Исследование распространения нелинейных волн в оболочке заполненной вязкой жидкостью с учетом инерции ее движения Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/26-97 Ссылка для цитирования этой статьи:

Быкова Т.В., Иванов С.В., Могилевич Л.И., Ридель В.В. Исследование распространения нелинейных волн в оболочке заполненной вязкой жидкостью c учетом инерции ее движения // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2019. №3

Выполнено при поддержке гранта РФФИ № 19-01-00014а_

УДК 539.3;517.9

ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В ОБОЛОЧКЕ ЗАПОЛНЕННОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ C УЧЕТОМ

ИНЕРЦИИ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ

Быкова Т.В.1, Иванов С.В.2, Могилевич Л.И.3, Ридель В.В.4 Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,

Россия, Саратов, [email protected] 2 Саратовский национальный исследовательский государственный университет

им. Н.Г. Чернышевского Россия, Саратов, [email protected] 3Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,

Россия, Саратов, [email protected] 4 Российский университет транспорта (МИИТ), Россия, Москва,

[email protected]

THE STUDY OF THE PROPAGATION OF NONLINEAR WAVES IN THE SHELL FILLED WITH A VISCOUS FLUID, TAKING INTO ACCOUNT

THE INERTIA OF ITS MOVEMENT

Bykova T.V.1, Ivanov S.V.2, Mogilevich L.I.3, Riedel V.V.4 1Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Russia, Saratov,

[email protected]

2 Saratov State University, Russia, Saratov, [email protected]

3 Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Russia, Saratov,

[email protected] 4 Russian University of Transport (MIIT), Russia, Moscow, [email protected]

Аннотация. В данной статье исследуются продольные волны деформации в физически нелинейных упругих оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость. Учтено наличие вязкой несжимаемой жидкости внутри оболочки, а также влияние инерции движения жидкости на амплитуду и скорость волны. Невозможно исследовать модели волн деформаций, методами качественного анализа в случае заполнения оболочки вязкой несжимаемой жидкостью. Это приводит к необходимости применения численных методов.

Численное исследование модели, построенной в ходе данной работы проводится с использованием разностной схемы для уравнения аналогичной схеме Кранка-Николсона для уравнения теплопроводности. При отсутствии влияния жидкости, скорость и амплитуда волны не меняется. Движение происходит в отрицательном направлении. Это означает что скорость движения дозвуковая. Результат вычислительного эксперимента совпадает с точным решением, следовательно, разностная схема и модифицированное уравнение Картевега-де Вриза адекватны. Наличие влияния инерции движения жидкости приводит к уменьшению скорости волны деформации, при этом вязкостное напряжение жидкости на оболочку приводит к падению амплитуды волны.

Ключевые слова: нелинейные волны, упругие цилиндрические оболочки, вязкая несжимаемая жидкость, разностная схема Кранка-Николсона.

Abstract. The article is devoted to studying longitudinal deformation waves in physically non-linear elastic shells with viscous incompressible liquid inside them. Viscous incompressible liquid presence inside the shell and liquid movement inertia impact on the wave velocity and amplitude are taken into consideration. It is impossible to study deformation waves models, in case of the shell filling with viscous incompressible liquid, by means of qualitative analysis methods. Then the necessity of numerical methods application arises. The numerical study of the constructed model is carried out by means of difference scheme, analogous to Crank-Nickolson one for the Heat conducting equation. The amplitude and velocity do not change under absence of liquid impact movement. The movement occurs in the negative direction, which means that movement velocity is subsonic. The numerical experiment result consider with exact solution, therefore, difference scheme and modified Korteweg-de Vries equation are adequate. The presence of liquid movement inertia impact leads to deformation wave velocity reducing, while liquid viscous tension on the shell leads to wave amplitude falling.

Keywords: non-linear waves, elastic cylinder shell, viscous incompressible liquid, Crank-Nickolson difference scheme.

1. Введение

Исследование волновых и колебательных процессов в упругих оболочках имеет широкое применение в различных технических областях. Исследование колебательных процессов упругих оболочках рассмотрено в [16]. Распространение волн деформации в упругих, вязкоупругих и нелинейных вязкоупругих оболочках и рассмотрены в [7-10]. В этих работах не рассматривается случай взаимодействия оболочек с вязкой несжимаемой жидкостью. В [11-13] рассмотрено взаимодействие оболочки с вязкой несжимаемой жидкостью, без учета волновых явлений, также не исследовано влияние локальных членов инерции.

