CC BY
37
2005
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Математика и физика
№91(9)
УДК 621.396
МАТРИЦА КОГЕРЕНТНОСТИ РАССЕЯННОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ
В.Ю. МАСЛОВ
Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором Козловым А.И.
Исследуются свойства матрицы когерентности отраженной объектом электромагнитной волны. Получена система дифференциальных уравнений, связывающих изменение элементов матрицы когерентности отраженной электромагнитной волны с изменениями поляризационных параметров матрицы рассеяния объекта.
Изменение отраженной объектом волны связано с изменением параметров матрицы рассеяния S уравнением [1]
dE о = dSE п (1)
Переходя в соотношении (1) к отраженным волнам, получаем дифференциальное уравнение, связывающее изменение поляризационных параметров отраженной волны с изменением параметров матрицы рассеяния
dE о = dSS-1E о. (2)
Матрица, входящая в уравнение (2), является матрицей дифференциальных форм
П S = dSS-1. (3)
Из соотношения (3) получаем матрицу ns, где компонентами этой матрицы являются линейные формы (1-формы) от дифференциалов локальных координат dg, dy, dp, имеющие вид [1]
юs11 = -cos2ydg + sh2gsin2ydy + i(1 + sh2gsin2 2y)dp, ros12 = (sin 2;dg + 2shg(chgcos2f - shg)dy - ishgún2y(chg - shgcos2y)dp)eip, ю^ = (sin 2;dg + 2shg(chgcos2f + shg )dy + ishgsin2f (chg + shgcos2y)dp)e-p,
^22 = Юs11 , (4)
l2eig2 -le-g2 . 1 l2 32 -3,
где ——’ g=g1 + ig2, g1 = 2v g2 =“^“+p.
Рассмотрим матрицу когерентности R отраженной объектом электромагнитной волны. Свойства матрицы R определяются для произвольной фиксированной точки пространства как:
R =< EE* >=
f < E2 > < Е1 е2 >л
V< Е1Е2 > < Е2 > J
(5)
Запишем уравнение, связывающее изменение элементов матрицы Я. с изменением параметров матрицы 8,
йЯ = й (ЕЕ*) = П 8 ЕЕ* + Е(П 8 Е)* = П 8 Я + ЯП**. (6)
При выводе уравнения (6) учитывалось соотношение (2) йЕ = П 8Е .
Элементы матрицы йЯ будут связаны с дифференциальными формами матрицы 8 уравнениями
йГц = К„ + Юкп)гп + ЮЛ2Г12 + Ю^12Г12 ,
йг12 = (юя11 — Юв11 )г12 + Ю s12 Г22 + Юх 21Г11 , йГ22 = —(Юя11 + ЮяП)Г22 + Юх21Г12 + Юх21Г12 ,
йг21 = йГ12 ,
где Гу - элементы эрмитовой (г12 = г21) матрицы Я.
Систему уравнений (7) можно представить в виде
ёгп = 2(Ке(юкП)г„ + Яе(ю ,12 Г12)) , йг12 = 21т(ю5„)г12 + Ю ,12 Г22 + Ю, 21Г11
йг22 = 2(Де(ю,21Г12 ) - Ке(ю511)г22 ) , йГ21 = ^2 .
(7)
(8)
Уравнения (8) являются системой уравнений, связывающих изменение элементов матрицы когерентности отраженной электромагнитной волны с изменениями поляризационных параметров матрицы рассеяния объекта. Если за время наблюдения объекта изменение собственных значений матрицы рассеяния не происходит, тогда система дифференциальных уравнений (8) будет зависеть от двух параметров. Рассмотрим зависимость решений системы уравнений (8) от каждого из параметров в отдельности, предполагая при этом, что другой параметр постоянен.
