Нелинейные волны в цилиндрической оболочке, содержащей вязкую жидкость с учетом инерции ее движения, при воздействии окружающей упругой среды и конструкционного демпфирования в продольном направлении Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/24-90 Ссылка для цитирования этой статьи:

Блинков Ю.А., Евдокимова Е.В., Могилевич Л.И., Кондратов Д.В. Нелинейные волны в цилиндрической оболочке, содержащей вязкую жидкость с учетом инерции ее движения, при воздействии окружающей упругой среды и конструкционного демпфирования в продольном направлении // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2019. №1

Выполнено при поддержке гранта РФФИ 19-01-00014 и гранта Президента Российской Федерации МД-756.2018.8_

УДК 532.516:539.3:517.957

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ, СОДЕРЖАЩЕЙ ВЯЗКУЮ ЖИДКОСТЬ С УЧЕТОМ ИНЕРЦИИ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ, ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ОКРУЖАЮЩЕЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ И КОНСТРУКЦИОННОГО ДЕМПФИРОВАНИЯ В ПРОДОЛЬНОМ

НАПРАВЛЕНИИ Блинков Ю.А.1, Евдокимова Е.В2, Могилевич Л.И.3, Кондратов Д.В.4 1 Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, Россия, Саратов, BlinkovUA@info.sgu.ru Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,

Россия, Саратов, eev2106@mail.ru 3 Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., Россия, Саратов, mogilevich@info.sgu.ru 4 Поволжский институт управления имени П.А. Столыпина - филиал Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации,Россия, Саратов, kondratovdv@yandex.ru

NONLINEAR WAVES IN A CYLINDER SHELL CONTAINING A VISCOUS LIQUID WITH INERTIA OF ITS MOVEMENT, UNDER THE IMPACT OF THE SURROUNDING ELASTIC MEDIUM AND STRUCTURAL DAMPING

IN THE LONGITUDINAL DIRECTION

Blinkov Y.A.1, Evdokimova E.V.2, Mogilevich L.I.3, Kondratov D.V.4 1Saratov State University, Russia, Saratov, BlinkovUA@info.sgu.ru

2 Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Russia, Saratov,

eev2106@mail.ru

3 Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Russia, Saratov,

mogilevich@info .sgu.ru 4 Volga Management Institute named after Р.А. Stolypin - a branch of Federal State-Funded Educational Institution of Higher Education Russian Presidential Academy of

National Economy and Public Administration, Russia, Saratov, kondratovdv@yandex.ru

Аннотация. В настоящей работе развивается метод возмущений для моделирования нелинейных волн деформаций в упругой цилиндрической оболочке, заполненной вязкой несжимаемой жидкостью с учетом инерции ее движения, окруженной упругой средой и при конструкционном демпфировании в продольном направлении. Наличие окружающей среды приводит к интегро-дифференциальному уравнению, обобщающему уравнение Кортевега -де Вриза, имеющему то же решение в виде уединенной волны - солитона. Оно не содержит произвольного постоянного волнового числа, в отличие от решения уравнения Кортевега - де Вриза. Поведение вязкой несжимаемой жидкости внутри оболочки описывается уравнениями динамики и неразрывности. Они решаются вместе с граничными условиями прилипания жидкости к стенке оболочки. Решение представляется прямым разложением искомых функций по малому параметру задачи гидроупругости и сводится к задаче для уравнения гидродинамической теории смазки. Решение этих уравнений и определяет напряжения со стороны жидкости, действующие на оболочку в продольном направление и по нормалям. Наличие жидкости в оболочке добавляет в уравнения продольных волн деформаций член уравнения, который не позволяет найти точное решение. Конструкционное демпфирование в продольном направлении добавляет такой же точно член уравнения, что и наличие жидкости. Они имеют разные знаки, когда коэффициент Пуассона меньше 1/2. В противном случае знаки совпадают. Наличие жидкости и конструкционного демпфирования требуют численного исследования. Численное исследование проводится с использованием современного подхода, основанного на универсальном алгоритме коммутативной алгебры, для интегро-интерполяционного метода. В результате построения разностного базиса Грёбнера сгенерированы разностные схемы типа Кранка-Николсона, полученные с использованием базовых интегральных разностных соотношений, аппроксимирующих исходную систему уравнений. Вычислительный эксперимент показал, что если конструкционное демпфирование и влияние жидкости имеют разные знаки и совпадает по величине, то их влияние исчезает и солитон распространяется не меняя ни направление, ни амплитуду, что совпадает с аналитическим решением. Если конструкционное демпфирование превышает влияние жидкости, то происходит затухание амплитуды волны, а в противном случае происходит рост амплитуды.

