Распространение волны в коаксиальных нелинейных упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую жидкость с учетом инерции ее движения Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/24-95 Ссылка для цитирования этой статьи:

Блинков Ю.А., Месянжин А.В., Могилевич Л.И., Кондратов Д.В. Распространение волны в коаксиальных нелинейных упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую жидкость с учетом инерции ее движения // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2019. №1 Выполнено при поддержке гранта РФФИ 19-01-00014 и гранта Президента Российской Федерации МД-756.2018.8_

УДК 532.516:539.3

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛНЫ В КОАКСИАЛЬНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ, СОДЕРЖАЩИХ ВЯЗКУЮ ЖИДКОСТЬ С УЧЕТОМ ИНЕРЦИИ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ

Блинков Ю.А.1, Месянжин А.В.2, Могилевич Л.И.3, Кондратов Д.В.4 1 Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, Россия, Саратов, [email protected] 2Саратовский ОАО «Конструкторское бюро промышленной автоматики», Россия, Саратов, [email protected] 3 Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., Россия, Саратов, [email protected] 4 Поволжский институт управления имени П.А. Столыпина - филиал Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации,Россия, Саратов, [email protected]

WAVE PROPAGATION IN COAXIAL NON-LINEAR ELASTIC CYLINDRICAL SHELLS, CONTAINING VISCOUS INCOMPRESSIBLE LIQUID WITH INERTIA OF ITS MOVEMENT

Blinkov Y.A.1, Mesyanzhin A.V.2, Mogilevich L.I.3, Kondratov D.V.4 1Saratov State University, Russia, Saratov, [email protected] 2Industrial Automatics Design Bureau JSC, Russia, Saratov, [email protected] 3 Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Russia, Saratov,

[email protected]

4 Volga Management Institute named after Р.А. Stolypin - a branch of Federal State-Funded Educational Institution of Higher Education Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration, Russia, Saratov, [email protected]

Аннотация. Существуют модели волновых движений в бесконечно длинных

геометрически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость без учета инерции ее движения, в виде обобщенных уравнений Кортевега де Вриза (КдВ). Также, получены математические модели волнового процесса в соосных цилиндрических упругих оболочках, c учетом наличия несжимаемой вязкой жидкости между оболочками без учета инерции ее движения, в виде системы обобщенных уравнений КдВ. В настоящей работе проведено исследование модели волновых явлений двух геометрически нелинейных упругих соосных цилиндрических оболочек, содержащих вязкую несжимаемую жидкость c учетом инерции ее движения, как между ними, так и внутри. Для рассмотренных систем уравнений получены разностные схемы типа Кранка-Николсона. Создан комплекс программ, на основе разработанного вычислительного алгоритма, позволяющий получить численные решения задач Коши и построить их графики.

Ключевые слова: нелинейные волны, вязкая несжимаемая жидкость, цилиндрические упругие оболочки.

Abstract. There exist models of wave motions in infinitely long geometrically non-linear shells, containing viscous incompressible liquid without inertia of its movement, in the form of generalized KdV equations. Also, mathematical models of the wave process in cylindrical elastic shells. These models differ from the known ones by the consideration of incompressible liquid presence between the shells, based on the related hydroelasticity problems. These problems are described by shells dynamics and viscous incompressible liquid equations without inertia of its movement in the form of generalized KdV equations system. The paper presents the investigation of wave occurrences of two geometrically non-linear elastic coaxial cylindrical shells, containing viscous incompressible liquid with inertia of its movement between them, as well as inside. The difference schemes of Crank-Nicholson type are obtained for the considered equations system. On the basis of computation algorithm the complex of programs, permitting to construct graphs and obtain numerical solutions, was made.

Keywords: nonlinear waves, viscous incompressible liquid, elastic cylinder shell

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Широкое практическое применение упругих коаксиальных оболочек в технике диктует необходимость требует исследования волновых процессов, протекающих в них. Так в [1] были проведено исследование ламинарного движения вязкой несжимаемой жидкости под действием гармонического по времени перепада давления в абсолютно жесткой трубе кругового сечения. В [2-5] проведены исследования распространения волн для упругой цилиндрической оболочки, не содержащей жидкости.