Для решения связанных и несвязанных задач используются различные

методы. При решении несвязанных задач рассматривается взаимодействие жидкости, взаимодействующей с твердым телом. Определяют трение и давление, действующее со стороны жидкости на твердое тело. Таким образом предполагается отсутствие влияния деформации оболочки на движение жидкости [14]. Полученные параметры подставляются в уравнения динамики упругого тела, затем находятся продольные и нормальные (прогиб) перемещения. Таким образом определяется напряженно деформированное состояние упругой конструкции, что является целью в несвязанной задаче.

В случае связанной задачи уравнения динамики жидкости и уравнения динамики упругого тела и решаются одновременно, с учетом граничных условий. Этот подход применен, для исследования колебаний упругих тел [15], а также в данной статье при исследовании волн деформации нелинейных упругих оболочек, содержащих вязкую жидкость постоянной плотности с учетом инерции ее движения.

Невозможно исследовать модели волн деформаций, методами качественного анализа в случае заполнения оболочки вязкой несжимаемой жидкостью [16-19]. Это приводит к необходимости применения численных методов [20,21].

В данной статье исследуется влияние конструкционного демпфирования в продольном и нормальном направлении и наличие влияния окружающей упругой среды и вязкой несжимаемой жидкости внутри оболочки, а также инерции движения жидкости на амплитуду и скорость волны.

Численное исследование модели, построенной в ходе данной работы проводится с использованием разностной схемы аналогичной схеме Кранка-Николсона в случае уравнения теплопроводности [22].

2. Определяющие и разрешающие соотношения физически нелинейной

теории оболочек

Деформационная теория пластичности А. А. Илюшина [23,24] связывает компоненты тензора напряжений <х, < с компонентами тензора деформаций ех, £& и квадратом интенсивности деформаций её [25,26].

где Е - модуль Юнга; т - константа материала, определяемая из опытов на растяжение или сжатие; /л0 - коэффициент Пуассона материала оболочки.

Рассмотрим осесимметричную цилиндрическую оболочку. Обозначим: Н0 - толщина оболочки; Я - радиус срединной поверхности;

Я1 - радиус внутренней поверхности;

и - продольное упругое перемещение;

Ж - прогиб, направленный к центру кривизны.

Запишем связь компонент деформаций с упругими перемещениями в виде [27]

где

ди д2Ж 2—

Ж Ж

дх

дх

£& =---2 —

° Я Я2

х - продольная координата вдоль срединной поверхности;

( И И Л

~ к к

2 - нормальная координата в оболочке

0 < 2 < И0

V 2 2у

Квадрат интенсивности деформаций с учетом (2) запишем в виде

2 4 £2 = ^ М\-

ди

дх

г-

д Ж

дх2

+

Ж Я

г

Ж_ Я 2 у

+

(2)

(3)

+ М2

Ж ЖЛ — + г—

Я Я2 у

ди

дх

г

д2Ж

дх2

или

2 4

£2 = 3^1

г ди

V дх у

2

+

Ж2

V Я у

+ М2

Ж ди

Я дх

г <

2М

'ди Ж2Л*2

V дх Я3 у

д2Ж

дЖ+М2

/ 1 м

Ж д2Ж ди Ж

Я дх 2 дх Я 2

+

(4)

+ 2

М1

гд Ж

V дх2 у

2

Ж2

Я4

М2

д2Ж Ж дх 2 Я 2

Определим усилия в срединной поверхности оболочки и момент по следующим формулам

2 ^ Nх = \°хЛг, Н® = Л2, мх = \°хгЛг к

х J ~ х

к

(5)

При этом

1 -т «22

Е

т 4 (ди ^ 2 ( Ж } 2

--< М1 + — +

Е 3 V дх у V Я у

2

2

<

>

<

>

>

И

И

И

0

И

0

2

2

2

И

2

0

И

2

1 - т ^

Е

Ж ди К2

+ М2--+

2 Я дх 12

7 н0 т 4

аг = —---

12 Е 3

М1

2

' д2ЖЛ

V дх2 у

Ж2

Я4

М2

д2Ж Ж дх 2 Я 2

2М1

ди Ж

2 Л

дх Я3

д2Ж

дх2

+ М2

Ж д2Ж ди Ж

Я дх 2 дх Я 2

(6)

