CC BY
32
2013
НАУЧНЫЙ вестник мгту га
№ 189
УДК 621.396.96
К ВОПРОСУ ОБ ОБОБЩЕНИИ ЗАКОНОВ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ ФРЕНЕЛЯ-АРАГО НА ВОЛНЫ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИЕЙ
Три параметра Стокса есть взаимная энергия проекций волны в различных поляризационных базисах. В работе показано, что эти три параметра, представляющие собой билинейные комбинации проекций волн и имеющие размерность интенсивности, могут продемонстрировать перераспределение взаимной мощности в пространстве как для произвольной поляризации складываемых волн, так и для ортогональных поляризаций.
Ключевые слова: поляризация радиоволн, интерференция.
Принцип эмерджентности в системном анализе [1] утверждает, что интегральные свойства системы в принципе не могут быть определены как сумма свойств частей этой системы. На самом деле интегральные свойства системы определяются посредством влияния связей между элементами системы, что и приводит к появлению (emergence) новых свойств, характеризующих систему, но не существующих для каждого элемента в отдельности. Этот феномен и называется принципом эмерджентности.
Будем анализировать поляризационно-энергетические свойства поля интерференции для случая двухэлементного интерферометра и определим эти свойства на базе принципа эмерджент-ности с использованием возможных связей между поляризационными свойствами элементов интерферометра, которые и будут определять поляризацию волн на выходе данных элементов. Результаты данного анализа позволят нам сформулировать обобщенные законы интерференции Френеля-Араго.
2. Эффект интерференции для совпадающих и ортогональных поляризаций
Известно [2], что интерференция представляет собой перераспределение энергии электромагнитных волн в пространстве при их суперпозиции. В оптике существуют два основных метода формирования интерферирующих лучей, один их которых называется методом деления волнового фронта [2]. Эта операция может быть реализована с использованием двух малых апертур (отверстий), разнесенных в пространстве, и составляющих двухэлементный интерферометр (рис. 1). На этом рисунке величина R0 есть расстояние от центра базы интерферометра до точки наблюдения, а в есть позиционный угол точки наблюдения.
Рассмотрим ситуацию, когда волна, падающая на интерферометр, характеризуется комплексным вектором Джонса e1 = |<&1 ¿2||Г, а свойства элементов интерферометра A, B определяются матрицами Джонса Ц^Ц, Ц^Ц. Полагая, что l << R0, можно записать R12 » R0 ± 0,51в в угловом интервале ±10°.
А.И. КОЗЛОВ, В.Н. ТАТАРИНОВ, С.В. ТАТАРИНОВ, Н.Н. КРИВИН
1. Введение
0,51
0,51
Рис. 1. Двухэлементный интерферометр
Тогда поле в точке наблюдения может быть записано как ехр [-¿к^ ]
EEs (k,в) =
R0V4p
E1 exp (jy) + E2 cxp (-jy)
, где E1 = SJ ¿fj, E2 = S2 f?j - векторы Джонса
волн, прошедших через элементы интерферометра А, В. Фазовый множитель, обусловленный пространственным разносом, обозначен как у = 0,5кЮ.
Для случая совпадающих поляризаций вектор Джонса суммарного поля имеет вид
ехр [-]
EEs (к, ^) =
R0V4P
Ejexp (jy) + Ej exp (-jy)
Запишем теперь мгновенное распределение полной мощности поля в зависимости от позиционного угла
P(1) (к, в) = (1/ 4pR) [S0j) + SO2) + cos 2y
Здесь величины S0J), SO2) - это нулевые параметры Стокса (полная мощность) слагаемых волн. Полученное выражение описывает перераспределение энергии в пространстве и представляет собой закон интерференции для случая совпадающих поляризаций. Видность этого
закона И W = (Imax - Imin ) / (Emax + Emin ) есть единиВД.
Рассмотрим теперь распределение энергии в пространстве для случая ортогонального поляризаций волн Е1, Е2. В данном случае векторы Джонса этих волн должны удовлетворять условию E1+E2 = 0. Такая ситуация возможна, например, в случае, если интерферометр освещается
,,„ 10
волной круговой поляризации, а матрицы Джонса элементов A, B имеют вид S1
0 1
и
1 0 0 -1
Записывая падающую волну с круговой поляризацией в линейном (Декартовом) поляризационном базисе, нетрудно видеть, что волны на выходах интерферометра будут поляризованы ортогонально 1
Е
1 0 1 1 1 E =J_ ,E2 V2 1 0 1 1 1
0 1 j = V2 j 0 -1 j = V2
, поскольку условие E1+ E2 = 0
выполняется. Опуская постоянный множитель 1/4рК02, нетрудно увидеть, что распределение мгновенной мощности в данном случае имеет вид Р0(2) (к, в) = ^ + S02), откуда следует, что
для ортогонально поляризованных волн интерференционное слагаемое в распределении мощности отсутствует. Этот факт соответствует законам интерференции Френеля-Араго.
