CC BY
19
УДК 534.1:539.3:517.957 https://doi.org/10.18500/0869-6632-2018-26-6-32-47
Нелинейные волны в цилиндрической оболочке, содержащей вязкую жидкость, при воздействии окружающей упругой среды и конструкционного демпфирования в продольном направлении
Ю. А. Блинков1, Е. В. Евдокимова2, Л. И. Могилевич2
1 Саратовский национальный исследовательский государственный университет
Россия, 410012 Саратов, Астраханская, 83 2Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А.
Россия, 410054 Саратов, Политехническая, 77 E-mail: blinkovua@info.sgu.ru, eev2106@mail.ru, mogilevich@sgu.ru Автор для переписки Блинков Юрий Анатольевич, blinkovua@info.sgu.ru Поступила в редакцию 9.04.2018, принята к публикации 27.06.2018
Тема и цель исследования. В настоящей работе развивается метод возмущений для моделирования нелинейных волн деформаций в упругой цилиндрической оболочке, заполненной вязкой несжимаемой жидкостью, окруженной упругой средой и при конструкционном демпфировании в продольном направлении. Наличие окружающей среды приводит к интегродифференциальному уравнению, обобщающему уравнение Кортевега-де Вриза, имеющему то же решение в виде уединенной волны - солитона. Оно не содержит произвольного постоянного волнового числа, в отличие от решения уравнения Кортевега-де Вриза. Поведение вязкой несжимаемой жидкости внутри оболочки описывается уравнениями динамики и неразрывности. Они решаются вместе с граничными условиями прилипания жидкости к стенке оболочки. Методы. Решение представляется прямым разложением искомых функций по малому параметру задачи гидроупругости и сводится к задаче для уравнения гидродинамической теории смазки. Решение этих уравнений и определяет напряжения со стороны жидкости, действующие на оболочку в продольном направление и по нормалям. Наличие жидкости в оболочке добавляет в уравнения продольных волн деформаций член уравнения, который не позволяет найти точное решение. Конструкционное демпфирование в продольном направлении добавляет такой же точно член уравнения, что и наличие жидкости. Они имеют разные знаки, когда коэффициент Пуассона меньше 1/2. В противном случае знаки совпадают. Наличие жидкости и конструкционного демпфирования требует численного исследования. Численное исследование проводится с использованием современного подхода, основанного на универсальном алгоритме коммутативной алгебры для интегроинтерполяционного метода. Результаты. В результате построения разностного базиса Грёбнера сгенерированы разностные схемы типа Кранка-Николсон, полученные с использованием базовых интегральных разностных соотношений, аппроксимирующих исходную систему уравнений.
Ключевые слова: нелинейные волны, вязкая несжимаемая жидкость, упругие цилиндрические оболочки.
Образец цитирования: Блинков Ю.А., Евдокимова Е.В., Могилевич Л.И. Нелинейные волны в цилиндрической оболочке, содержащей вязкую жидкость, при воздействии окружающей упругой среды и конструкционного демпфирования в продольном направлении//Изв. вузов. ПНД. 2018. T. 26, № 6. С. 32-47. https://doi.org/10.18500/0869-6632-2018-26-6-32-47
Финансовая поддержка. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01-00175-а).
https://doi.org/10.18500/0869-6632-2018-26-6-32-47
Nonlinear waves in cylinder shell containing viscous liquid, under the impact of surrounding elastic medium and structural damping in longitudinal direction
Yu. A. Blinkov1, E. V. Evdokimova2, L. I. Mogilevich2
1 Saratov State University 83, Astrakhanskaya str., 410012 Saratov, Russia 2 Yuri Gagarin State Technical University of Saratov 77, Politechnicheskaya str., 410054 Saratov, Russia E-mail: blinkovua@info.sgu.ru, eev2106@mail.ru, mogilevich@sgu.ru Correspondence should be addressed to Blinkov Yuri A., blinkovua@info.sgu.ru Received 9.04.2018, accepted for publication 27.06.2018
Subject of the study. The present article deals with further developing of perturbation method for deformation non-linear waves in an elastic cylinder shell, filled with viscous incompressible liquid, surrounded by an elastic media and under construction damping in longitudial direction. Surrounding medium presence leads to integro-differential equation, to generalizing Korteweg-de Vries ones and possessing the same soliton in the form of a solitary wave - a soliton. It does not contain an arbitrary constant number unlike Korteweg-de Vries equation solution. The viscous incompressible liquid presence inside the shell behavior is described by means of dynamics and continuity equation, is solved together with boundary conditions liquid adhesion to a shell wall. Methods. The solution is presented by direct expansion of unknown function by small parameter of hydroelasticity problem and reduced to the problem for hydrodynamics lubrication theory equations. The equations solution defines the tensions on the part of the liquid, the tensions influence the shell longitudinal and normal directions. The liquid presence in the shell adds to longitudial deformation waves equations one more equation member, which does not allow to find exact solution. Construction damping in a longitudial direction adds the same equation member, like liquid presence does. They posses opposite signs in the case of shell Poisson coefficient being smaller than 1/2. In contrary case signs coincide. Liquid presence in the shell and construction damping demand for numerical research. The liquid presence leads to the equation, generalizing Korteveg-de Vries equation, lacking the exact solution and demanding numerical investigation. The numerical investigation is carried out with the use of the modern approach, relying on the universal algorithm of commutative algebra for integro-interpolation method. Results. As a result of difference Grobner basis construction, the difference Crank-Nicolson type schemes are generalized. The schemes were obtained due to the use of basic integral difference correlations, approximating the initial equations system.
Key words: non-linear waves, viscous incompressible liquid, elastic cylinder shell.
Reference: Blinkov Yu.A., Evdokimova E.V., Mogilevich L.I. Nonlinear waves in cylinder shell containing viscous liquid, under the impact of surrounding elastic medium and structural damping in longitudinal direction. Izvestiya VUZ, Applied Nonlinear Dynamics, 2018, vol. 26, no. 6, pp. 32-47. https://doi.org/10.18500/0869-6632-2018-26-6-32-47
Acknowledgements. This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project 16-01-00175-a).