Ключевые слова: нелинейные волны, вязкая несжимаемая жидкость, цилиндрические упругие оболочки.

Abstract. The present article deals with further developing of perturbation method for deformation non-linear waves in an elastic cylinder shell, filled with viscous incompressible liquid without inertia of its movement, surrounded by an elastic media and under construction damping in longitudial direction. Surrounding medium presence leads to integral-differential equation, to generalizing Korteweg-de Vries ones and possessing the same soliton in the form of a solitary wave - a soliton. It does not contain an arbitrary constant number unlike Korteweg-de Vries equation solution. The viscous incompressible liquid presence inside the shell behavior is described by means of dynamics and continuity equation, is solved together with boundary conditions liquid adhesion to a shell wall. The solution is presented by direct expansion of unknown function by small parameter of hydroelasticity problem and reduced to the problem for hydrodynamics lubrication theory equations. The equations solution defines the tensions on the part of the liquid, the tensions influence the shell longitudinal and normal directions. The liquid presence in the shell adds to longitudial deformation waves equations one more equation member, which does not allow to find exact solution. Construction damping in a longitudial direction adds the same equation

member, like liquid presence does. They posses opposite signs in the case of shell Poisson coefficient being smaller than 1/2. In contrary case signs coincide. Liquid presence in the shell and construction damping demand for numerical research. The liquid presence leads to the equation, generalizing Kortevega-de-Vrisa equation, lacking the exact solution and demanding numerical investigation. The numerical investigation is carried out with the use of the modern approach, relying on the universal algorithm of commutative algebra for integro-interpolation method. As a result of difference Grobner basis construction, the difference Crank-Nicolson type schemes are generalized. The schemes were obtained due to the use of basic integral difference correlations, approximating the initial equations system. Computational experiment showed that in the case of construction damping and liquid impact have opposite signs but coincide in value, their influence does not case and a soliton propagates without changing its direction and its amplitude, which coincide analytical solution. If constructive damping exceeds liquid impact, the wave amplitude decreases; in the opposite case the wave amplitude grouse.

Keywords: nonlinear waves, viscous incompressible liquid, elastic cylinder shell

ВВЕДЕНИЕ

Взаимодействие упругих элементов конструкций с жидкостью рассматривалось в разных аспектах. Взаимодействие упругих оболочек с идеальной несжимаемой и сжимаемой жидкостью (газа) исследовано в работах [1,2 ]. В абсолютно жесткой трубе с круговым сечением ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости под действием гармонического поведения по времени перепада давления анализировалось в [3], а при пульсирующем движении вязкой жидкости в соосных упругих оболочках конечной длины - в [4, 5]. В условиях вибрации взаимодействие вязкой несжимаемой жидкости с упругими оболочками исследовалось в [6-9], а с учётом вращения жидкости - в [10-12].

В современной волновой динамике одним из важных направлений является изучение поведения волн деформаций в упругих тонкостенных конструкциях. Проблема распространения волн в газовой динамике и теории упругих оболочек изучается при помощи линеаризованных уравнений. При этом скорость распространения возмущений считается постоянной и равной скорости распространения звука в невозмущенной среде. Однако, ряд явлений, несмотря на малые значения зависимых переменных, целиком определяется зависимостью скорости распространения возмущений от величины зависимых переменных и исследуется на базе нелинейных уравнений. Эти исследования проводятся с помощью методов возмущений, таких как метод сращиваемых асимптотических разложений, метод деформируемых координат, метод многомасштабных разложений.

Впервые уравнения Кортевега-де Вриза для продольных нелинейных волн в стрежнях получены в [13], а с учетом диссипативных факторов уравнения Кортевега-де Вриза - Бюргерса для стержней и пластин получено в [14]. Обзор работ о распространение нелинейных волн и экспериментальном обнаружении таких волн приведен в [15].

