CC BY
11
УДК 517.9:519.6:621.98
В.П. ЛЯШЕНКО
Кременчуцький нащональний ушверситет iMeHi Михайла Остроградського
О.П. ДЕМ' ЯНЧЕНКО
Азовський морський iнститут Нащонального унiверситету "Одеська морська академiя"
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ВАЛК1В П1Д ЧАС ПРОКАТКИ СТР1ЧКИ
Розглянутi у виглядг крайових задач для ргвняння теплопровгдностг математичнi модел1 температурних розподтв nid час прокатки металевог cmpi4KU через двошаровi валки двохвалкового прокатного стану. Побудована математична модель температурного поля одночасного процесу лиття -прокатування тонког металевог стрiчки за допомогою валкового кристалiзатора, валки якого мають вигляд тришарового цилтдра зi щшьним контактом шарiв з ргзними теплофгзичними характеристиками. Розглянуто спрощену задачу, яку розв 'язано чисельно-аналiтичним методом. Запропоновано алгоритм та программу для знаходження температурного поля зони нагрiвання дво- та тришарових валюв. Проведено чисельнi експерименти та побудоват графжи температурнихрозnодiлiв цилтдричних валюв.
Ключовi слова: математична модель, температурне поле, валковий кристалгзатор, триангулярна стка, метод Делоне, температурн розподыи.
В.П. ЛЯШЕНКО
Кременчугский национальный университет имени Михаила Остроградского
О.П. ДЕМЬЯНЧЕНКО
Азовский морской институт Национального университета "Одесская морская академия"
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ВАЛКОВ ВО ВРЕМЯ ПРОКАТКИ ЛЕНТЫ
Рассмотрены в виде краевых задач для уравнения теплопроводности математические модели температурных распределений во время прокатки металлической ленты через двухслойные валки двухвалкового прокатного стана. Построена математическая модель температурного поля одновременного процесса литье - прокатка тонкой металлической ленты с помощью валкового кристаллизатора, валки которого имеют вид трехслойного цилиндра с идеальным контактом слоев с разными теплофизическими характеристиками. Рассмотрена упрощенная задача, решенная численно-аналитическим методом. Предложены алгоритм и программа для нахождения температурного поля зоны нагревания двух- и трехслойных валков. Проведены численные эксперименты и построены графики температурных распределений цилиндрических валков.
Ключевые слова: математическая модель, температурное поле, валковый кристаллизатор, триангулярная сетка, метод Делоне, температурное распределение.
V. LYASHENKO
Kremenchuk Mykhailo Ostrohradskyi National University
O. DEMYANCHENKO
Azov Maritime Institute of National university "Odessa Maritime Academy"
MATHEMATICAL SIMULATION OF TEMPERATURE FIELD OF ROLLS AT STRIP ROLLING
Application of continuous roll casting of liquid metal in a roll crystallizer (RC) is a promising method of production of metal strip, allowing drastic reduction of power inputs on its manufacturing. The difficulty of the process of metal casting in RC lies in the fact that liquid metal has to be turned into a metal strip in the roll pass and it requires creation of certain thermal-dynamic equilibrium in the roll crystallizer. It is possible if at crystallizing an efficient thermal removal from the rolls is ensured with the objective of avoiding production losses. Much attention is paid to mathematical simulation of technological process, on the whole and simulation of thermal processes in roll passes of rolling mills at developing such energy-efficient technologies of strip manufacturing. Mathematical simulations of temperature distributions at metal strip rolling on two-layered rolls of two-roll mill were analyzed in the form of boundary problems for meat conductivity equation.
A mathematical simulation was compiled for the temperature field of simultaneous casting-rolling process, by means of roll crystallizer, its rolls possessing the shape of three-layered cylinder with ideal layer contacts and different thermal-physic characteristics. A simplified problem, solved by numerical-analytical method was also considered. An algorithm and a simulator were proposed for finding the temperature field of heating area of two
and three layered rolls. The boundary problems were solved with the help of the systems of computer mathematic. On the basis of the algorithm a program was developed in MATLAB medium for solving a simplified boundary problem for the heat conductivity equation, making it possible to find temperature distributions in cylindrical rolls of a rolling mill and roll crystallizer, being heated by external acting sources and heat flow and periodically passing it into the surrounding medium.
