CC BY
19
#
Вестник РУДН. Серия МИФ
ИиБК Лоигпа1 of М1РЬ
http://journals.rudn.ru/miph
2018 У01. 26 N0. 3 203-215
Математическое моделирование
УДК 532.516:539.3
Б01: 10.22363/2312-9735-2018-26-3-203-215
Моделирование волновых процессов в двух соосных оболочках, заполненных вязкой жидкостью и окружённых
упругой средой
Ю. А. Блинков*, Е. В. Евдокимова^, Л. И. Могилевич^, А. Ю. Ребрина^
* Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени
Н.Г. Чернышевского ул. Астраханская, д. 83, г. Саратов, Россия, 410012 ^ Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А. ул. Политехническая, д. 77, г. Саратов, Россия, 410054
На базе связанных задач гидроупругости, описываемых уравнениями динамики оболочек и вязкой несжимаемой жидкости, известны математические модели волновых движений в бесконечно длинных геометрически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, в виде обобщённых уравнений Кортевега-де Вриза (КдВ). Математические модели волнового процесса в бесконечно длинных геометрически нелинейных соосных цилиндрических упругих оболочках с вязкой несжимаемой жидкостью между оболочками, полученные применением метода возмущений по малому параметру задачи, описываются в виде системы обобщённых уравнений КдВ. В представленной статье проведено исследование модели волновых явлений в двух геометрически нелинейных упругих соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость как между ними, так и внутри, и окружённых упругой средой, действующей как в нормальном, так и в продольном направлении. Для рассмотренных систем уравнений с учётом влияния жидкости с помощью построения базиса Грёбнера получены разностные схемы типа Кранка-Николсона. Для генерации этих разностных схем использованы базовые интегральные разностные соотношения, которые аппроксимируют исходную систему уравнений.
Ключевые слова: нелинейные волны, вязкая несжимаемая жидкость, цилиндрические упругие оболочки, базис Грёбнера
Взаимодействие упругих элементов конструкций с жидкостью рассматривалось в разных аспектах. В условиях вибрации взаимодействие вязкой несжимаемой жидкости с упругими оболочками исследовалось в [1-3], а с учётом вращения жидкости —
В современной волновой динамике одним из важных направлений является изучение поведения волн деформаций в упругих тонкостенных конструкциях. Проблема распространения волн в газовой динамике и теории упругих оболочек изучается при помощи линеаризованных уравнений. При этом скорость распространения возмущений считается постоянной и равной скорости распространения звука в невозмущённой среде. Однако ряд явлений, несмотря на малые значения зависимых переменных, целиком определяется зависимостью скорости распространения возмущений от величины зависимых переменных и исследуется на базе нелинейных уравнений. Эти исследования проводятся с помощью методов возмущений, таких как метод сращиваемых асимптотических разложений, метод деформируемых координат, метод многомасштабных разложений.
Кроме того, проблемы распространения волн в упругих и вязкоупругих тонкостенных конструкциях, в том числе в бесконечно длинных цилиндрических оболочках
Введение
в [4].
Статья поступила в редакцию 16 марта 2018 г.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01-00175^).
без взаимодействия с вязкой несжимаемой жидкостью, рассматривались в [5,6] с позиции теории солитонов.
Известны математические модели, учитывающие влияние вязкой несжимаемой жидкости на волновые процессы в бесконечно длинных геометрически и физически нелинейных оболочках [7, 8]. При этом найдены эффекты влияния вязкой несжимаемой жидкости на поведение волны деформации в оболочке в зависимости от коэффициента Пуассона материала оболочки. В частности, при наличии жидкости в оболочке из неорганических материалов (различные трубопроводы в технологических сооружениях) выявлен экспоненциальный рост амплитуды волны. В случае органического материала (кровеносные сосуды) волна в жидкости быстро затухает.
Решение поставленной в работе задачи для геометрически нелинейных оболочек представляется актуальным и сложным, имеет важное значение для акустической диагностики и неразрушающего контроля материалов. Во многом интерес к подобным задачам инициирован необходимостью анализа упругих и динамических свойств нанообъектов, в частности, карбоновых нанотрубок.
В настоящей работе развивается метод возмущений для моделирования нелинейных волн деформаций в упругой цилиндрической оболочке, заполненной вязкой несжимаемой жидкостью, окружённой упругой средой и при конструкционном демпфировании в продольном направлении. Аналогичная задача без влияния упругой среды была рассмотрена в работе [9]. Показано влияние вязкой несжимаемой жидкости, заполняющей оболочку, окружающей упругой среды и конструкционного демпфирования на поведение продольных волн деформации в упругой цилиндрической оболочке.
