CC BY
62
УДК 37.01:51 К19
Канкулова Салдуса Хамтиевна
Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова
madina196868@mail.ru
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА
Так как любые процессы, происходящие в дидактических системах и связанные с процессом обучения, называются дидактическими процессами, то будем характеризовать состояние обучаемого в рассматриваемом процессе тем количеством информации, которое усвоено им к данному времени.
Ключевые слова: модель, модель обучения, система, дидактическая система, дидактический процесс, сила, аксиома, сопротивление, сила умозаключения.
В ряде работ [1; 2; 3] делаются попытки математического описания учебного процесса. При этом авторы предлагают различные модели обучения. Правда, как отмечается в одной из указанных работ, «непосредственное использование этих моделей для решения задач оптимизации весьма проблематично» [3, с. 23]. И все же рискнем предложить один из вариантов математического описания учебного процесса с целью оптимизации. Для этого воспользуемся формально-аксиоматическим методом. Рекомендация использовать этот метод для решения поставленной задачи дана, например, в работе [4, с. 239].
Сформулируем необходимые определения и аксиомы следующим образом.
Основным объектом изучения дидактики является система, состоящая из обучающих и обучаемых и называемая дидактической [4, с. 239]. Элементы дидактической системы могут взаимодействовать между собой как непосредственно, так и посредством учебников, учебных пособий, а также технических средств обучения, к числу которых относятся прежде всего ЭВМ.
Любые процессы, происходящие в дидактических системах и связанные с процессом обучения, называются дидактическими процессами.
Будем характеризовать состояние обучаемого в рассматриваемом процессе тем количеством информации, которое усвоено им к данному времени. Эту величину обозначим через & Измерять £ можно в битах, как это делается в теории информации. Но для оценки учебной информации такой путь не представляется целесообразным, ибо при этом, как известно, не учитывается смысловая ценность принятых и переданных сообщений.
Оставляя вопрос о единицах измерения учебной информации открытым, отметим, что име-
ются предложения использовать для рассматриваемых целей стаб [1, с. 66], Хартли [5, с. 30], СЕД (семантическая единица информации) [3, с. 70].
При протекании дидактического процесса величина £ непрерывно изменяется. Это изменение описывается уравнением вида £= £((). Функции этого вида, т.е. функции, выражающие явным образом зависимость количества усвоенной информации от времени, будем называть потоками усвоенной информации.
Первая производная по времени от потока усвоенной информации называется скоростью дидактического процесса. Обозначая эту величину через V, имеем V = £. Единицей измерения скорости дидактического процесса является единица учебной информации в секунду. Так, при чтении (по экспериментальным данным) информация обрабатывается со скоростями порядка 20-80 бит/с [6, с. 239].
Величина, которая характеризует действие на элемент дидактической системы, изменяющее объем усвоенной информации, называется силой дидактического воздействия. Примерами таких сил являются: сила дидактического воздействия обучающего, сила дидактического воздействия какого-либо технического средства обучения (ЭВМ, устройства контроля знаний и т.п.), сила сопротивления дидактическому процессу, сила забывания учебной информации, сила умозаключения.
Используя понятие силы дидактического воздействия, примем следующие аксиомы.
Аксиома 1. Сила дидактического воздействия какого-либо источника на элемент дидактического системы равна скорости изменения потока изучаемой информации за счет действия указанного источника.
Аксиома 2. При действии на элемент дидактической системы нескольких источников дидак-
258
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 2, 2011
© Канкулова С.Х., 2011
тического воздействия одновременно силы дидактического воздействия складываются алгебраически.
Аксиома 3. Если какой-либо элемент дидактической системы действует на другой, то сила дидактического воздействия второго элемента на первый равна нулю.
Первая аксиома определяет силу дидактического воздействия как меру влияния одних элементов дидактической системы на другие. Из нее следует, что единица измерения силы дидактического воздействия совпадает с единицей измерения скорости потока изучаемой информации. Будем обозначать силу дидактического воздействия через Т. Примерами могут служить следующие выражения сил:
сила дидактического воздействия обучающего: Тн = Н, Н=Н(') - поток сообщаемой информации;
сила сопротивления дидактическому процессу: Тг = -г£, где г - коэффициент сопротивления;
сила забывания учебной информации: Т= -/£, / - коэффициент забывания;
сила умозаключения: Тс=С£ С - коэффициент умозаключения.
Вторая аксиома формирует правило сложения сил дидактических воздействий. Согласно этой аксиоме принимается, что источники дидактических воздействий на обучаемого не зависят друг от друга.
Из первых двух аксиом следует, что дидактические процессы описываются следующими уравнениями:
V =Ъ», О' = 1,2,...,к), (1)
г=1
где V.- скорость дидактического процесса в ]-м элементе дидактической системы; Т - сила дидактического воздействия на j-й элемент i-го источника; п - число источников дидактического воздействия; к - число элементов дидактической системы.