An obtained simplified boundary problem was solved obtained for two-layer rolls, by means of Maple pdsolve function. In the mathematic simulation of the temperature field of three-layered roll of the roll crystallizer the boundary problem was solved by means offinite elements with application of the systems of computer mathematics, according to the algorithm and with the help of GUI-addendum MATLAB PDETool. Numerical experiments were carried out. The simplified boundary problem for two layer rolls was solved by means of Maple pdsolve funcrion. Numerical experiments were carried out and graphs of temperature distributions of cylindrical rolls were compiled.
Keywords: mathematical model, thermal field, rolling catalyst, triangular net, Delaunay method, thermal distribution.
Постановка проблеми
Виробництво металу мае велике значення для розвитку народного господарства i зростання добробуту суспшьства. Ввд устшного розвитку металурги у значнш мiрi залежить розвиток машинобудування, транспорту, сшьського господарства та шших галузей народного господарства [1]. Технолопчний процес отримання готового прокату у багатьох випадках е завершальною стащею металургшного виробництва. Через прокатш цехи проходить майже вся сталь, що виплавляеться в сталеплавильних цехах, тому поряд зi збiльшенням виробництва прокату юнуе проблема шдвищення якосп продукцп, що випускаеться та ефективносп прокатного виробництва. Цього вдаеться досягти за рахунок створення нових технологш та зниження енерговитрат на виробництво готово! продукцп [1]. Перспективним напрямом виробництва металево! стрiчки, що дозволяе суттево знизити енерговитрати на И виробництво е використання неперервно! валково! розливки рiдкого металу у валковi кристалiзатори (ВК). Складнiсть розливки металу у ВК полягае у тому, що рвдкий метал у валковому калiбрi потрiбно перетворити у тверду металеву стрiчку, а це вимагае створення певно! термодинамiчноl рiвноваги у валковому кристалiзаторi. Це можливо, якщо пiд час кристалiзацil ввдбуваеться ефективне вщведення тепла ввд валк1в з метою запобпання втрат готово1 продукцп. При створенш таких енергоощадних технологш виробництва с^чки та прокату велике значення выводиться математичному моделюваннi технолопчного процесу в цiлому та моделюванш теплових процесiв у валкових калiбрах прокатних станiв, зокрема ВК засобами комп'ютерно! математики.
Аналiз останнiх дослвджень i публiкацiй
Як показав аналiз робiт [2, 3], досить перспективним з точки зору зниження енергетичних витрат (в 8-10 разiв) е використання валкових кристалiзаторiв (ВК), яш дозволяють вiдливати сталеву стрiчку, максимально наближену по товщинi до готового виробу, що iстотно скорочуе виробничий цикл i к1льк1сть необхвдного обладнання. Наприклад, в кранах £С розроблено технологш по проекту «ЕишБЙр», основану на застосуваннi ВК i яка дозволяе виробляти сталеву стрiчку у широкому дiапазонi розмiрiв. При використанш ВК рвдка сталь потрапляе у проспр м1ж рухомими валками i при контактi з ними кристалiзуеться ввддаючи свое тепло рухомим валкам i виходячи з валк1в у формi твердо1 стрiчки (рис.1). При цьому товщина останньо! визначаеться вщстанню мiж валками кристалiзатора, а ширина - бiчними стiнками ВК, яш можуть змiнюватися. Валки кристалiзатора виготовляються iз жаростiйких матерiалiв, наприклад, сплаву мвд з хромом у виглядi порожнистих цилiндрiв, що обертаються i iнтенсивно охолоджуються з середини радиною [2].
TBL'JI^I С ф]ЧКН
Рис. 1. Схема формування стр1чки у ВК.
Розрахунок розподшу температури в валках ВК мае важливе прикладне значення. Вш дозволяе прогнозувати життевий цикл ВК. При проектуванш ВК велике значення выводиться математичному моделюваннi процесу теплообмiну у системi розплавлений метал - прокатш валки, як1 мають складну конструкцiю.
Найбiльш розповсюдженим методом отримання стрiчки е прокатка и через валки прокатного стану, що мають вигляд одно та двошарових цилiндрiв [3, 4].
Основним показником якосп прокатано! стрiчки е И геометричш розмiри.
Пад час прокатки стачки, в момент проходження И м1ж валками прокатного стану виднеться тепло деформаци, яке аде на падвшцення температури стр1чки та валив (рис. 2).
деформаци до зони примусового охолодження; в — кут зони примусового охолодження; <— — напрям прокатки.
За рахунок тепла деформаци падвищуеться температура валив, що сприяе !х нерiвномiрному тепловому розширенню уздовж радiуса i за рахунок цього зменшуеться товщина стрiчки, що приводить до порушення розмiрiв стрiчки. Крiм того пiдчас роботи валки прокатного стану зношуються пад дiею температури та тертя деформаци. Для подовження роботи валк1в на них наносять зносостшке та теплостшке покриття, а також примусово охолоджують.
