrated normal force is given for the operator under consideration. It is found that the properties of the Poincare-Steklov operator depend on the choice of kinematic conditions specifying the displacements of the half-plane as a rigid body. Positive definiteness conditions of the Poincare-Steklov operator are obtained. It is shown that a suitable scaling of the computational domain can be used to provide the positive definiteness of this operator.

Key words: Poincare-Steklov operator, elastic half-plane, positive definite operator.

1. Введение. Операторы Пуанкаре-Стеклова, отображающие граничные условия одного типа в граничные условия другого типа, применяются в вычислительных алгоритмах решения различных классов краевых задач математической физики [1]. Использование операторов Пуанкаре-Стеклова позволяет получить вариационные формулировки контактных задач теории упругости с односторонними связями в виде граничных вариационных неравенств и задач минимизации граничных функционалов, при численном решении которых требуется дискретизировать лишь часть границы области — зону возможного контакта [2]. Это существенно уменьшает размерность получаемых дискретных задач и снижает вычислительные затраты при решении контакных задач с заранее неизвестными площадками фактического контакта, включая задачи множественного контакта.

Рассмотрим задачу о вдавливании жесткого штампа в упругое полупространство, используемую в трибологии для моделирования локального контакта. Можно показать [3], что при отсутствии трения распределение нормальных контактных напряжений ап по области возможного контакта Гд является решением задачи минимизации граничного функционала

где 5 : ап ^ ип — оператор Пуанкаре-Стеклова, отображающий на части Гд граничной плоскости полупространства нормальные напряжения ап в нормальные перемещения ип; Ф — функция, описывающая форму и положение штампа; Уд = {д € V : д ^ 0} — множество допустимых нормальных напряжений; V — функциональное пространство, элементами которого являются нормальные напряжения.

Достаточным условием существования и единственности решения задачи минимизации (1) является положительная определенность оператора Пуанкаре-Стеклова 5 на множестве Уд [4]. Используя решение Буссинеска для упругого полупространства и предполагая, что массовые силы отсутствуют, а главный вектор нормальных контактных напряжений конечен, для оператора 5 : ап ^ ип можно получить интегральное представление

где г (х, £) = \х — £| — расстояние между точками х и Е и V — модуль Юнга и коэффициент Пуассона упругого полупространства. Полагая, что область возможного контакта Гд является ограниченной, несложно показать, что оператор Пуанкаре-Стеклова, определенный формулой (2), будет положительно-определенным, например, на пространстве V = ¿2(Гд).

(1)

(2)

18 ВМУ, математика, механика, № 6

В случае контакта двух цилиндрических тел, оси которых параллельны, задачу можно рассматривать как плоскую. Задача о вдавливании жесткого штампа в упругую полуплоскость является классической контактной задачей теории упругости, для ее решения, как правило, применяются методы, основанные на использовании комплексных потенциалов [5]. При наличии в постановке задачи условий одностороннего контакта, содержащих неравенства, задача становится нелинейной, размеры фактических площадок контакта заранее неизвестны. Для их определения используют различные итерационные алгоритмы, однако обеспечить сходимость последних в задачах множественного контакта весьма затруднительно. Поэтому представляет интерес построение вариационной формулировки, аналогичной (1), для упругой полуплоскости. Основная возникающая при этом проблема состоит в следующем.

В соответствии с решением Буссинеска при действии сосредоточенной силы, нормальной к границе полупространства, перемещения и повороты в бесконечно удаленной точке полупространства равны нулю, т.е. смещения полупространства как жесткого целого отсутствуют. В случае плоской задачи согласно решению Фламана при действии сосредоточенной силы, нормальной к границе полуплоскости, перемещения изменяются с увеличением расстояния г от точки нагружения как 1п г. Следовательно, требуется введение в постановку задачи дополнительных кинематических условий, задающих смещения полуплоскости как жесткого целого. Ясно, что от выбора этих условий зависит вид оператора Пуанкаре-Стеклова, отображающего на части границы упругой полуплоскости нормальные напряжения в нормальные перемещения. В литературе приведено несколько вариантов (см., например, [6, 7]) условий "закрепления" полуплоскости, однако соответствующие им операторы Пуанкаре-Стеклова являются несимметрическими. Вопрос о положительной определенности операторов Пуанкаре-Стеклова для упругой полуплоскости ранее не исследовался. Настоящая работа посвящена определению условий, обеспечивающих положительную определенность оператора Пуанкаре-Стеклова, отображающего на части границы упругой полуплоскости нормальные напряжения в нормальные перемещения.

