Матрица когерентности рассеянной электромагнитной волны в дифференциальной форме Текст научной статьи по специальности «Физика»

НА УЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА сер. Радиофизика и радиотехника

УДК 621.396

Матрица когерентности рассеянной электромагнитной волны в дифференциальной форме

В.Ю. МАСЛОВ

Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором Козловым А.И.

Исследуются свойства матрицы когерентности отраженной объектом электромагнитной волны. Получена система дифференциальных уравнений, связывающих изменение элементов матрицы когерентности отраженной электромагнитной волны с изменениями поляризационных параметров матрицы рассеяния объекта.

Изменение отраженной объектом волны связано с изменением параметров матрицы рассеяния S уравнением [1]

dE o = dSE п . (1)

Переходя в соотношении (1) к отраженным волнам, получаем дифференциальное уравнение, связывающее изменение поляризационных параметров отраженной волны с изменением параметров матрицы рассеяния

dEo = dSS-1Eo. (2)

Матрица, входящая в уравнение (2), является матрицей дифференциальных форм

Щ = dSS-1. (3)

Из соотношения (3) получаем матрицу Щ, где компонентами этой матрицы являются линей-

ные формы (1-формы) от дифференциалов локальных координат dg, dg, dj, имеющие вид [1]

щ.11 = -cos2gg + sh2gsin2gdg+ /'(1 + sh2gsin2 2g)dj , щ.12 = (sin 2gdg + 2shg (chgcos2g- shg )dg- /shgsin2g(chg - shgcos2g)d jje1'j, щ.21 = (sin 2gdg + 2shg(chgcos2g+ shg)dg+ /shgsin2g(chg + shgcos2g)d jje ~lj, (4)

422 = -^1n

Á2elg2 -le~lg2 1 l J2 -J

где shg= 2ДТ • g = g ^ g = 2 V g2 =— +

Рассмотрим матрицу когерентности R отраженной объектом электромагнитной волны. Свойства матрицы R определяются для произвольной фиксированной точки пространства как:

R =< EE >

{ < E2 > < e1e2 > ^

v< EE2 > < E2 > J

(5)

Запишем уравнение, связывающее изменение элементов матрицы Я. с изменением параметров матрицы 8

ЙЯ = Й (ЕЕ) = Щ ЕЕ* + Е(Щ Е)* = Щ Я + ЯЩ. (6)

При выводе уравнения (6) учитывалось соотношение (2) ЙЕ = ЩЕ .

Элементы матрицы ЙЯ будут связаны с дифференциальными формами матрицы 8 уравнениями

ЙГ11 = (щз11 + щ511)г11 + Щ®12 Г12 + -щ?12 Г12 ,

ЙГ12 = (щз11 — Щ,11)Г12 + Щ®12 Г22 + Щ® 21Г11 ,

ЙГ22 = (щв11 + щ>11)Г22 + Щ®21Г12 + Щ21Г12 ,

(7)

где Гу - элементы эрмитовой (г12 = г21) матрицы Я. Систему уравнений (7) можно представить в виде

ЙГ11 = 2(Д-е(щ.11 )Г11 + Ке(щ,12Г12 )), ЙГ12 = 21т(щ811)Г12 + Щ,12 Г22 + Щ 21Г11 , ЙГ22 = 21Г12 ) - Ке(щ811)Г22 ),

(8)

Уравнения (8) являются системой уравнений, связывающих изменение элементов матрицы когерентности отраженной электромагнитной волны с изменениями поляризационных параметров матрицы рассеяния объекта. Если за время наблюдения объекта изменение собственных значений матрицы рассеяния не происходит, тогда система дифференциальных уравнений (8) будет зависеть от двух параметров. Рассмотрим зависимость решений системы уравнений (8) от каждого из параметров в отдельности, предполагая при этом, что другой параметр постоянен.

