CC BY
14Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/32-122 Ссылка для цитирования этой статьи:
Могилевич Л.И., Иванов С.В., Месянжин А.В., Кондратов Д.В. Волны деформации в соосных оболочках с мягкой кубической нелинейностью, конструкционным демпфированием и жидкостью внутри. // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2020. №4
Выполнено при поддержке гранта 19-01-00014a_
УДК 539.3 DOI: 10.24411/2541-9269-2020-00004
ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИ В СООСНЫХ ОБОЛОЧКАХ С МЯГКОЙ КУБИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ, КОНСТРУКЦИОННЫМ ДЕМПФИРОВАНИЕМ И ЖИДКОСТЬЮ ВНУТРИ
Могилевич Л.И.1, Иванов С.В.2, Месянжин А.В.3, Кондратов Д.В.4 1 Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., Россия, Саратов, mogilevichli@gmail.com 2 Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, Россия, Саратов, evilgraywolf@gmail.com Саратовский ОАО «Конструкторское бюро промышленной автоматики»,
Россия, Саратов, a.v.mesyanzhin@gmail.com 4 Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем точной механики и управления Российской академии наук (ИПТМУ РАН), Россия, г. Саратов, Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, Россия, Саратов, Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,
Россия, Саратов kondratovdv@yandex.ru
STRAIN WAVES IN COAXIAL SHELLS WITH SOFT CUBIC NONLINEARITY, STRUCTURAL DAMPING AND THE LIQUID INSIDE
Mogilevich L.I.1, Ivanov S.V2, Mesyanzhin A.V.3, Kondratov D.V4 1 Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Russia, Saratov,
mogilevichli@gmail.com
о
Saratov State University, Saratov, Russia, evilgraywolf@gmail.com
о
Industrial Automatics Design Bureau JSC, Russia, Saratov, a.v.mesyanzhin@gmail.com 4 Institute of Precision Mechanics and Control of the Russian Academy of Sciences (IPTMU RAS), Saratov, Russia, Saratov State University, Saratov, Russia, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Russia, Saratov,
kondratovdv@yandex.ru
Аннотация. В работе исследуются продольные волны в соосных упругих оболочках с мягкой кубической нелинейностью, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, как между ними, так и во внутренней оболочке. Учтено влияние вязкости и инерции движения жидкости, конструкционного демпфирования материала оболочек в нормальном направлении на амплитуду и скорость волны. Невозможно исследовать модели волн деформаций методами качественного анализа в случае заполнения внутренней оболочки вязкой несжимаемой жидкостью. Это приводит к необходимости применения численных методов. При отсутствии влияния жидкости внутри оболочки, скорости и амплитуды волн, имеющихся в оболочках, не меняются. Движение происходит в отрицательном направлении оси абсцисс. Это означает, что найденная нелинейная добавка к скоростям волн в линейном приближении (скорости звука) уменьшает скорости волн и они становятся дозвуковыми. Наличие влияния инерции движения жидкости во внутренней оболочке приводит к уменьшению скорости волн деформации. Вязкостное напряжение жидкости во внутренней оболочке приводят к уменьшению амплитуд волн. Конструкционное демпфирование в нормальном направлении увеличивает амплитуду волны и уменьшает ее скорость.
Ключевые слова: нелинейные волны, упругие цилиндрические оболочки, вязкая несжимаемая жидкость
Abstract. The paper investigates longitudinal waves in coaxial elastic shells with soft cubic nonlinearity, containing a viscous incompressible fluid, both between them and in the inner shell. The influence of the viscosity and inertia of fluid motion, structural damping of the shell material in the normal one on the wave amplitude and speed are taken into account. It is impossible to study the models of deformation waves by the methods of qualitative analysis in the case of filling the inner shell with a viscous incompressible fluid. This leads to the need for numerical methods. In the absence of the influence of the liquid inside the shell, the velocity and amplitude of the waves presented in the shells do not change. The movement takes place in the negative direction of the abscissa axis. This means that the found nonlinear addition to the wave velocities in the linear approximation (the speed of sound) reduces the wave velocities and they become subsonic. The presence of the influence of the inertia of motion of the liquid in the inner shell leads to a decrease in the velocity of the deformation waves. The viscous stress of the liquid in the inner shell leads to a decrease in the waves' amplitudes. Structural damping in the normal direction enlarges wave amplitude and reduces the wave velocity.
