CC BY
27
2005
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Математика и физика
№91(9)
УДК 621.396
МАТРИЦА КОГЕРЕНТНОСТИ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ РАДИОПОЛЯРИМЕТРИИ И ЕЕ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
В.Ю. МАСЛОВ
Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором Козловым А.И.
Исследуются свойства матрицы когерентности. Получена система дифференциальных уравнений, связывающих изменение элементов матрицы когерентности электромагнитной волны с изменениями поляризационных параметров этой волны. Анализируется зависимость решений системы дифференциальных уравнений от поляризационных параметров волны.
Переход от одного ортогонального поляризационного базиса к другому осуществляется с помощью унитарной матрицы О [1]
Е н = РЕ с, (1)
где Ен - электромагнитная волна в новом базисе по отношению к исходному старому Ес и матрица перехода
С СО$/ БІЙ ув'9^
БІЙ ув~г<р СО$у
(2)
Матрица О имеет собственные значения у1 = е17 и V 2 = е 17, которым соответствуют ортонорми-рованные собственные векторы
с-гл
в
Vе
с г л
И Я 2 =
(3)
Плоская электромагнитная волна Е имеет вид
С Е л
Е =
е^-кг) (4)
где Ег (г) - комплексные координаты вектора Е, медленно меняющиеся в масштабах среднего периода колебаний Т = 2п / ю и длины волны Л = 2п/ к ; г - координата.
Рассмотрим задачу распространения плоских электромагнитных волн вида (4) в неоднородной линейной среде с вещественной проницаемостью (г). Предполагается, что поглощение в среде отсутствует. В этом случае изменения комплексных координат вектора Е (г) поперек
пучка происходит быстрее, чем вдоль [2]. Быстрые изменения волны вдоль направления рас-
пространения учитываются экспоненциальным множителем в (4).
Распространение волны в неоднородной среде описывается уравнением Гельмгольца в виде
АЕ(г) + к2 Е(г) = 0, (5)
где к = к0((г). Волновое число к0 = ю / с определяется в вакууме.
При распространении в среде волны изменение вектора Е н (г) связано с изменением элементов комплексно сопряженной матрицы 0 (г) соотношением
йЖн (г) = ¿0(г)ЕС(г). (6)
Используя уравнение (1), запишем соотношение (6) относительно вектора Е н (г) в виде
йЕ н (г) = й0(г)0 »Е н (г) = П а(г)Е н (г), (7)
или, опуская индекс н в Е н (r),
dE(r) = П q(r)E(r), (8)
где матрица П q (r) = dQ (r )Q—1 (r), Q—1 (r) - обратная матрица.
Считая, что вектор Е (r) и элементы матриц Пq(r), Q(r) являются функциями координаты
r, опустим в дальнейших уравнениях указание на эту зависимость.
Компоненты матрицы Пq представляют собой дифференциальные 1-формы юqij [3]
roq11 = —i sin2 ydq, юq12 =^dy - i d^jev,
Ю q21 =— Юq12, Ю q22 = —Ю q11 . (9)
Дифференциальные выражения (9) остаются инвариантными при произвольной замене координат. В развернутой форме матрица дифференциальных форм П q будет иметь вид
П q
С ^11 ю q12 ^
V- ^^q12 — q11 У
(10)
Величина Е Е пропорциональна плотности потока энергии волны. Поэтому при распространении в среде волны изменение плотности потока энергии с учетом соотношения (8) будет выражаться формулой
ёП = ё(Е*Е) = (сЩО-1Е)*Е + Е*сЩО-1Е = Е*(П; + П;)Е , (11)
где п; - сопряженная матрица.
Элементы матрицы П; определяются из соотношения (10). Дифференцируя тождество
1 = I, находим
ёОО -1 = -ОёО-1. (12)
Так как для любой унитарной матрицы справедливо равенство О * = О-1, то из соотношения (12) следует, что
п;=-п ч. (13)
Выражение для полного дифференциала (8) удовлетворяет уравнению
ёЕ = УЕ = П; Е . (14)
Тогда уравнение (11) с учетом выражения (14) принимает вид
ёП = Е*(П; + П ;)Е = Е*УЕ -УЕ*Е = 0 или &уП = 0. (15)
Уравнение (15) является векторным обобщением соотношения для скалярного поля ы(г), при
распространении волны в неоднородной среде без поглощения
иАи - иАи = 0, или ё1у(мУм - иУй) = 0. (16)
Выражение (16) непосредственно следует из уравнения Гельмгольца для поля и(г) [4]
Аы(г) + к2 и(г) = 0. (17)
Рассмотрим матрицу когерентности Я. частично поляризованной волны, свойства которой определяются в какой-то фиксированной точке пространства
R =< EE * >=
С < E2 > < E1E2 >^
V< E1E 2 > < E 2 > У
(18)
где < ЕЕ* > - обозначает статистическое усреднение.
Уравнение, описывающее изменение элементов матрицы Я как функцию поляризационных параметров волны, будет иметь вид
ёЯ = ё(ЕЕ*) = П;ЕЕ* + Е(П;Е)* = П;Я + ЯП;. (19)
Уравнение (19) с учетом соотношения (13) запишется как
ёЯ = П;Я - ЯП; = [П;Я], (20)
где [П ; Я] - обозначает матричный коммутатор. Элементы матрицы ёЯ связаны с элементами коммутатора уравнениями
ёГ11 = Ю;12Г12 + Ю;12Г12 =
ёГ12 = 2®;11Г12 + ®;12(Г22 - Г11) ,
ёг21 = ёг^
ёг„ =-ёr22, (21)
где Гу - элементы эрмитовой (г12 = г21) матрицы Я.