Постановка задачи
Рассмотрим окружённые упругой средой две соосные бесконечно длинные упругие оболочки (см. рис. 1), между которыми находится вязкая несжимаемая жидкость. Зазор между оболочками, занимаемый жидкостью ё, радиус срединной поверхности оболочки Я; Я1 = Ж1) - ^/2 — внутренний радиус внешней оболочки; Д2 = Д(2) + Ь02)/2 — внешний радиус внутренней оболочки; Кз = Ж2)-Ь(2) /2 — внутренний радиус внутренней оболочки, — радиусы срединных поверхностей внешней и
внутренней оболочек; Ь^, Ь02) — их толщины. В дальнейшем, для внешней оболочки будем использовать обозначение сверху индексом (г) = (1), а для внутренней —
Рис. 1. Бесконечно длинные соосные цилиндрические оболочки
Записывая уравнения движения элемента цилиндрической оболочки в перемещениях для модели Кирхгофа-Лява, рассмотрим материал с линейной зависимостью интенсивности напряжений а» от интенсивности деформаций e^ [10]: а» = Евг, где Е — модуль Юнга.
Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости и уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат г, в, х записываются, в случае осесимметричного течения, в виде [11, 12]:
ак ак оуг 1 дР
--+ Уг--+ Ух--1---= V
дЪ дг дх р дг
д2У- 1 дУг д2 К -- +---- +---
д 2 д д х2
V-
дУх л. дУх дVx 1 др
--+ Уг--+ Ух--1---= V
дЪ дг дх р дх
дУ- V- дУх
д д х
д 2Ух + 1 дУх д2Ух
д 2 = 0.
д
д х2
(1)
На границе оболочек и жидкости на рис. (1) при г = т - W (г) выполняются условия прилипания жидкости [12]
ди (г) =Ух + и (0 ^ ^ «дУх
д
д х
д
^ = уг + и (г)^-„,-(г№ (2)
д д х д
Здесь £ — время; х,г — цилиндрические координаты; Ух, V- — проекции на оси цилиндрической системы координат вектора скорости жидкости; р — давление, р — плотность, V — кинематический коэффициент вязкости жидкости; И (г) — продольное упругое перемещение оболочки по оси х; W(г) — прогиб оболочки, положительный к центру кривизны.
Уравнения динамики оболочки записываются в виде [13,14]
2
РоЬ^с2
и® + ¡и^)2 + ^2 + -*>^
-
кзД(г)2 Ро^Атт(г) _ кл (г)3
к3Д ¡4 и кл РК(г)2
(2 - ъ) = --ф(г - 1),
РоЬ^с2! ^^wXXXхх-
(г)2
12
и ^)2 . 1„ ()2 . н0)\,()2 W(г)
-4 wXí) | ихг) + 2иГ + ^ + '^хг - ^
11 1 2 1 2 И
1 2 1 2»ои® +2/
(г)2 2 0 .. W(i)2 -
24
+
( ) 2
+ к1 р0^w(г)(2 - г) + ~^г)ш(г)
(г)(2 - г) + = (-1)г-1 дп + фп(г - 1).
(3)
Здесь кО — толщины оболочек; р2 — коэффициент Пуассона, р0 — плотность; и(г), W(г') — продольное перемещение и прогиб, положительный к центру кривизны, х — продольная координата; £ — время; дгх, дп — напряжения со стороны жидкости, находящейся между оболочками; дх, (¡п — напряжения со стороны жидкости, заполняющей внутреннюю оболочку; реакция упругой среды в нормальном и продольном направлениях [5, 6,15-18]:
к1
роко]с2о^г (1) кз К(г) рок0)с1и {1) _ к рок0)с2ои 13
I2 '
4
12К(1)2
х
Со = л/Е/ (р0 (1 — ,0))— скорость распространения продольных волн в оболочке. Напряжения со стороны слоя жидкости определяются формулами
ап = — Р + 2Рь = + -д^) . (4)
Уравнения динамики оболочек
Принимая за характерную длину I — длину волны, перейдём к безразмерным переменным для исследования уравнений (3):
Ш(г) = юти(3), и« =иту1), Г = ^ г, х* = (5)
Здесь тт, ит — характерные значения прогиба Ш и продольного перемещения и. Полагаем
^ = е = о(Х), ^ = 0(е1), = 0(£), т^ = 0(в). (6)
Применим метод асимптотических разложений, вводя независимые переменные в виде
£ = х* -сГ, т = еГ, (7)
где с — безразмерная неизвестная скорость волны, т — быстрое время, а £ — малый параметр.