Введение
Взаимодействие упругих элементов конструкций с жидкостью рассматривалось в разных аспектах. Взаимодействие упругих оболочек с идеальной несжимаемой и сжимаемой жидкостью (газом) исследовано в работах [1,2]. В абсолютно жесткой трубе с круговым сечением ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости под действием гармонического поведения по времени перепада давления анализировалось в [3], а при пульсирующем движении вязкой жидкости в соосных упругих оболочках конечной длины - в [4,5]. В условиях вибрации взаимодействие вязкой несжимаемой жидкости с упругими оболочками исследовалось в [6-9], а с учётом вращения жидкости - в [10-12].
В современной волновой динамике одним из важных направлений является изучение поведения волн деформаций в упругих тонкостенных конструкциях. Проблема распространения волн в газовой динамике и теории упругих оболочек изучается при помощи линеаризованных уравнений. При этом скорость распространения возмущений считается постоянной и равной скорости
распространения звука в невозмущенной среде. Однако ряд явлений, несмотря на малые значения зависимых переменных, целиком определяется зависимостью скорости распространения возмущений от величины зависимых переменных и исследуется на базе нелинейных уравнений. Эти исследования проводятся с помощью методов возмущений, таких как метод сращиваемых асимптотических разложений, метод деформируемых координат, метод многомасштабных разложений.
Впервые уравнения Кортевега-де Вриза для продольных нелинейных волн в стрежнях получены в [13], а с учетом диссипативных факторов уравнения Кортевега-де Вриза-Бюргерса для стержней и пластин получены в [14]. Обзор работ о распространение нелинейных волн и экспериментальном обнаружении таких волн приведен в [15].
Волны деформаций в упругих цилиндрических оболочках расматривались в [16-18]. Кроме того, проблемы распространения волн в упругих и вязкоупругих тонкостенных конструкциях, в том числе в бесконечно длинных цилиндрических оболочках без взаимодействия с вязкой несжимаемой жидкостью, с позиции теории солитонов рассматривались в [19-21]. Получение точных решений эволюционных уравнений, включая уравнения распространения уединенных волн, рассмотрено в [22,23].
Известны математические модели, учитывающие влияние вязкой несжимаемой жидкости на волновые процессы в бесконечно длинных геометрически и физически нелинейных оболочках [24-26]. При этом найдены эффекты влияния вязкой несжимаемой жидкости на поведение волны деформации в оболочке в зависимости от коэффициента Пуассона материала оболочки. В частности, при наличии жидкости в оболочке из неорганических материалов (различные трубопроводы в технологических сооружениях) выявлен экспоненциальный рост амплитуды волны. В случае органического материала (кровеносные сосуды) волна в жидкости быстро затухает. Решение поставленной в работе задачи для геометрически нелинейных оболочек представляется актуальным и сложным и имеет важное значение для акустической диагностики и нераз-рушающего контроля материалов. Во многом интерес к подобным задачам инициирован необходимостью анализа упругих и динамических свойств нанообъектов, в частности, карбоновых нанотрубок.
В настоящей работе развивается метод возмущений для моделирования нелинейных волн деформаций в упругой цилиндрической оболочке, заполненной вязкой несжимаемой жидкостью, окруженной упругой средой, и при конструкционном демпфировании в продольном направлении. Показано влияние вязкой несжимаемой жидкости, заполняющей оболочку, окружающей упругой среды и конструкционного демпфирования на поведение продольных волн деформации в упругой цилиндрической оболочке.
1. Постановка задачи
Рассмотрим бесконечно длинную упругую цилиндрическую оболочку, внутри которой находится вязкая несжимаемая жидкость. Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости и уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат г, 0, х для случая осесиммет-ричного течения записываются в виде [27]
дУг т_ ЗУ, оу , 1 др --+ Уг--+ Ух--1---= V
о» |*/о I о
01 дг дх р дг
дУх дУх дУх —- + Уг—- + Ух—- +
о» |*/о 1гХо I о
д1 дг дх р дх
дУг Уг дУх
+ = 0 •
дг г дх
д2У
д2Уг
1 др
- — = V
г 1 дУг -- +---- +--
дг2 г дг дх2 д 2Ух 1 дУх д2Ух дх2
У-
дг2 г дг
(1)
2
г
На границе с оболочкой выполняются условия прилипания жидкости согласно подходу Лагранжа
ди = ух + идУ - шд-Ух,
дЬ дх дг
дШ тт дУг т дУг „
— = Уг + и- , при г = К - Ш. (2)
дЬ дх дг
Здесь Ь - время; Уг, Ух - проекции вектора скорости на оси цилиндрической системы координат; р - давление; р - плотность; V - кинематический коэффициент вязкости; и - продольное упругое перемещение оболочки по оси х; Ш - прогиб оболочки, положительный к центру кривизны; К - радиус срединной поверхности оболочки; Ло - толщина оболочки, Ло = 2 (К — К1), где К1 -внутренний радиус оболочки, и Ло ^ К.
Записывая уравнения движения элемента цилиндрической оболочки в перемещениях для модели Кирхгофа-Лява, рассмотрим материал с линейной зависимостью интенсивности напряжений О; от интенсивности деформаций в;
О; = Ев;
(3)
(Е - модуль Юнга).
Кроме того, учтем конструкционное демпфирование в материале оболочки, характеризуемое величиной, пропорциональной ди/дЬ, добавляемой к даламберовой силе инерции, в продольном направлении [28]
1
£1Т
/
Е , ди
-роЛо —.
¿У ро (1 - и0) дЬ
(4)
Здесь е1 - коэффициент демпфирования; ро - плотность материала оболочки; цо - коэффициент Пуассона; ^Е/ [ро (1 - Цо)] = со - скорость распространения продольных волн в оболочке; I - длина волны.
