Математическое моделирование трехмерной обобщенной задачи теплообмена кусочно-однородного цилиндра с учетом конечной скорости распространения тепла Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.24

М.Г. БЕРДНИК

Державний вищий навчальний заклад "Нацюнальний прничий ушверситет"

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТРИВИМIРНОÏ УЗАГАЛЬНЕНОÏ ЗАДАЧ1 ТЕПЛООБМ1НУ КУСКОВО-ОДНОР1ДНОГО ЦИЛ1НДРА З УРАХУВАННЯМ КIНЦЕВОÏ ШВИДКОСТ1 ПОШИРЕННЯ ТЕПЛА

У данш роботi розроблена тривимгрна математична модель розподшу температурних полгв у порожнистому кусково-однорiдному цилiндри, який обертаеться з постшною кутовою швидюстю навколо оС OZ, з урахуванням ктцево'1 швидкостi поширення тепла у виглядi крайово'1 задачi Неймана математично'1 фiзики для рiвняння теплопровiдностi. За допомогою розробленого iнтегрального перетворення для кусково-однорiдного простору, знайдено температурне поле порожнистого кусково-однорiдного цилтдра, який обертаеться з постшною кутовою швидюстю навколо оа OZ, сктченног довжини L у виглядi збiжних ортогональних рядiв по функщям Бесселя i Фур 'е.

Ключовi слова: комплексний ряд Фур'е, iнтегральнi перетворення Лапласа, Фур'е, час релаксацИ] трансцендентне рiвняння.

М.Г. БЕРДНИК

Государственное высшее учебное заведение "Национальный горный университет"

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛООБМЕНА КУСОЧНО-ОДНОРОДНОГО ЦИЛИНДРА С УЧЕТОМ КОНЕЧНОЙ СКОРОСТИ

РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА

В данной работе разработана трехмерная математическая модель распределения температурных полей в полом кусочно-однородном цилиндре, который вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси OZ, с учетом конечной скорости распространения тепла в виде краевой задачи Неймана математической физики для уравнения теплопроводности. С помощью разработанного интегрального преобразования для кусочно-однородного пространства, найдено температурное поле полого кусочно-однородного цилиндра, который вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси OZ, конечной длины L в виде сходящихся ортогональных рядов по функциям Бесселя и Фурье.

Ключевые слова: комплексный ряд Фурье, интегральные преобразования Лапласа, Фурье, время релаксации, трансцендентное уравнение.

M.G.BERDNYK

State Higher Education Institution "National Mining University"

MATHEMATICAL MODELING OF THREE-DIMENSIONAL GENERALIZED PROBLEM OF HEAT EXCHANGE PIECEWISE HOMOGENEOUS CYLINDER IN VIEW FINITE SPEED OF PROPAGATION

OF HEAT

In this paper, we developed a three-dimensional mathematical model for the distribution of temperature fields in a hollow piecewise homogeneous cylinder that rotates at a constant angular velocity around the OZ axis, taking into account the finite velocity of heat propagation in the form of the Neumann boundary value problem of mathematical physics for the heat equation. Using the developed integral transformation for a piecewise homogeneous space, a temperature field of a hollow piecewise homogeneous cylinder is found that rotates with a constant angular velocity about the axis OZ offinite length L in the form of convergent orthogonal series in the Bessel and Fourier functions

Keywords: complex Fourier series, Laplace integral transforms, Fourier time, relaxation time, transcendental equation.

Постановка проблеми

У феноменолопчнш теорп теплопров1дност1 передбачаеться, що швидкють поширення тепла е несшнченно великою[1,2]. Питання про можливосп узагальнення р1вняння переносу енергп на тривим1рний проспр у випадку узагальненого закону теплопровщносп Фур'е розглянуто у [1].

В [1] отримано узагальнене р1вняння переносу енерги для рушшного елемента суцшьного середовища, з урахуванням сшнченносл величини швидкосп поширення тепла.