В развитии исследований [2-5], в работе [6] проведено математическое моделирования распространения волн в бесконечно длинных геометрически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость. Полученные математические модели задач гидроупругости были записаны в виде обобщенных уравнений Кортевега де Вриза (КдВ). Исследование показало степень влияния наличия вязкой несжимаемой жидкости в системе на распространение волн. Так выявлен процесс быстрого затухания волны при наличии вязкой жидкости.

Следует отметить, что в [7], с помощью применения метода возмущений по малому параметру задачи, было описано распространение волн в

бесконечно длинных геометрически нелинейных соосных цилиндрических упругих оболочках, в виде системы обобщенных уравнений КдВ. Однако, в указанных работах не производился учет влияния инерции вязкой несжимаемой жидкости.

Рис.1. Исследуемая система

Рассмотрим две коаксиальные бесконечно длинные упругие оболочки на рисунке 1. Внутри оболочек находится вязкая несжимаемая жидкость. Ширина щели, занимаемой жидкостью 8, радиус срединной поверхности оболочки Я;

- . И(2)

я = я(1) -

2

- внутренний радиус внешней оболочки; Я2 = Я

И2)

2

внешний радиус внутренней оболочки; Я3 = Я( ) —- внутренний радиус

внутренней оболочки, Я(1), Я(2) - радиусы срединных поверхностей внешней и внутренней оболочек; Н(), И(2) - их толщины. Все механические перемещения внутренней оболочки обозначены индексом (2) сверху, а внешней - индексом (1). Упругие бесконечно длинные соосные цилиндрические оболочки

Уравнение движения несжимаемой вязкой жидкости и уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат (г, 0, х) в случае осесимметричного течения [8, 9] записываются в виде:

дУ дУ дУ + Уг + Ух дУг

1 др

дг

дУ

дг

+ У

дг дУ

дх р дг

= V

гд 2у

дг2

+

1 дУ

д2У г г

У

дг

+У

дУх 1 др дх р дх

= V

Гд 2У

г дг дх 1 дУ

2

+

+

д2У

дг г дг дх

дУ У дУ

дг

+

+

дх

0.

(1)

г

г

На границе оболочек и жидкости на рис. 1 при г = Я - Ш(г) выполняются условия прилипания жидкости [9]

V = Ш-х дг

ТЛ _ дШ}

V---

г дг

(2)

здесь г - время; г, х - цилиндрические координаты; Vг, Vx - проекции на оси цилиндрической системы координат вектора скорости; и(г) - продольное

упругое перемещение оболочки по оси х; Ш() - прогиб оболочки, положительный к центру кривизны; Я1 - внутренний радиус внешней оболочки;

Я2 - внешний радиус внутренней оболочки (я = Я2 + 8); 8 - толщина слоя жидкости при кольцевом сечении трубы, г = 1 относится к внешней, а г = 2 относится к внутренней оболочке; р - давление в жидкости; р - плотность жидкости; у - кинематический коэффициент вязкости.

Уравнения динамики оболочки записываются в виде

ВИЦ)

1 -А

иХ)+1 их))2+1Ш))(шХх))2 -

2У х ' 2 -рИи) + дХ) + ~х (г -1) = 0

Ао

Ш(г) ^ )

Щ- И}+иХ Ш >1 - и)+1 их))2 -1Ш))2

1 -А) \ 12 V 2 2

+

(3)

24

Й ))2-А0

М ^ (г)-

24 АШхх -^г)

я

Аих >+1 А) их'))2 +1 А Ш>)2

+

<+рИ Ш)-(-1)'-1 дп - дп (г -1)

Здесь } - толщины оболочек; Е - модуль Юнга; А0 - коэффициент Пуассона, Р - плотность; и(г), Ш(г) - продольное перемещение и прогиб, положительный к центру кривизны, х - продольная координата; г - время; д'х, ди - напряжения со стороны жидкости, которая находится между оболочками; ~х, дп -напряжения со стороны жидкости, которая находится во внутренней оболочке. Нижние индексы у перемещений обозначают соответствующие частные производные.

