Математическое моделирование температурных полей в полом вращающемся цилиндре Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.24

М.Г. БЕРДНИК

Державний вищий навчальний заклад "Нацюнальний прничий ушверситет"

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТЕМПЕРАТУРНИХ ПОЛ1В В ПОРОЖНИСТОМУ ЦИЛ1НДР1, ЯКИЙ ОБЕРТАСТЬСЯ

В дант po6omi представлено порожнистий цилтдр як спрощену модель прокатного валка. Цилтдр знаходиться пiд впливом теплового потоку, який вiдо6ражаe дт розжареного металевого листа на валок. Розроблена тривимiрна математична модель температурних полiв у порожнистому цилiндри, який обертаеться з постшною кутовою швидюстю а навколо оа OZ, у виглядi крайово'1 задачi математично'1 фiзики для рiвняння теплопровiдностi. Знайдено температурне поле порожнистого цилтдра , який обертаеться з постшною кутовою швидюстю навколо оа OZ сюнченно'( довжини L, у виглядi з6iжних ортогональних рядiв по функцiям Бесселя i Фур'е.

Ключовi слова: комплексний ряд Фур'е, iнтегральнi перетворення Ханкеля, Лапласа, Фур'е, критерт Предводтелева, трансцендентне рiвняння.

М.Г. БЕРДНИК

Государственное высшее учебное заведение "Национальный горный университет"

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ В ПОЛОМ

ВРАЩАЮЩЕМСЯ ЦИЛИНДРЕ

В данной работе представлен полый цилиндр как упрощенная модель прокатного валка. Цилиндр находится под влиянием теплового потока, который отражает действие раскаленного металлического листа на валок. Разработана трехмерная математическая модель температурных полей в полом цилиндре, который вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси OZ, в виде краевой задачи математической физики для уравнения теплопроводности. Найдено температурное поле полого цилиндра, который вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси OZ длины L, в виде сходящихся ортогональных рядов по функциям Бесселя и Фурье.

Ключевые слова: комплексный ряд Фурье, интегральные преобразования Ханкеля, Лапласа, Фурье, критерий Предводителева, трансцендентное уравнение.

M. G.BERDNYK

State Higher Education Institution "National Mining University"

MATHEMATICAL MODELING OF TEMPERATURE FIELDS IN A HOLLOW ROTATING

CYLINDER

This paper presents a hollow cylinder as a simplified model of the roll. The cylinder is under the influence of heat flow, which reflects the effect of the heated metal sheet on the roll. A three-dimensional mathematical model of the temperature field in a hollow cylinder, which rotates at a constant angular velocity about the OZ axis, in the form of a boundary value problem of mathematical physics for the heat equation. Found a hollow cylinder temperature field which rotates at a constant angular velocity about the OZ axis length L, as convergent orthogonal series of Bessel and Fourier functions.

Keywords: complex Fourier series, integral Hankel transform, Laplace, Fourier criterion Predvoditeleva, transcendental equation.

Постановка проблеми

1сторично склалося, що в Укршт розвинута мережа металургшних пвдприемств, на яких виробляють значну частину светового випуску стал1[1]. При прокат металевих лиспв металевий розжарений лист до температури 1200° С рухаеться за допомогою валив. При цьому валки можуть сильно нагр1ватися i, при досягнеш певних критичних температур, деформуватися. Що в свою чергу викликае брак виробництва [1 - 3]. Отримання геометрично правильних розмiрiв прокату, зниження витрат прокатних валив, на пряму залежить вщ здатносп управлшня тепловим профшем валив, оперативним управлшням !х тепловим розширенням по всш довжиш бочки валка [3].

При розглядi ряду питань, пов'язаних з штенсифжащею виробництва, отримання нового сортаменту, що вимагае жорсти поля допусив, як по площинносп, так i поперечно! рiзнотовщинностi, змушуе прокатниив все бшьше уваги звертати на тепловий стан валив [4 - 6]. Отже виникае необхвдшсть аналiзу температури валка та аналгтично вирахувати необхщне охолодження для нього[ 5 ].

У з'вязку з щм, теоретичный i практичный штерес представляе вивчення теплових явищ, пов'язаних iз охолодженням валков. В данш роботi представлено порожнистий цилiндр, як спрощену модель прокатного валка, який знаходиться тд впливом теплового потоку. Тепловий потж, який дiе на валок, е наслiдком взаемодп з розжареним металевим листом.

Анализ останшх досл1джень i публiкацiй

Як показуе огляд лiтератури, теплообмiн в цилшдрах, якi обертаються, вивчений в даний час ще недостатньо [7, 8]. В [9] показано, що чисельш методи дослiдження нестацiонарних неосесиметричних задач теплообмiну цилiндра , який обертаеться, е не завжди ефективними, якщо мова йде про обчислення при великих швидкостях обертання [9].