Однак при високих штенсивних нестацюнарних процесах, що спостер^аються, наприклад, при вибухах, надзвукових потоках, великих швидкостях обертання використання цього припущення приводить до помилок, тому необхвдно враховувати, що розповсюдження теплоти проходить з шнцевою швидк1стю.

Анализ останнiх дослщжень i публiкацiй

Як показуе огляд лiтератури теплообмiн в цилiндрах, яш обертаються, вивчений в даний час ще недостатньо [3, 4]. В [1] показано, що чисельш методи дослвдження нестацiонарних неосесиметричних задач теплообм^ цилiндра , як1й обертаються, е не завжди ефективними, якщо мова йде про обчислення при великих швидкостях обертання.

В [1] доводиться, що умови спйкосп обчислень в методах шнцевих елеменпв i к1нцевих рiзниць, що застосовуються до розрахунку нестацiонарних неосесиметричних температурних полiв цилiндрiв, якi обертаються, визначаються аналогiчними характеристиками. Цi умови мають вигляд:

1 - 2 Щ г 0 i А. - Р± г 0,

Ар2 Ар 2

де ^о - критерш Фур'е; Pd - критерiй Предводггелева.

Якщо Pd = 105 , що ввдповщае кутовiй швидкостi обертання металевого цилшдра о = 1,671 сек 1 радiусом 100 мм, змшт Ар и АЕо повинш бути пiдпорядкованi таким умовам:

Ар< 2 • 10-5 i АЕо < 2 • 10-10.

Для рiвномiрно охолоджуваного цилiндра за умови Ы = 5 (Ы - критерш Бю), час необхiдний для того, щоб температура досягла 90% стацюнарного стану, дорiвнюе Ео « 0.025. Це означае, що потрiбно

принаймнi здiйснити 1.3 • 108 операцiй по часу для того, щоб було досягнуто стацюнарний розподiл температури.

Бiльш того, потрiбно ввдзначити, що протягом одного циклу обчислень потрiбно здiйснити

3.14 • 105 операцiй, так як внутрiшнiй стан у шльщ характеризуеться 3.14 • 105 точками. У результатi видно, що число обчислень, необхщних для отримання чисельного результату видаеться нереальним.

Тому, для вирiшення крайових задач, яш виникають при математичному моделюванш тривимiрних нестацiонарних процесiв теплообмiну в цилшдрах , як1 обертаються, будемо застосовувати штегральш перетворення.

Мета статтi

Розробити тривимiрну математичну модель розподiлу температурних полiв у порожньому кусково-однорiдному цилшдра який обертаеться з постiйною кутовою швидк1стю со навколо осi 02, сшнченно! довжини Ь з урахуванням шнцево! швидкостi поширення тепла у виглядi крайово! задачi математично! фiзики для рiвняння теплопровiдностi, та знайти рiшення отримано! крайово! задачi, розв'язки яко! використовуються пiд час керування температурними полями.

Основная часть

Розглянемо розрахунок нестацiонарного температурного поля порожнього кругового цил1ндра зовнiшнього радiуса R в цилiндричнiй системи координат (г,р, г), кусково-однорвдного в напрямку полярного радiуса г, який обертаеться з постшною кутовою швидк1стю со навколо оа 02 ,сшнченно! довжини Ь з урахуванням шнцево! швидкостi поширення тепла. Теплофiзичнi властивостi в кожному шарi не залежать вiд температури за умови щеального теплового контакту мiж шарами, а внутрiшнi джерела тепла ввдсутш. У початковий момент часу температура цилiндра постiйна 00, а на зовшшнш i внутршнш поверхнi цил1ндра вiдомi тепловi потоки 0(р, г) i Ох (р, г) ввдповвдно.

