CC BY
47
Библиографический список
1. Атанасян, Л. С. Геометрия 10-11. [Текст] / Л. С. Атанасян. - М., Просвещение. - 2005.
2. Погорелов, А. В. Геометрия 7—11. [Текст] / А. В. Погорелов. - М., Просвещение. - 2001.
3. Ситкин, Е. JI. Вычисление объемов и принцип Кавальєри [Текст] / Е. JI. Ситкин. // Математика в школе. - 2010. - № 7. - С. 18.
УДК 37.01:51
Канкулова Салдуса Хамтиевна
Старший преподаватель кафедры геометрии и высшей алгебры Кабардино-Балкарского государственного университета им. X. М. Бербекова, [email protected], Нальчик
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА КАНКУЛОВА САЛДУСА ХАМТИЕВНА
Kankulova Salduca Hamteevna
Kabardino-Balkaria State University, [email protected], Nalchik
THE MATHEMATICAL DESCRIPTION OF EDUCATIONAL
PROCESS
В ряде работ [1; 2; 3] делаются попытки математического описания учебного процесса. При этом авторы предлагают различные модели обучения. Правда, как отмечается в одной из указанных работ, «непосредственное использование этих моделей для решения задач оптимизации весьма проблематично» [3, с. 23]. И все же рискнем предложить один из вариантов математического описания учебного процесса с целью оптимизации. Для этого воспользуемся формально-аксиоматическим методом. Рекомендация использовать этот метод для решения поставленной задачи дана, например, в работе [4, с. 239].
Сформулируем необходимые определения и аксиомы следующим образом.
Основным объектом изучения дидактики является система, состоящая из обучающих и обучаемых, называется дидактической [4, с. 239]. Элементы дидактической системы могут взаимодействовать между собой как непосредственно, так и посредством учебников, учебных пособий, а также технических средств обучения, к числу которых относятся прежде всего ЭВМ.
Любые процессы, происходящие в дидактических системах и связанные с процессом обучения, называются дидактическими процессами.
Будем характеризовать состояние обучаемого в рассматриваемом процессе тем количеством информации, которое усвоено им к данному вре-
мени. Эту величину обозначим через Б. Измерять 8 можно в битах, как это делается в теории информации. Но для оценки учебной информации такой путь не представляется целесообразным, ибо при этом, как известно, не учитывается смысловая ценность принятых и переданных сообщений.
Оставляя вопрос о единицах измерения учебной информации открытым, отметим, что имеются предложения использовать для рассматриваемых целей стаб [1, с. 66], Хартли [5, с. 30], СЕД (семантическая единица информации) [3, с. 70].
При протекании дидактического процесса величина 8 непрерывно изменяется. Это изменение описывается уравнением вида 8(1). Функции этого вида, т. е. функции, выражающие явным образом зависимость количества усвоенной информации от времени, будем называть потоками усвоенной информации.
Первая производная по времени от потока усвоенной информации называется скоростью дидактического процесса. Обозначая эту величину через V, имеем V = £. Единицей измерения скорости дидактического процесса является единица учебной информации в секунду. Так, при чтении (по экспериментальным данным) информация обрабатывается со скоростями порядка 20-80 бит/с [6, с. 239].
Величина, которая характеризует действие на элемент дидактической системы, изменяющее объем усвоенной информации, называется силой дидактического воздействия. Примерами таких сил являются: сила дидактического воздействия обучающего, сила дидактического воздействия какого-либо технического средства обучения (ЭВМ, устройства контроля знаний и т. п.), сила сопротивления дидактическому процессу, сила забывания учебной информации, сила умозаключения.
Используя понятие силы дидактического воздействия, примем следующие аксиомы.
Аксиома 1. Сила дидактического воздействия какого-либо источника на элемент дидактического системы равна скорости изменения потока изучаемой информации за счет действия указанного источника.
Аксиома 2. При действий на элемент дидактической системы нескольких источников дидактического воздействия одновременно силы дидактического воздействия складываются алгебраически.
Аксиома 3. Если какой-либо элемент дидактической системы действует на другой, то сила дидактического воздействия второго элемента на первый равна нулю.
Первая аксиома определяет силу дидактического воздействия как меру влияния одних элементов дидактической системы на другие. Из нее следует, что единица измерения силы дидактического воздействия совпадает с единицей измерения скорости потока изучаемой информации. Будем обозначать силу дидактического воздействия через Т. Примерами могут служить следующие выражения сил:
- сила дидактического воздействия обучающего: Г = Н, Н = Н(0 - поток сообщаемой информации;
- сила сопротивления дидактическому процессу: Тг =-г8, где г - коэффициент сопротивления;
- сила забывания учебной информации: Т=-/5, /- коэффициент забывания;
- сила умозаключения: Тс=С5, С - коэффициент умозаключения.
Вторая аксиома формирует правило сложения сил дидактических воздействий. Согласно этой аксиоме принимается, что источники дидактических воздействий на обучаемого не зависят друг от друга.
Из первых двух аксиом следует, что дидактические процессы описываются следующими уравнениями:
где V — скорость дидактического процесса ву'-м элементе дидактической системы; Т. — сила дидактического воздействия на ]-я элемент ьго источника; п - число источников дидактического воздействия; к - число элементов дидактической системы.
Равенство (1), выражающее связь между скоростью дидактического процесса в каком-либо элементе дидактической системы и силами дидактических воздействий на него, называется основным уравнением дидактики.
Последнее говорит о том, что скорость дидактического процесса в каком-либо элементе дидактической системы равна алгебраической сумме всех сил дидактических воздействий на этот элемент.
Третья аксиома дидактики необходима для описания взаимодействий между элементами дидактических систем.