Уравнения динамики геометрически нелинейной оболочки с учетом (3), (4) записываются в виде
ЕЛо д Иди 1 1 - Цо дх \ | дх 2
(ои\2 (дШV
\дх ) \ дх )
Ло (д2Ш\
+ --РоЛо
Ш
д2и дь2
1
- £1
I
Е
и
IV ро (1 - гё)ролод -
кз ^^о и - к2 и3
14
К212
ттдЯх и Мх
= -Чх - и— + Ш—;
дх дг
ЕЛо /Ь2о д2 Гд2Ш/ 1 +
\ 12 дх2 дх2 \ дх) |
1-ц2 \ 12 дх2
Цо ди + 1 Цо ^ К дх +2 К
/сил2 /Ло/СШУ!Ш! ^дху +12\д>х2) - в2)
д_
х
(ш(ди + ±'(ди\2 + ( дШ )2
I дх | дх 2 \дх) \ дх )
+ 24
Ло (д2
(д2Ш\2 Ш \ , д2Ш
и^;- цоК /++
+
к1
^Ш - 2Ь1роЛое2
д2Ш , д2Ш
+ шоропо
х2
дЬ2
Чп + ид-х - .
дх дг
(5)
Здесь дх, дп - напряжения со стороны жидкости, находящейся внутри оболочки. Выражения в
2
квадратных скобках системы (5)
, т + к роЬрс2 т з
-кзТ + Т ' (6)
к РоПос1 Ш 0. ,2 д2Ш + д2Ш (6)
характеризуют реакцию Власова-Леонтьева [29,30] упругой среды, в которой расположена труба
К2ро,осо , Ро,осотт3
кругового сечения. Выражение -к3---ои + к2—^^т 3 - реакция на продольное переме-
I4 К212
, ро^оСо^ , ч 0. , 2 д2Ш
щение, а слагаемые кг—^— Ш - реакция на сдавливание (сжатие), —¿ъ\ропосо^^— реакция
д 2 Ш
на сдвиг, тороЛ,о—^— инерционная реакция. Безразмерные коэффициенты порядка единицы
дЬ2
кг, к2, к3, то - введены в [29,30] в размерном виде.
Поверхностные напряжения со стороны жидкости, снесенные на невозмущенную срединную поверхность оболочки (Ш ^ К), определяются формулами
Ях
Ví ЗУЕ + ЗУ)
дг дх
, Яп
т=Я
ЗУ г
-р + 2рv—— дг
• (7)
т=К
2. Вывод уравнения динамики с учетом наличия жидкости в оболочке
Принимая I (длину волны) за характерную длину, перейдем к безразмерным переменным для исследования уравнений (5)
Ш = -шти3, и = итП1, х* = Ь* = ^ Ь, г* = (8)
I I К
Здесь ,шт, ит - характерные значения прогиба Ш и продольного перемещения и. Положим
К =е «1 = О(е), ~н0 = О(1), Ю = О(1), (9)
ех = О (е), кг = О (1), к3 = О (1), к2 = О (1), Ьх = О (1), то = О (1),
где е - малый параметр задачи (5).
Применим метод асимптотических разложений, вводя независимые переменные в виде
£ = х* - сЬ*, т = еЬ*, (10)
где с - безразмерная неизвестная скорость волны, т - быстрое время, и зависимые переменные в виде разложения по малому параметру е
и1 = иго + еип + •••, и3 = и3о + еи3\ + — (11)
Подставляя (8), (10), (11) в уравнения (5) с учетом оценок (9), получим в нулевом приближении по е линейную систему уравнений
Зихо 'Шт1 п
-Ио^г- +--„ и3о = 0,
д£ итК
д 2ию ди3о 2 д2 иго
0£2 Ио итК с д£2 =0'
из которой следует связь
■Шт I диго
-и3о = Ио_
итК
д£
и определяется безразмерная скорость волны
22 с = 1 - Ио^
(13)
Из следующего приближения по е, учитывая (12) и (13), находится уравнение, являющееся составным, для иго
ит
д 2ит д£дт ' 1е
_,т\/1 - Ио диго д2ию \ 1 К2 и°л/ 1 - Ио и , 1 + ---^--^——г < - ----[1 + то] -
и0
Ьг К2\ д4иго
2
+
к3 К2
д£ д£2 1 е I2 Ио кг К2 д2иго
2^Г~Ио е I2
+ 1 ег диго
у/Г-И2 е 12 д£4
+
к2 и2
- — — иго + — и3т +
е К2
2 е д£ 2^/1 - Ио еитроНос°
Ях - Ио
Кддп I д£
(14)
В случае отсутствия жидкости правая часть уравнения (14) равна нулю и получается известное уравнение - модифицированное уравнение Гарднера-Бюргерса-Островского для
диго = 1 Шт1 д£ Ио итК
и3о.
