Принцип Кавальери в вычислении объемов и теорема о покрытии круга Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.113

Ситкин Евгений Леонидович

Sitkin Yugine Leonidovich

Mathematics teacher, Educational Center 1874, Moscow, sitking@mail.ru, Moscow

CAVALIERI’S PRINCIPLE OF VOLUME CALCULATION AND THEOREM OF CIRCLE COVERING

В школах учителя работают преимущественно с учебниками геометрии Л. С. Атанасяна [1] и А. В. Погорелова [2]. Привлечение неэлементарных методов в изучении объемов зачастую пугают учеников и учителей: формулы для вычисления объемов тел не выводятся, а заучиваются, что не способствует развитию мышления детей. Если в дополнении к четырем аксиомам объема добавить принцип Кавальери, то вся теория объемов упрощается и легко воспринимается учащимися. В седьмом номере журнала «Математика в школе» за 2010 г. мной подробно изложена методика преподавания этого вопроса геометрии. Но мне хотелось бы показать еще несколько красивых задач на применение принципа Кавальери.

В этой статье рассмотрим доказательство одной замечательной теоремы планиметрии при помощи стереометрических методов, предварительно выполнив несколько шагов для получения площади поверхности шарового пояса.

Шаровой пояс - часть шара, ограниченная двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар.

Шаг первый.

Принцип Кавальери. Пусть семейство параллельных плоскостей а{ пересекает тело А по фигуре А( и тело В по фигуре 2?, и при этом 8(А0:8(В0=к, то и У(А):У(В)=к

Найдем по принципу Кавальери объем шарового сегмента. Впишем шар радиуса R в цилиндр высотой и диаметром основания 2R (рис. 1).

Рисунок 1 - Нахождение объёма шара

Рассмотрим множество точек пространства, которое является разностью между множеством точек цилиндра и множеством точек, являющихся объединением двух равных конусов с общей вершиной в центре шара и основаниями, совпадающими, соответственно, с нижним и верхним основаниями цилиндра. Полученное тело обозначим через А. Любая плоскость, параллельная основанию цилиндра и отстоящая от сечения, проходящего через центр шара, и отстоящая на Ь от плоскости верхнего основания, пересекает шар по кругу, а тело А по кольцу, площади, которых равны между собой. Докажем это утверждение:

АВ2 = Я2 - (Я - К)2 = 2Як -к2 Площадь сечения шара равна.

5 = я(2 Як -к2) = 2 я ЯН - кк2 Так как, АС - Я - к ,то площадь кольца равна. £ = Л В2 - К{Я - И)2 = 2кР.к - пк2 Если площади фигур в сечении любой плоскостью параллельной данной равны между собой, то по Кавальери равны и их объемы. Объем тела, с которым мы сравниваем шаровой сегмент, есть разница объемов цилиндра с высотой Ь и объема усеченного конуса с той же высотой и площадями основания я-д2и л(Я-к)2(рис. 2).

Рисунок 2 - Вычитание двух объёмов

Объем цилиндра равен V = тс Я2 И, а объем усеченного конуса равен:

У = пгД2А-лгДЛ2+-я-А3 3

Из всего этого следует, что объем шарового сегмента равен:

V = кЮгг--пЯ = як2(Я--К)

3 3

Шаг второй.

Найдем объем шарового сектора. Шаровой сектор состоит из двух частей: СеГМеНТа И КОНуса С ПЛОЩаДЬЮ ОСНОВаНИЯ Б = П:(2ЯН-к2) и высотой Я-Ь. Сложив объемы этих тел, получим объем шарового сектора

Шаг третий.

V = лЬ1 (К -1 И)+у л(2Лк - А2 )(К - К) = | я К2 к

Найдем площадь поверхности шарового сегмента. Объем шарового сектора состоит из суммы объемов маленьких конусов с высотой равной радиусу шара Я (рис. 3).

Рисунок 3 - Шаровой сектор

Е^-=у1л'.

Сумма оснований этих конусов образуют в пределе площадь шарового сегмента.

Ыт'У 8 1 = £

ЫтУ 5) К

У _ /г _ - =$

Объем шарового сектора равен ~ ък 7~ 3 ~ 3 ^, что площадь

поверхности шарового сегмента равна 5* = 2лЯН Шаг четвертый.

Найдем площадь поверхности шарового пояса. Чтобы ее вычислить, надо найти разность поверхностей двух сферических шапочек. Пусть высоты этих «шапочек» будут к1 и /г2, тогда искомая площадь будет равна

£ = 2кЯ\= 2ягОД - /?2) =2лЯАк, где Л/г - высота слоя (рис. 4).

Рисунок 4 - Разность двух площадей Как следствие всего этого докажем теорему планиметрии, применяя инструменты стереометрии.

Теорема. Если есть полоски, которые произвольно покрывают круг, то общая ширина полос должна быть не менее 2Я.

Рисунок 5 - Упорядоченное Рисунок 6 - Произвольное

покрытие покрытие

Если расположить полоски, как на рис. 5, то доказательство очевидно, а если расположить произвольно, как на рис.6, то необходимо строгое доказательство. Разместим в пространстве круг и сферу таким образом, чтобы все точки сферы проектировались точно в область круга. Для этого радиусы окружности и сферы должны быть равны (рис. 7). Если провести через границы каждой полоски шириной \ плоскости перпендикулярные плоскости круга, то каждая из них высечет на сфере шаровой пояс высотой Л,. Если полоски покрывают круг, то сумма всех площадей шаровых поясов должна быть больше площади ^ > Ал Я2 сферы. Разделив обе части нашего

неравенства на 2тгЯ, получимА ^ 2Я2 5 что и требовалось доказать.