Keywords: non-linear waves, elastic cylinder shell, viscous incompressible liquid 1. Введение
Исследование волнового процесса в упругих оболочках имеет широкое применение в различных технических областях, например для определения напряжения в оболочках. Распространение волн деформации в упругих, вязкоупругих и нелинейных вязкоупругих оболочках и рассмотрены в [1—4]. В этих работах не рассматривается случай взаимодействия оболочек с вязкой несжимаемой жидкостью. В [5-7] рассмотрено взаимодействие оболочки с вязкой несжимаемой жидкостью, без учета волновых явлений, также не исследовано влияние локальных членов инерции.
В настоящее время применяются разнообразные методы для связанных и несвязанных задач.
При решении несвязанных задач рассматривается взаимодействие
жидкости, взаимодействующей с твердым телом. Определяют трение и давление, действующее со стороны жидкости на твердое тело. Таким образом предполагается отсутствие влияния деформации оболочки на движение жидкости [8]. Полученные параметры подставляются в уравнения динамики упругого тела, затем находятся продольные и нормальные (прогиб) перемещения. Таким образом определяется напряженно деформированное состояние упругой конструкции, что является целью в несвязанной задаче.
В случае связанной задачи уравнения динамики жидкости и уравнения динамики упругого тела и решаются одновременно, с учетом граничных условий. Такой метод решения ранее был применен в [8]. В настоящей статье будем применять указанный метод решения задачи для изучения волн деформации, возникающих в нелинейных упругих оболочках, взаимодействующих с вязкой жидкостью постоянной плотности с учетом инерции ее движения.
Невозможно исследовать модели волн деформаций, методами качественного анализа в случае заполнения оболочки вязкой несжимаемой жидкостью. Это приводит к необходимости применения численных методов.
В данной статье методом возмущений по малому параметру задачи получены математические модели волнового процесса в бесконечно длинных соосных цилиндрических оболочках с мягкой кубической нелинейностью, отличающиеся от известных учетом наличия несжимаемой вязкой жидкости как между оболочками, так и во внутренней оболочке, при этом учтено конструкционное демпфирование оболочек в нормальном направлении. Выявлены эффекты влияния несжимаемой вязкой жидкости как между оболочками, так и во внутренней оболочке на поведение волны деформации в соосных оболочках.
2. Определяющие и разрешающие соотношения физически нелинейной
теории оболочек
Деформационная теория пластичности связывает компоненты тензора напряжений <х , <в с компонентами тензора деформаций £х, ев и квадратом интенсивности деформаций аи.
(О
Е
1 -И
(?Х)
.0) _
Е
<в =
2 гх^ + и0£в ^ ее ^
(о Х1 - т £(.о:
.(О
£
от
1 -ио
Аг г
2 £© + И0£х
9
и £(02 + £(02 ^ И1 ьх +ьв
V V
Е
и £(')£(г') и2£х ь®
(1)
А1 =
1 . А) (2А) -1) (1-А0 )2
А2 =
1 - 2Ао (2А) -1) . (1 -А) )2 .
где Е - модуль Юнга; т - константа материала, определяемая из опытов на растяжение или сжатие; а0 - коэффициент Пуассона материала оболочки.