Волны деформаций в упругих цилиндрических оболочках расматривались [16-18]. Кроме того, проблемы распространения волн в упругих

и вязкоупругих тонкостенных конструкциях, в том числе в бесконечно длинных цилиндрических оболочках без взаимодействия с вязкой несжимаемой жидкостью, рассматривались в [19-21] с позиции теории солитонов. Получение точных решений эволюционных уравнения, включая уравнения распространения уединенных волн, рассмотрено в [22-23].

Ранее в [24-26] были получены математические модели и проведены исследования волновые процессы в бесконечно длинных геометрически и физически нелинейных оболочках, учитывающие влияние вязкой несжимаемой жидкости. Был исследован эффект влияния вязкой несжимаемой жидкости на поведение волны деформации в оболочке в зависимости от коэффициента Пуассона материала оболочки. В частности, выявлен экспоненциальный рост амплитуды волны при наличии жидкости в оболочке из неорганических материалов (различные трубопроводы в технологических сооружениях). В случае органического материала (кровеносные сосуды) волна в жидкости быстро затухает.

Решение поставленной в работе задачи для геометрически нелинейных оболочек представляется актуальным и сложным и имеет важное значение для акустической диагностики и неразрушающего контроля материалов. Во многом интерес к подобным задачам инициирован необходимостью анализа упругих и динамических свойств нанообъектов, в частности, карбоновых.

В настоящей работе развивается метод возмущений для моделирования нелинейных волн деформаций в упругой цилиндрической оболочке, заполненной вязкой несжимаемой жидкостью, окруженной упругой средой и при конструкционном демпфировании в продольном направлении. Показано влияние вязкой несжимаемой жидкости, заполняющей оболочку, окружающей упругой среды и конструкционного демпфирования на поведение продольных волн деформации в упругой цилиндрической оболочке.

Постановка задачи

Рассмотрим бесконечно длинную упругую цилиндрическую оболочку, внутри которой находится вязкая несжимаемая жидкость.

Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости и уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат г, 0, х записываются, в случае осесимметричного течения, в виде [27]:

-У -У дУ 1 др + Уг ду^ + Ух дУ^ + —р = у

дt дг дх р дг

Гд2У 1 дУ д2У УЛ

г . г I г г

.2 + „ а, 2 „2

у дг г дг дх г у

дУ дУ дУ 1 др х + Уг -у^ + Ух + - дрр = у

дt дг дх р дх

-Уг Уг -Ух п —^ + — + —- = 0.

дг г дх

д2Ух 1 дУх д2Ух

Л | Л | Л

к дг2 г дг дх2 у

На границе с оболочкой выполняются условия прилипания жидкости согласно подходу Лагранжа

ди т_ ТТдУх — = Ух + и —х

дt дх

Ж, t

Ж

дУ„

дг

V, V,

дЖ дV

-= V + и —^

дt дх

Ж

дУг дг

(2)

где г = Я - Ж, t - время; Уг, ух - проекции вектора скорости на оси цилиндрической системы координат; р - давление; р - плотность; у -кинематический коэффициент вязкости; и - продольное упругое перемещение оболочки по оси х; Ж - прогиб оболочки, положительный к центру кривизны; Я - внутренний радиус оболочки; Я - радиус срединной поверхности оболочки; К0 - толщина оболочки (К = 2(Я - Я )) и К << Я.

Записывая уравнения движения элемента цилиндрической оболочки в перемещениях для модели Кирхгофа-Лява, рассмотрим материал с линейной зависимостью интенсивности напряжений от интенсивности деформаций в1

= Ее (3)

здесь Е - модуль Юнга.

Кроме того, учтем конструкционное демпфирование в материале оболочки, характеризуемое величиной пропорциональной дU/дt, добавляемой к Даламберовой силе инерции, в продольном направлении [28]

I ди

рКо — (4)

1

8 -

Е

Ро(1 -Мо2 )Р < < д

здесь вх - коэффициент демпфирования; р0 - плотность материала оболочки;

М0 - коэффициент Пуассона; ^Е/[р0([ - М)] = с0 - скорость распространения

продольных волн в оболочке; I - длина волны.

