CC BY
16Математическое моделирование, компьютерный и натурный
эксперимент в естественных науках http://mathmod.esrae.ru/
2020, №4
ISSN 2541-9269
Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/
URL статьи: mathmod.esrae.ru/32-121 Ссылка для цитирования этой статьи:
Могилевич Л.И., Кондратов Д.В., Кондратова Т.С., Иванов С.В. Математическое моделирование волн деформации в двух соосных, кубически нелинейных оболочках, взаимодействующих с окружающей средой и заполненных жидкостью // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2020. №4 Выполнено при поддержке гранта 19-01-00014a________________________________________
УДК 539.3 DOI: 10.24411/2541-9269-2020-00003
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛН ДЕФОРМАЦИИ В ДВУХ СООСНЫХ, КУБИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБОЛОЧКАХ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДОЙ И ЗАПОЛНЕННЫХ ЖИДКОСТЬЮ
Могилевич Л.И.1, Кондратов Д.В.2, Кондратова Т.С.3, Иванов С.В.4 1 Саратовский государственный технический университет имени Г агарина Ю.А., Россия, Саратов, mogilevichli@gmail.com 2 Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем точной механики и управления Российской академии наук (ИПТМУ РАН), г. Саратов, Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, Россия, Саратов, Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,
Россия, Саратов, kondratovdv@yandex.ru
3
Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, Россия, Саратов, kondratova.t99@gmail.com 4 Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, Россия, Саратов, evilgraywolf@gmail.com
MATHEMATICAL MODELING STRAIN WAVES IN TWO COAXIAL CUBIC NONLINEAR SHELLS WITH THE ENVIRONMENT AND FILLED
WITH LIQUID
Mogilevich L.I.1, Kondratov D.V2, Kondratovа T.S.3, Ivanov S.V4 1 Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Russia, Saratov,
mogilevichli@gmail.com
'j
Institute of Precision Mechanics and Control of the Russian Academy of Sciences (IPTMU RAS), Saratov, Russia, Saratov State University, Saratov, Russia, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Russia, Saratov,
kondratovdv@yandex.ru
3
Saratov State University, Saratov, Russia, kondratova.t99@gmail.com 4 Saratov State University, Saratov, Russia, evilgraywolf@gmail.com
Математическое моделирование, компьютерный и натурный
эксперимент в естественных науках http://mathmod.esrae.ru/
2020, №4
ISSN 2541-9269
Аннотация. В данной статье исследуются продольные волны деформации в физически нелинейных соосных упругих оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, как между ними, так и во внутренней оболочке. Учтено влияние окружающей внешнюю оболочку среды на амплитуду и скорость волны.
Невозможно исследовать модели волн деформаций методами качественного анализа в случае заполнения внутренней оболочки вязкой несжимаемой жидкостью и при учете окружающей внешнюю оболочку упругой среды. Это приводит к необходимости применения численных методов.
Наличие влияния инерции движения жидкости во внутренней оболочке приводит к уменьшению скорости волн деформации, а наличие окружающей внешнюю оболочку упругой среды приводят к увеличению скорости. Вязкостное напряжение жидкости во внутренней оболочке приводит к уменьшению амплитуд волн.
Ключевые слова: нелинейные волны, упругие цилиндрические оболочки, вязкая несжимаемая жидкость
Abstract. This article studies longitudinal strain waves in physically nonlinear coaxial elastic shells containing a viscous incompressible fluid, both between them and in the inner shell. The influence of the environment surrounding the outer shell on the wave amplitude and speed is taken into account.
It is impossible to investigate deformation wave models by the methods of qualitative analysis in the case of filling the inner shell with a viscous incompressible fluid and taking into account the elastic medium surrounding the outer shell. This leads to the need of applying numerical methods.
The presence of the influence of the inertia of fluid motion in the inner shell leads to the decrease of the velocity of deformation waves, and the presence of the elastic medium surrounding the outer shell leads to the increase in the velocity. The viscous stress of the liquid in the inner shell leads to the decrease of the wave amplitudes.
Keywords: non-linear waves, elastic cylinder shell, viscous incompressible liquid
1. Введение
Исследование волнового процесса в упругих оболочках применяется, например, для диагностики трубопровода. Такие исследования солитонов проводились в [1-6]. Однако, в приведенных исследованиях не рассматривалось возникновение волновых эффектов в упругих элементах конструкции, взаимодействующих с вязкой несжимаемой жидкостью.