Рассмотрим осесимметричные соосные цилиндрические оболочки. Обозначим: R1 - радиус внутренней поверхности внешней оболочки; R2 -радиус внешней поверхности внутренней оболочки; Rз - радиус внутренней поверхности внутренней оболочки; R(i■) - радиусы срединных поверхностей;
- толщины оболочки; - продольное упругое перемещение; Ж - прогиб, направленный к центру кривизны. (=1 для внешней, =2 для внутренней оболочек)
Запишем связь компонент деформаций с упругими перемещениями в
виде
£
ди
дх
1
+ — 2
'дж(' )Л2
V дх у
2ш(1)
д 2Ж
z-
дх
2
£
©
Ж
R
(2)
где х - продольная координата вдоль срединной поверхности; z - нормальная
И <
координата в оболочке запишем в виде
' -(0 и ^
0 < z < 0
V
2
2
. Квадрат интенсивности деформаций
у
£
(«■ )2 = 4
и 9
А11
ди(г) 1
-+ —
дх 2
дЖ(
+ А2
Ж
.V
(■)
V
дх
2ш0)
д 2Ж
- z-
R
(■)
ди(г) 1
-+ —
дх 2
дЖ
дх
дх 2 д 2Ж(')
+ -
Ж
('У
R
0Г
(3)
z-
дх
2
Определим усилия в срединной поверхности оболочки и момент по следующим формулам
2
= I
И'} И0 И'> И0 И"} И0
2 ^ 2 _ 2
I ) dz, М© = I СТ©>dz, М<<> = !
"0 И' > ' '0 И' ' '0
2 2 2
(4)
Уравнения динамики для оболочек запишем так же как и в физически линейной теории
^=^0 иг д 2и
дх
дГ
2
х
) + ~х (■ -1) - Ж о + Чх (г -Ц/ + ^(0
д(д X) + ~х (■ -1
дг
дх
(5)
д2ы() д х + —
дх
'дЖ(1) л
дх
2
дх
N
а)
1 ,0 . (,-) д 2ж0)
+к» -ЦТ
~ дЖ 0)
+ £
2 к « )2
У Ро ^
+
Е
Ро
(- 1)-1 дп + дп (■ -1) - Ж
РИИ)
д
дг
Чп + ~п О-1
+
и(0
дх
дг
к(
+
где г - время; р)- плотность материала оболочки; дХг), Чп - напряжения со стороны жидкости, находящейся внутри кольцевого сечения; г, х -цилиндрические координаты; ~Х, ~п - напряжения со стороны жидкости,находящейся во внутренней оболочке, £2. - безразмерный коэффициент демпфирования материала оболочки.
Подставляя (1)-(4) в (5) получим уравнения в перещениях
£¿0° д / ди() 1
■ + —
'дЖ
1 - и2 дх \ дх 2
дх
Ио
Ж
к
(О
4 т 9 Е
ди() 1 -+ —
дх 2
гдж(1)л2
дх
Ио
Ж
к
И1
'и)
дх
■ +
1
+ — 2
Л
дЖк дх
2 Л
2
+
Ж «)л2
ч К(г) , Vк у
с
+ И2
ди(г) 1
-+ —
дх 2
АдЖ(г )Л2 ^
V
V дХ у
Ж
К
(О
+
+
НЦ)2 (д2Ж(1) ^
12
дхг
+ (И2 -ИИо)
3И1
Ж(1)'
2
ди(1) 1 (дЖ(1)Л л
к
(■■)
■ + — дх 2
\
,0)
дх
+
= Ро К
„ д 2и(г) ^ -.2
ЧX) + ~Х(■ -1) - Ж■ д(дХ) + ~Х0 - Ъ/ + и«)»\*х -Чх
дг
д(чХг) + Чх (■ -1
дг
дх
2
ЕИ^ дЦ д2Ж&
12(1 — Мо) дх 2 \ дх 2
т 4 1---
Е 9
3М1
( ди(1) 1 + — (дЖ(1) 1 2 ^
дх 2 Vдх у