г

1 -т

Е

К

3

т 4

аг = ^(1 -12 \ Е 3

М1

'ди

V дх у

\2

+

Ж2

V Я у

+

Ж ди Я

+ ц2--+ 3—

2 Я дх 20

М1

'дЖ2

дх 2

Ж2

Я4

М2

д2Ж Ж дх 2 Я 2

Подставляя (6) в (5) находим

= _ЕК(^/ди

1 х „ 2

Мо

Ж т 4

1 -ММ дх Я Е 3

Мо

Ж

Я

М1

ди

V дх у

\2

+

Ж2

V Я у

+ М2

+ -

К1 12

'дЖ 2

V дх2 у

3М1

'и

V дх у

ди

. дх

д_ПЖ_ дх Я

Ж

+

+ (М2 -ММо )ж

Я

1

ЕИп

© -Ж

Я

1 - Мо

Мо

ди Ж т 4

дх Я Е 3

Мо

ди

дх

М1

дх

+

V дх у

Ж

V Я у

+ М2

+ ■

К

2 2 2

12

Vдx у

дП_Ж_

дх Я

ди ( Ж

3ММо~--(М1 -М2Мо)—

дх Я

+

(7)

3

+ 2(М2 -М1Мо)

ЕКо3

_ д 2Ж 12(1 - мо2 ) дх2

1 - т 4

Е 3

3М1

'ди

дх

2

+

V дх у

диЖ { / Ж

-Я+М -М2Мо^ ж у

2

К

+ 3—М1 2о 1

2

( д 2ЖЛ дх2 у

<

>

>

К

о

2

>

К

2

К

о

2

-X

К

2

>

>

>

<

>

Уравнения динамики для оболочек запишем так же как и в физически линейной теории

N

дх

м

д 2и 0 дт2

—

дг

д 2 Мх д х +

дх

2

дх

дЖ дх

N

_ д2Ж Я '&=Р0К дт2

+1 М®=Ро К

дх _ Я

ж ддл + и

дг дх

(8)

Я

где t - время; р0 - плотность материала оболочки; дп - напряжения со стороны жидкости, находящейся внутри кругового сечения; г, х -цилиндрические координаты.

Подставляя (1), (2), (5) в (8) найдем уравнения динамики в перемещениях

Бн0 д ди Ж_т4

1 - Ц дх \ дх Я Е 3

ди Ж --ц0 —

дх 0 Я

Ц1

2

V дх у

+

+

Ж 2

V Я у

+ Ц

+ Ц2 -ЦЦ0 )

Ж'

Я _

ЕК3 д

ди Ж

дх Я = Р0 К0

+

12

^д Ж

V дх2 у

ди

3Ц1^Г + дх

д 2и дт2

ТТ1 ддх дд дх - Ж—^ + и

2

'д 2Ж

12(1 -ц02 ) дх2 \ дх

т 4

„ 11---

2 1 Е 3

дг

\ ди 3ц — +

дх

Я

ы \ди Ж + 2(Ц2 - Н1Н0 )--+

Ж

дх Я Ц -Ц2Ц0у

2

дх

оК2 + 3—ц1

20 1

2

д2Ж 2

дх

2

+

(9)

+

ЕК0 д дЖ

1 - Ц дх \ дх Ж ~

Ж т 4

ди

--Ц0

дх 0 Я Е 3

ди

Ц0

Я

(ди ^ 2 ( Ж ^

V дх у + —

V Я у

+ Ц

дх ди Ж

+ ■

К 12

^д Ж

V дх2 у

* ди ( ч

+ Ц2 - Ц1Ц0 ) и дх Я

дх Я Ж

+

+

ЕИ0 1 ди Ж т 4

+ —-V— ц0------

1 - ц 2 Я \ дх Я Е 3

Ц0

ди Ж'

дх Я

2

ди

V дх у

+

х

х

л

2

х

>

2

>

<

+

Ж2

V Я у

-(М1 -М2Мо )■

+ М2

Ж'

ди_Ж_

дх Я

+ ■

К1 12

^д 2ЖЛ

дх2

3М1Мо

ди

дх

Я

= Ро Ко

д 2Ж д* 2

\п - Жд^ + и дЧ

дг

дх

Я

3. Асимптотический метод исследования уравнений оболочек с

жидкостью

Проводимые оценки в безразмерных переменных, характеризуют рассматриваемые задачи. Для волновых задач оболочку считаем бесконечной. Для продольных волн в оболочке вводятся безразмерные переменные и безразмерные параметры. Примем за характерную длину / - длину волны, а «т, wm - характерные значения упругих перемещений

* х * Со * г

Ж = , и = ити1, х -Т , * * , г =-

II Я

(10)

Со -

Е

\Р(1 - Мо) оболочке.

Положим

- скорость распространения продольных упругих волн в

Ко , Я2 — -е<< 1, —г-Я /2

0(е),

(11)

К

- 0(1),

ит Я

/ К

- 0(1), — - 0(1),

Е

Я

Я 2 /2

- е~

где е - малый параметр задачи.