Распространение волн деформации в двух соосных нелинейных оболочках, заполненных вязкой несжимаемой жидкостью рассмотрено в [7]. С помощью вычислительного эксперимента установлено, что через слой жидкости между оболочками происходит обмен энергией между ними. Инерция движения жидкости между оболочками и во внутренней оболочке приводит к уменьшению скорости волны. Вязкое трение во внутренней оболочке приводит к падению амплитуд волн. В представленной работе исследуется влияние окружающей внешнюю оболочку упругой среды.
Математическое моделирование, компьютерный и натурный
эксперимент в естественных науках http://mathmod.esrae.ru/
2020, №4
ISSN 2541-9269
2. Определяющие и разрешающие соотношения физически нелинейной теории оболочек
Деформационная теория пластичности связывает компоненты тензора напряжений ax, а© с компонентами тензора деформаций sx, £© и квадратом интенсивности деформаций £ё [7].
а
(i)
E
2
1 -М0
2 + М0£©©\1 +
™ or
— £
E
а
0)
©
E
2 4
£
(i)2 _
= 91М l£x
(i)2
+ £
(i)
©
2
1-М0
2 Л
2 й?+М0£) I1+—£У
E
1+
М0
(2М0 -1)
М2
М2£х£®
1 - 2М0 (2М0 -1] (1-М0 ]2
(1)
(1-М0 )2
где E - модуль Юнга; m - константа материала, определяемая из опытов на растяжение или сжатие; м0 - коэффициент Пуассона материала оболочки.
Рассмотрим осесимметричные соосные цилиндрические оболочки. Обозначим: R(i - радиусы срединных поверхностей; h^- толщины оболочки;
и
- продольное упругое перемещение; - прогиб, направленный к центру кривизны (i=1 для внешней, i=2 для внутренней оболочек).
Запишем связь компонент деформаций с упругими перемещениями в
виде
£
(i)
dU(i) 1
dx
+
2
dW
(i) Л
dx У
■ z
d 2W(i) (i) = W(i)
£ —
dx
2 ©
R
(i)
(2)
где
x - продольная координата вдоль срединной поверхности;
г
z - нормальная координата в оболочке
h0
< z < 0
2
(i) Л
2
Квадрат интенсивности деформаций запишем в виде
£
(i)
2 4 9
М
dU
(i) 1
-----1---
dx 2
rdW(i) л 2 Л
2
V
dx
2 (i)
z
д 2W
+ М2
W
(i)
R
(i)
dU(i) 1
--------1--
dx 2
dW
(i) Л
V
dx
dx 2 d 2W(i)
+
W
(i)
R(i)2
+
(3)
-z
dx2
Учитывая (1) - (3) уравнения динамики соосных упругих оболочек, внешняя из которых окружена упругой средой с коэффициентом постели k1 запишется в виде
2
Математическое моделирование, компьютерный и натурный
эксперимент в естественных науках http://mathmod.esrae.ru/
2020, №4
ISSN 2541-9269
- Ао
Eh0° д I dU(i) 1 + —
1 - А дх дх 2
W (i)
Ао
R
(i)
^W(i)' у дх j
Г
2
W (i) 4 m
Ао ~ +-----------<
A(i) 9 E
ди0) 1
-------1-
дх 2
( дW(i) ^ У дх j
А
ди(i) 1
+
дх 2
( дW(i) Л У дх
2
+
( w (i) ^
r(i) у R j
+
+
h«2
12
^д 2W(i)'' Ю 1
У дх2 у 1
3А
(ди(i) 1 (дW(i) Л
+ —
У
Ро ho)
дх 2
д 2U(i)
У
дх
J
+
(А2 - ААо)
W
(i)
R
(i)
J
=
0 д/2
Eh<')3 д2 / д 2W(i)
12(1 -ао2 )дх2 \ , дх2
Тх + ~х (i - 1)
Г
(i)
, m 4 1 +----
E 9
3а
ди(i) 1
+
дх 2
( дW(i) ^
2
дх
+ (4)
(ди(i) 1 (дW(i) Л
+ 2(А2 - ААо ) +
2
дх 2