Записываем систему уравнений (3) в безразмерных переменных с использованием формул (5)—(7) и разложим упругие перемещения по степеням е = ^:
и1 = и1о + и11 + . . . , и3 = и3о + и31 + . . . . (8)
Подставим разложение (8) в полученные уравнения из (3) и после некоторых преобразований этих уравнений, аналогичных приведённым в [8,19], приравняем нулю коэффициенты при о, получим
и(1) = ,, и(1) (1 ,,2 г'2)и(^) = 0 (9)
¡Уи30 жг = ^0и10^, (1 - , — С )и10££ = 0 (9)
и
т
Д«'
откуда определяется безразмерная скорость волны с2 = 1 — ,2.
Из следующего приближения по е, учитывая (9), находится уравнение, являющееся составным для и10:
(¿) + ит^/ИА+К1 —
10£т + 1е 2 и10£и10££ + £ I 1 I 2 и10<£«Г
2 -г ( 2! Я(г)2 ! Я(г)2 , «т 3^
1 г2 Л(г) . ^
) ■
2 л—2 ,(4) 2 V^ -*>-г(-^Ж ) ■ (10)
V1 - ,0 еитР0Ь0г)с2 V I д£
В представлениях (8) взято два первых члена разложения по для учёта нелинейности исходной системы уравнений (3), как следует из системы (10).
В случае отсутствия жидкости правая часть уравнений (10) обращается в ноль и система распадается на независимые уравнения, каждое из которых имеет своё точное решение. Для определения напряжений, действующих со стороны жидкости, можно воспользоваться результатами работы [9]:
1
д
рр
роЬ^с2 д£ 53роЬ0)со
(0
Со
Ф = 6 д дп х 21 д£
^^ю^
(-1Г,
Ро-
12) д^п
I
Язсо
рс 0
о ит
1 -ро~
1 - 2р,
Ю)
ди
(2) 1о
д
(11)
2
х
Подставляя (11) в систему уравнение (10), окончательно получим
(1)
+
1е
1
иг-, + ит V1 -Ро и(1)и(1) +К 2 РоУ1 -Ро и(1) +
и1о^ + , „ и10^и10^^ + £ \ I 2 и10££й+
к1Ро
2
д^2
12е
2
(1)
Я(о)2 п з
- кз^— и(1)ю + к4Ят~£и(1)1-
,2
Ю« - к3
1о
+
р
+6ро
роНо Кс0е \ 5
(1)
1 +
2роЯ
и(1) и( )
и (2) + ит V1 -Ро и(2)и(2) +1/^ !У РоУ1 -Ро и(2) +
и10^г + 1е 2 и1о£и1о££ + £ I 1 I 2 и1о<КЙ+
+6^2 р1 у (Я V
оро Но Ксое \ 5 )
1+
2роЯ
и(2) и(1)
-2 - ^ ^ = °
(12)
Здесь с принятой точностью Но/1 « О(е), <5/12 = -ф « 1, обозначено !(1) и 1(2) = 1,
при этом положено Н,
(1)
(2)
Но.
Легко видеть, что замена иЮ^ = с3ф(1), и^, г] = с1 £, Ь = с2т, где
С2 = 6р2 /!у
2 ороНо£ V 5 ) с2 I£2 12
Сз =
1+
с1 ит уУ 1 - р2 '
к4
а1 =
2р01
1
6 Со' к1
1
2
12
С2 2^\-р^о12е
°3 =
чу 2
-1) Р2°У1
1 к2 1 2
С1С2 2^1 -р2 12£
2 С3
% 1 4Ро
а _
1 - 4р2 / ^ \ /5г>
(!)
2 1 р
а4 С2с1 2^1 -р2 12е' " 3ро позволяет записать систему уравнений (12) в виде
1+
2р0!
1
(13)
ф^ + 6ф(1)ф^ + ф^) + а^ - а3 У ф(1)ёг? + а^ ф(1)ёг/) + ф(1) - ф(2) = (14)
ф^2) + 6ф(2)ф(2) + ф(2) + ф(2) - ф(1) - аф(2) =
(15)
0
о
о
Система уравнений (14)—(15) при отсутствии жидкости распадается на два независимых уравнения. Для ф(1):
ф(1) + 6ф(1)ф(1) + ф+ а1ф^11) -а^ ф(1)ёг] + ф(1)ёг^ — 0
с точным решением
ф(1) = совЬ-2 { \п- (^ + 2*4 + аЛ г] ).
2а4 {¿у I \*4 /JJ
Для ф(2): ф^ + 6ф(2)ф^ + фг]г)г] — 0 с точным решением
ф(2) — есвЬ-2/ 2*4 {
2 У а 4
а3,
Г]--1
а4
(16)
(17)
где аз/*4 — произвольная величина.