2. Постановка краевой задачи. Сформулируем краевую задачу, с помощью которой вводится исследуемый оператор Пуанкаре-Стеклова. Пусть невесомая однородная изотропная упругая полуплоскость занимает область П = {х = (Х1,Х2) € В2 : Х2 ^ 0} с границей Г. Под и(х), е.(х), £(х) будем понимать соответственно значения вектора перемещений и тензоров деформации и напряжений в точке х € П. Предполагается, что полуплоскость находится в условиях плоской деформации, деформации малы, а напряжения в недеформированном состоянии отсутствуют. Напряженно-деформированное состояние полуплоскости описывается системой уравнений

е.(х) = ёе£и(х), ст(х) = С : е.(х), сЦу£(х) = 0, х € П, (3)

где с1е£ = 1/2 ^гаё С — тензор модулей упругости.

На части границы Гд С Г приложена нормальная нагрузка

^22(х) = д(х), (Г21 (х) = 0, х € Гд. (4)

Остальная часть границы полуплоскости свободна от внешних нагрузок:

^22 (х) = О 21 (х) = 0, х € Г \ Гд. (5)

Гд

имеет ограниченную величину и отличен от нуля:

ё1ашГд < то, 0 <

д^Гд

< то. (6)

Чтобы выделить класс единственности решения в рассматриваемой краевой задаче, необходимо наложить дополнительные условия на поведение решения на бесконечности и на смещения полуплоскости как жесткого целого.

В монографии [8] рассмотрен случай, когда на бесконечности напряжения и вращение стремятся к нулю. Показано, что эти условия обеспечивают единственность поля напряжений. Если при этом

отсутствуют массовые силы, а главный вектор внешних поверхностных усилий имеет ограниченную величину и отличен от нуля, то напряжения и соответствующие перемещения имеют асимптотическое представление

ст^(х) = О (|х|-1) , щ(х) = О (1п |х|), г,] = 1, 2, при |х| ^ го. (7)

Смещения полуплоскости как жесткого целого имеют вид

VI(х) = ¿1 - ШХ2, ^2(х) = ¿2 + ШХЬ (8)

где ¿1 и ¿2 — компоненты поступательного перемещения; ш — поворот полуплоскости как жесткого целого.

Значение параметра ¿1 не влияет па нормальные перемещения границы полуплоскости, поэтому будем полагать ¿1 = 0. Значения параметров ¿2 и ш далее выбираются так, чтобы исследуемый оператор Пуанкаре-Стеклова был положительно-определенным.

3. Функциональные пространства. Классическое решение и(х) краевой задачи (3)-(8) принадлежит классу функций [С2 (О)] 2П [С1 (О)] . Однако для исследования и решения вариационных задач типа (1) целесообразно использовать классы обобщенных функций [4]. Введем необходимые функциональные пространства. Учитывая условия (7), компоненты вектора перемещений щ(х), г = 1, 2, будем рассматривать как элементы функционального пространства Соболева с весами [9]:

Н 1(0; р) = {и € V(О) : ри € ¿2(П); ди/дх* € ¿2(П), г = 1, 2} ,

где V'(О) — пространство распределений на О; ^(О) — пространство (классов) функций с интегри-

_1/2

руемым квадратом по области О; р(х) = (1 + |х|2) ' / 1п (2 + |х|2) — весовая функция. Н1(О; р)

/с ди ду р2ПУ(т + у д^д^^'

П П

Введем далее пространство вектор-функций

Н 1(ё1у;О; р) = {и = (и^) € [Н 1(О; р)]2 : Шу2(Щ € .

Это пространство является гильбертовым со скалярным произведением

(и, ^)Н1(а1у;П;р) = (щ1,у1)Я1(П;р) + (и2, у2)Я1(П;р) + О^^ШО^^ (П)]2 •

Можно показать, что при некоторых дополнительных предположениях относительно свойств гладкости д(х) на Гд классическое решение и(х) краевой задачи (3)-(8) принадлежит пространству Н1 (ё1у;О; р). Далее будем полагать, что обобщенное решение краевой задачи (3)-(8) также принадлежит пространству Н 1(ё1у ; О; р). Введем необходимые для определения оператора Пуанкаре-Стеклова пространства следов функций из Н 1(ё1у ; О; р).