Уравнения (8) при постоянном значении величины р принимают вид
2г11sh2g1 сов2^2 ¿т2у + |г12|(со82х(8Ь2^1 сов2^2 соб#-
дг 11
ду
-сИ2^ sin2g2 Бтв)-2(бЬ2g1 соб2 g2 -сЬ2g1 бш2 g2)cosв +
+ бЬ2 g1 sin 2 g 2 sin в),
дг
12
ду
= 2(г12 сЬ2g1 sin 2g2 sin 2у + г22shg(chg соб 2у - shg)в'р +
+ r11shg(chg соб 2у - shg)ер )
= -2г22sh2g1 cos2g2 бш2^ + |г21 |(cos2Y(sh2g1 cos2g2 соб#
дг22 ду
+ сЬ2^ sin2g2 Бтв) + 2(бЬ2g1 соб2 g2 -сЬ2g1 sin2 g2)cosв + + бЬ2 g1 sin 2 g 2 sin в),
дг дг
21 __ 12
+
ду ду
(9)
где
в = р-би',
-.^12
-.*^21
Результаты численного решения системы дифференциальных уравнений (9) для элементов матрицы когерентности приводятся на рис.1 и рис.2.
Анализ результатов решения уравнений показывает, что корреляционные свойства отраженной от объекта электромагнитной волны сложным образом зависят как от параметров матрицы рассеяния объекта, так и от поляризации падающей волны. На рис.1 при изменении величины 2у от 0 до п модуль элемента г12 матрицы когерентности меняется от максимального
значения (|г12| = 0,32) до минимального значения (|г12| = 0,2) .
На рис.2 величина |г12| при у = 0,31 достигает своего минимального значения (|г12| « 0), а
при у = 1,2 - максимального значения (|г12| « 0,23) .
Рис. 1. Зависимость элементов матрицы когерентности от величины 2упри р = 1,25 и д12 = 0,1 (ro11 = 0,61, ro22 = 0,39)
Рис. 2. Зависимость элементов матрицы когерентности от величины 2у при р = 2,51 и 812 = 0,1 (го11 = 0,61, Го22 = 0,39)
Уравнения (8) при постоянном значении величины y принимают вид
Or /
= -r11sh2g1 sin2g2 sin2 2у + |r12|(sin2y(ch2g sin2g2 cos# +
+ sh2g1 cos2g2 sin#) + cos2f(2(sh2g1 cos2 g2 -ch2g1 sin2 g2)sin# + + sh2 g1 sin 2 g 2 cos#)),
Or
—12 = 2/>12 (1 + sin2 2Y(sh2g1 cos2 g2 - ch2g1 sin2 g2))-
oy
- i sin ly (r22 shg (chg cos2f - shg cos2f) +
+ ru shg (chg + shg cos 2y) )eltp,
На рис. уравнений
Or /
= r22sh2g1 sin2g2 sin2 2y-|r12|(sin ^(ch^g sin2g2 cos# +
+ sh2gj cos2g2 sin#) + cos2f(2(sh2gj cos2 g2 - ch2gj sin2 g2)sin# +
+ sh2 g1 sin 2 g 2 cos#)),
Or Or
= °r^. (10)
ду ду
3 - 5 приводятся результаты численного решения системы дифференциальных (10) для элементов матрицы когерентности.
Рис. 3. Зависимость элементов матрицы когерентности от величины р при у = 1,25 и 812 = 0,1 (Го11 = 0,39, Го22 = 0,61)
Рис. 4. Зависимость элементов матрицы когерентности от величины р при у = 2,1 и 812 = 0,1 (Го11 = 0,39, Го22 = 0,61)
Рис. 5. Зависимость элементов матрицы когерентности от величины р при у = 2,51 и 812 = 0,1 (Го11 = 0,39, Го22 = 0,61)
Рассмотрим задачу исследования изменений величины элементов матрицы когерентности отраженного поля связанного с изменениями параметров матрицы рассеяния объекта. Таким изменением параметров может быть, например, поворот исследуемого объекта вокруг начала координат или вращение вектора облучения при фиксированном положении исследуемого объекта. Найдем соотношения, которым должны удовлетворять параметры матрицы рассеяния при их возможном изменении.