Ввдносну температуру цилiндра в(р, р, г, X) можна представити у виглядг

Ы Л \в1 р,Рг, х) якЩ° Ре (P0, Р1) в\р,р, г,X)=\ ( л ( ) (1)

\Р,Р, г, X) якщ° ре рь р2 )

Вiдноснi температури в5 (р, р, г, X) 8 -го шара цилiндра обчислюються по формулам:

** (р,р, г, X )= ,

Ттах Ч

де (р, р, г, X) - температури s -го шара цилiндра; Ттах -максимальна температура цилшдра; р = — ;

К

8=1,2.

В [1] отримано узагальнене рiвняння переносу енергп для рушшного елемента суцiльного середовища, з урахуванням сшнченносп величини швидкостi поширення тепла. Зпдно [1] узагальнене

рiвняння балансу енергп твердого тша, який обертаеться, з постшною кутовою швидшстю с навколо осi 02, теплофiзичнi властивостi якого не залежать вщ температури, а внутрiшнi джерела тепла вiдсутнi приймае вигляд:

I дТ дТ

гс<--+а--+тг

\ дф

д 2Т д2Т —— + а-

■ = Л

д 2Т 1 дТ 1 д 2Т д 2Т - +--+ -

дг2 г дг г2 дф2 дг

(2)

дг2 дфдг

де у — щiльнiсть середовища; с-питома теплоемнiсть; Л - коефщент теплопровiдностi; Т(р, ф, г, г) -температура середовища; t -час; тг -час релаксацп.

Математично задача визначення вщносно! температури цил1ндра в(р, ф, г, г) складаеться в iнтегруваннi ппербол1чних диференцiальних рiвнянь теплопровiдностi (2) в обласп О, = {(р, ф, г, г) |р е (р, —1, р, ), ф е (0,2п), г е (0,1), 1 е (0, да) }, що з урахуванням прийнятих допущень запишеться у видi:

дд, дв, —- + сс—- + т, д г д ф

с початковими умовами

д в д г2

- + тга-

д 2д; д фд г

д2д; 1 дв; 1 д2д;

др2 р др р2 д ф2 ,(р,ф, г,0)= 0, 6в' = 0,

■ + Х'

д 2в,

дг2

д г

граничними умовами

е тг = Ш(ф, г), |

£—г

дд

р=р0

др

С—±

е Тг = V (ф, г ),

р=р2

в,, (р,ф,0, г ) = 0, в, (р,ф,1, г ) = 0.

(3)

(4)

(5)

(6)

умовами щеального теплового контакту

в1 (Pl,Ф, ^ г) = д2 (Pl,Ф, ^ г)

дд1 (Pl,Ф, ^ г) 3 дд2 (Pl,Ф, ^ г) Л-= л

др

др

(6) (7)

К К

де р1 = —; р0 =-; р2 = 1; К0 - внутрiшнiй радус цил1ндра; К - радiус меж1 шарiв; Л, - коефiцiент

К К

теплопровщносп,

у, — щшьшсть, с, -питома теплоемнiсть,

сзГз

температуропровщносп s -го

коефiцiент

2 а, г (К Л2

шара цилiндра = ——; 8=1,2; г = —; Х = \— I ;

К2 £ V £)

г )тг

Ш(ф, г)= ^ г)Тт ,; V (ф, ; «1 (ф, г) , вфр, г)е С(0,2п).

Л1 (Ттах — «0 )

Л2 (Ттах — «0 )

Тодi рiшення крайово! задачi (3)-(7) в, (р, ф, г, г) е двiчi неперервно диференцшованим по р , ф, 1

в областi D i неперервним на О [5], тобто в, (р,ф, г, г)е С 2,1 (О) П С (О ), а функцп Ш (ф, г), V (ф, г) , в, (р, ф, г, г), можуть бути розкладеш в комплексний ряд Фур'е [5]:

в3 (р,ф, z, г) в,,п р г гу

ш (ф, г ) Шп (г)

V (ф, г ) п=—да . ^ (г) ,

г ех

р(тф),

(8)

де

:,п (р, ^ X)

Ж (г) Vn (г)

, 2п

— Г

2п I

, р, р, г, XУ

Ж (р, г ) V (р, г )

• exp(-inрi)dр;

9^ (р, г, X) = 9$ (р, г, X) +1 9$ (р, г, X); Уп (г) = ^(г) +1V® (г); Wn = Ж(1 (г) +1 W]S2)(г); 1-уявна одиниця.