2
I
1
3. Определение напряжений, действующих со стороны жидкости
Для определения правой части уравнения (14) введем безразмерные переменные и параметр
тт со со „г рVOlWmD . К 1 ^ (15)
У- = , Ух = Шт Ух, г = р = -^3-Р, ф = — = О ^е ^ • (15)
Подставляя (15) в уравнение гидродинамики (1) и граничные условия (2), представим безразмерные скорости и давление в виде разложения по малому параметру е
ух = уХ + еуХ + •••, Уг = У-, + еу] + •••, Р = Ро + еРг + ••• (16)
В нулевом приближении по ф (ф=0 - гидродинамическая теория смазки), считая ф —^^(ползущие течения [31]), и в нулевом приближении по е получаем уравнения гид-
V
родинамики (классические уравнения гидродинамической теории смазки)
дР0 п дР0 1 д ( ,ду°х\ 1 д ^ 0) ЗуХ п
0; тг— = — тг- [г*^ ; — — (Г*УХ) + = 0 (17)
--VI лл* г * о0г * V о0г * ) г * оО г * - оох *
ддг* ' (О^о* г* одг* V одг* } ^ г* —
и граничные условия
ду ду
г* ду- = 0, г* Зу^ = 0, при г* = 0, дг* дг*
0 ди3 0 итК диг
уХ = - ^—, уХ =-г —, при г* = 1
г дЬ*7 х Шт1 дЬ* ' р
(18)
Из решения задачи (17), (18) следует, что
1 итК ди1
2 шт1 дЬ*
Ро = 16
дух '
дг* г*=1
диз
Ь
'-йх*
г* др о
2 х*
йх*
= 8
г* = 1
1 итК ди1
2 шт1 дЬ*
диз , ,
Ь
-йх*
Учитывая, что были введены переменные (10), (11), и имея соотношения (12), (13), из (19) полу-
чим
Ро = 8^1-Ц2итК [2ц о - 1] ию,
дух
дг *
Шт1
. гл-2 итК , дию
= 4^/1 - Ц^——1 [2цо - 1]
(20)
г*=1
Шт I
дЧ
С принятой точностью по £, ■ф из (7) найдем
2 дух Кво^0 дг
Чх = £—р во я ,
Чп = - рв20Ро
г*=1 ^ К1во
и, следовательно, выражение в правой части уравнения (14) принимает вид
К дЧп . ^ 2 V 2 Г1 Л 2] дию
&- цо у уч =- V1 - ц° £корво [1 - 4Цо] -щ-
(21)
Подставляя (21) в уравнение (14), окончательно получим
д2ию ит\/1 - Цо диюд2и1П |1 К2 1 - ц°
дЧдт + 1е
дЧ дЧ2 + | £ ~12 22
2
ц° к1 К2 д2и1о к3 К2 . к2 ит 3
+ -—^--^—^---- — ию + — -тт и3о +
[1 + шо ] -к.2 и2
ц2 Ь1 К2 4и
10
ут-ц2 £ 12 дЧ4
+
10
2^1-ц2 £ I2 дЧТ £ 1 £ К2
+ 1 £1 дию =2 р^ 1 V
2 £ дЧ роЛо £ Кво
П л 2] ди1о
I1 - 4М ■
Замена
и
10
Ч
= в1 ф, П = в2 Ч, Ь = в3Т
позволяет записать уравнение (22) в виде
ф£ + 6ффп + Фппп + 82фп + («3 - 8)ф - J ф йп + 85^ ! ф й^ = 0. Постоянные в1, в2, в3 определяются при подстановке (23) в (22) и имеют вид
(22)
(23)
(24)
-1 1/2 1/2 1/4 -1/4 3/4 1/4
в1 = О- 1О4 О/ , в2 = О/ О1 , в3 = О/ О/ ,
при этом вводятся обозначения
— 1 —1 —1 2 —3 —1
82 = О2в2в3 , 83 = О3в3 , 8 = Ов3 , 85 = Обв|в2 в3 ,
где
„ ит л/1 - и0 Ио Я2 1 £1 к3 Я2 к2 п2т
6-0 = г"' °2 = ' °3 = 2°4 = ' °5 = 7Я'
- I1 Я И§у/1 - И2 м + т И2 Ь о 2 р1 1 V 4..2]
01 = \~еТ-2-[1 + то] - тг—И077^} ' 0 = 2Р^~еЯСо ^ - ^ •
Отметим, что при отсутствии конструкционного демпфирования имеем вз = 0, в > 0 при Ио < 1/2 для неорганических материалов, в < 0 при Ио > 1/2 для живых организмов и в = 0 при Ио = 1/2 для несжимаемого материала, такого как резина, или при отсутствии жидкости. Заметим, что случай вз = в равносилен отсутствию влияния жидкости внутри оболочки.
При отсутствии конструкционного демпфирования и жидкости или для случая вз = в получим из (24) уравнение
щ + 6ффл + Фппп + в2фп -JФ йц + в^Jф =0, (25)
которое имеет точное решение
" 1
ф = 2в совь"2{ [п -( в5 + 2в5 +в2)*]}
(26)
В случае отсутствия окружающей упругой среды уравнение (25) превращается в уравнение Кортевега-де Вриза с точным решением
Ф = -1 ссеИ 2 < —\= ^ 2в5
п -( $'
(27)
при произвольном значении в5.
4. Численное моделирование
В работах [32-34] развит подход к построению разностных схем, основанный на построении переопределенной системы разностных уравнений, получаемой из аппроксимации интегральных законов сохранения и интегральных соотношений, связывающих искомые функции и их производные. В результате, разностная схема определяется как условие совместности для данной системы. Таким образом, получается разностная схема, автоматически обеспечивающая выполнение интегральных законов сохранения по областям, составленным из шаблонов интегрирования построения.
Запишем уравнение (24) в виде системы в интегральной форме
ф (-3ф2 - фпп - в2ф) йг + ф йп + -вф - ф + в3ф3) йг йп = 0,
а
J(Фцц - фп) йп = 0,
(28)
для любой области □ и любого интервала а > Ь. Здесь связь /ф йп = Ф записана через ее производную. Это связанно с тем, что для устойчивости численного решения разностной схемы
Рис. 1. Базовой контур для уравнения (28) Fig. 1. Basic contour for the equation (28)
nj+1
необходимо диагональное преобладание в соответствующей ей матрице. В результате, для ф будет получено уравнение второго порядка и нужно будет лишь зафиксировать вторую произвольную константу в решении. Для перехода к дискретной формулировке сопоставим ип = ф(Ьп, п), ип = ф(Ьп, г\з) и выберем в качестве базового контур, показанный на рис. 1, для значений а,Ь выберем точки ] + 2,], соответственно.