У
дх
W (i) ( W
+ А1 - А2А0
(i) ^
R
(i)
R
(i)
+
+ 3
h)/)2 ( д 2w (i) ^
20
А
rwl
дх2
+ +
Eh0 д дW(i) ъ fO 1
1 - Ао дх дх дх
■ + —
( дW(i) ^ дх
W(i) m 4
+------<
R(i) E 9
ди(i) 1 ( дW(i) ^
+--
дх 2
У
дх
Ао
W(i)
R
(i)
А1
22
ди(i) 1 ( дW(i) Л
+ —
h F
+
о
+
( д 2W(i) ^
W <'■) ] 2" + А2 ди(0 1 ^дW(i)'' 2 л W(i)
R(i) УR J А дх 2 У Удх J j R(i)
дх 2
+
У дх j
+
12
дх
+
2
За
ди(i) 1 ( дW(i) ^
-------1--
дх 2
2
У дх j
+
(А2 - ААо )
W
(i)
R
(i)
+
EhQi} 1
1-А02 R(i)
Ао
ди(i) 1 ( дW(i) Л
+--
дх 2
У
дх
W(i)
R
(i)
+
2
2
2
2
2
2
2
2
Математическое моделирование, компьютерный и натурный
эксперимент в естественных науках http://mathmod.esrae.ru/
2020, №4
ISSN 2541-9269
m 4
+----<
E 9
Ао
dU(i) 1
-------1--
дх 2
rew(i) л2 Л
V
V
дх
W (i)
R
(i)
А
dU(i) дх
+
1
+
2
dW(i)
,2
V
дх
+
W(i}
R(i) V R
+
+ А
ди0) 1
------1--
дх 2
1
+
2
h
V
дх
^w(i) л 2 Л
дх
\2 Л
W
(i)
R
(i)
+
h))2 (д2W(i) Л
-(А -АА )
12
W(i)
дх2
3ААо
ди(i)
дх
+
R
(i)
= Ро h0°
д 2W
дt2
+
+ k1 h)3 Роh0° (E pW(2 - i)-[(- 1)г 1 Чп + qn(i - ^L0
R Ро!1 -Ао
где t - время; р))- плотность материала оболочки; q^, qn - напряжения со стороны жидкости, находящейся внутри кольцевого сечения; i=1 для внешней оболочки, i=2 для внутренней оболочки, с~х, qn - напряжения со стороны жидкости,находящейся во внутренней оболочке.
3. Асимптотический метод исследования уравнений оболочек с жидкостью
2
2
2
Для волновых задач оболочку считаем бесконечной. Для продольных волн в оболочке вводятся безразмерные переменные и безразмерные параметры. Принимаем за характерную длину l - длину волны, а um, wm -характерные значения упругих перемещений
со =
E
Р(1 -Ао)
оболочке.
Положим
W<0 = W,„«3", U'" = UmU
,(i) (i)
(i)
* х
c
m 1 ’
х
, t = — t. ll
Wm h0 , Um
h0l
R
(i)
(5)
скорость распространения продольных упругих волн в
h(i) h0
R
(i)
= S << 1
R(i)2
o(s) ,
(6)
Математическое моделирование, компьютерный и натурный
эксперимент в естественных науках http://mathmod.esrae.ru/
2020, №4
ISSN 2541-9269
Wm = o(i), Um^_ = o(i) — = 0(1) h° ho
(i)2
= o(i) — = o(l)
l № O ^ E O Л /2
h)2 R(i)2 3
,(02 l2
‘0 R*
где s - малый параметр задачи.
Введем независимые переменные в виде
& & & ,
% = x - ct , т = st (7)
где т - медленное время; с - скорость волны.
В этих переменных (5)-(7), оставляя в уравнениях (4) члены порядка s и
s2 и отбрасывая члены с более высокими степенями, получим уравнения
д um дщ
(i)
д£\ l д%
Uo 'WmU3i + т4< 0 R 3 E 9
f ит ди1) l д£
и wm и (i)
Щ0 R (i) U
Л
3
(i) V
Um
l д£
V
+
)
+
w
т
R(i >)
и
(i)2
. и ит ди1° wm и(0
+U2T щ
и
=
т
2 д2и« д2и«
c ---1— 2sc - 1
д^
2
д^дт
s
JJpy ^ + qx(< - О)
poho co
(8)
Um ди() w^ (i) + m 4
Uo
l д%
.
w
т
R(i >)
и
(i)2
и +
R 3 E 9
ит диН ,(i)
Uo
ит ди1г) wm и (i)
(i) из
l д% R
Ui
д (i) 2
Um_ дщ\_ l д%
.
+ U2^^T^fc U3
l д% R(
R
(i)2
w
т
l2 R
(i)
.2 дЩ} ' д^2
2sc
)
д 2и«
д£дт
.
