CC BY
34
2005
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА 93
сер. Радиофизика и радиотехника
№
УДК 621.396
Матрица когерентности в дифференциальной радиополяриметрии
и ее основные свойства
В.Ю. МАСЛОВ
Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором Козловым А.И.
Исследуются свойства матрицы когерентности. Получена система дифференциальных уравнений, связывающих изменение элементов матрицы когерентности электромагнитной волны с изменениями поляризационных параметров этой волны. Анализируется зависимость решений системы дифференциальных уравнений от поляризационных параметров волны.
Переход от одного ортогонального поляризационного базиса к другому осуществляется с помощью унитарной матрицы О [1]
Ен = ОЕс, (1)
где Ен - электромагнитная волна в новом базисе по отношению к исходному старому Ес и матрица перехода
Q
ґ іф\
cosy sin yev
—іф
sin ye cosy
(2)
Матрица О имеет собственные значения н1 = ег/ и н2 = е 17, которым соответствуют ортонормированные собственные векторы
q
e -іф Vе
e -ф Vе У
(3)
Плоская электромагнитная волна Е имеет вид
Г Е Л
E =
ei(ffli—kr) (4)
где Ег(г) - комплексные координаты вектора Е, медленно меняющиеся в масштабах среднего периода колебаний Т = 2п / а> и длины волны Л = 2п/ к; г - координата.
Рассмотрим задачу распространения плоских электромагнитных волн вида (4) в неоднородной линейной среде с вещественной проницаемостью (г). Предполагается, что поглощение в среде отсутствует. В этом случае изменения комплексных координат вектора Е (г) поперек пучка происходит быстрее, чем вдоль [2]. Быстрые изменения волны вдоль направления распространения учитываются экспоненциальным множителем в (4).
Распространение волны в неоднородной среде описывается уравнением Гельмгольца в виде
АЕ(г) + к2 Е(г) = 0, (5)
где к = к0((г). Волновое число к0 = а> /с определяется в вакууме.
При распространении в среде волны изменение вектора Е н (г) связано с изменением элементов комплексно сопряженной матрицы О(г) соотношением
йЖн (г) = й?0(г)Ес(г). (6)
Используя уравнение (1), запишем соотношение (6) относительно вектора Е н (г) в виде
dEн (г) = ¿0(г)0»Ен (г) = Щ(г)Ен (г), (7)
или, опуская индекс н в Е н (г),
йЕ(г) = Щ(г )Е(г), (8)
где матрица Щ(г) = йО(г)О-1(г), О - (г) - обратная матрица.
Считая, что вектор Е (г) и элементы матриц Щ(г), О(г) являются функциями координаты
г, опустим в дальнейших уравнениях указание на эту зависимость.
Компоненты матрицы щ представляют собой дифференциальные 1-формы щфУ [3]
іф
Шя—1 =- Шч12 , Шя—2 = -Шч11 . (9)
Дифференциальные выражения (9) остаются инвариантными при произвольной замене координат. В развернутой форме матрица дифференциальных форм Щ будет иметь вид
Щ
Г Щці Щ}і2 Л
(10)
-щц2 -щЧ11)
*
Величина Е Е пропорциональна плотности потока энергии волны. Поэтому при распространении в среде волны изменение плотности потока энергии с учетом соотношения (8) будет выражаться формулой
йП = й (Е*Е) = (йОО-1Е)* Е + ЕйООЕ = Е*(Щ + Щ)Е, (11)
где П* - сопряженная матрица.
Элементы матрицы щ определяются из соотношения (10). Дифференцируя тождество
ОО-1 = I , находим
йОО-1 -1. (12)
Так как для любой унитарной матрицы справедливо равенство О* = О-1, то из соотношения (12) следует, что
Щ =-Щ. (13)
Выражение для полного дифференциала (8) удовлетворяет уравнению
йЕ = УЕ = Щ Е . (14)
Тогда уравнение (11) с учетом выражения (14) принимает вид
йП = Е*(П* + Щ)Е = Е*УЕ-УЕ*Е = 0, или = 0. (15)
Уравнение (15) является векторным обобщением соотношения для скалярного поля м(г), при распространении волны в неоднородной среде без поглощения
йДп -пДм = 0, или ёгу(й"Уи - мУм) = 0 . (16)
Выражение (16) непосредственно следует из уравнения Гельмгольца для поля м(г) [4]
Дм(г) + к 2и (г) = 0. (17)
Рассмотрим матрицу когерентности Я. частично поляризованной волны, свойства которой определяются в какой-то фиксированной точке пространства
Я =< ЕЕ* >=
Г < Е— > < Е1Е2 >Л
Ч< Е1Е — > < Е — >у
(18)
где < ЕЕ* > - обозначает статистическое усреднение.
Уравнение, описывающее изменение элементов матрицы Я как функцию поляризационных параметров волны, будет иметь вид
йЯ = й (ЕЕ*) = Щ ЕЕ* + Е(Щ Е)* = Щ Я + ЯЦ. (19)
Уравнение (19) с учетом соотношения (13) запишется как
йЯ = Щ Я - ЯЩ = [ЩЯ], (20)
где [Щ Я ] - обозначает матричный коммутатор. Элементы матрицы йЯ связаны с элементами
коммутатора уравнениями
йГ11 = ^[12*12 + щ,12Г12 = 2^е(щч12Г12) ,
йГ12 = 2Щ}11Г12 + Щ}12 (Г22 - Гп), йг21 = ^12 ,
йг11 = -йг22, (21)
где г. - элементы эрмитовой (г12 = г21) матрицы Я.