Добавим интегральные соотношения
J Un dn = u(t, nj+i) - u(t, nj),
nj
nj+2
J Unn dn = Un(t, nj+2) - Un(t, nj),
(29)
nj
nj+1
J Un dn = U(t, nj+i) - U(t, nj)•
nj
Используя для интегрирования по времени и первой производной по п формулу трапеций, а по второй производной по п формулу среднего значения, и полагая Ьп+1 - Ьп = т, П'+1 - П' = Л, перепишем соотношения (28), (29) в виде
(Ч
2П j
2 n+i j
2n j+2
.2П+П ( 2j+2 -
( Unn n + U
2s2 (un + un+i - un
nnj T
n+i
nnj
n n+i
- Unnj+2 - Unnj+2
j+2 - Un-+2i)) • 2 + (
+ ( - u^i) • 2h - (s j + un+i)
- j + U+i) + S3 (u ji + U3n+i)) • hT = 0,
(unn+2 - unn) - (un+2 - un) = 0,
(30)
h
(unn+i + unj) • 2 = un+i uj
u n Oh = u n n
unnj+i Oh — unj+2 unj ,
h
(Unn+i + Unn) •h = Un+i - U7-
Поскольку пакет [32] работает только в случае линейных разностных идеалов, а исходное дифференциальное уравнение (24) нелинейно, заменим нелинейную часть введением дополнительной функции ¥ = 3и2. За счет выбора допустимого упорядочения, так чтобы и У и У ... У ¥, а затем по переменным п, ], нелинейная часть не будет входить в лидирующие мономы системы при построении базиса Грёбнера и структура базиса позволит проверить принадлежность к искомой разностной схеме.
В результате получим следующую разностную схему для уравнения (24), аналогичную схеме Кранка-Николсон для уравнения теплопроводности
vn+l _ un (ukn+i ukn+i) + (u2n . 2n )
Uj + 3(u ^ ~ U j-1 }4+(u ^ ~ U j-l) + (— - j + j - u—) +
+ — - 2un+i + 2un-i - un-2))/4h3 + S2
(ugi - un+1) + (un+i - un-i)
4h
un+i + un —^ + ULn U 3n+i + U3n
- s-l-L--L-- + S3—L-L = 0,
2 2 3 2 '
Tin OTjn i r^n „n . n UL+2 - 2Ul+i + UL uL+2 - u-
h2 2h
(31)
Полученные неявные разностные схемы имеют квадратичную и кубическую нелинейность для следующего временного слоя. При построении решения использована следующая линеаризация
vk+i = vk+i - vk + vk = (vk+i - vk)(vk+i + vk) + vl & Vk+i ■ 2vk - v2k.
Количество итераций для достижения точности 10-ik на следующем временном слое, как правило, не превышало двух-трёх. Шаг по времени t брался равным половине шага по переменной п. Программа расчета была написана на языке Python с использованием пакета SciPy (http://scipy.org).
В результате проведенных вычислительных экспериментов на известном точном решении при частном наборе параметров для уравнения (24) получено хорошее согласование численного и аналитического (26) решений при S3 = s (рис. 2). Этот результат является тестом для представленного программного обеспечения.
Следует отметить, что скорость нелинейной уединенной волны, согласно (26), (27), больше при наличии упругой окружающей среды, чем при ее отсутствии. Численный расчет урав-
Рис. 2. Графики численного решения уравнений (24) при s = s3 = 1.0, s2 = 1.0 и sg = 0.8 с начальным условием, взятым из точного решения (26) при t = 0
Fig. 2. Equations (24) numerical solution graphs under s = s3 = 1.0, s2 = 1.0 and sg = 0.8 with the initial condition taken from exact solution (26) under t = 0
нения (24) с начальным условием в виде решения (26) при ь = 0 показал, что имеет место затухание амплитуды волны при 83 - 8 > 0 (рис. 3) и рост амплитуды при 83 - 8 < 0 (рис. 4).
При отсутствии жидкости 8 = 0 происходит затухание волны за счет конструкционного демпфирования, а при отсутствии конструкционного демпфирования 83 = 0 происходит затухание волны при 8 < 0 (цо > 1 /2) и рост амплитуды волны при 8 > 0 (цо < 1 /2).
Рис. 3. Графики численного решения уравнений (24) при S3 = 1.5, s = 1.0, s2 = 1.0 и sg = 0.8 с начальным условием, взятым из точного решения (26) при t = 0
Fig. 3. Equations (24) numerical solution graphs under s3 = 1.5, s = 1.0, s2 = 1.0 and sg = 0.8 with the initial condition taken from the exact solution (26) under t = 0
Рис. 4. Графики численного решения уравнений (24) при s3 = 0.5, s = 1.0, s2 = 1.0 и s5 = 0.8 с начальным условием, взятым из точного решения (26) при t = 0
Fig. 4. Equations (24) numerical solution graphs under s3 = 0.5, s = 1.0, s2 = 1.0 and sg = 0.8 with the initial condition taken from the exact solution (26) under t = 0
Заключение
В представленной работе было проведено исследование модели волновых явлений в нелинейной упругой цилиндрической оболочке типа Кирхгофа-Лява, окруженной упругой средой и содержащей вязкую несжимаемую жидкость. Выполненные вычислительные эксперименты, позволили оценить влияние вязкой несжимаемой жидкости и конструкционного демпфирования на распространение нелинейных волн в упругой оболочке, окруженной упругой средой. Наличие упругой среды приводит к увеличению скорости волны.
Библиографический список
1. Клигман Е.П., Клигман И.Е., Матвеенко В.П. Спектральная задача для оболочек с жидкостью // Прикладная механика и техническая физика. 2005. T. 46, № 6. С. 128-135.
2. Бочкарев С.А., Матвеенко В.П. Анализ устойчивости цилиндрических оболочек, содержащих жидкость с осевой и окружной компонентами скорости // Прикладная механика и техническая физика. 2012. T. 53, № 5. С. 155-165.
3. Громека И.С. К теории движения жидкости в узких цилиндрических трубах / Собр. соч. М.: Изд-во АН СССР, 1952. 296 с. С. 149-171.