Введем независимые переменные в виде

х - с* , т -е (13)

где т - быстрое время; с - скорость волны.

В этих переменных (10)-(13), оставляя в уравнениях (9) члены порядка е и е2 и отбрасывая члены с более высокими степенями, получим уравнения [28]

д / ит ди wm т 4

---1 - Мо—тщ---^

дЛ / Я 3 Е 3

ит ди1 wm „

+ М2 —----ит,

иж_ дщ_ /

w

т

Мо—и

Я

3

М1

/

+

w

т

Я

и

+

/ д£ Я

ит /

С

2 д2и д^2

- 2ес

д 2и1 д^дт

Ро КоС

Чх;

2* х

(14)

Мо

ит ди1 ^

/ Я

и -

т 4

Е 3

ит ди1 ^ „

МП и

о / Я -

М1

Г.. Л2 Л2

ит ди! /

+

w„

V Я у

и

+

2

п

2

2

/

Мт ди1 ^т „

2 I Я 3

Я 2 w т

l2 Я

с

22 д щ ^ д щ 3 - 2ес-3

2

Т

Я

р0К0с0

Зависимые переменные представим в виде асимптотического разложения и1 = м10 + ем11 +..., и3 = м30 + ем31 +... (15)

Получим систему уравнений, подставив (15) в (14), оставляя члены порядка е

д /дмш wml

дЛдГЦ0 МтЯМ30

д 2м

с

10

д^

(16)

Ц0

Из этой системы получаем

ди

10

д^ МтЯ

^Щ» = 0

МтЯ

_ дМ10 2 1 2 М30 = ц0 , с =1 ц0

д^

(17)

Таким образом пю - является произвольной функцией, а безразмерная = (1 - Ц )2 и следовательно скорость волны равна

скорость волны с

Е_

КР0"

скорости волны в стержне. Поскольку оболочка имеет бесконечную длину, то

<=}

х

1

Е

—г

Р0 у

Получим систему уравнений в приближении е д / дМ11 wml т 4

--Ц0-М31 -

МтЯ Е 3

М31 -

Ц1

дМ10 3

+

Ц2 - Ц1Ц0 )

wm1 МтЯ

М

30

V

/

V

д^ дМ

дМ

+ (Ц1 -Ц2Ц0 ) 10

10

у 2

у

V МтЯ

и

30

+

Ц1Ц0

2с

д 2м

10 ^2 д2м

11

3

Wm

V МтЯ у

12

М

30

Ц0

дМ

11

Wml

т 4 ( м Л

д#дт 2/

д^2 еМтР0К0с0 ЧХ'

(18)

МтЯ

+ Ц

М31---

Е 3 дм-

т

V _ у

Ц0

дм

10

Wml

МтЯ

и

30

2

дм10

т"

10

МтЯ

и

30

9 ?

1 Я wml 2 д м30

д^

Я_

+

Wml

2

V МтЯ у

и

30

+

е l2 мтЯ с д^2 еМтР0Кс2

2 д.

Подставим соотношение (17) в уравнения (18) и получим систему

2

2

3

2

2 Мо

а 2и

11

д?

Мо

™т1 ди31

т 4

и

итЯ д? Е3 V !

- 2У11 -М0 -

(1 -Мо2 ](

М1 + М2М0 + М1М0

ди

1о

д?

22

д 2 и

1о

д?

I -

БитРо К С

2 Ях

(19)

Мо'

ди

11

д?

итЯ

и

31

1Я

Б 12

(1 -Мо )Мо

д 3и

1о

Я!

д? еитРоКСо

Яп

Продифференцируем почленно по ? и умножим обе части второго уравнения на м0 и получим следующее уравнение

Я! ддп .

2 Мо

д 2и

11

д?

Мо

Vт! ди31

1 Я2 ^ 2\

Мо (1 - Мо )

итЯ д? б !

д 4и

1о

2

д?

Мо

Битро КоС0 д?

(20)

Левые части уравнений (19) и (20) совпадают. Вычтем, почленно, из уравнения (20) первое уравнение системы (19) и в результате получим разрешающее уравнение

2д/1

2 д2и

Мо

1о

т

д?дт Еб

4[^) (1 - Мо2 )(М1 + М2Мо + М1Мо2 ^

ди

1о

2 д2и

1о

1 Я2 2^ 2\ +--~Мо (1 -Мо2 )

д 4и

1о

!2

б !

2

д? БитроКоСо

Ях - Мо

д?

Я ддп ! д?