Как следует из (16) и (17), скорость солитона
ф 1)
больше, чем скорость солитона ф 2) при одинаковых амплитудах. При наличии жидкости во внутренней оболочке и окружающей упругой среды для внешней оболочки численное исследование системы уравнений (14)—(15) при начальном условии
ф ^ (п, 0) — ф2) ('П, 0) — ^ совЬ-2 ( 1
2*4 [ 2 у а4 )
позволит оценить их влияние на волновые процессы в соосных оболочках.
(18)
1
Численное моделирование
В статьях [20] подробно рассмотрен процесс дискретизации квазилинейных дифференциальных уравнений эволюционного типа на примере классического уравнения КдВ, численные методы решения которого рассмотрены в [21]. Полученная с помощью данного подхода дискретизация уравнения КдВ имеет точность второго порядка как по пространственному шагу Н сетки, так и по временному т. Поскольку разностная схема неявная, т.е. устойчива при достаточно малом Н, то её согласованность и устойчивость приводят к её сходимости [22]. Также строго доказана классическая теорема эквивалентности Лакса для начальной задачи с одним линейным дифференциальным уравнением и обобщениями на нелинейный случай [23].
Существует большое количество методов построения разностных схем для дифференциальных уравнений. Мы будем использовать алгоритм построения конечно-разностной аппроксимации согласно [24].
Запишем систему уравнений (14)—(15) в виде интегралов по контуру
У (-ф$ - 3ф1)2 - а^1)) ё + ф 1)ёг]+
+ И ^-аз^ + *4ф3) Шг]+II (ф(^ -ф(2)) ёМг? = 0, (19)
У (-фИ - зф(2)2^ ^ + ф2)&П + Ц (ф(2) - ф1) - аф^2)) — 0 (20)
для у ф(1)(1г] = Ф, любой области О и любого интервала а > Ь. На разностной сетке
сопоставим и ^ )П = ф(^ п , ^), ип = Ф(Ьп, г)у) и выберем в качестве базового контур, показанный на рис. 2.
п +1
3 3 + 1 3 + 2 Рис. 2. Базовой контур для уравнений (19)—(20)
Добавим интегральные соотношения
Щ+1
и(
V
и(%(Г] = и(г)(г, ^-+1) -и%, ^),
щ (21) I = и(% ^, ^+2) -и(% ^, ГЦ), I и&Г] = и (г, ^+2) -и (£, ^).
V' V'
Применяя для численного интегрирования формулы Ньютона-Котеса и полагая tn+1 - tn = т, ?Т?+1 - ^ = Н, перепишем соотношения (19), (20), (21) в виде
(- (и(1)п + и(1)п+^ и(1)п - и(1)п+11 -^ у^пп у 1 ■■ j ■■ у+2 ■■
- ^и(1)°П + и»)°Г - и(')°П+2 - и»)°п^)) ■ 2 + (и(1)п++,1 - и(1)п+,) ■ 2Н + + ГГи(1>П+1 +и(1'П+1) - Си<°)П+11 +и(°'п
+1 + и +1 - и +1 + и +1
3п+1 3п
-а3 (и^1 + ип+1) + а4 (и^ + и^+1)) ■ Нт = °,
С- Л,(2)п + и(2)П+1 _ и (2)П _ и(2)п
1 1 у I j ■■ у+2 ■■ j-
- з (и")2;'+и(=>°п+1 - иО)°;+а - и®2;;:,1)) ■ 2+(и(«п+11 - »(»)п+1) ■ 2»+
+ ((и(2)п+! + и(°)П+1) - (и(1)п+ + и(1)П+1) - а (и<°)П+1 + и<°)П+1)) ■ Нт =
( (¿)п («)П) Н (г)п (¿)п
(ип у'+1 + ип у ' 2 = и у+1 - и з , и( ) п 2Н = и( ) п и( ) п,
UlVVj + 1 21 = j+2 ] ,
(и(1)П+2 +4и(1)П+1 +и(1)П) | = Ц,п+2 -Ц,"
п
Поскольку исходное дифференциальное уравнение (14)—(15) нелинейно, то за счёт выбора допустимого упорядочения в данном случае в базисе Грёбнера [25] лидирующие мономы не будут состоять из нелинейных членов. В результате получим разностную схему для уравнения (14)—(15)
»' »г -«■ 1' 1 >< »г»-«< 'О+с -«■ "Ч-1)+
+ 3 л т +
т 4Н
+ и - 2^ 1);^11+2^ "у -и "Я)+
+ 4Н3 +
+ (и ";+2 - 2^ у+1+2и( 1 -ц(2) + + 4Н3 +
+ (^ "й? -и "Ужи »"+1 -и1) иг1+и? +
+ а1-4Н--аз-2-+
и^ + изп. и1)п1+1 + и"" и2)г;+1+и^
+ а 4 2-^ +-3—2-3---3—2-3- — 0, (22)
(и+4и+и1) Н - (и+1 - и-) — 0, (23)
иу -и2); (и^-иУжи22;, -иУ) +
г +3 4Н +
(и у - 2и( у + 2и у - иу)
+ 4Н3 +
+ +2и2);. 1 - и2);_2)
4Н3
и2^+1+и2)" и у + и"" и2^+1+и2)"
+-У-3~--У-3~-а-у-3- — 0. (24)
Разностная схема (22), (24) подобна схеме Кранка—Николсона для уравнения теплопроводности.