4. Кондратов Д.В., Могилевич Л.И.Математическое моделирование процессов взаимодействия двух цилиндрических оболочек со слоем жидкости между ними при отсутствии торцевого истечения в условиях вибрации // Вестник СГТУ. 2007. T. 3, № 2(27). С. 15-23.
5. Кондратов Д.В., Кондратова Ю.Н., Могилевич Л.И. Исследование амплитудных частотных характеристик колебаний упругих стенок трубы кольцевого профиля при пульсирующем движении вязкой жидкости в условиях жесткого защемления по торцам // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2009. № 3. С. 15-21.
6. Pai'doussis M.P., Nguyen V.B., Misra A.K. A theoretical study of the stability of cantilevered coaxial cylindrical shells conveying fluid // J. Fluids Struct. 1991. vol. 5, iss. 2. pp. 127-164. D0I:10.1016/0889-9746(91)90454-W
7. Amabili M., Garziera R. Vibrations of circular cylindrical shells with nonuniform constraints, elastic bed and added mass; Part III: Steady viscous effects on shells conveying fluid // J. Fluids Struct. 2002. vol. 16, iss. 6. pp. 795-809. D0I:10.1006/jfls.2002.0446
8. Amabili M.Nonlinear Vibrations and Stability of Shells and Plates. Cambridge University Press, 2008. 374 p. D0I:10.1017/CB09780511619694
9. Могилевич Л.И., Попов В.С. Динамика взаимодействия упругого цилиндра со слоем вязкой несжимаемой жидкости // MTT. 2004, № 5. С. 179-190.
10. Бочкарев С.А. Собственные колебания вращающейся круговой цилиндрической оболочки с жидкостью // Вычисл. мех. сплош. сред. 2010. T. 3, № 2. С. 24-33. D0I:10.7242/1999-6691/2010.3.2.14
11. Лекомцев С.В. Конечно-элементные алгоритмы расчета собственных колебаний трехмерных оболочек // Вычисл. мех. сплош. сред. 2012. T. 5, № 2. С. 233-243. D0I:10.7242/1999-6691/2012.5.2.28
12. Бочкарев С.А., Матвеенко В.П. Устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, содержащих вращающийся поток жидкости // Вычисл. мех. сплош. сред. 2013. T. 6, № 1. С. 94-102. D0I:10.7242/1999-6691/2013.6.1.12
13. Nariboli G.A. Nonlinear longitudinal dispersive waves in elastic rods // J. Math. Phys. Sci. 1970. Vol. 4. Pp. 64-73.
14. Nariboli G.A., Sedov A. Burger's-Korteweg-De Vries equation for viscoelastic rods and plates // J. Math. Anal. and Appl. 1970. Vol. 32. Pp. 661-667.
15. Ерофеев В.И., Кажаев В.В. Неупругое взаимодействие и расщепление солитонов деформации, распространяющихся в стержне // Вычисл. мех. сплош. сред. 2017. T. 10, № 2. С. 127-137. D01:10.7242/1999-6691/2017.10.2.11
16. Землянухин А.И., Могилевич Л.И. Нелинейные волны деформаций в цилиндрических оболочках // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. T. 3, № 1. C. 52-58.
17. Ерофеев В.И., Клюева Н.В. Солитоны и нелинейные периодические волны деформации в стержнях, пластинах и оболочках: Обзор // Акустический журнал. 2002. T. 48, № 6. C. 725740.
18. Ерофеев В.И., Землянухин А.И., Катсон В.М., Шешенин С.Ф. Формирование солитонов деформации в континууме Коссера со стеснённым вращением // Вычисл. мех. сплош. сред. 2009. T. 2, № 4. C. 67-75. D0I:10.7242/1999-6691/2009.2.4.32
19. Багдоев А.Г., Ерофеев В.И., Шекоян А.В. Линейные и нелинейные волны в диспергирующих сплошных средах. М.: Физматлит. 2009. 320 с.
20. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Павлов И.С. Неупругое взаимодействие и расщепление солитонов деформации, распространяющихся в зернистой среде // Вычисл. мех. сплош. сред. 2013. T. 6, № 2. С. 140-150. D0I:10.7242/1999-6691/2013.6.2.17
21. Землянухин А.И., Бочкарёв А.В. Метод возмущений и точные решения уравнений нелинейной динамики сред с микроструктурой // Вычисл. мех. сплош. сред. 2016. T. 9, № 2. С. 182-191. D0I:10.7242/1999-6691/2016.9.2.16
22. Землянухин А.И., Бочкарев А.В. Непрерывные дроби, метод возмущений и точное решение нелинейных эволюционных уравнений // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2016. T. 24, № 4. C. 71-85. D0I:10.18500/0869-6632-2016-24-4-71-85
23. Землянухин А.И., Бочкарев А.В. Метод Ньютона построения точных решений нелинейных дифференциальных и неинтегрируемых эволюционных уравнений // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2017. T. 25, № 1. C. 64-83. D0I:10.18500/0869-6632-2017-25-1-64-83
24. Блинкова А.Ю., Блинков Ю.А., Могилевич Л.И. Нелинейные волны в соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую жидкость между ними, с учетом рассеяния энергии // Вычисл. мех. сплош. сред. 2013. T. 6, № 3. С. 336-345. D0I:10.7242/1999-6691/2013.6.3.38
25. Блинкова А.Ю., Иванов С.В., Ковалев А.Д., Могилевич Л.И. Математическое и компьютерное моделирование динамики нелинейных волн в физически нелинейных упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость // Известия Саратовского университета. Нов. сер. Cep. Физика. 2012. T. 12, № 2. С. 12-18. D0I:10.18500/1816-9791-2016-16-2-184-197
26. Блинкова А.Ю., Блинков Ю.А., Иванов С.В., Могилевич Л.И. Нелинейные волны деформаций в геометрически и физически нелинейной вязкоупругой цилиндрической оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость и окруженной упругой средой // Известия Саратовского университета. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. T. 15, № 2. С. 193-202. D0I:10.18500/1816-9791-2015-15-2-193-202
27. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с.
28. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа: Задачи гидроупругости. М.: Наука, 1979. 320 с.
29. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. 490 с.
30. Михасев Г.И., Шейко А.Н. О влиянии параметра упругой нелокальности на собственные частоты колебаний углеродной нанотрубки в упругой среде // Труды БГТУ. Минск: БГТУ. 2012. № 6 (153). C. 41-44.
31. Попов И.Ю., Родыгина О.А., Чивилихин С.А., Гусаров В.В. Солитон в стенке нанотрубки и Стоксово течение в ней // Письма в ЖТФ. 2010. T. 36. № 18. C. 48-54.
32. Блинков Ю.А., Гердт В.П. Специализированная система компьютерной алгебры GINV // Программирование. 2008. T. 34. № 2. C. 67-80.
33. Gerdt V.P., Blinkov Yu.A. Involution and difference schemes for the Navier-Stokes equations // CASC. Lecture Notes in Computer Science. 2009. Vol. 5743. Pp. 94-105. DOI:10.1007/978-3-642-04103-7_10
34. Amodio P., Blinkov Yuri, Gerdt V.P., La Scala R. On consistency of finite difference approximations to the Navier-Stokes equations // CASC. Lecture Notes in Computer Science. 2013. Vol. 8136. Pp. 46-60. D0I:10.1007/978-3-319-02297-0_4
References
1. Kligman E.P., Kligman, I.E., Matvienko V.P. Spectral problem for shells with fluid. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2005, vol. 46, iss. 6, pp. 876-882. D0I:10.1007/s10808-005-0147-9
2. Bochkarev S.A., Matveenko V.P. Stability analysis of cylindrical shells containing a fluid with axial and circumferential velocity components. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2012, vol. 53, iss. 5, pp. 768-776. D0I:10.1134/S0021894412050161
3. Gromeka I.S. To the Theory of Fluid Flow in Narrow Cylindrical Tubes. Moscow: AS USSR, 1952, pp. 149-171 (in Russian).
4. Kondratov D.V., Mogilevich L.I. Mathematical modeling of the interaction of two cylindrical shells with a fluid layer between them in the absence of an outward flow under vibrations. Vestnik Saratov State Technical University, 2007, vol. 3, iss. 2 (27), pp. 15-23 (in Russian).
5. Kondratov D.V., Kondratova N.Yu., Mogilevich L.I. Studies of the amplitude frequency characteristics of oscillations of the tube elastic walls of a circular profile during pulsed motion of a viscous fluid under the conditions of rigid jamming on the butt-ends. J. Mach. Manuf. Reliab., 2009, vol. 38, iss. 3, pp. 229-234. D0I:10.3103/S1052618809030030
6. Paidoussis M.P., Nguyen V.B., Misra A.K. A theoretical study of the stability of cantilevered coaxial cylindrical shells conveying fluid. J. Fluids Struct., 1991, vol. 5, iss. 2, pp. 127-164. D0I:10.1016/0889-9746(91)90454-W
7. Amabili M., Garziera R. Vibrations of circular cylindrical shells with nonuniform constraints, elastic bed and added mass; Part III: Steady viscous effects on shells conveying fluid. J. Fluids Struct., 2002, vol. 16, iss. 6, pp. 795-809. D0I: 10.1006/jfls.2002.0446
8. Amabili M. Nonlinear Vibrations and Stability of Shells and Plates. Cambridge University Press, 2008. 374 p. D0I:10.1017/CB09780511619694
9. Mogilevich L.I., Popov V.S. Dynamics of the interaction between an elastic cylinder and a viscous incompressible fluid layer. Mechanics of Solids, 2004, iss. 5, pp. 179-190.
10. Bochkarev S.A. Natural vibrations of a rotating circular cylindrical shell containing fluid. Computational Continuum Mechanics, 2010, vol. 3, iss. 2, pp. 24-33. D0I:10.7242/1999-6691/2010.3.2.14
11. Lekomtsev S.V. Finite-element algorithms for calculation of natural vibrations of three-dimensional shells. Computational Continuum Mechanics, 2012, vol. 5, iss. 2, pp. 233-243. D0I:10.7242/ 1999-6691/2012.5.2.28
12. Bochkarev S.A., Matveenko V.P. Stability of coaxial cylindrical shells containing a rotating fluid. Computational Continuum Mechanics, 2013, vol. 6, iss. 1, pp. 94-102. D0I:10.7242/1999-6691/2013.6.1.12
13. Nariboli G.A. Nonlinear longitudinal dispersive waves in elastic rods. J. Math. Phys. Sci, 1970, vol. 4, 64-73.
14. Nariboli G.A., Sedov A. Burger's-Korteweg-De Vries equation for viscoelastic rods and plates. J. Math. Anal. and Appl., 1970, vol. 32, pp. 661-667.
15. Erofeev V.I., Kazhaev V.V. Inelastic interaction and splitting of deformation solitons propagating in the rod. Computational Continuum Mechanics, 2017, vol. 10, iss. 2, pp. 127-137. D01:10.7242/ 1999-6691/2017.10.2.11
16. Zemlyanukhin A.I., Mogilevich L.I. Nonlinear waves of deformations in cylindrical shells. Izvestiya VUZ, Applied Nonlinear Dynamics, 1995, iss. 1, pp. 52-58 (in Russian).
17. Erofeev V.I., Klyueva N.V. Solitons and nonlinear periodic strain waves in rods, plates and shells: Review. Acoustical Physics, 2002, vol. 48, iss. 6, pp. 643-655. D0I:1063-7710/02/4806
18. Erofeev V.I., Zemlyanukhin A.I., Katson V.M., Sheshenin S.F. Formation of deformation solitons in the Cosserat continuum with constrained rotation. Computational Continuum Mechanics, 2009, iss. 4, pp. 67-75. D0I:10.7242/1999-6691/2009.2.4.32
19. Bagdoev A.G., Erofeev V.I., Shekoyan A.V. Linear and Nonlinear Waves in Dispersive Continuous Media. Moscow: Fizmatlit, 2009. 320 p. (in Russian).