д?

+

Разделим обе части полученного уравнения на 2^1 - Мо и получим

д 2и

1о

- 2

т

+

д?дт Еб 1 Я2 Мо

и

V

/

Гл 21 2 ди1о

V1 - Мо (М1 + М2Мо + М1М0 1—

л2 д2и1о -2

+

2 "2д/1-М д4и

1о

б !2 2 д? 2^1 -Мо2 БитРоКоС

Ях - Мо

д? Я ддп

! д?

Полученное уравнение есть обобщенное модифицированное уравнение

ди

Кортевега - де Вриза (МКдВ) для ——.

д?

В случае отсутствия жидкости правая часть уравнения равна нулю и получается модифицированное уравнение Кортевега-де Вриза (МКдВ). Надо определить правую часть, решая уравнения гидродинамики.

4. Исследование напряжений, действующих на оболочку со стороны

находящейся внутри жидкости

Напряжения со стороны слоя жидкости определяются формулами [29]

2

!

2

!

1

/ л \ л л л

Чп = Ргг с об п, пг + Ргх с™ п, г Чх =- Ргх С08 п, пг + Рхх С™ п, г

V У V V У V у

дК

Ргг = -р + 2ру—^; Ргх = ру дг

(дУ^ + дК ^

дг дг

V

; Рхх = - Р + 2Ру

У

дКх

дх

Если снести напряжения на невозмущенную поверхность оболочки, то

можно считать п = п и соб

/ л л ( л \

п, пг = 1, С0Б п, г = 0

V У V У

Уравнение изменения количества движения вязкой несжимаемой жидкости (Навье-Стокса) и уравнение сохранения ее массы (неразрывности) в цилиндрической системе координат (г, 0, х) в случае осесимметричного течения записываются в виде [30]

дК „ дК

дК 1 др г + Кг ^ + Кх ^ + - др

дг дг дК „ дК

дх р дг

у

(д 2Кг + 1 + д 2Кг УгЛ

дг2 г дг дх2 г2

дг

х V д, х дКх 1 др

х + Уг —х + Ух —х +

дг

дх р дх

V = у

( д 2Кх 1 д 2УхЛ

дг2 г дг дх2

(22)

У

дК К дК

г + -г + ■

0

дг г дх

где Уг , Ух - проекции вектора скорости на оси цилиндрической системы координат; р - давление в жидкости; р - плотность жидкости; у -кинематический коэффициент вязкости; п - нормаль к срединной поверхности оболочки; пг, г - орты базиса (г, 0, х) цилиндрической системы координат,

центр которой расположен на геометрической оси

На границе с оболочкой выполняются условия прилипания жидкости в подходе Лагранжа.

ди дК дК

д-к+и^-ж х

дг

дх

дг дх дг

где Уг , Ух - ограничены при г=0.

Введем безразмерные переменные и параметры

дЖ дК дК

К + и^ - Ж^. при г=Я!-Ж (23)

дг

Уг = №,„ С0Уг; Кх = С0гх; р = + ро;

— = ш = О I

( П

V У

■ Х~

Я

О(4 Яе = ¥ ЯСо

у

(24)

Подставляя (24) в уравнение (22) и граничное условие (23) получаем уравнения и граничные условия для безразмерных компонент скорости жидкости и давления. Представляя давление и компоненты скорости жидкости в виде асимптотического разложения малому параметру X

Р = Р0 + ЛР1 +.

О п 1 Кх = Кх + Лкх + ■

О п 1

Уг = V0 + Луг + .

для первых членов разложении получим

дР 0 = 0; Яе ^

+ ■

дР 0

1 д

до д?' дх'

и граничные условия вида

0 ди3 итЯ1 ди1

* * о до

дv

0 Л

до

о до

1 А(о -V 0 )+М

0;

дх

(25)

V

д?

V

* ' ух

™т.I д?

* 1 при о = 1; о

* сV

0

до

л * дvx 0; о х

до

0 при о = 0.

Определим напряжения со стороны жидкости на оболочке в этих переменных. Получим с точностью до Л, у

Чх

7 У 2 Л-Рсо

дк0

Яс

0

до

Чп

Р0

* 1 о =1

Р 0

¥ Я1С0

(26)

При отсутствии гармоничности по времени параметров течения, что имеет место в рассматриваемой задаче, применим метод итерации к задаче (25) На первом шаге итерации отбросим локальный член инерции (Яе<<1) и получим

к

Р°=1б{(

= 1 (о-2 -1)

-I

1 ит¥ ди1 с ди

2 Wm д? *

1 ит¥ ди1

2 ^ д? * 1 д?'