Найдем след 1хК матрица Я (5). Из системы уравнений (7) следует, что для диагональных элементов матрицы когерентности будет справедливо равенство
ё(Й-Я) = Кп + Юб„ )(гп - г22) + (ю ,12 + 21 )г12 + (ю ,12 + Ю , 21 )г12. (11)
Перейдем в уравнении (11) к дифференциальным формам энергетической матрицы рассеяния
Грейвса О [2]. Матрица 1-форм П энергетической матрицы рассеяния О равна сумме матриц
1-форм П Б и П *
п в = П Б + П *, (12)
{Ю б11 Ю б12 ^
Vю Б21 - Ю б11 У
Поэтому матрица дифференциальных форм для матрицы О будет иметь вид
П в
^Ю б11 + Юб11 Ю б12 + Юб21 ^
- , - л - (13)
VюБ21 + Юб12 - (юб11 + Юб11 )У
Следовательно, элементы матрицы дифференциальных форм матрицы Грейвса связаны с дифференциальными формами матрицы рассеяния уравнениями:
ю в11 = Ю б11 + Юб11 , ю в12 = ю Б12 + Юб21 ,
Ю В21 = Ю б21 + Юб12, Ю в22 = -Ю в11. (14)
Уравнение (11) с использованием дифференциальных форм матрицы Грейвса примет вид
ё(Й-Я) = юв11(г11 - г22) + юЯ12Ги + ШЯ12г12. (15)
Так как матрица Я (5) симметрична относительно комплексных координат вектора Е отраженной волны, то, поменяв местами комплексные координаты Е^ и Е2, получим матрицу коге-
рентности Я. Для следа этой матрицы также будет справедливо равенство
ё(Й-Я') = юв11(г22 - г11) + ШЯ12г12 + юЯ12г12. (16)
Складывая уравнения (15) и (16), получаем соотношение
2d(trR) = Re(rogi2^2) + Re(rogi2ri2) . (17)
Вычитая из уравнения (15) уравнение (16), находим, что
2®g11(rn — Г22 ) — (® g12 — ®g12 )(r12 — Г12) = 0. (18)
Следовательно, первым соотношением, которым должны удовлетворять параметры матри-
цы R, будет
®g11(r11 - r22) = Im(®g12)Im(r12). (19)
Рассмотрим теперь изменение определителя матрицы R, которое следует из соотношения
d(det R) = d(rnr22 - r12r12 ) = drnГ22 + r11dr22 - (dr12Г12 + Г12^2 ). (20)
Из выражения (20) с учетом уравнений (7) находим, что
d (det R) = 0. (21)
Следовательно, определитель матрицы когерентности отраженной волны является ее инвариантом [2].
Уравнения (17), (19) и (21) накладывают ограничения на диапазон изменения элементов матрицы когерентности отраженной объектом электромагнитной волны. Одновременно эти уравнения связывают изменение элементов матрицы когерентности с изменением параметров энергетической матрицы рассеяния объекта G.
ЛИТЕРАТУРА
1. Козлов А.И., Маслов В.Ю. Дифференциальные свойства матрицы рассеяния. // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Радиофизика и радиотехника, №79, 2004.
2. Богородский В.В., Канарейкин Д.Б., Козлов А.И. Поляризация рассеянного и собственного радиоизлучения земных покровов. - Л.: Гидрометеоиздат, 1981.
A DIFFERENTIAL FORM OF THE COHERENCE MATRIX FOR A SCATTERED ELECTROMAGNETIC
WAVE
Maslov V.Yu.
Properties of an electromagnetic wave reflected from some object are investigated. A system of differential equations connecting the coherence matrix elements of such wave with polarization parameters of the object’s scattering matrix is obtained.
Сведения об авторе
Маслов Виктор Юрьевич, 1945 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1968), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретических основ электротехники МГИРЭА (ТУ), автор 50 научных работ, область научных интересов - электродинамика и распространение радиоволн, математические методы моделирования.