20. Erofeev V.I., Kazhaev V.V., Pavlov I.S. Inelastic interaction and splitting of strain solitons propagating in a granular medium. Computational Continuum Mechanics, 2013, vol. 6, iss. 2, pp. 140-150. D0I:10.7242/1999-6691/2013.6.2.17
21. Zemlyanukhin A.I., Bochkarev A.V. The perturbation method and exact solutions of nonlinear dynamics equations for media with microstructure. Computational Continuum Mechanics, 2016, vol. 9, iss. 2, pp. 182-191 (in Russian). D0I:10.7242/1999-6691/2016.9.2.16
22. Zemlyanukhin A.I., Bochkarev A.V. Continued fractions, the perturbation method and exact solutions to nonlinear evolution equations. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 2016. Vol. 24, iss. 4, pp. 71-85 (in Russian). D0I:10.18500/0869-6632-2016-24-4-71-85
23. Zemlyanukhin A.I., Bochkarev A.V. Newton's method of constructing exact solutions to nonlinear differential equations and non-integrable evolution equations. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 2017. Vol. 25. iss. 1, pp. 64-83. D0I:10.18500/0869-6632-2017-25-1-64-83
24. Blinkova A.Y., Blinkov Y.A., Mogilevich L.I. Non-linear waves in coaxial cylinder shells containing viscous liquid inside with consideration for energy dispersion. Computational Continuum Mechanics, 2013, vol. 6, iss. 3, pp. 336-345. D0I:10.7242/1999-6691/2013.6.3.38
25. Blinkova A.Yu., Ivanov S.V., Kovalev A.D., Mogilevich L.I. Mathematical and computer modeling of nonlinear waves dynamics in a physically nonlinear elastic cylindrical shells with viscous incompressible liquid inside them. Proceedings of Saratov University. New Ser. Ser. Physics, 2012. vol. 12, iss. 2, pp. 12-18 (in Russian). D0I:10.18500/1816-9791-2016-16-2-184-197
26. Blinkova A.Yu., Blinkov Yu.A., Ivanov S.V.,Mogilevich L.I. Nonlinear Deformation Waves in a Geometrically and Physically Nonlinear Viscoelastic Cylindrical Shell Containing Viscous Incompressible Fluid and Surrounded by an Elastic Medium. Antisymmetric Higher Order Edge Waves in Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2015, vol. 15, iss. 2, pp. 193-202. D0I:10.18500/1816-9791-2015-15-2-193-202
27. Loytsiansky L.G. Mechanics of Liquid and Gas. Moscow. Drofa, 2003. 840 p. (in Russian).
28. Volmir A.S. Shells in a Fluid and Gas Flow: Hydroelasticity Problems. Moscow, Science, 1979. 320 p.
29. Vlasov V.Z., Leontiev N.N. Beams, Plates and Shells on an Elastic Base. Moscow. Gos. Izd. Fiz.-Mat. Lit., 1960. 490 p.
30. Mikhasev G.I., Sheiko A.N. 0n the influence of the elastic nonlocality parameter on the natural
frequencies of vibrations of a carbon nanotube in an elastic medium. Proceedings of BSTU. Minsk: BSTU, 2012, iss. 6 (153), pp. 41-44.
31. Popov I.Yu., Rodygina O.A., Chivilikhin S.A., Gusarov V.V. Soliton in a nanotube wall and Stokes current in nanotube. Technical Physical Letters, 2010, vol. 36, iss. 9, pp. 852-875, DOI: 10.1134/S1063785010090221.
32. Blinkov Y.A., Gerdt V.P. Specialized computer algebra system GINV. Programming and Computer Software, 2008, vol. 34, iss. 2, pp. 112-123. DOI: 10.1134/S0361768808020096
33. Gerdt V.P., Blinkov Yu.A. Involution and difference schemes for the Navier-Stokes equations. CASC. Lecture Notes in Computer Science, 2009, vol. 5743, pp. 94-105. DOI: 10.1007/978-3-642-04103-7_10
34. Amodio P., Blinkov Yu.A., Gerdt V.P., La Scala R. On consistency of finite difference approximations to the Navier-Stokes equations. CASC. Lecture Notes in Computer Science, 2013, vol. 8136, pp. 46-60. DOI: 10.1007/978-3-319-02297-0_4
Блинков Юрий Анатольевич родился в Волгоградской области (1965), окончил Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского (1987). После окончания срочной службы в армии по настоящие время работает в СГУ. Заведующий кафедрой математического и компьютерного моделирования. Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук (1995, ОИЯИ) и доктора физико-математических наук (2009, РУДН) в области математического моделирования, численных методов и комплексов программ. Опубликовал 80 научных статей по этим направлениям.
Россия, 410013 Саратов, Астраханская, 83
Саратовский национальный исследовательский государственный университет E-mail: blinkovua@info.sgu.ru
Евдокимова Екатерина Владимировна родилась в Саратове (1972), окончила Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского (1995). В настоящее время работает в Саратовском филиале Самарского государственного университета путей сообщения и является аспирантом кафедры прикладной математики и системного анализа Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю.А.
Россия, 410054 Саратов, Политехническая, 77
Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А. E-mail: eev2106@mail.ru
Могилевич Лев Ильич родился в Саратове (1946), окончил с отличием Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского (1969) и аспирантуру СГУ (1972). Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук (1972, СГУ) и доктора технических наук в Киевском политехническом институте (1989). Работает профессором кафедры прикладной математики и системного анализа Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. Специалист в области математического моделирования нелинейных волн и колебаний в аэродинамике и в упругогидродинамике. Автор более 300 научных работ по этим направлениям.
Россия, 410054 Саратов, Политехническая, 77
Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А. E-mail: mogilevich@sgu.ru