-I

д? ди

-йх

йх

йх *

ит¥ ди1

На втором шаге итерации, подставляя найденное решение в локальный член инерции, будем иметь

2Яе

1 ит¥ди1 4| д и3йх*

дv 0

до

= Яе1

* 3

о =1

6 ™т д?*2

1 ит¥ дЧ

V 2 ^т д?*

I

д?

д 2щ

^ *2 д?

+16

1 ит¥ ди1 г ди3

йх

+ 8

_ 2 wm д? д? 1 иту ди1 с ди.

йх

йх

2 д?

I

_ * д?

йх

(27)

Следует отметить, что в [15] доказана сходимость метода итерации.

Учитывая, что введены переменные (13), найдем с точностью до г и с

учетом связи с

Р0 = ^Щ 2| из0^-

т

и

При этом

дк 0

до

л!1 -М0

* 1 о =1

10

4

- 1яе

3

V

Wml

Г-

2 Мо

2и

30

итЯ1 ди

10

Wml

х

о

<

>

<

- 1яе

6

2дизо

итЯ1 д 2"10Л

Vт1 д^

2

2 Мо

Тогда учитывая, что ——и30 = м0

ди

10

итЯ

получаем

Чх -Мо Я

Я ддп

Я1С0

/

Я РС026 (1-М02 и

у 2

Р^0

1 о Я 1 - 2Мо —

Я

+ 3

1 о Я

1 - 2мо Я

2Мо~

ди

10

1У

1

2

Я

1У

д 2и

10

д^

Следовательно, имеем уравнение

д2и10 1 Я2 Мод/1 -М д4и

10

д^дт £ /2

2

д^

2

т

Ее

V1 -М02 (м1

и.

2 I и т

+ М2М0 + М1М0) —

л

2

У

ди

10

л2 д2и

10

д^

(28)

1 /

2 £Р0К0

у

Я1С0

р4

1 - 2м0 Я 0 Я

ди

10

- Я

/ 6^

2 Мо

1 - 2Мо

Я

Я

+ 3

1У

2Мо

Я

Я

1У

д 2и

10

д^

С принятой точностью в (28) можно положить Я]=Я. Полагая

ди

10

6,

г = сх<Е, , г = с2т, получим обобщенное модифицированное уравнение Картевега-де Вриза (МКдВ) [31,32]

дф дг

где

дф 2 дф > д3ф

+ — — + сфР = 0 дг дг

(29)

С

С2 = С1

2 т ( и Л

при этом положено

3 Е

1 т

3 Ее

2

т

V 1 У

2 ,2

/ М1 + М2М0 + М1М0

Я2

2 Мо

V1 -М0) (М1

и,

2'- +М2М0 +М1М02 1у"

л

У

С

(1 - 2Мо )2

2

рр у

£р0 К0 Я1С0

(30)

>

2

2

2

<

2

2

>

1

2

2

Сто

С^д/1

с2 12

М0

Р Я1

Р0 V 1

1 о Я

1 - 2М0 —

2

Я

+ 3

1 У

~ Я 2М0 —

2

Я

1 У

1

При условии ст1 = 0 то есть при м0 = ~ - несжимаемый материал, обобщенное уравнение МКдВ

д< 2 д< д <

д?

- 6<

+ ■

дц дц1

- Ст

д<

дц

= 0

имеет точное решение в виде кинка-антикинка

< = ±ш\к\ц + ((2к2 + ст2 ) ]|

(31)

Фазовая скорость

ю к

= -2к - Сто

Скорость волны при этом

II

Е

Р0

с2 (2к 2 +СТ2 )

с^

2

Мо У

Так как числитель дроби положительный то скорость дозвуковая. Инерция движения жидкости ст2 уменьшает скорость волны. Вязкость жидкости (ст1 > 0) оказывают влияние на амплитуду волны. Это влияние исследуется с помощью численного решения уравнений МКдВ. Волновое число к - произвольная величина.

5. Вычислительный эксперимент

Для численного исследования модели волновых движений физически нелинейной упругой оболочки при наличии влияния жидкости, представим уравнение (29) в интегральной форме.

1<йц-

о

О з д < -СТ2<-2<

дц

йг + Л ст<йгйц = 0 (32)

о

для произвольной области О. Сопоставим и" = <р(,п, ц) для перехода к

дискретной формулировке и выберем в качестве базового контур, представленный на рисунке 1.