З огляду на те, що 9, (р, р, г, X) функци дшсш, обмежимося надалi розглядом 9,п (р, г, X) для п=0,1,2,...,тому що 9,п (р, г, X) i 9,-п (р, г, X) будуть комплексно спряженими [5]. Щдставляючи значения функцiй з (8) у (3)-(7) одержимо систему диференщальних рiвнянь:

д9

(/) д 290') ,чд9(т-)

д X

с початковими умовами

з граничними умовами

д X2

,(0

'Г"п

д X

= а

(р, г,0)= 0,

д29() , д90 2 д 9^+19,п -п_9(о + х 9(о

- 2 ,,п л 'иэ,п

др 2 р др д9,Ц (р, г,0)

дX

= 0,

р

(9)

(10)

* д9Р

Г 1,п

др

С-XX

dZ = )(г), Г

р=р0

X д9~г)

2,п

др

С-±

. т—

р=р2

= VI1 }(г)

(11)

9(0

э,п

(р,0, X )= 0,

9 (¿)

э,п

(р,1, X )= 0

(14)

умовами идеального теплового контакту

^ р, г, X) = 9^п р, г, X),

, 9 (Р1, г, X) , 9 Ср1, г, X)

А-1-= ^2

(12) (13)

др др

(1) 2

де щ = -оп; Зп = оп; т1 = 2, т2 = 1; ; 1,8=1,2.

Застосовуемо до системи диференцiальних рiвнянь (9) з умовами (10)-(13) штегральне перетворення Лапласа[6]:

~ (, )=Г / (т) е - 6т.

В результатi одержуемо систему диференщальних рiвнянь

^ (Л/~ ( ^ ^ 2Я(°

(г) + о(0(9К>

граничними умовами

д9

(О

1,п

др

)(г),

р=р0

д29^ I дё^_п2 (0 _^

т + - Т 9э,п + X т

2 р др 2 дг 2

д

2~(г)

др 2 р др р = VI )(г )

д~(г) 2,п

др

р=р2

(14)

(15)

~(0

э,п

(р,0, X )= 0,

~(0

э,п

(р,0, X )= 0,

(16)

умовами щеального теплового контакту

е

~(0 р, г) = 022) р, г),

Л д~(п)(Pl,г) Л д~£)(рl,г) Л-~-= Л2 ■

де

др

Ш^Ь {1 + 1 ; ) = V*)(г)(1 + Т'

V ,Тг) V ,Тг)

др

(1,8=1,2).

Застосовуемо до системи диференщальних рiвнянь (14) штегральне перетворення Фур'е:

_ 1

I (Л ) = I I (х) яп(п • т • х) ах,

0

де Лт = п • т ; т=1,2, .. ,,а формула оберненого перетворення мае вигляд:

(17)

(18)

1(х) = 21 81п(п • т • х) • 1(Лт ) .

т=1

В результат одержуемо систему звичайних диференцiальних рiвнянь:

+4 Щт Кт^ П+Т- 2в£) =а2

ё

2 ~(2) ё~ (г) 2 _ _

+1 ав ^ — п_340 — уЛ} ~(г)

ёр2 р ёр

р

з граничною умовою

д в

(г)

1,п

др

= Ш()

д в

(г)

2,п

др

р=р0

=^)

Г V,

р=р2

умовами щеального теплового контакту

$ (р1, г) = р, г),

(19)

(20)

(21)

(22)

а д (Pl, г) , д (Pl, г)

Л1-= Л2-.