Рассмотрим произвольную ограниченную подобласть О С О с границей Г класс а С1,1, примыкающую к границе Г полуплоскости так, что

Г Ш Г П г' . (9)

Известно [10], что существуют линейные непрерывные операторы

1и : Н 1(ё1у;О') ^ [Н 1/2(г')]2, ^ : Н1 (ё1у; О') ^ [Н-1/2(Г')]2, (10)

определяющие для полей перемещений из Н 1(ё1у;О') = Н 1(ё1у;О'; 1) соответственно векторные

Г

Введем пространство сужений на rq функций из H1/2 (Г'):

н 1/2(Г) = {v = w|rq : w € H 1/2(r')}

и оснастим его нормой

(г,) = inf ' {HwHh 1/2(г') : v = w|rg}-

Имеет место вложение пространств H1/2(Гд) С ¿2(Гд) [11]. Двойственным к пространству H 1/2(rq) является пространство H-1/2 (Гд) — пополнение ¿2(Гд) по норме

||9|jj-i/2 (г,) = sup |(q,v)L2 (г,) |>

"v"h1/2(F, ) = 1

т.е. отношение двойственности н-1/2(г )(•, •)#i/2(г ) п0Р0ЖДен0 продолжением стандартного скалярного произведения на ¿2(Гд). Следовательно, имеет место плотное вложение

ЫГ) С H-1/2(Гд). (11)

Весовая функция р(х) непрерывна и ограничена в ограниченной подобласти П С П, поэтому сужения функций из H 1(div;Q; р) на П принадлежат пространству H 1(div;Q), для элементов которого определены операторы следа (10). Как следствие при выполнении условия (9) существуют линейные непрерывные операторы

7„ : H1 (div ; П; р) ^ H 1/2(Гд), 7g : H 1(div;Q; р) ^ H-1/2(Гд), (12)

определяющие для полей перемещений из H1 (div ; П; р) соответственно функции нормальных перемещений и нормальных напряжений на Гд.

Можно показать, что при выполнении условия (9) пространства H1/2(Гд) и H-1/2(Гд), а также операторы следа (12) не зависят от выбора области П .

4. Интегральное представление решения. Решение краевой задачи (3)-(8) для q € ¿2(Гд) можно представить в виде [12]

u(x) = | f (x, i)q(i) drp(£) + 5 + ( ° -QW) x, (13)

гР

где f (x, £) — поле перемещений, соответствующее решению задачи Фламана о действии сосредоточенной нормальной силы на границе упругой полуплоскости и вычисляемое с точностью до смещений полуплоскости как жесткого целого. Последние два слагаемых в правой части (13) соответствуют смещениям полуплоскости как жесткого целого (8).

Из свойств решения задачи Фламана следует, что оператор F : q ^ u, определяемый формулой (13), является непрерывным оператором в ¿2(Гд). Учитывая вложение (11), оператор F можно продолжить по непрерывности на

H-1/2(rq). Функцию u = Fq, соответствующую q € H-1/2(rq), будем называть обобщенным решением краевой задачи (3)-(8).

5. Оператор Пуанкаре-Стеклова. Рассмотрим оператор Пуанкаре-Стеклова Q : q ^ v, отображающий посредством решения (13) краевой задачи (3)-(8) нормальные напряжения q(x1) = 022(®1, 0) на части rq границы упругой полуплоскости в нормальные перемещения v(x1) = «2(^1, 0) на Гд.

u(x)

мулой (13), на область П принадлежит простр анству H 1(div; П ). Учитывая существование операторов следа (10), а также определения пространств H-1/2(rq) и H 1/2(rq), будем рассматривать Q как оператор, действующий из H-1/2(rq) в H 1/2(rq).

Соответствующий решению (13) оператор Пуанкаре-Стеклова Q : q ^ v для q € L2 (rq) имеет вид [12]

) = -Д У ^(б) 1п |Х1 - 6| йГч({1} + ¿2 + шхь (14)

Гд

где Д = 2(1 - V2)/(пЕ).

Интегральный оператор (14) с логарифмическим ядром является непрерывным. Учитывая плотность вложения (11), продолжим оператор (14) по непрерывности на Й^-1/2(Гц).

Из формулы (14) следует, что оператор Пуанкаре-Стеклова Q зависит от выбора параметров ¿2 и ш, определяемых из кинематических условий, задающих смещение упругой полуплоскости как жесткого целого. Выберем эти условия таким образом, чтобы рассматриваемый оператор Пуанкаре-Стеклова для упругой полуплоскости был положительно-определенным.

х1

и £1, поэтому необходимым условием симметричности оператора Q является условие

ш = 0. (15)

Можно показать, что при выполнении условия (15) напряжения и вращение, соответствующие полю перемещений (13), на бесконечности стремятся к нулю. Следовательно, имеет место асимптотическое представление (7) и обобщенное решение краевой задачи (3)-(8) принадлежит пространству Н1 (ёгу ; П; р). Далее положим

¿2 = Д 1п ^У 4(6) (£1), (16)

Гд

где Ь > 0 — константа, значение которой будет уточнено далее. Отметим, что интеграл в (16) равен равнодействующей внешней нагрузки.