Основное уравнение дидактики позволяет решать задачи следующих типов:
1) считая поток информации известным, найти неизвестную силу дидактического воздействия;
2) считая все силы дидактического воздействия известными, найти вызываемый ими поток информации;
3) считая некоторые силы дидактического воздействия известными, а все другие - управляемыми, найти такие зависимости последних от времени, чтобы поток информации обладал характеристиками, заданными заранее.
Указанные типы задач называются соответственно первой, второй и третьей основными задачами дидактики.
Рассмотрим примеры применения изложенной выше теории.
Пример 1. Экспериментально установлено, что забывание информации человеком в первые часы после ее получения можно описать экспоненциальной функцией [7, с. 164]. Исходя из этого, найти выражение силы забывания. Вычислить показатель экспоненты, приняв, что (по экспериментальным данным) усвоенная информация за первые два часа уменьшается на
Обозначим количество усвоенной информации к некоторому моменту времени, принимаемому за начальный, через 80. Согласно эксперименталь-
П
55% [8, с. 99].
ным данным изменение количества усвоенной информации вследствие забывания описывается уравнением
£ = 1 ф
где/- постоянный коэффициент. На основании первой аксиомы дидактики получим
Г,=5' = -А<г"/'=-/5.
Для оценки величины / (коэффициент забывания) воспользуемся опытными данными. Имеем
SL=S0,S\W' = 0,45S0
Подставив условия для t=tl в уравнение (2), получим 0,45 =е , откуда
/=1,110"V!
Пример 2. За промежуток времени tj=3600с обучающемуся удалось увеличить за счет умозаключения количество исходной информации на 10%. Считая силу умозаключения пропорциональной потоку усвоенной информации, найти ее выражение. Принять коэффициент забывания постоянным и равным ЮЛг1. Сопротивлением пренебречь.
Основное уравнение дидактики в рассматриваемом случае имеет вид:
v=Tc+Tf
Учитывая, что V = S9 T=cS, T=-fS, и вводя обозначение C-f= т, получим S=mS=0. (3)
Параметр т можно назвать коэффициентом усвоения.
Равенство (3) является линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Его решение имеет вид
S=S0 ет.
Подставив сюда конечные условия = 1>15о, найдем 1,1 = е*'\ откуда
т ~ 2,65 • 1СГ5 с”’ ^ с = 1,265 -КГ4 с*
Таким образом, при указанных условиях Г = cS, где коэффициент
умозаключения с равен 1,265-10'4с-1 .
Пример 3. Считая силу дидактического воздействия обучающего на обучаемого постоянной и равной Т , а силы забывания и умозаключения обучаемого пропорциональными количеству усвоенной информации, найти выражения потока усвоенной информации. Соответствующие коэффициенты равны / и с. Сопротивлением пренебречь. Вычислить значения Г и с, приняв, что/ = 3-10 с . и чхо по оценкам эксперимент при нулевой начальной информации к моменту времени tx - 2400с обучаемый усвоил 240 стабов учебной информации, а к моменту времени^ = 4800с - 280 стабов [1,с. 24].
Основное уравнение дидактики в рассматриваемом случае имеет вид
V=TH+T+Tp откуда
S-mS = T,( 4)
где m— c-f, Тн= const.
Проинтегрировав уравнение (4), найдем:
где количество информации, усвоенной к началу рассматриваемого дидактического процесса.
Уравнение (5) является искомым. Если положить ^0—0, то оно примет форму:
Для оценки величины силы дидактического воздействия коэффициента умозаключения воспользуемся экспериментальными данными [1, с. 24].
Судя по этим данным, к моменту времени \ =2400 с было усвоено 210 стабов учебной информации, а к моменту ^=4800 с - 280 стабов. Подставив эти данные в уравнение (6) и решив полученную при этом систему уравнений относительно т и Т}г найдем^ = -45,78 Ю^с'^ с = -42,78? т = 0,144 стаб/с.
Выводы: В данной статье изучен один из вариантов математического описания учебного процесса и сделана попытка его оптимизации.
Выделен основной объект дидактической системы и отмечено, что элементы дидактической системы могут взаимодействовать между собой, как непосредственно, так и посредством учебников, учебных пособий, а также ЭВМ.
1. Авчухова, Р. Э. Некоторые модельные представления при исследовании системы уравнения процессов обучения [Текст]: дисс. канд. техн.наук. / Р. Э. Авчухова. - Рига, 1974, - С. 24. 66.
2. Ительсон, Л. Б. Математические и кибернетические методы в педагогике. [Текст] /Л. Б. Ительсон. - М:, 1964.
3. Леонтьев, Л. П. Проблема управления учебным процессом: Математические модели. [Текст] / Л. П. Леонтьев, О. Г. Гохман. - Рига, 1984, - С. 23, 70
4. Архательский, С. И. Лекции по теории обучения в высшей школе.[Текст] / С. И. Архательский. - М.:, 1974, - С. 239.
5. Шанталова, В. А. Измерение учебной информации, изложенной в тчение одной лекции. [Текст] / В. А. Шанталова. // Научная организация учебного процесса и применение автоматизированных управляющих и обучающих систем в вузах Латвийской ССР, Рига, 1982. - С. 25-32.
6. Беспалько, В. П. Основы теории педагогических систем.[Текст] / В. П. Беспалько. - Воронеж, 1977. - С. 239.
7. Кунисевич, Ч. Основы общей дидактики. [Текст] / Ч. Кунисевич. / Пер. с польского О. В. Долженко. М.: 1986 - С. 164.
8. Невельский, П. Б. Объем памяти и количество информации[Текст] / П. Б. Невельский. // Проблема инженерной психологии. Л: 1965, Вып. 3. С. 99.
171
Библиографический список