Уравнение динамики геометрически нелинейной оболочки с учетом (3), (4) записываются в виде

ЕКо д_ 1 дх

-РоКо

ди 1 (ди ^ 2 (дЖ ^ 2 (д 2Ж ] 2

-- - — + V дх2 у -Мо V

дх 2 V дх У V дх 24

Ж 1 Ж2

К2 ж2Л

Я 2 Я2 24 Я4

—

д 2и 0 дt2

-8

11

Е

\РоКо

ди

Тл о О /-ч.

Ро(1 -М° ) д

Я.

О О

к Я РоК^ц к РоУо

14

2 Я212

иj

и д^+Ж дЯ

К д2

ЕКо

1 -мо2 \ 12 дхг

дх

д 2Ж (л дил

-Т 1 +-

дх I дх

дг

Ж г + Мо Ж

(5)

Ж

1 -

V Я у

1

Я

ди 1

Мо - + дх 2

(ди > 2 (дЖ ^ 2 К + Мо — 24 (д 2ж ] 2 ( Ж 1 Ж2

+ V дх2 у - V Я 2 Я2

V дх у V дх у

К2 Ж_

24 ЯА

2 Л

<

>

1

>

д \дж

дх 1 дх

, д2Ж + РоК—— +

ди 1 (ди ^ 2 (дЖ ^ 2 +42 (д 2ж ] 2

-- - — + V дх 2 ;

дх 2 V дх ) V дх ) 24

V 1 Ж2

И2 Ж2Л

Я 2 Я2 24 Я

4

дг2

К

роМ Ж - 2*1 РоИС

+ то Р оК

д2Ж

= Чп + и - Ж дя

дх

дг

^ /2 1 о о о дх2 2 о о дГ2

Здесь , ди - напряжения со стороны жидкости, находящейся внутри оболочки. Выражения в квадратных скобках уравнениях системы (5)

- > я 2 аАА2 и+V

к

Р 0И0С(

4 и + и3,

/4 2 Я2/2

ч2т

д 2Ж

/

2С0 Ж - 2*1 РоИоС2 ^ТТ + то РоИо^Т2

дх2

дг2

(6)

характеризуют реакцию упругой среды, в которой расположена труба кругового сечения Власова-Леонтьева [29, 30].

я2 Р0И0С02 тт , , Р0И2С0 2 „2,2

Выражение

к я ^ч»"2 и+к Р0ЧС и3

/ 4

Я2/2

реакция на продольное

перемещение, а слагаемые к1

Ж - реакция на сдавливание (сжатие),

/

2г1РоИоС(

д 2Ж 2 дх2

реакция на сдвиг,

^оРоА)

д 2Ж дг2

инерционная реакция.

Безмерные коэффициенты порядка единицы К Л2 ,£3 Л - введены в [30] в размерном виде.

Поверхностные напряжения со стороны жидкости, снесенные на невозмущенную срединную поверхность оболочки (Ж = Я) определяются формулами

Ях

ру(

дК дК

+

дг дх

Яп

г=Я

р + 2 ру

К дг

(7)

г=Я

<

>

)

Вывод уравнения динамики с учетом наличия жидкости в оболочке

Принимая за характерную длину / - длину волны, перейдем к безразмерным переменным для исследования уравнений (5)

❖ х * Сг\

Ж = м?тпъ, и = ад, х =-, г =-°г. (8)

Здесь , - характерные значения прогиба Ж и продольного перемещения и . Положим

К

-° = 8« 1, Я

Я 12

"0(е\

ит Я

1 Ко Ко

О (1),

то =

О (1), 0(1),

(9)

81 = 0(в\ К = 0(1),з = 0(1),2 = О (1), Ч = 0(1), где 8 - малый параметр задачи (5).