У науковiй лiтературi запропоновано цший ряд математичних моделей процесу теплообмшу пiд час прокатки стрiчки на прокатному сташ [4-12]. У робот [4] розглядаеться математична модель теплового профшя валка прокатного стану пад час прокатки металево! стрiчки у виглядi початково-крайово! задачi для рiвняння теплопровiдностi.
У роботах [4, 5] розглядаеться математична модель теплового стану валка пад час гарячо! прокатки стрiчки у виглядi нестацюнарно! однорадно! початково-крайово! задачi для рiвняння теплопровадносп. Прокатний валок розглядаеться у виглядi двошарового цилiндра. М1ж шарами мае мюце щiльний тепловий контакт, який з математично! точки зору визначаеться рiвнiстю температур та теплових потоив (умова теплообмiну четвертого роду). На инцях та поверхнi цилiндричного валка, не защяного у зонi контакту з металевою стрiчкою, мае мюце теплообмiн з оточуючим середовищем за законом Ньютона. Недолгом математичних моделей запропонованих у роботах [3-5] е вадсутшсть нелiнiйно! складово! - умови Стефана -Больцмана у граничних умовах. У роботi [7] запропонована математична модель двошарового цилiндра зi щiльним та не щiльним тепловим контактом. Теплообмш зовнiшньо! поверхнi цилшдричного валка з оточуючим його середовищем сталий по усiй поверхнi. Математична модель що запропонована у цш робот мае вигляд початково-крайово! задачi для неоднородного рiвняння теплопровiдностi.
Для визначення температурного розподiлу Т(г, 2, г) у такому складеному цилiндрi приходимо до наступно! крайово! задачi на спряження
. 1 д. дТ. д2Т дТ ¡-Я,у го<Го,
г дг дг д22 дг [0, у 0 < г < г - А
0 < г < I, Т > 0,
Т (г,0, г) = Т (г, 2,0) = Т), Т (г, 2,I) = Т (2)
. дТ(г0 - А-0,2,г) з дТ(г0 - А + 0,2,г)
Л1-^-= Я2-^-, (3)
дг дг
Т(г0-А-0,2, г) = Т(г0-А + 0,2, г), (4)
Л1 = _а(т-тс)-а(Т4 -Тс4), ^^^ = 0 (5)
8г 8т
де Л} 2, с^2, Р\2> Ро, в, а, 8,а, q - вiдповiднi теплофiзичнi характеристики та параметри матерiалiв шарiв.
Для визначення температурного розподшу у внутрiшньому цилiндрi було проведене усереднення температури по радiусу зовшшнього цилiндра i отримана умова спряжения iмпедансного типу. Розрахунки температурного поля внутршнього цилiидра отриманi чисельно-аналiтичним методом та побудоваш температурнi розподiли. Математична модель, у виглядi задачi (1-5) не дозволяе застосувати И до розрахунку температурних розподiлiв рухомих навколо свое! ои валк1в, так як теплообмш з оточуючим !х середовищем у рiзних частинах поверхнi рiзний. Математична модель процесу теплообмшу валка прокатного стану включае у себе три складов^ 1) теплообмiн частини валка з металом, що шддаеться деформацп, пвд час яко! виднеться тепло деформаци; 2) теплообмiн частини валка з примусово охолоджуючою його рщиною; 3) теплообмiн частини валка з навколишшм повiтрям за законами Ньютона та Стефана-Больцмана. У зош першо! частини моделi мае мюце щiльний тепловий контакт, пiд час якого температура стачки i поверхш валка вирiвнюються, маемо граничну умову четвертого роду, умову спряження; у другш та третiй частинах моделi мае мiсце теплообмiн за законами Ньютона та Стефана-Больцмана або за одним iз них.
Мета дослвдження
Метою е побудова математичних моделей температурного поля двошарових валив двох валкового прокатного стану та тришарових валив ВК тд час виробництва металево! стрiчки при щшьному контактi шарiв валка з рiзними теплофiзичними характеристиками шарiв.
Викладення основного матерiалу досл1дження
Моделювання температурного розподшу одно та двошарових валив прокатного стану шд час термiчно! обробки та прокатки стрiчки вiдноситься до задач визначення температурного поля у цилiидричнiй обласп, що обертаеться навколо свое! ос з кутовою швидистю со [\\, \2]. Для визначення температурного розподшу Т(т, ^,р, t) у такому складеному цилiидрi приходимо до наступно! крайово!