Подставив (15) и (16) в (14), получим

У{Х1) = -Д У ^^п^^губ). (17)

Гд

Ядро интегрального представления (17) оператора Пуанкаре-Стеклова Q : ц ^ V является симметричным. Установим условия, при которых этот оператор будет положительно-определенным. Рассмотрим вспомогательную систему уравнений

У р(6) ¿Г(£1) = 1; У р(6)1п |х1 - £11 ¿Г,(£1) = 5, Х1 € Г,. (18)

Гд Гд

Известно [11], что она имеет единственное решение (р, в) € Й-1/2(Гц) х Д. В частности, если представляет собой отрезок [-а; а], то решение системы уравнений (18) имеет вид [5]

'Р{х 1) = —. I ; в = 1п(19) пд/а2 - х2 2

Следуя [11, 13], введем логарифмическую емкость компакта формулой

Сг(Г,) = ехр(в), (20)

где в — решение системы уравнений (18).

Как указано в [11], интегральный оператор (17) будет положительно-определенным на Й-1/2 (Гц) тогда и только тогда, когда

Ь > Сг(Г,). (21)

Логарифмическая емкость, определенная формулой (20), есть монотонно возрастающая функция компакта [13], т.е. из включения Г1 ш Г2 следует, что Сг(Г1) < Сг(Г2). С учетом этого, используя

Ь

L > diamTq/4, (22)

где

diamrq = max |x1 — {1|.

ег,

6. Масштабирование расчетной области. Произведем масштабирование (линейное отображение) расчетной области rq ^ rq таким образом, чтобы выполнялось условие

diam Г < 4. (23)

Тогда с учетом (22) в (17) можно положить

L = 1 (24)

и использовать положительно-определенный оператор Пуанкаре-Стеклова Q : q ^ v для упругой полуплоскости в виде

v(X1) = — D J q~(6) ln |X1 — <f 11 df,(I1).

г,

Отметим, что условие (24) эквивалентно условию ¿2 = 0.

7. Выводы. Для использования в граничных вариационных формулировках контактных задач с односторонними связями оператор Пуанкаре-Стеклова, отображающий в области возможного контакта нормальные напряжения в нормальные перемещения, должен быть положительно-определенным. В случае упругой полуплоскости наличие этого свойства оператора Пуанкаре-Стек-лова, построенного на основе решения Фламана о действии сосредоточенной нормальной силы на границе упругой полуплоскости, зависит от выбора кинематических условий, задающих смещения полуплоскости как жесткого целого. Необходимым условием положительной определенности оператора является стремление вращения на бесконечности к нулю. Компонента ¿2 поступательного перемещения полуплоскости как жесткого целого может выбираться в виде (16), при этом определяющая

L

сти, обеспечивающего выполнение условия (23), позволяет исключить компоненту перемещения ¿25 положив ее равной нулю.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лебедев В.И., Агошков В.И. Операторы Пуапкаре-Стеклова и их приложения в анализе. М.: Отдел вы-числ. матем. АН СССР, 1983.

2. Antes Н., Panagiotopoulos P.D. The Boundary Integral Approach to Static and Dynamic Contact Problems: Equality and Inequality Methods. Basel: Birkhauser-Verlag, 2013.

3. Kalker J. J., van Randen Y. A minimum principle for frictionless elastic contact with application to non-Hertzian half-space contact problems //J. Eng. Math. 1972. 6, N 2. 193-206.

4. Kravchuk A.S., Neittaanmaki P.J. Variational and quasi-variational inequalities in mechanics. Dordrecht: Springer, 2007.

5. Galin L.A. Contact problems. Dordrecht: Springer, 2008.

6. Ишлинекий А.Ю. О перемещениях упругой полуплоскости // Уч. зап. МГУ. 1940. Вып. 39. 83-86.

7. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987.

8. Муехелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.

9. Amrouche С., Girault V., Giroire J. Dirichlet and Neumann exterior problems for the n-dimensional Laplace operator. An approach in weighted Sobolev spaces //J. math, pures et appl. 1997. 76, N 1. 55-81.

10. Хлуднев A.M. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.

11. McLean W. Strongly Elliptic Systems and Boundary Integral Equations. Cambridge: Cambridge Univer. Press, 2000.

12. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979.

13. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966.

Поступила в редакцию 25.01.2021