Уравнения (8) при постоянном значении величины р принимают вид

Результаты численного решения системы дифференциальных уравнений (9) для элементов матрицы когерентности приводятся на рис. 1 и рис. 2.

Анализ результатов решения уравнений показывает, что корреляционные свойства отраженной от объекта электромагнитной волны сложным образом зависят как от параметров матрицы рассеяния объекта, так и от поляризации падающей волны. На рис. 1 при изменении величины 2у от 0 до ж модуль элемента г12 матрицы когерентности меняется от максимального

значения (|г12| = 0,32) до минимального значения (|г12| = 0,2) .

На рис. 2 величина |г12| при у = 0,31 достигает своего минимального значения (|г12| » 0), а при у = 1,2 - максимального значения (|г12| » 0,23) .

Г

—11 = 2гпбЬ2g1 сов2g2 Бт2у+ г12 (соб2у(бЬ2^ соб2g2 соБв-ду

-ch2g1 бш2g2 Бтв) -2(бЬ2g1 соб2 g2 -сЬ2g1 бш2 g2)cosв +

+ бЬ2 g1 бш 2 g 2 бш в),

Г

—22 = -2г22бЬ2g1 соб2g2 Бт2у+ г21 (соб2у(бЬ2g1 соб2g2 соб# + ду

+ сЬ2g1 бш 2g2 бш в) + 2(бЬ2 ^ соб2 g2 - сЬ2 ^ бш2 g2 )соб в +

+ бЬ2 g1 бш 2 g 2 бш в),

(9)

Рис.1. Зависимость элементов матрицы когерентности от величины 2g при (р = 1,25 и d12 = 0,1

(Го11 = 0,61 - Го22 = 0,39)

Рис.2. Зависимость элементов матрицы когерентности от величины 2у при р = 2,51 и d12 = 0,1

(Го11 = 0,61 - Го22 = 0,39)

Уравнения (8) при постоянном значении величины упринимают вид

Эг /

—11 = -r11sh2g1 sin2g2 sin2 2y+ r12 (sin2y(ch2g1 sin2g2 cos# +

Эу

+ sh2g1 cos2g2 sin#) + cos2y(2(sh2g1 cos2 g2 -ch2g1 sin2 g2)sin# +

+ sh2g1 sin 2g2 cos q)),

Эг

—^ = 2^ (1 + sin2 2y(sh2g! cos2 g2 - ch2g! sin2 g2 ))-Эу

- i sin 2 y(r22 shg(chg cos2 y - shg cos2 y) +

+ r11shg (chg + shg cos2y))ep,

drn

dg

= r22sh2g1 sin2g2 sin2 2g-|r121(sin2g(ch2g1 sin2g2 cose +

+ sh2g1 cos2g2 sine) + cos2g(2(sh2g1 cos2 g2 -ch2g1 sin2 g2)sin# + + sh2g1 sin 2g2 cos в)),

dr dr

21 ______ 12

• (10)

дг дг ^

На рис. 3-5 приводятся результаты численного решения системы дифференциальных уравнений (10) для элементов матрицы когерентности.

Рис. 3. Зависимость элементов матрицы когерентности от величины j при g = 1,25 и d12 = 0,1

(ro11 = 0,39 - ro22 = 0,61>

Рис.4. Зависимость элементов матрицы когерентности от величины j при g = 2,1 и d12 = 0,1

(ro11 = 0,39 - ro22 = 0,61)

Рис.5. Зависимость элементов матрицы когерентности от величины j при g = 2,51 и d12 = 0,1

(ro11 = 0,39 - ro22 = 0,61)

Рассмотрим задачу исследования изменений величины элементов матрицы когерентности отраженного поля, связанного с изменениями параметров матрицы рассеяния объекта. Таким изменением параметров может быть, например, поворот исследуемого объекта вокруг начала координат или вращение вектора облучения при фиксированном положении исследуемого объекта. Найдем соотношения, которым должны удовлетворять параметры матрицы рассеяния при их возможном изменении.