В [9] доводиться, що умови стшкосл обчислень в методах шнцевих елементiв i к1нцевих рiзниць, що застосовуються до розрахунку нестацiонарних неосесиметричних температурних полiв цилiндра, який обертаеться, визначаються аналогiчними характеристиками. Цi умови мають вигляд:

1 - г 0 ■ -±--Р± >_ 0,

Ар2 Ар 2

де Fo - критерiй Фур'е, Рй - критерш Предводiтелева.

Якщо Рй = 105, що ввдповщае кутовiй швидкостi обертання металевого цилiндра а = 1,671 сек-1 радiусом 100 мм, змшш Ар и АFo повиннi бути шдпорядковаш таким умовам:

Ар< 2 • 10-5 i АFo < 2 • 10-10.

Для рiвномiрно охолоджуваного цилiндра за умови Ы = 5 (Ы - критерш Бю) час, необхiдний для того, щоб температура досягла 90% стацюнарного стану, дорiвнюе Fo « 0.025 . Це означае, що потрiбно

принаймш здiйснити 1.3 10 операцш по часу для того, щоб було досягнуто стацiонарний розподш температури. Бiльш того, потрiбно ввдзначити, що протягом одного циклу обчислень потрiбно здiйснити

3.14 • 105операцiй, так як внутрiшнiй стан у шльщ характеризуеться 3.14• 105точками. У результатi видно, що число обчислень, необхвдних для отримання чисельного результату видаеться нереальним.

Тому, для виршення крайових задач, яш виникають при математичному моделюванш тривимiрних нестацiонарних процесiв теплообмiну в цилшдрах , яш обертаються, будемо застосовувати штегральш перетворення.

Мета стати

Розробити тривимiрну математичну модель розподшу температурних полiв у порожнистому цилшдри, який обертаеться з постiйною кутовою швидк1стю а навколо осi 02 у виглядi крайово! задачi математично! фiзики для рiвняння теплопровiдностi, та знайти ршення отримано! крайово! задач^ розв'язки яко! використовуються пiд час керування температурними полями.

Основная часть

Розглянемо розрахунок нестацiонарного неосесиметричного температурного поля порожнистого цилiндра в цилiндричнiй системи координат (г, р, 2), який обертаеться з постшною кутовою швидк1стю а навколо оа 02 ск1нченно! довжини Ь, теплофiзичнi властивостi якого не залежать ввд температури, а внутрiшнi джерела тепла вiдсутнi. У початковий момент часу температура цилшдра постiйна О0 , а на зовнiшнiй i внутрiшнiй поверхнi цилiндра температура вщома i залежить ввд часу 0(р, 2, t) 101 (р, 2, I) вщповщно.

Математично задача визначення температурного поля цилшдра Т(р,р, 2, t) складаеться в iнтегруваннi диференщального рiвняння теплопровiдностi [10] в обласп В = {(р, р, 2, t) р е (р0,1), р е (0,2^), ъ е (0,1), Fo е (0, да) }, що з урахуванням прийнятих допущень запишеться у видг

дв дв д 2в 1 дв 1 д 2в д 2в д Fo д р др2 Р др р2 д р2 дг2

с початковою умовою

в(р,р, 2,0)= 0 (2)

i граничними умовами

в(р0,р, 2, t ) = Ж (р, 2, Fo ), в(1,р, 2, t ) = V (р, 2, Fo ), (3)

в(р,р,0, Fo ) = 0, в(р,р,1, Fo )= 0, (4)

Т ( 2 t) ((

де в = Р р2 ^—0 - вщносна температура цилiндра; Ттах = тах((р, 2,1), 0\((р, 2,1)}; 1 -час;

Ттах — (0

р, 2,г

1

р = — ; Я - зовнiшнiй радiус цилiндра; х = (Я^) ; а = — - коефщент температуропроввдностц Я су

у — щшьтсть середовища; Л - коефiцieнт теплопровщностц с-питома теплоeмнiсть; ^о = а • Я 2 -

2

критерiй Фур'е; Рё =--критерш Предводiтелева; Ж(р, 2, ) , К(р, 2, ^о ) е С(б) .