Равенство (1), выражающее связь между скоростью дидактического процесса в каком-либо элементе дидактической системы и силами дидактических воздействий на него, называется основным уравнением дидактики.
Последнее говорит о том, что скорость дидактического процесса в каком-либо элементе дидактической системы равна алгебраической сумме всех сил дидактических воздействий на этот элемент.
Третья аксиома дидактики необходима для описания взаимодействий между элементами дидактических систем.
Основное уравнение дидактики позволяет решать задачи следующих типов:
1) считая поток информации известным, найти неизвестную силу дидактического воздействия;
2) считая все силы дидактического воздействия известными, найти вызываемый ими поток информации;
3) считая некоторые силы дидактического воздействия известными, а все другие - управляемыми, найти такие зависимости последних от времени, чтобы поток информации обладал характеристиками, заданными заранее.
Указанные типы задач называются, соответственно, первой, второй и третьей основными задачами дидактики.
Рассмотрим примеры применения изложенной выше теории.
Пример 1. Экспериментально установлено, что забывание информации человеком в первые часы после ее получения можно описать экспоненциальной функцией [7, с. 164]. Исходя из этого, найти выражение силы забывания. Вычислить показатель экспоненты, приняв, что (по экспериментальным данным) усвоенная информация за первые два часа уменьшается на 55% [8, с. 99].
Обозначим количество усвоенной информации к некоторому моменту времени, принимаемому за начальный, через £0. Согласно экспериментальным данным изменение количества усвоенной информации вследствие забывания описывается уравнением
£ = V - ■', (2)
где /- постоянный коэффициент. На основании первой аксиомы дидактики получим
г/ = £ = -£в-* =-!£.
Для оценки величины/ (коэффициент забывания) воспользуемся опытными данными. Имеем
8 = 8 8 = 0,45£0
1'=0 0 1/=/, =7200с 0-
Подставив условия для '=' в уравнение (2), получим 0,45 = е~Л, откуда / = 1,1 • 10-4 с4.
Пример 2. За промежуток времени ^=3600 с обучающемуся удалось увеличить за счет умозаключения количество исходной информации на 10%. Считая силу умозаключения пропорциональной потоку усвоенной информации, найти ее выражение. Принять коэффициент забывания
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 2, 2011
259
постоянным и равным 10-4 с 1. Сопротивлением пренебречь.
Основное уравнение дидактики в рассматриваемом случае имеет вид
^Тс+Т.
Учитывая, что V = £, Т=с£, Т== -/£, и вводя обозначение С-/= т, получим
£ = т£ = 0. (3)
Параметр т можно назвать коэффициентом усвоения.
Равенство (3) является линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Его решение имеет вид
£=£д вт'.
Подставив сюда конечные условия £|(_( = 1,1£0,
найдем 1,1 = в"'1, откуда т = 2,65 •Ю-5 с-1,
с = 1,265 -10-4 с"1.
Таким образом, при указанных условиях Те = с£, где коэффициент умозаключения с равен
1,265 •Ю-4 с"1.
Пример 3. Считая силу дидактического воздействия обучающего на обучаемого постоянной и равной Т, а силы забывания и умозаключения обучаемого пропорциональными количеству усвоенной информации, найти выражения потока усвоенной информации. Соответствующие коэффициенты равны/и с. Сопротивлением пренебречь. Вычислить значения Тн и с, приняв, что у=3^ 10-5с 1 и что по оценкам при нулевой начальной информации к моменту времени '1=2400 с обучаемый усвоил 240 стабов учебной информации, а к моменту времени '2=4800 с -280 стабов [1, с. 24].
Основное уравнение дидактики в рассматриваемом случае имеет вид V=ТН+Т+ТГ откуда
Я- т£ = Т, (4)
где т= с-/, ТН =сош'.
Проинтегрировав уравнение (4), найдем
£ = - Тн. + {£ + 1ж. V
Т
£ =^ + (ет/ -1). т
(6)
(5)
где £д- количество информации, усвоенной к началу рассматриваемого дидактического процесса.
Уравнение (5) является искомым. Если положить £д=0, то оно примет форму
Для оценки величины силы дидактического воздействия коэффициента умозаключения воспользуемся экспериментальными данными [1, с. 24].
Судя по этим данным, к моменту времени ^ =2400с было усвоено 210 стабов учебной информации, а к моменту ^=4800с - 280 стабов. Подставив эти данные в уравнение (6) и решив полученную при этом систему уравнений относительно т и ТН найдем т = -45,78-10-5 с-1,
с = -42,78 •Ю-5 с"1, Т = 0,144 стаб/с.