др др

Для розв'язання крайово! задачi (20)-(23) побудуемо iнтегральне перетворення:

2( ) рр 20 (Мп,кр) р (^п,кр)

1 (^п,к )= | а(р) р f(рРр = I | -~2-

р0

рf (р)ёр,

,=1

р,—1

(23)

(24)

де

<0 (Мп,кр\ а(р) ~

81 22

(Рпк Л -р

а1

( Рпкк Л

а 2 якщо р е р0, р1)

а2

р

, а| якщо ре р,р2)

Влaснi функцп 80 (^п,к рр мають вигляд:

Л

Qi

Mn,k а\

Р

Un,k ai

Р

¥

Л

Р1

де Л

f

( Un,k Л Р

a2

Unkk

ai

un,k

ai

-Ро

Mnkk a1

( Mnkk ^

— Р

ai

Q2

un,k

a2

Р

Un,k

a2

Р

¥

Un,k

a2

(25)

Pi

- J'n

¥

Un,k

a2

Р

Unkk

a2

Y '

-L M

Mn,k

a2

-Р2

un,k

a2

j \

Р

- j '

О m

un,k

ai

un,k

a2

Ро

-Р2

( Mk Л

ai

Р

un,k

a2

Р

; j. (x), y. (x ) - функцй'

Бесселя 1го i 2го роду nго порядку вiдповiдно[5].

Власш значения un k знаходяться i3 розв'язку трансцендентного рiвняння:

Un,kJ'n

(и

n,k

-Р!

H

f и л

n,k

-Pi

aiJn

( и ^

n,k

-Pi

¥

(а А

n,k

-Р1

(26)

де H

( Unk Л

a2

Р

Un,k

a2

Y '

n

Un,k

a2

Р2

J ' n

( Mnk Л

a2

Р

- J ' n

Un,k

a2

Р2

Un,k

a2

Р

; <y =

h h

Формула оберненого перетворення мае вигляд:

„/ ч ^ Q0 (Un,kР)

f (p)=I -Cj2

n=1 ||Q0 \Mn,kР)|

f (Un,k ^

де

(27)

||Q0 (Un,k р|

2 _ Pi

2ai

1-

2 2 n ai

~2 2 Mnk Р1

+

Un,kJn

Un,k a1

Pi

a1 Jn

Un,k a1

Pi

!> +

Р22

2af

1-

22 n a 2

2 2 Mn,k Р2

¥

Mn,k a2

Р2

¥

Mn,k

a2

Pi

Р1

2a|

( 2 2 > 1 n a2

1- 2 2

Un,k Р1

+

H

Un,k a2

Pi

¥

Un,k

a2

Pi

Застосовуемо до системи диференщальних рiвнянь (20) з умовами (21)-(23) iнтегральне перетворення (24), де власш функцй' Qs (jun k р) визначаються по формулам (25), а власш значення ип k знаходяться iз розв'язку трансцендентного рiвияння (26) i враховуючи позначення (1), в результатi

одержуемо систему звичайних алгебрачних рiвиянь ввдносно djf^ :

m

m

= er

2

2

2

sвjг) + 4 ) + тв) 1 + М в) = ЯпЛ

Уп,к "П,к — ~ (г)

Чп,к

(28)

де Яп,к = м1пк +хЛт; . пП к = р0<1

а1

-р0

] + 8 2

^ 1 ) , 1=1,2.