Реализация разностной схемы (22)—(24) была проведена с использованием программного обеспечения с открытым кодом БоРу и БушРу, построенном для языка программирования РуЛопЗ.
Полученные неявные разностные схемы нелинейны относительно следующего временного слоя, поэтому для построения решения использована следующая линеаризация
^к+1 — V1+1 - ь2к + ь2к — (ьк+1 - ук)(ьк+1 + ьк) + У2к и ьк+1 ■ 2ук - ь2к.
На границах вычислительной области использовались условия равенства первых
производных ф^ — ф,2 — 0. Поскольку схема (22)—(24) имеет 5-точечный шаблон по оси г], то на границах использовалось по два соотношения, например для левой границы:
ё!(Хг) и Н2 ¿31 + -5 Дхг) + 9 /(Хг+2) - 4/(Жг+з) ёж ёх3 6Н '
(¡(Хг) ^ Ш2 (31 + -5 /(Жг+1) + 8¡(Хг+2) - 3 /(^+3) ёж 6 ёх3 2Н
На рис. 3 и 4 видно влияние окружающей упругой среды на поведение нелинейной волны деформации в системе в зависимости от коэффициента Пуассона ро в (13) в выражении для а.
п
Рис. 3. Графики численного решения уравнений (14)—(15) при а\ = 1 с начальным условием (18) с <г3 = 0, 004, а4 = 0,1 и у/а3/а4 = 0, 2
п
Рис. 4. Графики численного решения уравнений (14)—(15) при а\ = —1 с начальным условием (18) с <г3 = 0, 004, а4 = 0,1 и у/а3/а4 = 0, 2
В случае ро < 1/2 (рисунок 3) наблюдается волнообразование и рост амплитуды волны относительно времени в обеих оболочках при более слабом во внешней оболочке в следствии влияния окружающей упругой среды. И наоборот, при ро > 1/2 (рис. 4) наблюдается волнообразование и падение амплитуды волны относительно времени в обеих оболочках при более сильном во внешней оболочке.
Заключение
Выполненные вычислительные эксперименты позволили впервые оценить влияние окружающей упругой среды для внешней оболочки на поведение нелинейной волны деформации в системе, когда внутренняя оболочка заполнена вязкой несжимаемой жидкостью.
В результате под влиянием воздействия упругой среды на внешнюю оболочку и наличия жидкости во внутренней оболочке наблюдается в зависимости от коэффициента Пуассона меньший рост или падение амплитуды волны во внешней оболочке по сравнению с внутренней.
Литература
1. Paidoussis M. P., Nguyen V. B., Misra A. K. A Theoretical Study of the Stability of Cantilevered Coaxial Cylindrical Shells Conveying Fluid // Journal of Fluids and Structures. — 1991. — Т. 5, № 2. — С. 127-164. — DOI: 10.1016/0889-9746(91)90454-W.
2. Amabili M. Nonlinear Vibrations and Stability of Shells and Plates. — Cambridge University Press, 2008. — С. 374. — DOI: 10.1017/CB09780511619694.
3. Могилевич Л. И., Попов В. С. Динамика взаимодействия упругого цилиндра со слоем вязкой несжимаемой жидкости // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. — 2004. — № 5. — С. 179-190.
4. Бочкарёв С. А., Матвеенко В. П. Устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, содержащих вращающийся поток жидкости // Вычислительная механика сплошных сред. — 2013. — Т. 6, № 1. — С. 94-102. — DOI: 10.7242/19996691/2013.6.1.12.
5. Багдоев А. Г., Ерофеев В. И., Шешенин С. Ф. Линейные и нелинейные волны в диспергирующих сплошных средах. — М.: Физматлит, 2009. — С. 318.