Рассмотрим теперь законы интерференции, используя более современные математические методы, а также методы системного анализа.
Покажем, прежде всего, что распределение интенсивности Р0(1) (к, в) может быть определено
в виде так называемого среднего значения единичной матрицы ¿и [3; 4]
Po(1) (к, в)= Е exp (jy) + Ё2 exp (-jy)
E1exp (jy) + E2 exp (-jy)
= s01) + S02) + 27S01)VSF cos 2y.
Распределение мощности для случая ортогонально поляризованных волн с использованием данного способа приводит к выражению для P0(2) (к, в).
t
Напомним, что единичная матрица ^ (], I = 1, 2) представляет собой один из элементов
полной группы линеино-независимых матриц
1 0
j =
10 01
0 -1
01 10
0 -j j 0
которая образована дополнением системы матриц Паули единичной матрицей [3].
В теории поляризации электромагнитных волн среднее значение единичной матрицы есть полная мощность волны или нулевой параметр Стокса [4 - 6]. Тогда средние значения матриц Паули ЦоЦ, 1^21|, ||о"31| будут представлять собой остальные три параметра Стокса ¿1, £2, £3.
С точки зрения теории когерентности эти параметры есть взаимная мощность поляризационных составляющих волны в различных поляризационных базисах [4 - 6].
Таким образом, величины Р0(1) (к, в), Р0(2) (к, в) можно обозначить как параметры Сток-
>(2)
са
s02 (k, в)
и
^02) (к, в). Найдем теперь средние значения матриц Паули
S , s2 , s3 Для случаев совпадающих и ортогональных поляризации волн на выходах элементов интерферометра. Эти средние величины являются параметрами Стокса S1, S2, S3 суперпозиции волн. Так для матрицы ||s(|| в случае совпадающих поляризаций имеем
Sg (к, в) = S1(1) + S(2) + cos y.
Здесь величина S(2 =
2
E мх - E ^22
это первый параметр Стокса суммарного поля. Для слу-
чая ортогональных поляризаций можно записать
S1(2) (к,в) = 41E( ||E21cos[(2y + ф( + ф2) + p], (1)
где ф(, ф2 есть начальные фазы поляризационных составляющих E( и E2. Таким образом, среднее значение матрицы ||s(|| (т.е. распределение взаимной интенсивности S^ (к, в) в пространстве) демонстрирует наличие эффекта интерференции как для совпадающих, так и для ортогональных состояний поляризации.
Средние значения матрицы Паули ||s2|| для совпадающих и ортогональных состояний поляризации имеют вид соответственно
S22 (к, в) = S2() + S22) + 2^^ cos 2y, (2)
(к ,в) = zj
S.
(2) 22
E
+
- 2
E,
cos2(j( -ф2) cos(2y + h2),
(3)
где h2 = arctg
(I E
2 2 2 2 S j- E2 S2j ) / ( E( C2j - E2 C2j
C2j ° с^2ф; S2j ° sin2j.
2j
2ф | 2| 2ф2 I I | (| 2ф
Средние значения матрицы Паули ||s3|| для совпадающих и ортогональных состояний поляризации найдем как
S3(2) (к, в) = S3(() + S3(2) + 2^^ cos 2y, (4)
S3S)( к ,в) = 2.J
E,
+
+ 2
E
C S
2(ф-ф2 2y+h3 +p)'
(5)
где h2 = arctg
E
S2j2j( + \EA S2j2 ) Z
) ' (
2 2 Г
C2j + E 2 C2j2 )
Выражения (1), (3) и (5) демонстрируют наличие эффекта интерференции для ортогонально поляризованных волн. Таким образом, законы интерференции Френеля-Араго могут быть обобщены.