+ Wmho kxuf (2 - i)-
R
(i)
RR
Po ho 4
((-1)'-1
qn + ~n(i -1
Зависимые переменные представим в виде асимптотического разложения
(9)
и
(i)
иЮ + su 11 +..., и3 ^
U3o + sU31 +...
Получим систему уравнений, подставив (9) в (8), оставляя члены порядка
wl
Ю U3o
д 2 U (i) 2 д иш
д^
(Ю)
Wml и (i)
и
UmR
(ir30
o
Из этой системы получаем
2
3
l
2
3
Математическое моделирование, компьютерный и натурный
эксперимент в естественных науках http://mathmod.esrae.ru/
2020, №4
ISSN 2541-9269
w l
m
umR
(i)
(i)
u30 = Mo
du
(i)
10
д?
2 2 c = 1 Mo
(11)
Таким образом u1(0) -является произвольной функцией, а безразмерная
скорость волны c
= (1 - м0 )2 и следовательно скорость
волны равна
V
Е_
Р0
скорости волны в стержне, поскольку оболочка имеет бесконечную длину. При этом
д=7
Получим систему уравнений в приближении s2
'2------- ^du(i) ^
( Е )
x - t
р0 J
д 2u1(0) + m ( um' д?дт EsV l J
W1 - M02 (M1 + M2M0 + M1M02
10
д?
д 2u S?
10
2
+
1 R(ir M0 1 - Mo д4u
22
+
2 4 (i)
10
sl
2
+ k
2
M02
V
1 h0 д2u(i)
д? " ^ -M02 s R д?
(q(i - 1))-M0 R 4~ ^ ^ ~ (i - ^ J
l дд
д?
f (2 - i)
2^1 -M02 SumP0h0°C0
(12)
Полученное уравнение есть обобщенное модифицированное уравнение
Кортевега - де Вриза (МКдВ) для
дu
(i)
10
дд
В случае отсутствия жидкости правая часть уравнения равна нулю и получается модифицированное уравнение Кортевега-де Вриза (МКдВ). Надо определить правую часть, решая уравнения гидродинамики.
2
1
l
4. Исследование напряжений действующих на оболочку со стороны находящейся внутри жидкости
Рассмотрим две соосные бесконечно длинные упругие оболочки на рисунке 1, внутри которых находится вязкая несжимаемая жидкость. Ширина щели, занимаемой жидкостью 8, радиус срединной поверхности оболочки R ;
R = R(1)
h (1) h0
2
- внутренний радиус внешней оболочки;
R2 = R(2)
+
h (2) h0
2
внешний радиус внутренней оболочки; R3 внутренней оболочки,
R(2)
hf
2
- внутренний радиус
Математическое моделирование, компьютерный и натурный
эксперимент в естественных науках http://mathmod.esrae.ru/
2020, №4
ISSN 2541-9269
Рис.1. Упругие бесконечно длинные соосные цилиндрические оболочки
Уравнение движения несжимаемой вязкой жидкости и уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат (r, 0, x) в случае осесимметричного течения записываются в виде:
dVr
dt
dV
+ Vr
dVr
+ V
dVr 1 dp
fd2V 1 dV d2V V Л
+ —
dt
dr dx p dr
V + V dVx , 1 dp r dr
= v
dr2
+
+
r dr dx
r ' r_ .2
x + j/ x + Vx x + —— = v
dx p dx
(d 2Vx 1 dVx d 2Vx Л
x + x + x
dr2 r dr dx2
(13)
dVr + V, + dVx
0.
dr r dx
На границе оболочек и жидкости на рис. 1 при r = R - W(i) выполняются условия прилипания жидкости
Vx =
dU
(i)
Vr = -
dW
(i)
(14)
dt ' ' dt
здесь t - время; r, x - цилиндрические координаты; Vr, Vx - проекции на оси цилиндрической системы координат вектора скорости; p - давление в жидкости; p - плотность жидкости; v - кинематический коэффициент вязкости.