6. Ерофеев В. И., Кажаев В. В., Павлов И. С. Неупругое взаимодействие и расщепление солитонов деформации, распространяющихся в зернистой среде // Вычислительная механика сплошных сред. — 2013. — Т. 6, № 2. — С. 140-150. — DOI: 10.7242/1999-6691/2013.6.2.17.
7. Блинков Ю. А., Иванов С. В., Могилевич Л. И. Математическое и компьютерное моделирование нелинейных волн деформаций в оболочке, содержащей вязкую жидкость // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. — 2012. — Т. 3. — С. 52-60.
8. Блинков Ю. А., Ковалева И. А., Могилевич Л. И. Моделирование динамики нелинейных волн в соосных геометрически и физически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. — 2013. — Т. 3. — С. 42-51.
9. Блинков Ю. А., Месянжин А. В., Могилевич Л. И. Распространение нелинейных волн в соосных физически нелинейных цилиндрических оболочках, заполненных вязкой жидкостью // Вестник РУДН. Серия: Математика, информатика, физика. — 2017. — Т. 25, № 1. — С. 19-35. — DOI: 10.22363/2312-9735-2017-25-1-19-35.
10. Каудерер Г. Нелинейная механика. — М.: Иностранная литература, 1961. — С. 778.
11. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа, 2003. — С. 840.
12. Валландер С. В. Лекции по гидроаэромеханике. — Л.: Изд. ЛГУ, 1978. — С. 296.
13. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. — М.: Наука, 1972. — С. 432.
14. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости. — М.: Наука, 1979. — С. 320.
15. Власов В. З., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. — М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1960. — С. 490.
16. Несинусоидальные изгибные волны в балке Тимошенко, лежащей на нелинейно упругом основании / В. И. Ерофеев, В. В. Кажаев, Е. Е. Лисенкова, Н. П. Семе-рикова // Проблемы машиностроения и надежности машин. — 2008. — № 3. — С. 30-36.
17. Михасев Г. И., Шейко А. Н. О влиянии параметра упругой нелокальности на собственные частоты колебаний углеродной нанотрубки в упругой среде. — 2012. — Т. 153. — С. 41-44.
18. Бочкарев А. В., Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Уединенные волны в неоднородной цилиндрической оболочке, взаимодействующей с упругой средой // Акустический журнал. — 2017. — Т. 63, № 2. — С. 145-151.
19. Математическое и компьютерное моделирование динамики нелинейных волн в физически нелинейных упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость / А. Ю. Блинкова, С. В. Иванов, А. Д. Ковалев, Л. И. Могилевич // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Физика. — 2012. — Т. 12, № 2. — С. 12-18. — DOI: 10.18500/1816-9791-2016-16-2-184-197.
20. Блинков Ю. А., Гердт В. П., Маринов К. Б. Дискретизация квазилинейных эволюционных уравнений методами компьютерной алгебры // Программирование. — 2017. — № 2. — С. 28-34.
21. Belashov V. Y., Vladimirov S. V. Solitary Waves in Dispersive Complex Media: Theory, Simulation, Applications. — Berlin: Springer-Verlag, 2005. — С. 292.
22. Самарский А. А. Теория разностных схем. — 3-е издание. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — С. 786.
23. Rosinger E. E. Nonlinear Equivalence, Reduction of PDEs to ODEs and Fast Convergent Numerical Methods. — London: Pitman, 1983. — С. 439. — DOI: 10.1137/1026088.
24. Gerdt V. P., Blinkov Y. A., Mozzhilkin V. V. Grobner Bases and Generation of Difference Schemes for Partial Differential Equations // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. — 2006. — Т. 2. — С. 26. — DOI: 10.3842/SIGMA.2006.051.
25. Gerdt V. P. Consistency Analysis of Finite Difference Approximations to PDE Systems. — MMCP. Lecture Notes in Computer Science, 2011. — Т. 7125. — С. 28-42.