Применим метод асимптотических разложений, вводя независимые переменные в виде

4 = х* -а*, г = 8*, (10)

где с - безразмерная неизвестная скорость волны, г - быстрое время, а зависимые переменные в виде разложения по малому параметру 8

Щ = и10 + 8П + ..., и = и О + ^ + . ... (11)

Подставляя (8), (10), (11) в уравнения (5) с учетом оценок (9), получим в нулевом приближении по 8 линейную систему уравнений

Мо

ди1о

+

д4 итЯ

т и =о

изо о,

д 2 и

1о ,, " т

Мо

т

ди

зо

2 д2 и

342

из которой следует связь

итЯ д4

С

1о _

д4

= о,

= Зщо

итЯи3о= Мо д4

(12)

и определяется безразмерная скорость волны

с2=1 -Мо2 (13)

Из следующего приближения по 8, учитывая (12) и (13), находится уравнение, являющееся разрешающим, для и10

д 2и

1о

, ит^11 -М2 ди1о д2щ1О

д4дг 18 2 д4 д4

+

1 Я2 Мо2л/1 -Мо2

8 -2

+ ■

Мо2 к1 Я2 д2и

1о

+

-Мо2 8 12 34

1 81 ди1о _

1

2

Кз я 8 -

12

[1 + то]-

2 Мо

^ Я2

1 -Мо2 8

2

и» 3 2 и1о + и1о +

2 8 д4 2л/1 -

Мо

2 8итРоКоС2

8 Я 2

Ях - Мо

Я дд__ I д4

д и

10

д4

+

(14)

В случае отсутствия жидкости правая часть уравнения (14), равна нулю и получается известное уравнение - модифицированное уравнение Гарднера-

Бюргерса-Островского для ЗЩо =—^^-и

зо •

д4 Мо итЯ

Определение напряжений, действующих со стороны жидкости

<

Для определения правой части уравнения (14) введем безразмерные переменные и параметр

ТЛ С0 С0 * г руС0/^ Я

К = ^^ vг, К = Ух, г = ^ Р = ^ т Р,¥ = - = О

/

Я

Я

Я

/

Г 1Л е2

(15)

V )

Подставляя (15) в уравнение гидродинамики (1) и граничные условия (2), представим безразмерные скорости и давление в виде разложения по малому параметру е

Vх = +.

уг = у° + еУг + ,

Р = Р° + еР1 +,

(16)

В нулевом приближении по ; (; = 0 - гидродинамическая теория смазки) и в нулевом приближении по е, получаем уравнения гидродинамики

дР А Я,С0 ду° дР 1 д

дг " у дг дх г дг и граничные условия вида

дУ

о \

дг

иу )+дУ° =

г дг

дх

= 0

У° =

ди3 о итЯ1 ди1 *

3 V2 = т 1—1, где г =1

дг

* ' х

^ / дг

(17)

(18)

ду0 дг

= 0;г *

дУ0

дг

= 0, где г =0.

ЯС

На первом шаге итерации полагаем = 0, опустим первое слагаемое

у

в уравнении (19) и получим уравнения [30]

дР_ дР1

*

дг

1 д

| ;;; ;;; ;;; дх г дг

дг

Л)+ 5У° -

г дг

дх

= 0

(20)

Решение уравнений гидродинамики легко получить (это классические уравнения гидродинамической теории смазки). Из уравнений движения с учетом граничных условий имеем

Р0 =16[Л 1 ^ щ -\щйх

J дг 2 w / 1 J 3

дУ° = (г*2 -1)4 дг

дг д2

1 итЯ1

дг1

2

1 Щт_Я1

2 w„

с!х

у щ - ^щ^х

л

итЯ1 д и1

^ дг *2

(21)

Подставляя найденные значения

дух

дг*

в уравнения динамики жидкости

(22), на втором шаге итерации найдем [30]:

Г

*

Г

*

Г

*

*

р 0=^ I дt :

16

1 итЯх

V 2 "т

уи1 - |изёх

2 Я1со д ( 1 итЯ1 + 1 о | т 1

з у дt { 2

у и1 - 4 |изёх

ду

дг

д

г*=1 д

8

1 Я1со д + 1 о

1 ил

V2

1 итЯ1

уи1 - |изёх

+

ёх

+

V 2 "т

у и1 - |изёх

з у дГ

Учитывая, что введены переменные 4 = х - а * и г = 8

найдем с точностью до 8

дРо

д4

= лД - Мо

8

2щ

итЯ1 3Щх_

^т- д4

1 Я1Со з у

итЯ1 д 2ЩЛ

8 ^---=

д4 д4г

1 - Мо2

При этом

ду,

дг

'=1

Г-

2 Мо

4

2из -

1 Я1Со

6 у

2 диз

итЯ1 д V

д4 "т- д42

итЯ1 ди1

^ д4

V!