+
+
2(А2 -
ММо
ди0) 1 (дж0) ? 1 Ж(г)
+ — ---777 +
дх 2
V дх у
R
(0
Г^а л\2
+
(А1 -М2Мо)
Ж(1) ч RС) у
V ^^ у
+ 3 Ио
2 'а 2ж ю>2
20
М1
дх2
> +
(6)
+
ЕИ0 д / дЖ0)
1 - Мо дх \ дх
ди(0 1
-+ —
дх 2
Мо
Ж
о)'
R
(О
М1
дх
Мо
Ж(0 т 4
дЦ(г) 1
-+ —
дх 2
R(г') Е 9
'¿ж (г) л
ди(г) 1
-+ —
дх 2
дЖ(0
2
V дх у
Ж0)
V
дх
у
+
у
ч R0) у V^ у
+
+ М2
ди(г) 1 (дЖ(г) ^21 ж(0
дх 2
дх
R
О")
+
12
(д 2Ж(1) 1 2 3М1 (ди(г) 1 (дЖ(г) 1 2 ^
ч дх2 у + —
дх V 2 Vдх у у
+ (М2 -ММо)
Ж
(О
R
(О
ЕИог) 1
+ —^ — ( Мо
1 -Мо2 R
2 рО)
ди(0 1
-+ —
дх 2
дЖ(0 дх
2
Ж(г) _ R(1)
1
+ — 2
V
т 4 Е 9
дЖ 0) дх
(ди(г) 1 (дЖ(г) 1 2 ^ ж(г) —
Мо дх + — 2 дх R(0 М1
V V у у 1-
'Ц)
дх
+
2
+
V ( о^
V у
Vу
+ М2
ди(г) 1 (дЖ(1) У 1 ж(1)
■ + —
дх 2
V дх у
R
( )
+
+
+
ио°
2 /
д 2Ж( г) дх 2
2
3М1Мо
ди(г)
дх
+
2
2
2
'дЖ(;)л2 ^
дх
Ро Ко)
д 2Ж
дг2
+ £
2 к2
(И1
Ро К
И2Ио,
Ж
к
(;■)
о)
Е дЖ(;) Ро (1 -Ио2) дг
(-1)-1 Чп + Чп (; -1) - Ж
(;) д((-1)'-1 Чп + Чп (■ -1)) + и(■) д((-1)-1 Чп + Чп (■ -1))
дг
дх
к •
3. Асимптотический метод исследования уравнений оболочек
Проводимые оценки в безразмерных переменных, характеризуют рассматриваемые задачи. Для волновых задач оболочку считаем бесконечной. Для продольных волн в оболочке вводятся безразмерные переменные и безразмерные параметры. Принимаем за характерную длину I - длину волны, а ит, wm - характерные значения упругих перемещений
Ж
(■) тт(0 WmU3* и ) =ити
?> х* = Х, г
г
г
(■у wm = Ко, ит
I
V
С,
I
г.
(7)
со =
Е
Р(1 -Ио) оболочке.
Положим
куп - - - к (;) - скорость распространения продольных упругих волн в
К ( 0
к
( )
£<< 1,
к
( )
О(е),
w
т
К
( ) о
о(1)
(8)
ит к
( )
—- = о(1), т£ = о(1),
I ) Е 12
К
( )2
>0)2 I2
= £3, £2 = 0(£
'о »к
где £ - малый параметр задачи. Введем независимые переменные в виде
4 = х - сг , т = £ (9)
где т - медленное время; с - скорость волны.
Зависимые переменные представим в виде асимптотического разложения
и^0 = и1(о) +£и101) +..., и() = иЗ;) + £и3\ +... (1°)
Получим систему уравнений, подставив (7)-(Ю) в (6), оставляя члены порядка £
I
*
2
I
д /ди(,)
10
д£\ д^
А0—^и
30
= с
д 2и ('") 2 д и10
д^
(11)
Ао
ди (,) 10
™т1
ДО -
UmR
(,■) и30 = 0
Из этой системы получаем
™т1 и (,) (,) и30
UmR
А0
ди1(0) д^
2 Л 2 с = 1 -Ао
(12)
Таким образом безразмерная скорость волны с = (1 - Ао )2 Получим систему уравнений в приближении е2.