UDC 532.516:539.3
DOI: 10.22363/2312-9735-2018-26-3-203-215
Wave Processes Modeling in Two Coaxial Shells Filled with a Viscous Liquid and Surrounded by Elastic Medium
Y. A. Blinkov*, E. V. Evdokimova1", L. I. Mogilevich1", A. Y. Rebrina1"
* Saratov State University 83, Astrahanskaya str., Saratov, 410012, Russian Federation ^ Yuri Gagarin State Technical University of Saratov 77, Politekhnicheskaya str., Saratov, 410054, Russian Federation
The investigation of deformation waves behavior in elastic shells is one of the important trends in the contemporary wave dynamics. There exist mathematical models of wave motions in infinitely long geometrically non-linear shells, containing viscous incompressible liquid based on the related hydroelasticity problems, which are derived by the shells dynamics and viscous incompressible liquid equations in the form of centralized Korteweg-de Vries (KdV) equations. In addition, mathematical models or the wave process in infinitely long geometrically nonlinear coaxial cylindrical elastic shells are obtained by the perturbation method. These models differ from the known ones by the consideration of incompressible liquid between the shells, based on the related hydroelasticity problems. These problems are described by shell dynamics and viscous incompressible liquid equations with corresponding edge conditions in the form of generalized KdV equations system. The paper presents the investigation of wave occurrences in two geometrically non-linear elastic coaxial cylindrical shells of Kirchhoff-Love type, containing viscous incompressible liquid both in between and inside, and surrounded by an elastic medium, acting in both normal and longitudinal directions. The difference schemes of Crank-Nicholson type are obtained for the considered equations system by taking into account liquid impact and with the help of Grobner basis construction. To generate these difference schemes, the basic integral difference correlations, approximating initial equations system, were used.
Key words and phrases: nonlinear waves, viscous incompressible liquid, elastic cylindrical shells, Grobner basis
References
1. M. P. Paidoussis, V. B. Nguyen, A. K. Misra, A Theoretical Study of the Stability of Cantilevered Coaxial Cylindrical Shells Conveying Fluid, Journal of Fluids and Structures 5 (2) (1991) 127-164. doi:10.1016/0889-9746(91)90454-W.
2. M. Amabili, Nonlinear Vibrations and Stability of Shells and Plates, Cambridge University Press, 2008. doi:10.1017/CB09780511619694.
3. L. I. Mogilevich, V. S. Popov, Dynamics of the Interaction of an Elastic Cylinder with a Layer of a Viscous Incompressible Fluid, Mechanics of Solids (5) (2004) 179-190, in Russian.
4. S. A. Bochkarev, V. P. Matveenko, Stability of Coaxial Cylindrical Shells Containing a Rotating Fluid Flow, Computational Continuum Mechanics 6 (1) (2013) 94-102, in Russian. doi:10.7242/1999-6691/2013.6.1.12.
5. A. G. Bagdoev, V. I. Erofeev, S. F. Sheshenin, Linear and Nonlinear Waves in Dispersive Continuous Media, Fizmatlit, Moscow, 2009, in Russian.
6. V. I. Erofeev, V. V. Kazhaev, I. S. Pavlov, Inelastic Interaction and Splitting of Strain Solitons Propagating in a Granular Medium, Computational Continuum Mechanics 6 (2) (2013) 140-150, in Russian. doi:10.7242/1999-6691/2013.6.2.17.
7. Y. A. Blinkov, S. V. Ivanov, L. I. Mogilevich, Mathematical and Computer Modeling of Non-linear Deformation Waves in Shell with Viscous Liquid Inside, Bulletin of Peoples' Friendship University of Russia. Series: Mathematics. Information Sciences. Physics 3 (2012) 52-60, in Russian.
8. Y. A. Blinkov, I. A. Kovaleva, L. I. Mogilevich, Nonlinear Waves Dynamics Modeling in Coaxial Geometrically And Physically Nonlinear Shell Containing Viscous Incompressible Fluid in between, Bulletin of Peoples' Friendship University of Russia. Series: Mathematics. Information Sciences. Physics 3 (2013) 42-51, in Russian.
9. Y. A. Blinkov, A. V. Mesyazhin, L. I. Mogilevich, Propagation of Nonlinear Waves in Coaxial Physically Nonlinear Cylindrical Shells Filled with a Viscous Fluid, RUDN Journal of Mathematics, Information Sciences and Physics 25 (1) (2017) 19-35, in Russian. doi:10.22363/2312-9735-2017-25-1-19-35.
10. G. Cowderer, Nonlinear Mechanics, Foreign Literature, Moscow, 1961, in Russian.
11. L. G. Loytsiansky, Mechanics of Liquid and Gas, Drofa, Moscow, 2003, in Russian.
12. S. V. Vallander, Lectures on Hydroaeromechanics, Ed. Leningrad State University, Leningrad, 1978, in Russian.
13. A. S. Volmir, Nonlinear Dynamics of Plates and Shells, Nauka, Moscow, 1972, in Russian.
14. A. S. Volmir, Shells in a Fluid and Gas Flow: Hydroelasticity Problems, Nauka, Moscow, 1979, in Russian.
15. V. Z. Vlasov, N. N. Leontiev, Beams, Plates and Shells on an Elastic Base, Gos. ed. fiz.-mat. literature, Moscow, 1960, in Russian.