а2 )

Розв'язавши систему рiвнянь (28) одержуемо:

~ (г) = 2 + , + Яп,к )+(— 1)2+1споПИк)(1 + ,Тг )

(тг, 2 + , + Чп,к ) +®2 п 2 (1 + ятг )2

(29)

Застосовуючи до зображення функцiй (29) формули оберненого перетворення Лапласа одержуемо оригiнaли функцш:

вН^к,г)= II£п,к^ ^ )• [^т^у + 1)+тсп1 ]+ПП2& )\тсп — (2тrSJ +1)1 ]}• 1=1 4

е*' г —11 + I ^п,к

• (е'1 г — 1

- IIСп,к ^ ^к (?у М^у + 1)—ТгСп1 ]+пП2к \Тсп + (2Тг,у +1)/]} (30)

1=3

п, к(з

вп '(Ипк, г )= IZn,k\3J ^РГк ^ "итг,; +1)

1=1

Ту,у + \)+тгап/]—П^к (,у )-[тгюи — (¿Ту,у +1)/]}•

е*1 г —1 I + > с„к(,

I Спк ^ ^кЫ!2^ + 1)—тгСп1]—ПП1 ^^тсп + г, 1 +1)1 ]}

(31)

1=3

' е^ г —1

де Сп,к (?1 )=

0.5,

—1

(2тrSJ +1)2 + (тгоп)г

, а значення для j=1,2,3,4 визначаються за формулами

^,2 = -

(тгош — 1)±^(1 + тгсот)2 — 4тгдп к (тгош +1)±д/(1 — тгош)2 — 4тгдпк

-^-~, 5,3,4 =---—

2тг

2тг

гг Таким чином з урахуванням формул обернених перетворень (8),(19) i (27) одержуемо температурне поле кусково-однорвдного кругового цилiндрa в напрямку полярного радуса , який обертаеться з постшною кутовою швидк1стю о навколо ос 02 , з урахуванням шнцево! швидкостi поширення тепла:

в(р,ф, г, г )= I

I (2 I[ в(1 (Ипк, г) +1 • вп2(^п,к, г) ]81п(п т г)

к=1 \ т=1

де значення в(1 (р.пк, г) \ в}2 («п,к, г) визначаються по формулам (30),(31).

<0 (Ип,к р) <0 (Мп,кр)||2

• ех

Р(гпф),

Висновки

У стaттi знайдено температурне поле кусково-однорiдного кругового цилшдра в напрямку полярного радуса, який обертаеться з постiйною кутовою швидшстю навколо осi 02 , з урахуванням шнцево! швидкосп поширення тепла, у виглядi збiжних ортогональних рядiв по функцiям Бесселя i Фур'е. Знайдений анал1тичний розв'язок узагальнено! крайово! зaдaчi теплообмiну цил1ндра, який обертаеться, з урахуванням сшнченносп величини швидкостi поширення тепла може знайти застосування при модулюванш температурних пол1в, якi виникають у багатьох техшчних системах (в супутниках, прокатних валках, турбшах i т.i.).

п=—да

Список використаноТ лггератури

1. Бердник М. Г. Математичне моделювання тривимiрно! узагальнено! задачi теплообмiну суцiльного цилшдра, який обертаеться / Бердник М. Г. // Питання прикладно! математики i математичного моделювання. Днiпропетровськ. -2014.- С. 26-35.

2. Конет I. М. Гiперболiчнi крайовi задачi в необмежених тришарових областях / I. М. Конет, М. П. Ленюк. // Львiв. - 2011. - 48 с.

3. Голицына Е. В. Математическое моделирование температурного поля в полом вращающемся цилиндре при нелинейных граничных условиях / Е.В. Голицына //Теплофизика высоких температур. - 2008. - Т. 46. -№ 6. - С. 905 - 910.

4. Громик А. П. Нестацюнарш задачi теплопроввдносп в кусково-однорвдних просторових Середовищах / А. П. Громик, I. М. Конет. // Кам'янець-Подтський : Абетка-Свгг. - 2009. - 120 с.

5. Маркович Б. М. Рiвняния математично! фiзики / Маркович Б. М. - Львiв: Львiвська полггехшка. - 2010. - 384 с.

6. Лопушанська Г.П. Перетворення Фур"е, Лапласа: узагальнення та застосування /Г.П. Лопушанська, А.О., Лопушанський, О.М. М"яус // Львiв: ЛНУ iм. 1вана Франка. - 2014. - 152 с.