Соотношения (21) являются системой уравнений, связывающих изменение элементов матрицы когерентности электромагнитной волны с изменениями поляризационных параметров этой волны. Поэтому, если волна в какой-либо фиксированной точке пространства была полностью поляризованной < £12 >^ 0, < £2 >= 0 и г12 = 0, то, согласно уравнениям (21), при любом малом изменении координаты ее наблюдения будет происходить деполяризация волны
ёГ12 = -® ;12Г11 . (22) Аналогично, для волны с поляризацией < Е12 >= 0, < Е22 >^ 0 и г12 = 0
ёГ12 = ®;12Г22 . (23) Однако для полностью неполяризованной волны, когда < Е12 >=< Е22 >, г12 = 0 из уравнений (21) следует, что всегда
ёг11 = 0, ёг12 = 0, (24)
т. е. эффекта спонтанной поляризации волны при ее распространении в неоднородных линейных средах не происходит. В случае же распространения частично поляризованной волны, которую можно представить в виде суммы поляризованной и полностью неполяризованной волн, согласно соотношениям (22) и (23), доля поляризованной части волны будет уменьшаться.
Из свойства коммутатора (1х[П; Я] = 0) или непосредственно из последнего уравнения системы (21) следует, что изменение следа матрицы Я
ё ОгК.) = ёг11 + ёг22 = 0. (25)
Таким образом, показано, что след 1гК., представляющий собой полную мощность волны, является первым инвариантом матрицы когерентности [1]. Рассмотрим теперь изменение определителя матрицы Я, которое определяется выражением
ё (ёЙ Я) = ё (г11 Г22 - Г12Г12 ) = ёГ11Г22 + Г11 ёГ22 - (ёГ12Г12 + Г12 ёГ12). (26)
Из выражения (26) с учетом уравнений (21) следует, что
ё (ёе! Я) = 0. (27)
Следовательно, определитель матрицы когерентности является вторым ее инвариантом [1].
Система дифференциальных уравнений (21), связывающих изменение элементов матрицы когерентности электромагнитной волны с изменениями ее поляризационных параметров, зависит от двух параметров. Рассмотрим зависимость решений системы уравнений (21) от каждого из параметров в отдельности, предполагая при этом, что другой параметр постоянен.
Уравнения (21) при постоянном значении величины <р принимают вид
д'11 = 2|г12|е08(^ + 8),
12
ду
5г.
^ = (Г22 - Г„)еЛ
ду
дг" = дг2’ (28)
ду ду
На рис. 1 - 3 приводятся результаты численного решения системы дифференциальных уравнений (28) для элементов матрицы когерентности.
Рис. 1. Зависимость элементов матрицы когерентности от величины 2/при 8 = 1,25 (Го11 = 0,51, Го22 = 0,31^
Рис. 2. Зависимость элементов матрицы когерентности от величины 2упри 8 = 2,1 (Го11 = 0,51, Го22 = 0,31^
Рис. 3. Зависимость элементов матрицы когерентности от величины 2упри 8 = 2,51 (го11 = 0,51, Го22 = 0,31^
Уравнения (21) при постоянном значении величины у принимают вид
дг11
дф
= - г12 Бт 2у Бтф + 8),
дГ'2 =-/[ 2Г123>п2 у+ 5‘"2^
дф
2
дГ11 = дГ22
(Г22 - Г11)е
-гф
(29)
дф дф
На рис. 4 - 6 приводятся результаты численного решения системы дифференциальных уравнений (29) для элементов матрицы Я..
Рис. 4. Зависимость элементов матрицы когерентности от величины фпри 8 = 1,25 (Го11 = 0,51, Го22 = 0,31,)
Рис. 5. Зависимость элементов матрицы когерентности от величины фпри 8 = 2,51 (ro11 = 0,51, ro22 = 0,31^
Рис. 6. Зависимость элементов матрицы когерентности от величины фпри 8 = 2,83 (ro11 = 0,51, ro22 = 0,31,)
ЛИТЕРАТУРА
1. Богородский В.В., Канарейкин Д.Б., Козлов А.И. Поляризация рассеянного и собственного
радиоизлучения земных покровов. - Л.: Гидрометеоиздат, 1981.
2. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. - М.: Наука, 1981.
3. Маслов В.Ю. Дифференциальные свойства поляризационного коэффициента электромагнитной волны. // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Радиофизика и радиотехника, № 79, 2004.
4. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. - М.: Наука, 1978.
COHERENCE MATRICES IN DIFFERENTIAL RADIOPOLARIMETRY. MAIN PROPERTIES
Maslov V.Yu.
Properties of coherence matrices for an electromagnetic wave are investigated. A system of differential equations connecting the matrix elements with the wave polarization parameters is obtained. The character of dependence of the system solutions on such parameters is analyzed.
Сведения об авторе
Маслов Виктор Юрьевич, 1945 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1968), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретических основ электротехники МГИРЭА (ТУ), автор 50 научных работ, область научных интересов - электродинамика и распространение радиоволн, математические методы моделирования.