Пример 4. Сила забывания и сила умозаключения обучаемого пропорциональны потоку усвоения информации, причем коэффициент забывания / постоянен, а коэффициент умозаключения в течение занятия продолжительностью т секунд меняется согласно равенству с = Csink', где
С=сош', к = жт- . Сила дидактического воздействия обучающего на обучаемого является непрерывной функцией времени и описывается уравнениями:
а1/ - а2'2 при 0 < 1 <
Ттах при 1 = 11 а3(г-') -а4(г-/)2 при 11 < ' < т,
где а1, а2, а3, а4 - постоянные коэффициенты.
Считая максимальное значение силы ТН известным и исходя из условия, согласно которому скорость потока усвоенной информации не превышает величины V = 0,8 Т , найти такие зна-
тах 7 тах
чения а1, а2, а3, а, при которых количество усвоенной к концу занятия информации максимально. Сопротивлением пренебречь.
Оценку полученного результата провести при следующих числовых исходных данных: т=5400с, S0=0, £=0,00022с-1, С=0,00014с-1, Тшаа=1ед. уч.инф./с.
Основное уравнение дидактики запишем в форме
V=T+T +ТГ (7)
Не/ у 7
Учитывая, что Т =с£, Т/=-/£, и используя обозначение с-/=т, перепишем уравнение (7) в виде:
£ = т£ = Т. (8)
Равенство (8) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка с переменными коэффициентами. При условии £| =0 = 0 его решение, как известно, выра-
260
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 2, 2011
жается функцией
t t
S = z(/) JTH /z(t)dt, где z(t) = exp Jm(t)dt.
0 0
Подставляя сюда задание выражения т и Т1Р найдем, что на промежутке [0, tj поток усвоенной информации выражается функцией t
S = e J (a^t — a^t )e dt,
0
а на промежутке [tp т] - функцией
S = S1 + e~xJ [a3(r — t) — a4(z — t)2 ]eydt,
<i
где x = ft + (C/k)coskt, y = f(T-t) + (C /k)cosk(T-t), S1 - значение S при t=t.
Учитывая, что при TH=Tmca при t=t и Тн=0 при t=0, и полагая Т равным единице, установим, что коэффициенты a, a2, а3, а4 можно представить равенствами:
2 12 1
a1 =—, a2 =—, a3 =---, a4 =------------ .
1 tj 2 t- 3 т — tj 4 (— tj)2
Теперь рассматриваемая задача сводится к определению такого значения момента времени t, принадлежащего промежутку [0, т], которое при условии (S) < 0,8 обеспечивает максимальное
J ' ' max 7
значение S при t=T.
Решение найдено перебором возможных вариантов на ЭВМ. Он показал, что искомым является значение ' , равное 64 мин.
Библиографический список
1. Авчухова Р. Э. Некоторые модельные представления при исследовании системы уравнения процессов обучения: Дис. ... канд. техн. наук. -Рига, 1974. - С. 24, 66.
2. Ишельсон Л.Б. Математические и кибернетические методы в педагогике. - М., 1964.
3. ЛеонтьевЛ.П., Гохман О.Г. Проблема управления учебным процессом: Математические модели. - Рига, 1984. - С. 23, 70.
4. Архангельский С.И. Лекции по теории обучения в высшей школе. - М., 1974. - С. 239.
5. Шаншалова В.А. Измерение учебной информации, изложенной в течение одной лекции // Научная организация учебного процесса и применение автоматизированных управляющих и обучающих систем в вузах Латвийской ССР. - Рига, 1982. - С. 25-32.
6. Беспалько В.П. Основы теории педагогических систем. - Воронеж, 1977. - С. 239.
7. Кунисевич Ч. Основы общей дидактики / Пер. с польского О.В. Долженко. - М., 1986. - С. 164.
8. Невельский П.Б. Объем памяти и количество информации // Проблема инженерной психологии. - Л., 1965. - Вып. 3. - С. 99.
УДК 378
Морозова Ирина Михайловна, Кулагина Юлия Александровна
Пензенская государственная технологическая академия
Julafina@mail.ru
КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВЕННОЙ ПОДГОТОВКИ ПЕДАГОГОВ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ К ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ЭЛЕМЕНТОВ ДИСТАНЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
В статье раскрыты компоненты, критерии и уровни оценки эффективной подготовки педагогов профессионального обучения к организации образовательного процесса с применением элементов технологий дистанционного обучения в средних специальных учебных заведениях.
Ключевые слова: критерии оценки, компетенции в области дистанционного обучения, уровни подготовки, технологии дистанционного обучения.
Одной из важнейших задач высшего педагогического образования на современном этапе развития общества стала подготовка будущих педагогов к педагогической деятельности в системе дистанционного обучения для учебных заведений высшего и среднего профессионального образования [2]. Несмот-
ря на возрастающее количество публикаций, посвященных данной проблеме, в них не представлена четкая схема подготовки.
Именно поэтому для решения задач образования в условиях информатизации необходимо сформировать у будущего педагога профессионального обучения готовность к реализации тех-
© Морозова И.М., Кулагина Ю.А., 2011
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 2, 2011
261