2
(
3. Законы интерференции для произвольных состояний поляризации. Близость состояний поляризации и принцип эмерджентности
Предположим теперь, что элементы А, В интерферометра обладают произвольными матрицами Джонса, имеющими вид ||£А |
Если исходная волна линейно поляризована под углом 450, то суммарное поле в дальней зоне интерферометра определяется выражением
42Е8 (в) = |\ЁХ Ё^ = 1ехр (у) + 4 ехр (-у) а2 ехр (у) + Ъ2 ехр (-у)
Найдем мгновенное распределение мощности в виде
a 0 b1 0
1 , INI =
0 a2 0 b2
S0S (в) = 0,5[S0A + SB + 2y]afb? + a22b22 + áxa2b¡b2 + afab^l cos(2y+r)
(6)
где величины ^О1, - это параметры Стокса, характеризующие поляризационные свойства элементов интерферометра А, В.
Нетрудно видеть, что угловая зависимость распределения мощности описывается весьма громоздким выражением, включающим в себя все элементы матриц ||£А||, ||£В|| и геометрические параметры интерферометра. Обычно на этом этапе исследователи не могут получить теоретический результат в приемлемой аналитической форме. Попытаемся сделать это.
Принимая во внимание, что у» 0,5Ыв, нетрудно видеть, что выражение (6) для параметра
80^(в) включает параметры Стокса 801, £0 и гармоническую функцию соб (2к1в + гг), которая обладает начальной фазой г, и амплитудой
~ ^ " (7)
гЩ+ОЁ+аШг+a^a2b1b*2
которая связана с поляризационными свойствами элементов интерферометра. Для определения общего подхода к анализу поляризационно-энергетических параметров интерференционного поля мы найдем в дополнение к выражению (6) для углового распределения нулевого параметра Стокса (в) выражение для мгновенного углового распределения третьего параметра
Стокса £3Х (в)
£3Х (в) = 0,5[£3А + £3В + 2^а,2Л2 + а2Л,2
(8)
■ (a1a¡b1b:*+a*a2b*b2) sin (2y+r2)
Нетрудно видеть, что угловое распределение третьего параметра Стокса S3S (в) интерференционного поля также представляет собой сумму третьих параметров Стокса элементов интерферометра и пространственную гармоническую функцию sin (2kW + r2), обладающую
начальной фазой r2 и амплитудой 2^a12b22 + aíb,2 -(a1a*b1b* + a1*a2b1*b2) .
Выражения (7) и (8) есть обобщенные законы интерференции для волн, обладающих произвольными поляризационными состояниями. В этой связи необходимо провести анализ физического смысла данных соотношений. Введем поляризационные отношения PA = a2 / a1,
PB = b2 / b1, которые отображают элементы интерферометра A, B на комплексной плоскости. Точки PA, PB комплексной плоскости связаны уравнениями стереографической проекции с точками SA, SB, лежащими на поверхности сферы Римана единичного диаметра [5]. Найдем теперь сферическое расстояние между точками S A , SB в виде
Р (е е ) Р -Р*\ Ь + -(РАРв' + рарв) (0)
Р {^а, ) = , 2 , ' = ^-1 , , -, (0)
v1 + ра i v1 + |рв| v1 + ра i v1 + рв
где \РА - Рв| есть Евклидова метрика на комплексной плоскости. После подстановки поляризационных отношений РА = а2 / а1, РА = а2 / а1 в выражение (0) получим сферическое расстояние между точками 8А, 8В в виде
Ре (еА, ев ) = ^[«^ + а2ЬГ - К^М* + «1 а*Ь*Ь2 )] / [(а12 + «2 ) (Ь12 + Ь22 )
«12^22 + аЩ - (^Щ + а «2*^1*^2 )] / Г(«12 + «22 ) (Й12 + ^ )
где величина
=D
представляет собой дистанцию (удаленность) между состояниями поляризации двух полностью поляризованных волн (или объектов). Волны с совпадающими состояниями поляризации (PA = PB ) характеризуются поляризационной удаленностью, равной нулю (D = 0), а волны, обладающие ортогональными поляризациями (PB = -1/ P*), характеризуются максимальным значением удаленности D = 1.
Таким образом, a2b22 + a^b2 - (á1*á2b1b* + a1 á*b1*b2) = D (a12 + a2) (b12 + b2).
Возможно также использование понятия близости состояний поляризации N [4 - 6], которое определяется как
N = J-D = |pa| |pb| + pa pb + papb + 1 = a12b12 + a2 b2 + aia2b1b2 + a1 а2ЬГЬ2 (ш)
" " (1 + |PA J2 )(1 + | PB J2 ) " («12 + a2)(b2 + b2) . ( )
Волны, обладающие совпадающими состояниями поляризации (PA = PB ), характеризуются величиной близости состояний поляризации N =1 , а ортогонально поляризованные волны ( PB = -1 / PA* ) имеют минимальную близость состояний N = 0 .