а

Тодi рiшення крайово! задачi (1)-(4) в(р, р, 2, ^0 ) е двiчi неперервно диференцiйованим по р i р, 2, один раз по t в обласп D i неперервним на Б [10], тобто в(р, р, 2, ()е С 2,1 (Б ) П С (б ), а функци Ж(р, 2, ^ ) , V(р, 2, ^0 ) , в(р,р, 2, ) можуть бути розкладеш в комплексний ряд Фур'е [11]:

'^рр ^ ^0 у вп (р 2, ^0 У

V(р, 2, ^0 ) Кп (2, Р0 )

Ж(р, 2, Р0 ) п=—ю . Жп (2, Р0 ),

• ех

р(7«р),

(5)

де

вп (Р, 2, р0 У

Кп (2, Fо ) Жп (2, ^ ),

, 2п

2п

0

'в(р,р, ^ ^0 у

V (р, 2, ^0 ) Ж(р, 2, ^0 )

• ехр(—тр)ёр,

( 6)

де вп (р, 2, ^0 )=в,(1)(р, 2, ^0 )+ /^(р, 2, ^0 ), Уп (г, ^ ) = У^, ^) + / уП2)(г, ^) , Wn (г, ^0 ) = ^^г, ) + / W]n2)(z, ), / - уявна одиниця. (7)

З огляду на те, що в(р, р, 2, ^0 ) функцiя дiйсна, обмежимося надалi розглядом вп (р, 2, ^0 ) для п=0,1,2,...,тому що вп(р,2,) i в—п(р,2,^0) будуть комплексно спряженими [11]. Пiдставляючи значення функцiй з (5)-(7) у (1)-(4) одержимо систему диференцiальних рiвнянь:

5 ^

с початковими умовами i граничними умовами

в+З )вт)=+1 в—п2 в{') + х М.

др

О ' ^ О вп + х о

2 р др р2 д22

^ }(р, 2,0)= 0,

вп )(р0,2, ^0 )= Жп()(2, ^0 ), вп\1,2, ^0 ) = ^ ^0 ) в^ )(р,0, ^0 )= 0, в^' )(р,1, ^0 )= 0,

(8)

(9)

(10) (11)

(1) 2

де Зп = —®п; Зп = ®п; Ш1 = 2 ; Ш2 = 1 ; 1=1,2.

Застосовуемо до системи диференщальних рiвнянь (8) iнтегральне перетворення Ханкеля [13]:

1

/ ("п, к )= Jрf (р) ^п,к ("п,к р) лр-

р0

(12)

де ^п,к "п,к р)= Кп "п,к р0 Уп ("п,к р)— Уп ("п,к р0 К ("п,к р); Уп (4 Кп (х) - фУнKЦií Бесселя 120 i

г* го го •

2 роду п порядку ввдповщно; "п к - корш трансцендентного рiвняння

Кп ("п,кр0 Уп ("п,к ) — Уп (" п,к р0 К (" п, к ) = 0, яш можна знайти по формулi [4]:

"п, к = 3 + Р5~1 + (ч — Р2 +(г — 4 РЧ + 2 Р3 +...,

де 8 = кп(р -1) ; р = (т- )-1; Ч = 4(т - 1)(т - 25)(р03 - 1^3(р0 - )3 ;

г = 32(т - 1)(т2 - 114т +1073)(р05 - 1)[5(8р0)3(р0 -1)]"1; т = 4п2. Формула оберненого перетворення мае вигляд:

лР)= е^М ) "3)

к=0 Кк

де Кк 112 = 2 ,к («п,к )]2 - р0 К,к («п,кр0 )Р }; ^'п,к («п,кр0 ): В результатi одержуемо систему диференщальних рiвнянь:

й^пк (Щп,крр) й («п,к р)

р=р0

в + № ) = ."й- кк, 2, ^)- + Х^ <14)

д ^ д2

с початковими умовами

в«, 2,0)= 0, (15)

i граничними умовами

О^«к ,0, Fo )= 0, в )«п, к ,1, Fo )= 0, 1=1,2. (16)

де П^к(«п,к,2,Fo)= «п,к[р0^п,к(«п,кр0К^ ,к(«п,кИ'")]; 1=1,2.

Застосовуемо до системи диференцiальних рiвнянь (14) iнтегральне перетворення Фур'е [13]:

1

/(Лп ) = | /(х) *1п(ж • т • х) ах ,

0

де Лт = п • т ; т=1,2, .. ,,а формула оберненого перетворення мае вигляд:

да

/ (х ) = 2 X 81п(п^ т • х) • / (Лт ). (17)

т =1

В результап одержуемо систему звичайних диференцiальних рiвнянь:

йв

)

+ )=ПЩк (Ипк ,Лт, Fo )-(«2,к +ХЛ2т }в(') (I8)

й ^

с початковими умовами

вп)(мп, к ,Лт ,0)= 0, (19)

де 1=1,2.

Застосовуемо до системи звичайних диференщальних рiвнянь (18) штегральне перетворення Лапласа [13]:

да

,-ят

/ (я )=| / (т) т

1т.