Напряжения со стороны слоя жидкости определяются формулами
Prrcos
f А л
- n(i), nr
+ Prxcos
А
n(i), i
- V V J J r
( А 3 ( А 3
1 Prxcos - n(i), nr + Pxxcos - n(i), i
V J VJ J
•=R.-W(i)
(15)
Prr = -p+2Pvdv^; Prx = pv dr
(dVx dVr Л dr dx
=r -W(i)
i
Pxx = - P + 2PV
dVx
dx
Математическое моделирование, компьютерный и натурный
эксперимент в естественных науках http://mathmod.esrae.ru/
2020, №4
ISSN 2541-9269
Здесь n(i) - нормаль к срединной поверхности i -ой оболочки, nr, n©, i -орты базиса (r, ©, x) цилиндрической системы координат, центр которой расположен на геометрической оси. Если снести напряжения на невозмущенную поверхность оболочки, то можно считать - n - nr и
cos
f Л л f Л л
■n, n -1, cos - n, i
V J V J
- 0. Напряжения qx, qn со стороны жидкости,
которая находится во внутренней оболочке определяется теми же формулами (15), в которых обозначены плотность жидкости р, коэффициент кинематической вязкости v.
Согласно результатам работы [8] в кольцевом сечении найдем выражение, входящие в правую часть уравнений (12).
Учитывая (11) и пологая R(1) - R(2) - R, h^ - h02) - h0 в силу малости
У =
_5_
w
X = m
s
для первого уравнения имеем
6pl
pl v f R Л 3
p0h0 Rc0s UJ
du (2) du (1)
(du10 du10 )(1
( df df A
d 2«g>
10 ' ' “' df
Для второго уравнения имеем
д2и(|)
д “10-)(1-
df
2
6р0
pl v f R Л 3
P0h0 Rc0S VsJ
- 110R^/1 -№2(
1 s
2 р0 R
1 s)
12 р0 R
(du10 - du10 )(1 -1 s K df df A 2 p0 R
d2U(1) d2u(2) 1 S д u10 д u10 )(1 - о )
)
(16)
)
df2 df
12 p0R'
(17)
В круговом сечении учитывая (11) при R3 - R(2) - R в силу малости
~ R3 / wm
у/ = - и X = m получаем
I R3
qx -№
R(2) д/п -
l df Rc0
pc041 №0 [1 2M0 ]
u du
m
(2)
10
l df
2, um d2uil}
Rpc21(1 -№02)[(1 -2№c)2 +12№0] ,
l 6 l df
(18)
l10
2
5. Уравнения динамики соосных оболочек
Система уравнений с учетом найденных правых частей становится такой
Математическое моделирование, компьютерный и натурный
эксперимент в естественных науках http://mathmod.esrae.ru/
2020, №4
ISSN 2541-9269
2 (1)
д u10 m u
+ ■
Л, Л
m
д£дг Esy l ,
Щ + р2р0 + ЩЩо
( ди (1) Л
10
V
д%
д 2и (1) u10
+
1 R2 Що V1 Що д и
+
2 ^,(1) 10
s l2 2
2
— Щ
Щ0 1 h0 д и1о
2
l
+ k1
дГ 2^1 -Щ s R дЕ
R pvc0lw
m
2 1 -Щ SUmP0h0 С0
l 8
12^1 -Щ02[(и30) - u(20))
Г1 - 1 S Л
V
2 Щ R
1
10
Re 1 -щ2(
ди (1) ди (2)
2 u30
30
дЕ дЕ
1 8
12 Що R
д2и10 m
— +
( и Л 2 г
m 2
V l V
:
2^1 - Щ Щ + Щ2Щ0 + ЩЩо
^ Л2 д2u102)
дЕ
10
дЕ
+
(19)
+
1 R2 Щ^\ -Щ д4и(2)
10
2 1 Щ Smp0 h0С
2 0 c0
1
- Re 1 -щ2( 10 0
ди
(2)
2 и30
ди
(1)
30
Щ0
r
s l2 R pvc0lwr
2
д£4
дЕ дЕ
R ~ 21
1-
V
l 83
± 8 12 щR
12V1 Щ0 (и30 и30)
^ 1 8 л
V
2 Щ0
Rc
+ pc0 41 Щ0 [1 2щ0 ]
и ди
(2)
0
2 ^ и10
l дЕ
и д2и (2) um д и10
^pc02-(1 -Щ2)[(1 - 2Щ))2 +12^21 .