Из выражения (10) также следует, что
a12b12 + a22b22 + a;a2b1b2* + a1 a2b'¡b2 = N (a,2 + a22) (b12 + b22). (11)
Используя выражения (10), (11), перепишем обобщенные законы интерференции 2S0S (q) = Sa + S0B + 2ylSaSbN cos (2y+h), 2S3S (q) = S3A + S3B + 2^SaSbD sin (2y + h2).
Из полученных выражений следует, что каждый из параметров Стокса S0S, S3S интерференционного поля характеризуется как наличием постоянных составляющих (SA + SB), (S3A + S3B ), которые определяются соответствующими параметрами Стокса элементов A, B , так и наличием гармонических функций cos [2kW + r1 ], sin [2kW + r2 ]. Эти гармонические функции
обладают амплитудами <JsaSbN , <JsaSbD и начальными фазами r¡1, Г2.
Таким образом, поляризационно-энергетические свойства интерференционного поля не могут быть определены только суммированием параметров каждой из волн, но, в силу принципа эмерджентности, видность законов интерференции определяется связями между состояниями поляризации интерферирующих волн - близостью состояний поляризации для интенсивности S0S (q) и удаленностью состояний поляризации для взаимной интенсивности S3S(q).
В заключение определим видность обобщенных законов интерференции как
ctmax i п\ omin i n\ i ?a i cib ctmax i n\ omin i n\ i va i oB
S0S (q)-S0S (q) _0 VSWS0 ЛТ7 T/f7 _S3S (q)-S3S (q) _0 VSWS0
w =ч0S ^ = 2v^0 N w = °3S ^ = 2v^0 Zd
0S s^ (q)+s0Sn (q) s0a+s0b , 3S s^ (q)+s^ (q) s3a + s3b .
ЛИТЕРАТУРА
1. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Основы системного анализа. - Томск, 2001.
2. Born M., Wolf E. Principles optics. Pergamon Press, 1964.
3. Arfken G. Mathematical methods for physicists. Academic Press, 1968.
4. Козлов А.И., Логвин А.И., Сарычев В.А. Поляризация радиоволн. - М.: Радиотехника, 2006. - Т. 1.
5. Azzam E., Bashara N. Ellipsometry and polarized light. North-Holland Publishing Hous, 1968.
6. Татаринов В.Н., Татаринов С.В., Лигтхарт Л.П. Введение в современную теорию поляризации радиолокационных сигналов. - Томск: изд-во Томского государственного университета 2006. - Т. 1.
A GENERALIZATION OF FRESNEL - ARAGO INTERFERENCE LAWS TO WAVES HAVING ARBITRARY POLARIZATIONS
Kozlov A.I., Tatarinov V.N., Tatarinov S.V., Krivin N.N.
Full polarization description of these waves can be made only with the use so-called Stokes parameters (4 parameters). It is demonstrated in the paper that three parameters, which are the bilinear combinations of electromagnetic waves projections and are having the power dimension can demonstrate mutual power redistribution in the space both for arbitrary and orthogonally polarized waves.
Key words: radiowave polarization, interference.
Сведения об авторах
Козлов Анатолий Иванович, 1939 г.р., окончил МФТИ (1962), профессор, доктор физико-математических наук, Соросовский профессор, заслуженный деятель науки и техники РФ, академик Академии транспорта РФ и Международной академии информатизации, советник ректора МГТУ ГА, автор более 300 научных работ, область научных интересов - радиофизика, ра-диополяриметрия, радиолокация.
Татаринов Виктор Николаевич, 1941 г.р., окончил ТУСУР (1964), доктор технических наук, профессор, действительный член Академии электромагнетизма (Массачусетс, США), заведующий кафедрой конструирования и производства радиоаппаратуры ТУСУР, автор более 200 научных работ, область научных интересов - теория когерентности и поляризации электромагнитного поля, статистическая радиофизика, рассеяние волн сложными объектами, поляризационная радиолокация.
Татаринов Сергей Викторович, 1969 г.р., окончил ТУСУР (1994), кандидат технических наук, доцент кафедры конструирования и производства РЭА ТУСУР, автор более 80 научных работ, область научных интересов - статистическая теория поляризации при рассеянии волн сложными объектами.
Кривин Николай Николаевич, 1985 г.р., окончил ТУСУР (2007), преподаватель кафедры конструирования и производства РЭА ТУСУР, автор 12 научных работ, область научных интересов - теория поляризационного контраста малоразмерных объектов на подстилающей поверхности.