2 Мо

Тогда учитывая, что

итЯ1

(23)

с =

2 Мо

(24)

(25)

изо

Мои°о)4 при я = Я в силу малости 1у,А

получаем

ит ди1о

Ях - МоЯ ^_ = - Мо [1 - 2Мо] ,

- д4 Ясо - д4

- Я рсо21(1 -Мо2)[(1-2Мо)2 + 12Мо2] ^ ^

Я

1

(26)

1о

6

- д4'

*

*

г

Подставляя (26) в уравнение (14), окончательно получим

д 2и

10

+ -

л/1 -Мо ди10 д и

д^дт ¡8 2 д£ д?

■ +

1 Я2 Мо2л/1 - Мо

к Я2 д2и

8 I2

22

2

I1 + то ]

2 Мо

Ц Я2

Мо2 8 12

д 4и

1о

д^4

+

+

1о

+ ■

Мо2 6 ¡2

1о

к3 Я2 кг ит^ 3

д^2 8 121° 8 Я21° v ди

(27)

161 Ёйй — -2(1 -

1о

2 8 д^

Ро^о8 Ясо

+

+ ■

роИо8 I 12 Легко видеть, что замена

ди

р-Я [(1 - 2Мо)2 + 12м

Ж8 I 12

д2и

1о

д^

1о _

= т = г = сзт

позволяет записать уравнение (27) в виде

(р1 + + (рщл + ($2 - $6 +($3 + Ф + $5 ^т)3 = о

(28)

(29)

Постоянные с, с2, с определяются при подстановке (28) в (27) и имеют

вид

^ — _-1_1/2_1/2 с1 - СГо < <71 ,

^ — _1/4_-1/4 С2 С4 С1 >

^ -^3/4 1/4 С3 — С4 < ,

при этом вводится обозначение

$2 С2С2С3

-1

$3 С3С3

-1

$ - СС- ,

2 -3 -1 $5 — С5С1 С2 С3 ,

$6 С6С2С3

где

6Со — ^

1 -Мо2

¡8 2

С2 —

_ Мо к! Я2 ^ =181 2,/^ 8 12' 3 2 8

С4 —

к3 Я2

8 ¡2

С5 —

_ к2 ит

8 Я 2

С —

1Я2 Мо У1 -Мо2 8 ¡2 2

[1 + то]

2 Мо

г1 Я2

1 -Мо2 8 ¡*

р1 1 V 2

С — --— (1 - 2Мо) 5

Ро^о 8 Ясо

С6 —

Р^Я [(1 - 2Мо)2 + 12Мо2 ]

Ропо8 I 12

Отметим, что при отсутствии конструкционного демпфирования имеем — о; $ — о при Мо — 1 для несжимаемого материала, такого как резина или при отсутствии жидкости.

При отсутствии конструкционного демпфирования и Мо —1 (— $ — о)

получим из (29) уравнение

(р{ + 6ф(рп + Тт + ($2 - + $5^г/] — о

(30)

>

1

-X

>

которое имеет точное решение

1

2s

cosh"

-2

1

2л[75

л

V S5

+ 2s5 + s2 - s6

(31)

Из вида рещения (31) следует, что инерция движения жидкости (я6) уменьшает скорость волны деформации.

В случае отсутствия окружающей упругой среды, конструкционного демпфирования и влияния жидкости уравнение (32) превращается в уравнение Кортевега - де Вриза с точным решением

1

2s

cosh

1 Г ]

^ 2^ л- V s5 t

(33)

при произвольном значении

5 '

При наличии конструкционного демпфирования (^ отлично от нуля) и ¡и0 отлично от 1 (я отлично от нуля) численное исследование уравнения (27) при начальном условии

2s,

cosh

1

2Vi

л

(31)

позволит оценить влияние жидкости и конструкционного демпфирования.

Для численного моделирования рассмотрим разностную схему для уравнений (34), аналогичную схеме Кранка-Николсона для уравнения теплопроводности:

u

n +1 n , 2п+1 2п +1\ /2й 2и \

j - Uj , 3(U j+1 - U j-1) + (u j+1 - U j-1) +

t 4h

+ ((un +1 - 2un+1 + 2un _+1 - uJ _+1) +

+ (un+2 - 2un+1 + 2un-1 - ^-2))/4h3 +

n

lj+1

n+1

n j

n +1

n

j - 2) n

+ Is.