2,М)
д 2 и
10
т
/„, л
д^дг Ее
и
т
V I У
2л1
-А02 (
ди
А1 + А2А0 + А1А0
(,) 10
д^
2 (,)
д 2 и
10
д^
+
+
1 R^)2 А02л/1^А? д4и{0) е2 А02 дМ?
е I 12
2
2
2^1 - А0 еитР0 ^ С2
0 с0
д^4 е 2 д^3
R д((-1)-1 цп + ~ (, -1))"
(13)
X) + ~ ^ - 1))-А0 у
д^
Получена система обобщенных модифицированных уравнений Кортевега
- де Вриза - Бюргерса (МКдВ-Б) для
ди (,) ии10
Определим правые части, решая уравнений гидродинамики.
4. Исследование напряжений действующих на оболочку со стороны находящейся внутри жидкости
Рассмотрим соосные бесконечно длинные упругие оболочки на рисунке 1, внутри которых находится вязкая несжимаемая жидкость. Ширина щели, занимаемой жидкостью 8 = - ,
2
2
1
Рис.1. Упругие бесконечно длинные соосные цилиндрические оболочки
Уравнение движения несжимаемой вязкой жидкости и уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат (г, 0, х) в случае осесимметричного течения записываются в виде:
У + У дУ,
т уг
дг дг
+ У
дг
дух дг
г дУг 1 др
г + Ух — +--= V
+ V
дх р дг дУх 1 др
Гд 2Уг + 1 у +д 2Уг угЛ
V
дг2 г дг дх2 г2
+ —
дх р дх
= V
( д 2ух +1 дУх + д 2ух ^
V
дг
2
г дг дх
2
(14)
у
дУг Уг дУх Л г + — + —х = 0.
дг г дх
На границе оболочек и жидкости на рис. 1 при г = ЯГ - W(Г) выполняются условия прилипания жидкости
дП() „ дW(Г)
Ух =
Уг =
(15)
дг ' ' дг >
здесь Уг, Ух - проекции на оси цилиндрической системы координат вектора скорости; р - давление в жидкости; р - плотность жидкости; V -кинематический коэффициент вязкости.
Напряжения со стороны слоя жидкости определяются формулами
( А ^ ( А ^
Чп = Pггcos - п(Г), пг + Pгxcos - п (г), Г
Чх
V у
Г А \
ргхс^
п (Г), п
г
V у
/ А Л
г=я -Ж (Г)
+ РххС08
п (г),г
у
г=я -Ж(Г)
дУ
ргг = - р + ^^; ргх =
дг
В подходе Эйлера здесь имеем
дУх +дУг
дг дх
^ дУ
; рхх = -р + ^^
У дх
С08
А л Л П > П
г
V У
Г А \
С08
П, п
г
- ж
(г)
N
С08
л
п(г), Г
о-) ^2 ^2
1 +
дх
V V У У
Л
N = Л - Ж
К')
Ri - Ж(г) дЖ(г)
V У
л
С08
п, г
V У
1+
дЖ
2
(')
дх
N дх
дЖ(г) дх
у (17)
1+
'дЖ (')л 2 ^ 2
дх
V V У У
Здесь п - нормаль к срединной поверхности г -ой оболочки, пг, п&, г - орты базиса (г, 0, х) цилиндрической системы координат, центр которой расположен на геометрической оси. Если снести напряжения на невозмущенную
поверхность оболочки, то можно считать
■ п = пг и Св8
Г А Л
- п, п
= 1.
С Л Л
Св8
п, г V У
= 0. Напряжения ~, ~п со стороны жидкости, которая находится во
внутренней оболочке определяется теми же формулами (16), (17), в которых плотность жидкости р, коэффициент кинематической вязкости V .