0

В результатi одержуемо систему алгебра!чних рiвнянь ввдносно вЩ^ :

я в® + 3$ • ] = П% «к , Л, я)- («1к + Л2т в (20)

де 1=1,2.

Застосовуючи до зображення функцiй (20) формули оберненого перетворення Лапласа [13], одержуемо орипнали функцш:

f(0

(Мп, j, Рп

Fo

, F0) =J 0

(Mn,k, F0) • cosnPd(Fo - F0) + (ПW,4m,F0)sin nPd(Fo - F0)

exp

+ xen)(F0- F0 )}dF0

(21)

де ^ =-1, ¿2 = 1; i=1,2.

Таким чином з урахуванням формул обернених перетворень (13), (17) одержуемо температурне поле порожнистого цилiндра який обертаеться з постшною кутовою швидк1стю со навколо осi OZ довжини L :

в(р,д>, z, t )= X

21(2lfe(l)(t) + i •Oni)(t) ]srn(*m z)

kn,k ("n,k P)

k=1 \ m=1

'A Ik

n,k

• ex

p(inp)

(22)

де значения ) , oj^(t) визначаються по формулам (21).

Висновки

Знайдено температурне поле (22) порожнистого цилiндра, який обертаеться з постiйною кутовою швидшстю со навколо осi OZ сшнченно! довжини L, у виглвд збiжиих ортогональних рядiв по функщям Бесселя i Фур'е. Знайдений аналггачний розв'язок крайово!' задачi теплообмiну цилiндра, який обертаеться, може знайти застосування при моделюваннi температурних полiв, яш виникають у багатьох технiчних системах (в супутниках, прокатних валках, турбшах i т.i.).

Список використаноТ л^ератури

Калiнiченко В. Вплив експлуатацiйних факторiв на напружено-деформований та граничний стан ролишв машин безперервного лиття заготовок / Калшченко В., Гопкало Н. // Вюник ТДТУ. -2010. - Том 15. - № 1. - С. 41-51.

Домбровский Ф.С. Работоспособность наплавленных роликов машин непрерывного литья заготовок / Ф.С. Домбровский, Л.К. Лещинский // - К.: Институт электросварки им.Е.О.Патона, 1985. - 198с.

Будаква А.А. Профилирование валков листовых станов/ А.А. Будаква, Ю.В. Коновалов, К.Н. Ткалич, и др. // - К.: Техшка, 1986. - 190 с.

Капланов В. И. Некоторые вопросы к проблеме охлаждения прокатных валков / Капланов В.И., Петренко А. С., и др. // Вюник Приазовського державного техшчного ушверситету. Серiя: Техшчш науки.- 2010 р. Вип. №20. - С. 94-97.

Гарбер Э. А. Моделирование теплового режима стана холодной прокатки с учетом различий в условиях охлаждения верхних и нижних валков / Э. А. Гарбер, В. О. Гусаров, Е. В. Дилигенский, В. В. Кузнецов // Металлург. - 2005. - N 6. - С. 66-69.

Гарбер Э.А. Моделирование теплового режима валков широкополосного стана горячей прокатки для определения эффективных режимов их охлаждения / Э.А. Гарбер [и др.] //Металлы. - 2009. - N3. - С. 34-47.

Бердник М. Г. Аналггачний розв'язок узагальнено! крайово! задачi Неймана теплообмшу сущльного цилiндра, який обертаеться, з урахуванням шнцево! швидкосп поширення тепла / Бердник М. Г. // Вкник Дшпропетр. ун-та. Сер. «Мехашка» - 2005.- №10. - С. 197-202. Голицына Е. В. Математическое моделирование температурного поля в полом вращающемся цилиндре при нелинейных граничных условиях / Е.В. Голицына // Теплофизика высоких температур. Ноябрь-Декабрь. - 2008. - том 46, № 6. - C. 905 - 910. Kuwashimo Kensuke Temperature distribution within a rotatinq cylindrieal body/ Kuwashimo Kensuke, Yamada Tominori // Bull. JSME. - 1978. - Vol. 21, N 152. - P. 266 - 272. Лыков А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков // - М., Высшая школа, 1967. - 599 С. 11. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных / С.Г.Михлин // - М., Высшая школа, 1977. - 427 С.

Толстов Г.П. Ряды Фурье / Г.П. Толстов // - М., Наука, 1980. - 384 С.

Галицын А.С., Жуковский А.И. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности / А.С. Галицын, А.И. Жуковский // - Киев., Наукова думка. 1979. -561 С.

Грэй Э. Функции Бесселя и их приложения к физике и механике / Э. Грэй, Г.Б. Мэтьюз // - М., 1949. - 386 С.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

9.

10.

12. 13.

2

п=-да