(s2 - S6 )

(u j+1 - u j-1) + (u j+1 - u j-1)

4h

+ (s3 + s)

un+1 + un

2

+

un+1 + un 3n+1 + U 31 = 0

2

+ s

5

2

T Tn "IT Tn t Tn „.n и

Uj + 2 - 2UJ +1 + UJ uj + 2 - uj =0

h

2

2h

(32)

1

t

2

>

1 — г=ооо

(=016 — С= 0 32 •■■■ Г=048 — г= о 64 ---(=0 80

'г 11\

1 ' 1 1 и /

¡1 1 И / * Х4*

Г //й иV. ч/'-ДЧ / \1\ А. -. \__ У V/ >о\Г

.0 0 2 0 4 0 60

п

Рис.2. Численное решение уравнений (28) с начальными условиями (31) при ^ -= 1, + ^ = 1 и= 0.8.

Заключение

Упругая окружающая среда увеличивает, а инерция движения жидкости уменьшает скорость волны деформации в оболочке. Продольное демпфирование и вязкое трение в жидкости уменьшают амплитуду волны.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 19-01-00014 и гранта Президента Российской Федерации МД-756.2018.8.

Литература

1. Клигман Е.П., Клигман И.Е., Матвеенко В.П. Спектральная задача для оболочек с жидкостью // Прикладная механика и техническая физика. 2005. ^ 46, N 6. С. 128-135.

2. Бочкарев С.А., Матвеенко В.П. Анализ устойчивости цилиндрических оболочек, содержащих жидкость с осевой и окружной компонентами скорости // Прикладная механика и техническая физика. 2012. ^ 53, № 5. С. 155-165.

3. Громека И.С. К теории движения жидкости в узких цилиндрических трубах / Собр. соч. М.: Изд-во АН СССР, 1952. 296 с. С. 149-171.

4. Кондратов Д.В., Могилевич Л.И. Математическое моделирование процессов взаимодействия двух цилиндрических оболочек со слоем жидкости между ними при отсутствии торцевого истечения в условиях вибрации // Вестник СГТУ. 2007. ^ 3, №2(27). С. 15-23.

5. Кондратов Д.В., Кондратова Ю.Н., Могилевич Л.И. Исследование амплитудных частотных характеристик колебаний упругих стенок трубы кольцевого профиля при пульсирующем движении вязкой жидкости в

условиях жесткого защемления по торцам // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2009. No 3. С. 15-21.

6. Paidoussis M.P., Nguyen V.B., Misra A.K. A theoretical study of the stability of cantilevered coaxial cylindrical shells conveying fluid // J. Fluids Struct. 1991. vol. 5, iss. 2. pp. 127-164. DOI: 10.1016/0889-9746(91)90454-W

7. Amabili M., Garziera R. Vibrations of circular cylindrical shells with nonuniform constraints, elastic bed and added mass; Part III: Steady viscous effects on shells conveying fluid // J. Fluids Struct. 2002. vol. 16, iss. 6. pp. 795-809. DOI: 10.1006/jfls.2002.0446

8. Amabili M. Nonlinear vibrations and stability of shells and plates. Cambridge University Press, 2008. 374 p. DOI: 10.1017/CBO9780511619694

9. Могилевич Л.И., Попов В.С. Динамика взаимодействия упругого цилиндра со слоем вязкой несжимаемой жидкости // MTT. 2004. No 5. С. 179-190.

10. Бочкарев С.А. Собственные колебания вращающейся круговой цилиндрической оболочки с жидкостью // Вычисл. мех. сплош. сред. 2010. T. 3, No 2. С. 24-33. DOI: 10.7242/1999-6691/2010.3.2.14

11. Лекомцев С.В. Конечно-элементные алгоритмы расчета собственных колебаний трехмерных оболочек // Вычисл. мех. сплош. сред. 2012. T. 5, No 2. С. 233-243. DOI: 10.7242/1999-6691/2012.5.2.28

12. Бочкарев С.А., Матвеенко В.П. Устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, содержащих вращающийся поток жидкости // Вычисл. мех. сплош. сред. 2013. T. 6, No 1. С. 94-102. DOI: 10.7242/19996691/2013.6.1.12

13. Nariboli G.A. Nonlinear longitudinal dispersive waves in elastic rods // J. Math. Phys. Sci. 1970. vol. 4. pp. 64-73.