В работе [8] в кольцевом сечении найдены выражения, входящие в правые части уравнений (13).
Для первого уравнения имеем
6Ао
р1
у
РоКо Лсо£
3
^У
дь(1) дь(2)
(дь10 дь10 )(1
д^ д^
1
I-2, д 2и11
д 2ь1(0)
)(1
1
1 6
2 Ао Л 6 )
(18)
12 Ао Л
Для второго уравнения имеем
- 6Ао
Р
V
Ро Ко Лсо8
3
V 6 у
,дм
(2) 1о
дм
(1) 1о
- д 2ь (2) 2 /д ь10
д^ д^ 5^,(1)
)(1 -
д 2М (1) 1 д ь10 у! 1
16 2 Ао Л
6 )
)-
12 Ао Л
1
1
1
2
)
Здесь положено ^1^0 = ¡¡0итЯ (г)и(Г)
10? и Я(1)= Я(2)= я, ^01)= ^>2) = ^ в
силу малости ширины щели, занимаемой жидкостью по сравнению с внешним радиусом внутренней оболочки и малостью прогибов оболочек по сравнению с шириной щели, занимаемой жидкостью
В круговом сечении в работе [8] получено
Чх - ¡0
Я(2) д~п = I д? Яс0
рс02ч1 -¡02 [1 - 2мо ]2
и„, ди
т
(2) 10
-^РС021(1 -¡02)[(1 -2^0)2 + 12^о]ит д2и12)
Я 1
I д?
I
10
6
I д?
2
Здесь принято Я3=Я( 2 =Я.
(20)
5. Уравнения динамики соосных оболочек
Система уравнений (13) при этом принимат вид
2„(1)
д2и
10
т
д?дт Еб
и
(¡¡¡1 + ¡2 ¡0 + ¡¡0 Ц
ди(1 12 д2и(1)
10
/V д?
10
д?
+
+ ■
■2 ¡л -,2
10
¡0^1 д и
Б2 ¡02 д3и,(1)
10
= -6^0
р1
2 V
д?
б 2 д?
3
2и
10
Р0К Яс0Б
Я 8
\и у
' ди (1) ( ди10
и
(2) 10
)(1 -
1
- д2и(О 2 и10
" 10^ ?
д? д? д2и (2) 1
д и10 )(1 - 1
д?
2
1
2 ¡0 Я 8 )
)-
12 ¡0 Я
2 (2)
т
д?дт Еб
и
т
2ф -¡0 ¡1 + М2М0 + ¡¡¡0
(2) 2 ди10)
д?
2 (2)
2и
10
д?
+
(21)
+ ■
2 и 2 Л4 (2) 2 л3 (2)
¡0 V1 - ¡0 д и\0 Б2 ¡0 д и10
-6^0
Р1
2
V
д?
б 2 д?
3
Р0h0 Яс0Б
Я 8
Vй У
ди (2) и10
? ?
ди (1) ди10 )(1
1 8
2 ¡0 Я
—
- д2и(2) 2 и10
д2«£ 2
?