Рис. 1.Базовый контур для уравнения (32)

Запишем интегральные соотношения

С+1 = +1)-и(,Ц] ),

т0

Г и^=+1)-)

(33)

Для интегрирования по времени и по четным производным по ц используем формулу трапеций, а по нечетным производным по ц - формулу среднего значения и положим tn+1 - tn = т, ц-+1 -ц- = к. Подставим все это в

формулы (32), (33) и используя метод базисов Гребнера [33,34] получим следующую разностную схему для уравнения (30) аналогичную схеме Кранка-Николсона [35,36] в случае уравнения теплопроводности.

„,п+1 я I п +1 п + Л , / п п \

ип - ип и+1 - и--1)+ и+1 - и--1)

]

]

а

т

2

4к

;П+1

;П+1

и ]+1 - и ]-1 1 + 1 и ]+1 - и ]-1

- 2-

4к

+

\и ;+1у - 2 ] + 2ип+1 - ] )+(м^ - 2иП^ + 2иП_Л - иП

п+1 ]+2

п+1

Ч -1

п+1

Ч~2,

+2

Ч+1

Ч-1

п

] -2,

и

+ а

4к

п+1

]

3

+и

2

= 0

при начальном условии в виде точного решения (31) при 1=0.

п

п

6. Полученные результаты и выводы

Рис. 2. Отсутствие влияния жидкости (< =0, <2 =0)

При отсутствии влияния жидкости, скорость и амплитуда волны не меняется. Движение происходит в отрицательном направлении (рис. 2). Это означает что скорость движения дозвуковая. Результат вычислительного эксперимента совпадает с точным решением, следовательно, разностная схема и уравнение КдВ адекватны.

Рис. 3. Наличие влияния жидкости

Влияние вязкостного напряжения жидкости на оболочку (<) приводит к падению амплитуды волны, а инерция движения жидкости (<2) приводит к уменьшению скорости волны (рис. 3).

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 19-01-00014а.

Литература

1. Кондратова Ю.Н., Кондратов Д.В., Могилевич Л.И. Гидроупругость трубопровода кольцевого профиля со свободным опиранием при воздействии вибрации // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2011. Т. 4. № 4 (62). С. 9-14.

2. Кондратов Д.В., Плаксина И.В. Гидроупругость геометрически нерегулярной трубы кольцевого профиля при воздействии гармонического перепада давления // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2011. Т. 4. № 1 (59). С. 25-28.

3. Елистратова О.В., Кондратов Д.В. Моделирование динамики трех упругих соосных оболочек свободно опертых на концах, взаимодействующих с двумя пульсирующими слоями жидкости, находящихся между ними при пульсации давления // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2016. № 1. С. 11-15. URL: mathmod.esrae.ru/1 -2

4. Кондратов Д.В., Могилевич Л.И. Возмущающие моменты в поплавковых гироскопах и акселерометрах с упругим корпусом // Авиакосмическое приборостроение. 2003. № 11. С. 3-19.

5. Анциферов С.А., Кондратов Д.В., Могилевич Л.И. Возмущающие моменты в поплавковом гироскопе с упругим корпусом прибора на вибрирующем основании при несимметричном торцевом истечении // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2009. № 3. С. 25-35.

6. Кондратов Д.В. Гидроупругость силового цилиндра с полым плунжером при свободном истечении жидкости // Вестник Саратовского госагроуниверситета им. Н.И. Вавилова. 2008. № 1. С. 38-43.

7. Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны деформаций в цилиндрических оболочках // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 1995. — Т. 3, № 1. — С. 52-58.

8. Ерофеев В. И., Клюева Н.В. Солитоны и нелинейные периодические волны деформации в стержнях, пластинах и оболочках (обзор) // Акустический журнал. — 2002. — Т. 48, № 6. — С. 725-740.

9. Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в неоднородных цилиндрических оболочках: новое эволюционное уравнение // РАН. Акустический журнал. — 2001. — Т. 47, № 3. — С. 359-363.

10.Доронин А.М., Ерофеев В.И. Трехволновое резонансное взаимодействие в упругопластической среде // Вестник ПНИПУ 2015. Механика №3 с. 52-62

11.Агеев Р.В., Кузнецова Е.Л., Куликов Н.И., Могилевич Л.И., Попов В.С. Математическая модель движения пульсирующего слоя вязкой жидкости в канале с упругой стенкой // Вестник ПНИПУ 2014. Механика №3 с. 17-35

12. Лекомцев С. В. Конечно-элементные алгоритмы расчета собственных колебаний трехмерных оболочек // ВМСС. — 2012. — Т. 5, № 2. — С. 233243.