14. Nariboli G.A., Sedov A. Burger's-Korteweg-De Vries equation for viscoelastic rods and plates // J. Math. Anal. and Appl. 1970. vol. 32. pp. 661--667.

15. Ерофеев В.И., Кажаев В.В. Неупругое взаимодействие и расщепление солитонов деформации, распространяющихся в стержне // Вычисл. мех. сплош. сред. 2017. T. 10, No 2. С. 127-137. DOI: 10.7242/19996691/2017.10.2.11

16. Землянухин А.И., Могилевич Л.И. Нелинейные волны деформаций в цилиндрических оболочках // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. T. 3, No 1. C. 52-58.

17. Ерофеев В.И., Клюева.Н.В. Солитоны и нелинейные периодические волны деформации в стержнях, пластинах и оболочках (обзор) // Акустический журнал. 2002. T. 48, No 6. C. 725-740.

18. Ерофеев В.И., Землянухин А.И., Катсон В.М., Шешенин С.Ф. Формирование солитонов деформации в континууме Коссера со стеснённым вращением // Вычисл. мех. сплош. сред. 2009. T. 2, No 4. C. 67-75. DOI: 10.7242/1999-6691/2009.2.4.32

19. Багдоев А.Г., Ерофеев В.И., Шекоян А.В. Линейные и нелинейные волны в диспергирующих сплошных средах. М.: Физматлит. 2009. 320 с.

20. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Павлов И.С. Неупругое взаимодействие и расщепление солитонов деформации, распространяющихся в зернистой среде // Вычисл. мех. сплош. сред. 2013. T. 6, No 2. С. 140-150. DOI: 10.7242/19996691/2013.6.2.17

21. Землянухин А.И., Бочкарёв А.В. Метод возмущений и точные решения уравнений нелинейной динамики сред с микроструктурой // Вычисл. мех. сплош. сред. 2016. T. 9, No 2. С. 182-191. DOI: 10.7242/1999-6691/2016.9.2.16

22. Землянухин А.И., Бочкарев А.В. Непрерывные дроби, метод возмущений и точное решение нелинейных эволюционных уравнений // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2016. T. 24, No 4. pp. 71—85. DOI: 10.18500/0869-6632-2016-24-4-71-85

23. Землянухин А.И., Бочкарев А.В. Метод Ньютона построения точных решений нелинейных дифференциальных и неинтегрируемых эволюционных уравнений// Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2017. T. 25, No 1. pp. 64--83. DOI: 10.18500/0869-6632-2017-25-1-64-83

24. Блинкова А.Ю., Блинков Ю.А., Могилевич Л.И. Нелинейные волны в соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую жидкость между ними, с учетом рассеяния энергии // Вычисл. мех. сплош. сред. 2013. T. 6, No 3. С. 336-345. DOI: 10.7242/1999-6691/2013.6.3.38

25. Блинкова А.Ю., Иванов С.В., Ковалев А.Д., Могилевич Л.И. Математическое и компьютерное моделирование динамики нелинейных волн в физически нелинейных упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Cep. Физика. 2012. T. 12, No 2. С. 12-18. DOI: 10.18500/1816-9791-2016-16-2-184-197

26. Блинкова А.Ю., Блинков Ю.А., Иванов С.В., Могилевич Л.И. Нелинейные волны деформаций в геометрически и физически нелинейной вязкоупругой цилиндрической оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость и окруженной упругой средой // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. T. 15, No 2. С. 193-202. DOI: 10.18500/1816-9791-2015-15-2-193-202

27. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с.

28. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости. М.: Наука, 1979. 320 с.

29. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1960. 490 с.

30. Агеев Р.В., Евдокимова Е.В., Ковалева И.А., Могилевич Л.И. Динамика осесимметричного течения вязкой несжимаемой жидкости в упругой трубе кругового и кольцевого сечений // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. - 2017. - № 3; URL: mathmod.esrae.ru/15-50