Рисунок 7 - Размещение сферы и круга

Для учителей должно быть понятно, что интеграл является более тонким инструментом для исследования объемов, чем принцип Кавальери. Тем не менее, использование принципа Кавальери обеспечивает изложение объемов в школьном курсе геометрии, а в некоторых случаях позволяет получить результаты, которые гораздо сложнее получить другим способом.

Вот еще один пример применения принципа Кавальери для нахождения объема шара.

Задача. Можно ли разместить шар и тетраэдр так, что сечение их любой плоскостью, параллельной данным, будет давать фигуры одинаковой площади.

Казалось бы, что это невозможно! Шар и тетраэдр тела разной природы. Но, если возможно, то ответ определяет еще один способ вычисления объема шара - не такой, что в школьных учебниках и у Архимеда [3]. Решение задачи зависит от верного расположения тетраэдра между плоскостями. Проведем две параллельные плоскости, касающиеся шара радиуса К, и построим тетраэдр, у которого два скрещивающихся ребра лежат в этих плоскостях, взаимно перпендикулярны и равны (рис.8). Расстояние между этими ребрами равно 2Я. Сечение шара любой плоскостью, находящегося на расстоянии И от касательной плоскости, есть круг площадью яЬ(2К-Ь). В сечении тетраэдра этой же плоскостью будет прямоугольник. Надо выбрать длину ребер тетраэдра, лежащих в плоскостях а и /? так, чтобы площадь прямоугольника равнялась площади круга. На рис. 9 в сечении получился прямоугольник ОС)8Т, отстоящий от верхней плоскости на расстояние 1Ш= Ь. Пусть длина ребер тетраэдра ЛУГ и ЬК равна х, ОС>=у, а 08=г, тогда ЛУ1:ОС>=Р1чГ:КЫ или х:у = 2Я:Ь, отсюда следует у=х1т/2К.. Выразим другую сторону прямоугольника: ЬК:08=РК:РК или х:г = 2К:(2К-И), отсюда следует г=х(2К-Ь)/2К. Площадь прямоугольника равна ух = х2Ь(2И-Ь)/4К.2 и, одновременно, уг = тгЬ(2Я-11) —> 2• Определив объем тетраэдра с ребром 2> мы’ тем самым> вычислим объем шара. Но объем тетраэдра, два скрещивающиеся которого перпендикулярны, равен разности объемов прямоугольной призмы, в основании которой квадрат, и четырех объемов равных треугольных пирамид:

Рисунок 8 - Размещение двух тел

І

А вот еще одна замечательная задача, решить которую помогает принцип Кавальери: доказать, что любая плоскость, проходящая через середины скрещивающихся ребер тетраэдра, делит объем тетраэдра пополам.

На рис. 10 видно, как две параллельные плоскости пересекают пирамиду, вписанную в параллелепипед, В сечении образуются параллелограммы. Любая плоскость, содержащая отрезок 00] проходит через центры этих параллелограммов и делит их на две равновеликие части. Отсюда следует, согласно принципа Кавальери, равенство объемов тел, полученных в сечении тетраэдра плоскостью.

Рисунок 10 - Центральное сечение

Все рассуждения, приведенные выше, показывают школьникам единство разных разделов математики и разнообразие применяемых методов. Изучение геометрии в школе перестает быть формальным и дети уже не ограничивают себя решениями задач ЕГЭ самого простого уровня сложности.

Библиографический список

1. Атанасян, Л. С. Геометрия 10-11. [Текст] / Л. С. Атанасян. - М., Просвещение. - 2005.

2. Погорелов, А. В. Геометрия 7-11. [Текст] / А. В. Погорелов. - М., Просвещение. - 2001.

3. Ситкин, Е. Л. Вычисление объемов и принцип Кавальєри [Текст] / Е. Л. Ситкин. // Математика в школе. - 2010. - № 7. - С. 18.

УДК 37.01:51

Канкулова Салдуса Хамтиевна

Старший преподаватель кафедры геометрии и высшей алгебры Кабардино-Балкарского государственного университета им. X. М. Бербекова, madinal96868@mail.ru, Нальчик

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА КАНКУЛОВА САЛДУСА ХАМТИЕВНА

Kankulova Salduca Hamteevna

Kabardino-Balkaria State University, madinal96868@/mail.rii, Nalchik

THE MATHEMATICAL DESCRIPTION OF EDUCATIONAL

PROCESS

В ряде работ [1; 2; 3] делаются попытки математического описания учебного процесса. При этом авторы предлагают различные модели обучения. Правда, как отмечается в одной из указанных работ, «непосредственное использование этих моделей для решения задач оптимизации весьма проблематично» [3, с. 23]. И все же рискнем предложить один из вариантов математического описания учебного процесса с целью оптимизации. Для этого воспользуемся формально-аксиоматическим методом. Рекомендация использовать этот метод для решения поставленной задачи дана, например, в работе [4, с. 239].

Сформулируем необходимые определения и аксиомы следующим образом.

Основным объектом изучения дидактики является система, состоящая из обучающих и обучаемых, называется дидактической [4, с. 239]. Элементы дидактической системы могут взаимодействовать между собой как непосредственно, так и посредством учебников, учебных пособий, а также технических средств обучения, к числу которых относятся прежде всего ЭВМ.

Любые процессы, происходящие в дидактических системах и связанные с процессом обучения, называются дидактическими процессами.

Будем характеризовать состояние обучаемого в рассматриваемом процессе тем количеством информации, которое усвоено им к данному вре-