задачi на спряження в
обласп Qxt = {(т, ) |0 < т < ¡о,0 < г < 1,0 <р< 2ж,1 > 0}.
. \ д , дТ , д2Т , \ д2Т дТ \-ч/, V ¡о-А + 0<т<¡0,
Ч,2-^(тт-) + Ч,2—Т + Л1,2_2-Г -С\,2 Р\,^ = ]п « п л л (6)
' т дт дт ' дг т др дt [0, V 0 < т < т0 - А - 0,
Т (т, 0, р, ^ = Т (т, г,р,0) = Т), Т (т, 1,р, t) = % (7)
Л\ТГ (т0 - А - 0, г,р, t) = Л2Т (т0 - А + 0, г, р, t), Тт - А - 0, г, р, t) = Т (т0 - А + 0, г, р, t)
(8)
\Тг(т0,г,р,t) = -а(Т-Тс)-8а(Т4 -Т?),
(9)
Тт (0, г,р, ^ = 0,
Т ( т,р+ 2п, t ) = Т ( тр ), (10)
де Тс - температура середовища, що оточуюе валки.
Розглянемо математичну модель температурного поля валка у валковому кристалiзаторi (рис.1), що мае вигляд тришарового цилiндра, у якому одна частина зовшшнього шару контактуе з розплавленим металом, що мае температуру tс, а шша частина зовшшнього шару приймае участь у теплообмш iз
оточуючим його середовищем з температурою Тс . До другого шару валка ВК, що мае щ№ний тепловий контакт з першим тепло передаеться теплопроввдшстю i ввд нього до третього шару також теплопровiднiстю.
Визначення температурного розподшу Т (т, г,р, t) у тришаровому цилiидрi ВК, де частина зовшшнього шару в умовах щшьного теплового контакту сприймае тепловий потш ввд розплавленого металу та передае його до наступного, а внутршнш шар, що мае сталу температуру меншу вiд температури зовшшшх шарiв, приймае участь у теплообмш iз зовнiшнiми шарами мае вигляд крайово! задачi для однородного рiвняння теплопровiдностi у цилiндричнiй областi з циктчно дiючими умовами теплообмiиу
Qxt :{0<т <т0, 0 <г <I, 0 <t <^ }:
^Початок^
_ I _
Введения даиих: N. Ъ,гД, р, с, Т]
Визначасмо розрахупковий крок сики за иросторовою координатою: И = г / N
Визначасмо розрахупковий крок атки за часом:
Вводимо початкове поле темиератури: / косфгщентн А, В, С /
V"
Виведення результату
и!
Збиипиуемо ян ну часу на
крок г; 1 = 1 +т
X
Розраховугмо прогоночш коефнменти в першому вузл1 р1зницев01 с1тки а.| 1■
X
Визначасмо температуру на границ] Т\-п+1
Розраховуемо поле темиератури Т.п+|,! = N-1.....1
Рис. 3. Блок-схема алгоритму роботи програми.
,1 д ( дТ ] д2Г{ ,1 д% дЦ г дг у дг ) дг2 г2 д^2 дг
дТ1 дг
г=0
=0, ^
дг
Т (г, 2,ф,0) = Т),
Т(г,0,^, г) = Тз, Т(г, 1,9, 0 = Т
Г д, V а>г<ф<ф0 + , = ^ (г, г^ t, Т ) = -! /4
3 [«1 (Тс - Т) + £°(Тс - Т4 )
Т (г1~0, гг) = Т+1 (г+1, г t), 1 =1-3 дТ+1
дг
= Л+1 ■
г=г -0
дг
, / = 1...3,
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
г=г +0
Задачу (11)-(16) можна спростити, розглянувши температурне поле ращального перерiзу валка, вважаючи, що температура уздовж осi 02 залишаеться сталою, поклавши Тг = 0 . Н розв'я зуемо чисельно-аналiтичним методом. Так як джерела i стоки тепла у ВК дшть циктчно, то через деякий час наступае температурна рiвновага у системi розплавлений метал - валки - охолоджуюча рщина.