Найдем след trR матрицы R (5). Из системы уравнений (7) следует, что для диагональных элементов матрицы когерентности будет справедливо равенство

d(trR) = (Ш811 + Щ511)(г11 - r22) + (щх12 + щ21^2 + «2 + . (11)

Перейдем в уравнении (11) к дифференциальным формам энергетической матрицы рассеяния Грейвса G [2]. Матрица 1-форм энергетической матрицы рассеяния G равна сумме матриц

1-форм Щ и Щ

Щ = Щ + Щ (12)

(

где Щ

Ш,п

Ш.21

Ш.1 - щ

«11 J

Поэтому матрица дифференциальных форм для матрицы О будет иметь вид

(ттт + Ш щ + Ш Л

Ш.11 + Ш.11 Ш.12 + Ш.21

(13)

VШб21 + Щ.12 - Кп + ЩБ11),

Следовательно, элементы матрицы дифференциальных форм матрицы Грейвса связаны с дифференциальными формами матрицы рассеяния уравнениями:

Щл1 = Щ.11 + ^11 , Шв12 = Щ.12 + ^21 ,

Щ,21 = Щ.21 + ^12 , Шв22 = -Щв11 . (14)

Уравнение (11) с использованием дифференциальных форм матрицы Грейвса примет вид

ё(Й-Я) = ШВ11(Г11 - Г22 ) + Щ^2Г12 + Щ,12Г12 . (15)

Так как матрица Я (5) симметрична относительно комплексных координат вектора Е отраженной волны, то, поменяв местами комплексные координаты Ех и Е2, получим матрицу коге-

рентности Я. Для следа этой матрицы также будет справедливо равенство

d(trR ) = Щ,п(г22 - r11) + Щ12r12 + Шg12r12 . (16)

Складывая уравнения (15) и (16) получаем соотношение

2d(trR) = Яе(Щя12^2) + r12) . (17)

Вычитая из уравнения (15) уравнение (16) находим, что

2Щ,11(Г11 - r22) - (ШЯ12 - Щ,12)(Г12 - Ги) = 0. (18)

Следовательно, первым соотношением, которому должны удовлетворять параметры матри-

цы R, будет

Шв11(Г11 - r22) = . (19)

Рассмотрим теперь изменение определителя матрицы R, которое следует из соотношения

d (det R) = d (r11r22 - r12 ru) = drnr22 + r11dr22 - (dr12 ^2 + r12 dF12). (20)

Из выражения (20) с учетом уравнений (7) находим, что

d (det R) = 0. (21)

Следовательно, определитель матрицы когерентности отраженной волны является ее инвариантом [2].

Уравнения (17), (19) и (21) накладывают ограничения на диапазон изменения элементов матрицы когерентности отраженной объектом электромагнитной волны. Одновременно эти уравнения связывают изменение элементов матрицы когерентности с изменением параметров энергетической матрицы рассеяния объекта G.

ЛИТЕРАТУРА

1.Козлов А.И., Маслов В.Ю. Дифференциальные свойства матрицы рассеяния. // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Радиофизика и радиотехника, №79, 2004.

2.Богородский В.В., Канарейкин Д.Б., Козлов А.И. Поляризация рассеянного и собственного радиоизлучения земных покровов. Л.: Гидрометеоиздат, 1981.

V.U. Maslov

Coherent matrix of scattering electromagnetic wave in differential form

The coherent matrix properties of EMW scattered by object are analyzed. It is obtained the differential equations system connected variation of coherent matrix elements of scattering EMW with object scattering matrix polarization parameters variations.

Сведения об авторе

Маслов Виктор Юрьевич, 1945 г.р., окончил МГУ (1968), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретических основ электротехники МГИРЭА (ТУ), автор 50 научных работ, область научных интересов

- электродинамика и распространение радиоволн, математические методы моделирования.