13.Бочкарев С. А., Матвеенко В. П. Устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, содержащих вращающийся поток жидкости // ВМСС. — 2013. — Т. 6, № 1. — С. 94-102.

14.Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости. —: М.: Наука, 1979. — С. 320.

15.Андрейченко К. П., Могилевич Л. И. О динамике взаимодействия сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости с упругими стенками // Изв. АН СССР. МТТ. — 1982. — № 2. — С. 162-172. 34

16.Erofeev, V. I. Microstructured solids. Mathemamatical models and wave processes analiysis -:.Nizhnny Novgorod.-Intelservice Publ. Comp., 1996.

17.Rudnick I., Wu J., Wheatley S. Putterman Flexural waves envelope solitonsin a metallic cylindrical thin shell // Проблемы нелинейной акустики. Сборник трудов 11 Международного симпозиума по нелинейной акустики. Новосибирск 24-28 августа 1987 г. — 1987. — Т. 2. — С. 208-212.

18.Arshinov G. A., Mogilevich L. I. Non linear dispersion waves in viscous - elastic cylindrical shells // Mathematical Modeling of Dinamic Behavior of Thin Elastic Structures. EUROMECH Colloquium 439. — 2002. — P. 24-27.

19.Loitsyanskii L.G. Mechanics of Liquids and Gases, Pergamon Press, Oxford, 1966

20. Самарский А. А. Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. — 2-е, исправленное изд. —: Физматлит, 2001. — С. 320.

21.Samarskii A. A. The theory of difference schemes. — : New York, Marcel Dekker, 2001

22.Горохов В.А., Казаков Д.А., Капустин С.А., Чурилов Ю.А. Алгоритмы численного моделирования процессов деформирования и разрушения конструкций в рамках соотношений механики поврежденной среды // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2016. - No 4. - С. 86-105. DOI: 10.15593/perm.mech/2016.4.06

23.Ильюшин А. А. Механика сплошной среды.-М.: Изд-во МГУ, 1990. -310 с.

24.Овчаров А. А., Брылев И. С. Математическая модель деформирования

нелинейно упругих подкрепленных конических оболочек при динамическом нагружении // Современные проблемы науки и образования - 2014. - №3 URL: http: //www. science-education. ru/ru/article/viewid=13235

25.Каудерер К. Нелинейная механика.- М.: Издательство иностранной литературы, 1961. — 778 с.

26. Фельдштейн В. А. Упруго пластические деформации цилиндрической оболочки при продольном ударе // Волны в неупругих средах, Кишинев, 1970, С. 199-204.

27. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек: учеб. пособие для бакалавриата и магистратуры - 2-е изд. стер. - М.:Издательство Юрайт, 2018. - 439 с.

28. Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках: солитоны, симметрии, эволюция. - Саратов: Сарат. гос. техн. унт, 1999. - 132 с.

29.Землянухин А. И. Бочкарев А. В. Могилевич Л. И. Уединенные продольно-изгибные волны в цилиндрической оболочке, взаимодействующие с нелинейно-упругой средой // Вестник Московского государственного университета им. Н. Э. Баумана. Серия: Естественные науки. 2018. №1(76). С. 47-60.

30.Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа —: М.: Дрофа, 2003. — С. 840.

31.Nariboli G. A., Nonlinear longitudiinal waves in elastic rods // Journal of Mathematical and Physical Sciences. — 1970. —Vol. 4. — P. 64-73.

32.Nariboli G. A., Sedov A. Burgers's - Korteveg - de Vries equation for viscoelastic rods and plates // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1970. — Vol. 32. — P. 661-677.

33.Gerdt V. P., Blinkov Yu. A., Mozzhilkin V. V. Gr ' obner Bases and Generation of Difference Schemes for Partial Differential Equations // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. -2006. -Vol. 2. -P. 26. -URL: http://www.emis.de/journals/SIGMA/2006/Paper051/index.html.

34.Gerdt, V. P. Blinkov Yu. Janet Trees in Computing of Toric Ideals // Computer algebra and its applications to physics. — Dubna, Russia:, 2002. — P. 71-82.

35.Gerdt V. P., Blinkov Yu. A. Involution and difference schemes for the Navier-Stokes equations // Computer Algebra in Scientific Computing. — : Springer Berlin / Heidelberg, 2009. — Vol. 5743 of Lecture Notes in Computer Science. — P. 94-105.

36.Blinkov Yu. A., Mozzhilkin V. V. Generation of difference schemes for the burgers equation by constructing Grobner bases // Programming and Computer Software. — 2006. — Vol. 32, no. 2. — P. 114 - 117.