_18 12 ¡0 Я
2
I
2
I
(
2л/1 -А02 ШтРо"ос2
тН 0 "0 с0
+ Рс^^-А[1 - 2Ао ]2 Ьт ^
Ясг
I
-Ярс2^ -Ао2)[(1 -2Ао)2 + 12Ао2]"т 8^
I
6
I д^
Введем обозначения = с3ф((), м»^ = с3ф(2), п = t = с2т, где
с2 = 6Ао
р1
2
положим
с3 =
Ро "оБ
с2 Еб
я 6
Vй У
/ , Л
6
2Ао Я
V
6с
>с( =
2
Ао^1 -Ао2
с( т
V Ьт У
1
2-\Д -А2 (А( + А2 Ао + А(Ао
6
а» = 6а0
р1
Ро"о
'я4
чбу
6 1 V1 - Ао с»
i б 10 с
1-
6
12 Ао Я
(22)
22
а2 =
Р 2(1 - 2а0 )2-, а6 = Б2 А с1
Ро"о бЯс,
б 2 сп
(23)
а3 =
р1 Ял11 -Ао2
р0"01б 12 В результате получим систему уравнений
(1 - 2ао )2 + 12 А
2
ф!» - бф1»2^) + фп+ф<(> - ф2) - а» (фп1» - ф? )- =о
(2)
фр> - 6ф®2ф<2> + фП + ф® - ф® - а» (ф® - ф*:(>)+ а2ф® -
(2) (1)
Д») = п
(2)
(24)
Система уравнений (24) имеет в качестве точного решения при а2= а3 = 0 (отсутствие жидкости во внутренней оболочке) кинк
ф(()= ф(2)=^5 + ш\ 6
кп +
_2 ^
2к3 + к а 6
(25)
Если, кроме того, а6 = 0 (отсутствие конструкционного демпфирования в нормальном направлении) получится следующее решение
р(1) = (р{2) = Ык(кц + 2к). (26)
Из этих формул следует, что скорость волны деформации дозвуковая. Фазовая скорость волны отрицательна для решения (25) и имеет вид
2
1
I
с
2
2
2
с
1
t
2k2 +
6
2Л
для решения (26) она имеет вид
- 2k2
Конструкционное демпфирование в нормальном направлении (<т6 > 0)
поднимает график функции над осью абсцис и смещает влево.
При наличии жидкости внутри второй оболочки требуется численное решение систем уравнений (24) при начальном условии ^=0) например
ф(1) = — + kth{kn} ф
(2)
6
6
+
kth{kn}
или
Заключение.
ф(1) = - + kth{kn\ ф(2) = 0. 6
(27)
(28)
При отсутствии жидкости во внутренней оболочке система обобщенных уравнений МКдВ-Б (24) имеет точное решение в виде кинка (25), из которого видно влияние конструкционного демпфирования в нормальном направлении на фазовую скорость кинка и наличие пьедестала для него. При наличии жидкости во внутренней оболочке требуется вычислительный эксперимент.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 19-01-00014.
Литература
1. Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны деформаций в цилиндрических оболочках // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 1995. — Т. 3, № 1. — С. 52-58.
2. Ерофеев В. И., Клюева Н.В. Солитоны и нелинейные периодические волны деформации в стержнях, пластинах и оболочках (обзор) // Акустический журнал. — 2002. — Т. 48, № 6. — С. 725-740.
3. Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в неоднородных цилиндрических оболочках: новое эволюционное уравнение // РАН. Акустический журнал. — 2001. — Т. 47, № 3. — С. 359-363.
4. А.М. Доронин, В.И. Ерофеев Трехволновое резонансное взаимодействие в упругопластической среде // Вестник ПНИПУ 2015. Механика №3 с. 52-62
5. Агеев Р.В., Кузнецова Е.Л., Куликов Н.И., Могилевич Л.И., Попов В.С. Математическая модель движения пульсирующего слоя вязкой жидкости в канале с упругой стенкой // Вестник ПНИПУ 2014. Механика №3 с. 17-35
6. Лекомцев С. В. Конечно-элементные алгоритмы расчета собственных колебаний трехмерных оболочек // ВМСС. — 2012. — Т. 5, № 2. — С. 233243.
7. Бочкарев С. А., Матвеенко В. П. Устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, содержащих вращающийся поток жидкости // ВМСС. — 2013. — Т. 6, № 1. — С. 94-102.
8. Mogilevich L., Ivanov S. (2021) Longitudinal Waves in Two Coaxial Elastic Shells with Hard Cubic Nonlinearity and Filled with a Viscous Incompressible Fluid. In: Dolinina O. et al. (eds) Recent Research in Control Engineering and Decision Making. ICIT 2020. Studies in Systems, Decision and Control, vol 337. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-65283-8_2