Соотношения (21) являются системой уравнений, связывающих изменение элементов матрицы когерентности электромагнитной волны с изменениями поляризационных параметров этой волны. Поэтому, если волна в какой-либо фиксированной точке пространства была
полностью поляризованной < Е12 >^ 0, < Е\ >= 0 и г12 = 0, то, согласно уравнениям (21), при
любом малом изменении координаты ее наблюдения будет происходить деполяризация волны
*12 =-щч12Г11. (22)
Аналогично, для волны с поляризацией < Е12 >= 0, < Е22 >^ 0 и г12 = 0
*12 = Шч12Г22 . (23)
Однако для полностью неполяризованной волны, когда < Е12 >=< £2 >, г12 = 0 из уравнений (21) следует, что всегда
йгп = 0, йг12 = 0, (24)
т. е. эффекта спонтанной поляризации волны при ее распространении в неоднородных линейных средах не происходит. В случае же распространения частично поляризованной
волны, которую можно представить в виде суммы поляризованной и полностью
неполяризованной волн, согласно соотношениям (22) и (23), доля поляризованной части волны будет уменьшаться.
Из свойства коммутатора (МЩ Я] = 0 ) или непосредственно из последнего уравнения
системы (21) следует, что изменение следа матрицы Я
й (1хЯ) = йгп + йг22 = 0. (25)
Таким образом, показано, что след 1хЯ, представляющий собой полную мощность волны,
является первым инвариантом матрицы когерентности [1]. Рассмотрим теперь изменение
определителя матрицы Я, которое определяется выражением
й^Я) = й(ГПГ22 - Г12Г12) = йг11г22 + г11йг22 - (йг12% + %(26) Из выражения (26) с учетом уравнений (21) следует, что
й(ёе! Я) = 0 . (27)
Следовательно, определитель матрицы когерентности является вторым ее инвариантом [1].
Система дифференциальных уравнений (21), связывающих изменение элементов матрицы когерентности электромагнитной волны с изменениями ее поляризационных параметров зависит от двух параметров. Рассмотрим зависимость решений системы уравнений (21) от каждого из параметров, в отдельности, предполагая при этом, что другой параметр постоянен. Уравнения (21) при постоянном значении величины р принимают вид
-д-1 = 2|г12|соз(р + ^), = (г22 -г„)е, ^ = ~~^- (28)
ду ду ду ду
На рис. 1-3 приводятся результаты численного решения системы дифференциальных уравнений (28) для элементов матрицы когерентности.
Рис.1. Зависимость элементов матрицы когерентности от величины 2у при 8 = 1,25 (го11 = 0,51, го22 = 0,31)
Рис. 2. Зависимость элементов матрицы когерентности от величины 2у при 8 = 2,1 (го11 = 0,51, го22 = 0,31)
Рис. 3. Зависимость элементов матрицы когерентности от величины 2у при 8 = 2,51 (го11 = 0,51, го22 = 0,31)
Уравнения (28) при постоянном значении величины у принимают вид
дГ12
др
дг | |
= - г12 s1n2YS1n(р + 8),
др
• 2 в1п2г.
= -г\ 2г12 вШ У + ^— (г22 - г„)е
-гр
2
^11 _ дг2:
(29)
др др
На рис. 4-6 приводятся результаты численного решения системы дифференциальных уравнений (29) для элементов матрицы Я.
Рис.4. Зависимость элементов матрицы когерентности от величины р при 8 = 1,25 (го11 = 0,51, го22 = 0,31)
Рис.5. Зависимость элементов матрицы когерентности от величины р при 8 = 2,51 (го11 = 0,51, го22 = 0,31)
Рис. 6. Зависимость элементов матрицы когерентности от величины (рпри S = 2,83 (ro11 = 0,51, ro22 = 0,31.
ЛИТЕРАТУРА
1.Богородский В.В., Канарейкин Д.Б., Козлов А.И. Поляризация рассеянного и собственного радиоизлучения земных покровов. Л.: Гидрометеоиздат, 1981.
2.Ахманов С. А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука, 1981.
3.Маслов В.Ю. Дифференциальные свойства поляризационного коэффициента электромагнитной волны. // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Радиофизика и радиотехника, № 79, 2004.
4.Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1978.
V.U. Maslov
Coherent matrix in differential radiopolarimetry and its basic properties
The coherent matrix properties are considered. It is obtained the differential equations system connected variation of coherent matrix elements of EMW with polarization parameters of this wave. The dependence of differential equations system decisions from wave polarization parameters is analyzed.
Сведения об авторе
Маслов Виктор Юрьевич, 1945 г.р., окончил МГУ (1968), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретических основ электротехники МГИРЭА (ТУ), автор 50 научных работ, область научных интересов - электродинамика и распространение радиоволн, математические методы моделирования.