На основi алгоритму (рис. 3) створено програму у середовищi МЛТЬЛБ для знаходження температурного поля зони названия тришарового валка, що розiгрiваеться ввд розплавленого металу у ВК. Задача розв'язуеться методом шнцевих елеменлв iз застосуванням систем комп'ютерно! математики зпдно алгоритму (рис.3) за допомогою GUI-додатка MATLAB РББТоо1. Сформульовано триангулярну сiтку з використанням методу Делоне. Криволшшна границя областi апроксимуеться вiдрiзками - ребрами
трикутних инцевих елеменпв[13]: Для двошарових валив отриману спрощену крайову задачу розв'язано за допомогою функцй' Maple pdsolve.
Рис. 4. Температурний розподл у дво та тришаровому валку, побудованому зг1дно алгоритма (рис.3), за розв'язком спрощених
задач (6)-(10) та (11)-(16).
Висновки
Побудоваш математичш модел1 у вигляд1 крайових задач на спряження для визначення температурного розподшу тд час прокатки металево! стр1чки за допомогою прокатного стану та валкового кристал1затора, валки яких мають вигляд двошарового та тришарового цилшдр1в з р1зними теплоф1зичними характеристиками шар1в. Побудовано алгоритм та на його основ1 створено програму для знаходження температурного поля зони нагр1вання тришарового валка. Задачу розв'язано методом инцевих елеменлв 1з застосуванням систем комп'ютерно! математики зпдно наданому алгоритму за допомогою GUI-додатка MATLAB PDETool.
Список використано'1 лiтератури
1. Сталь на рубеже столетий / [Белянчиков Л. Н,. Бородин Д. И, Валавин В. С и др.]; под. ред. Ю.С. Карабасова. - М. МИСИС, 2001. - 664 с.
2. Бровман М. Совмещенные процессы непрерывного литья и прокатки. Перспективы развития металлургической промышленности / М. Бровман. - Saarbrücken : LAP LAMBERT Academic Publishing, 2014. - 627 с.
3. Чубенко В.А. Дослщження ефективносл суспензшно! розливки редко! сталi у ливарно-прокатш клт для виготовлення тонких смуг/ В.А. Чубенко, А.А. Хшоцька, В.В. Чубенко // Гiрничий вюник, .- 2016. - Вип. 101.- С. 183-187
4. Борисов А.А. Математическая модель теплового профиля валка прокатного стана, как объекта с распределенными параметрами и постановка задачи управления планшетностью проката / А.А. Борисов // Нау^ пращ ДонНТУ. - 2007. - Вип. 130. - С. 18-22.
5. Тришевський О.1. Розробка математично!' моделi теплового стану валка при гарячш прокатщ листа / О.1. Тришевський., М.В. Салтавець, О.А Юрченко // Восточно-европейский журнал передовых технологий. - 2009. - № 5/4 (41). - С. 14-17.
6. Тришевский О.И. Разработка математической модели теплового состояния полосы при прокатке / О.И. Тришевский., М.В. Салтавец // Сталь. - 2009. - № 2. - С. 42-44.
7. Демьянченко О.П. Температурное поле неограниченного теплоизлучающего цилиндра / О.П. Демьянченко, О.Г. Нартова // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. - К.: Ин-т математики НАН Украины. - 1999. - С. 80-84.
8. Демьянченко О.П. Усредненная задача теплопроводности для вращающегося полого цилиндра / О.П. Демьянченко // Доповщ НАН Укра!ни. Математика. Природознавство. - 2002. - № 3. - С. 98-103.
9. Ляшенко В.П. Дослщження температурного поля двошарового цилшдра з рiзними теплофiзичними характеристиками / В. П. Ляшенко, Т. А. Григорова // Вюник Харивського нащонального ушверситету iменi В.Н. Каразша. - 2010. - № 890. - С. 47-52.
10. Ляшенко В.П. Математичш моделi теплообмшу з умовами iмпедансного типу у багатошарових областях / В.П. Ляшенко, О.Б. Кобильська, О.П. Дем'янченко // Вюник Кременчуцького нащонального ушверситету iменi Михайла Остроградського. - 2017. - Вип. 6/2017 (106). - С. 37-43.
11. Березовская Л.М. Периодическая задача теплопроводности для цилиндра с термическим покрытием / Л.М. Березовская, О.П. Демьянченко // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. - 1998. - С. 17-20.
12. Ляшенко В.П.. К расчету температурного поля теплоизлучающего полого цилиндра / В.П. Ляшенко, О.П. Демьянченко // Вестник Херсонского государственного технического университета. - 2002. -№ 2(15). - С. 154-159.
13. Савула Я.Г. Числовий аналiз задач математично! фiзики варiацiйними методами / Я.Г. Савула. - Львiв: Видавничий центр ЛНУ iм. 1вана Франка, 2004. - 222 с.