16. V. I. Erofeev, V. V. Kazhaev, E. E. Lisenkova, N. P. Semerikova, Nonsinusoidal Bending Waves in Timoshenko Beam Lying on Nonlinear Elastic Foundation, Journal of Machinery Manufacture and Reliability 36 (3) (2008) 230-235, in Russian.
17. G. Mikhasev, A. Sheiko, On the Influence of the Elastic Nonlocality Parameter on the Natural Frequencies of Vibrations of a Carbon Nanotube in an Elastic Medium, Vol. 153, BSTU, Minsk, 2012, pp. 41-44, in Russian.
18. A. V. Bochkarev, A. I. Zemlyanukhin, L. I. Mogilevich, Solitary Waves in an Inhomogeneous Cylindrical Shell Interacting with an Elastic Medium, Akusticheskij Zhurnal 63 (2) (2017) 145-151, in Russian.
19. A. Y. Blinkova, S. V. Ivanov, A. D. Kovalev, L. I. Mogilevich, Mathematical and Computer Modeling of Nonlinear Waves Dynamics in a Physically Nonlinear Elastic Cylindrical Shells with Viscous Incompressible Liquid inside Them, Izvestiya of Saratov University. New series. Series: Physics 12 (2) (2012) 12-18, in Russian. doi:10.18500/1816-9791-2016-16-2-184-197.
20. Y. A. Blinkov, V. P. Gerdt, K. B. Marinov, Discretization of Quasilinear Evolution Equations by Computer Algebra Methods, Programming and Computer Software 43 (2) (2017) 84-89. doi:10.1134/S0361768817020049.
21. V. Y. Belashov, S. V. Vladimirov, Solitary Waves in Dispersive Complex Media: Theory, Simulation, Applications, Springer-Verlag, Berlin, 2005.
22. A. A. Samarskii, The Theory of Difference Schemes, Marcel Dekker Inc., N.-Y., 2001.
23. E. E. Rosinger, Nonlinear Equivalence, Reduction of PDEs to ODEs and Fast Convergent Numerical Methods, Pitman, London, 1983. doi:10.1137/1026088.
24. V. P. Gerdt, Y. A. Blinkov, V. V. Mozzhilkin, Grobner Bases and Generation of Difference Schemes for Partial Differential Equations, Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications 2 (2006) 26. doi:10.3842/SIGMA.2006.051.
25. V. P. Gerdt, Consistency Analysis of Finite Difference Approximations to PDE Systems, Vol. 7125, MMCP. Lecture Notes in Computer Science, 2011, pp. 28-42.
© Блинков Ю.А., Евдокимова Е. В., Могилевич Л. И., Ребрина А.Ю., 2018 Для цитирования:
Блинков Ю.А., Евдокимова Е.В., Могилевич Л. И., Ребрина А.Ю. Моделирование волновых процессов в двух соосных оболочках, заполненных вязкой жидкостью и окружённых упругой средой // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика. Информатика. Физика. — 2018. — Т. 26, № 3. — С. 203-215. — DOI: 10.22363/2312-9735-2018-26-3-203-215.
For citation:
Blinkov Y. A., Evdokimova E.V., Mogilevich L.I., Rebrina A.Y. Wave Processes Modeling in Two Coaxial Shells Filled with a Viscous Liquid and Surrounded by Elastic Medium, RUDN Journal of Mathematics, Information Sciences and Physics 26 (3) (2018) 203-215. DOI: 10.22363/2312-9735-2018-26-3-203-215. In Russian.
Сведения об авторах:
Блинков Юрий Анатольевич — д.ф.-м.н., заведующий кафедры математического и компьютерного моделирования Саратовского национального исследовательского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского (e-mail: blinkovua@info. sgu.ru)
Евдокимова Екатерина Владимировна — аспирант кафедры прикладной математики и системного анализа Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю.А. (e-mail: [email protected])
Могилевич Лев Ильич — д.т.н., профессор кафедры прикладной математики и системного анализа Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю.А. (e-mail: [email protected])
Ребрина Анастасия Юрьевна — доцент, к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной математики и системного анализа Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю.А. (e-mail: [email protected])
Information about the authors:
Blinkov Yu. A. — Doctor of of Physical and Mathematical Sciences, Chair of Department of Mathematic and Computer Modeling, Saratov State University (e-mail: [email protected])
Evdokimova E. V. — Postgraduate of Department of Applied Mathematics and System Analysis, Saratov State Technical University (e-mail: [email protected]) Mogilevich L. I. — Doctor of Engineering, Professor of Department of Applied Mathematics and System Analysis, Saratov State Technical University (e-mail: [email protected])
Rebrina A. Yu. — Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Applied Mathematics and System Analysis, Saratov State Technical University (e-mail: [email protected])