l 6 l дЕ
Можно также ввести обозначения ищ = с3ф(1), и^Е = с3ф(2), 77 = ,
t = с2т, где
с2 6щС
Pl
p0 h0s
' R '
v8y
8
2Що R
V
8cc
-> c1 =
C2S
' L Л2
vR,
2
^V1 -Щ) 1
2
6 '
2
C3 =
1 о к» £ч 05 ( l Л 2
с1 m VUm , 2
2лД -Щ Щ1 + Щ2Щ0 + ЩЩ) _
(20)
2
1
)
1
2
1
l
2
1
1
Далее положим
Математическое моделирование, компьютерный и натурный
эксперимент в естественных науках http://mathmod.esrae.ru/
2020, №4
ISSN 2541-9269
ci = 6A0
2 Pl
f R Ys 1 1 -A c/
p0 h0 VS J pl
l S V
10 C2
s
12 A0 R J
c2 =
2(1 - 2p0 )2 —
p0h0 sRc0 c2
c3 =
pl R 1 - A0
p0h0 Is 12
c4 = k1
2
(1 - 2a0 )2 +12 a0
Cl
c2
2
Ao
1 h0 c1
2 1 -a2 s Rc2
(21)
(22)
и получаем систему уравнений
Фт + 6ф®2ф® +ф!,1+ф^-ф®-01 (;
Ф/2) + 6ф'2)2ф® +ф;ПП,+ф<2)-Фа)-01 Ф2)
Система уравнений (22) при отсутствии жидкости распадается на два независимых уравнения. Первое уравнение
■ф® )+С4ф®=0, ф® )+С2Ф<2) -СзФ^2> =0-
ф(1) + 6^фП’ + фППп + С4фП = 0
(1)2 (1)
(1)
ППП
'4 П
(1)
имеет точное решение
Второе уравнение
имеет точное решение
ф(1) =
k
cosh (kn -(4k3 + c4k ))'
Ф® + бф<2)2ф® + Ф,ПП>п =0
Ф(2) =
k
cOShik;-4p7)
(23)
22
Из решений видно, что фазовые скорости 4k + c4 и 4k положительные и скорости волн сверхзвуковые. Окружающая упругая среда (c4 > 0) увеличивает скорость этой волны во внешней оболочке.
При наличии жидкости требуется численное решение системы уравнений (22) с начальным условием при t=0, например
Ф(1) = k cosh-1 (k;), ф(2) = k cosh-1 (k;),
1
или
Ф(1)= k cosh 4 (kn), ф<2) = 0
Математическое моделирование, компьютерный и натурный
эксперимент в естественных науках http://mathmod.esrae.ru/
2020, №4
ISSN 2541-9269
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При отсутствии влияния жидкости во внутренней оболочке и окружающей внешнюю оболочку среды система уравнений становится симметричной, имеющей точное решение (23), описывающее поведение солитонов в обеих оболочках. Этот результат адекватен полученному численному решению [7].
При наличии жидкости во внутренней оболочке и упругой среды, окружающей внешнюю оболочку требуется проведение численного решения.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 19-01-00014а.
Литература
1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987. 479 с.
2. Сокуринская Е.В. Некоторые точные решения задачи о нелинейных упругих волнах в пластине. // Письма в ЖТФ, 1994. Т. 20. Вып. 3. С. 3641.
3. Zakharov V.E., Kuznetsov EA., Ruhenchik A.M. Soliton stability // Prepr. Inst. Automaton & Electrometry SB AN USSR. 1983. № 199. 62 p.
4. Дрейден Г.В., Порубов А.В., Самсонов А.М., Семенова И.В. Генерация и наблюдение солитона продольной деформации в пластине. // Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22. Вып. 21. С. 61-68.
5. Шенявский Л.А. Влияние геометрической нелинейности на волны, распространяющиеся в свободной тонкой пластине // ПММ. 1979. Т. 43. Вып. 6. С. 1089-1094.
6. Дрейден Г.В., Порубов А.В., Самсонов А.М., Семенова И.В. Генерация и наблюдение солитона продольной деформации в пластине. // Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22. Вып. 21. С. 61-68.
7. Mogilevich L., Ivanov S. (2021) Longitudinal Waves in Two Coaxial Elastic Shells with Hard Cubic Nonlinearity and Filled with a Viscous Incompressible Fluid. In: Dolinina O. et al. (eds) Recent Research in Control Engineering and Decision Making. ICIT 2020. Studies in Systems, Decision and Control, vol 337. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-65283-8_2
8. Агеев Р.В., Евдокимова Е.В., Ковалева И.А., Могилевич Л.И. Динамика осесимметричного течения вязкой несжимаемой жидкости в упругой трубе кругового и кольцевого сечений // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. - 2017. -№ 3; URL: mathmod.esrae.ru/15-50 (дата обращения: 17.12.2020).