X

1

Напряжения со стороны слоя жидкости определяются формулами

f л Л л \

Qn = Prrcos - n(i), nr + Prxcos - n{i \ i

VJ V J

Prxcos

r=R -W(i)

i а Л С А Л

+ P,„,cos

n(i\ n

V

J

n(i) i

V

r=R -W(i)

ay

Prr = - P + ; Prx = P^

or

(d_y^ + у Л

Or Ox

; Pxx = - p + p

OK

ox

(4)

В подходе Эйлера здесь имеем

Г А Л

соя

n(i), n

Св8

_R - W

(i )

r

V J

f А Л

n, к

N

Св8

f Л л

*(i)J

_ i

R - W(i) dW(i)

1

J

г Л Л

N Ox

OW(i)

1 +

(oW.) Л

Ox

i

соя

n, I VJ

Ox

- (5)

V V J j

n| = (r - w(i) j i

1+

(OW.) Л

Ox

V V J j

+

(Qw (i) Л

V Ox y

1

^2

Здесь п - нормаль к срединной поверхности г -ой оболочки, пг, г - орты базиса (г, 0, х) цилиндрической системы координат, центр которой расположен на геометрической оси. Если снести напряжения на невозмущенную

Г Л Л

поверхность оболочки, то можно считать - n = иг и cos

Г Л Л

- n, n„

= 1,

Св8

n, i

= 0. Напряжения ~, ~ со стороны жидкости, которая находится во

V У

внутренней оболочке определяется теми же формулами (4), (5), в которых плотность жидкости р, коэффициент кинематической вязкости у .

2. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ С УЧЕТОМ НАЛИЧИЯ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ УПРУГИМИ ОБОЛОЧКАМИ И ВО ВНУТРЕННЕЙ ОБОЛОЧКЕ

Принимая длину волны / за характерный размер и обозначая амплитуду продольного перемещения «т и прогиба , переходим к безразмерным переменным.

Ш<" = "т«<'\ и<"= «т«,'0, '■= ^г,

* х 1

х , С0

Е

Ро(1 -/о )

Здесь с0 скорость звука в оболочке. Полагаем

«т = е = 0(1), = О / Ь I

Г п

w,„

V У

И(г)

Я(') ^ Я ^

(6)

(7)

Введем полухарактеристические (бегущие) координаты и растянутое

время

% = х* - сг *,, = 8 (8)

где с - неизвестная безразмерная скорость волны. Тогда, разделив обе части 1-го уравнения (3) на

1 ЕИ() _

получим

«т

I и

и

(') _

А0

^/

11

1 и„

роИо )Со ,

/

(9)

.2

('') , 1 ,('')2 , Wm „,('')2

Ш)2 -2

«Я

т

2 I + + 12/2« Г%% 2 1 121

^ (')2 «

- «"(сЩ - 2*4» +) = -

/ д)+дх (' -1))

роИо С

(10)

Разделив обе части 2-го уравнения (3) на

1 ЕИ$° _ РоИ$0Со2

Я(°1 -Ао2

Я

(11)

получим

« И О2

ит Ио

«3%%

^ И л

1 + «т«

/ %

+

%%

1 \12/2т

А 1 «ШуО2 - /# 1 ^ «О2 - А 1 «(') 2

Ао 2 / «1% Ао 2 «Л 3% Ао 2 24/2 «Л 3%%

и и(') + «(о

Аои1% + „ 0(г') «3

2

2

«тЯ

+

1 М')2 -2

2 24/2 и /

^тиС)2 и3%%

^(сЩ -2ас«3%, +Л3У=

%

>

%

= К(г) (~ 1) 4 Чп + ~ (' -1)

Ро^0 )с0

Разложим упругие перемещения по степеням е = —:

и(г) = и^ + е1('1) +..., и(° = + е('') +... (12)

_ и

подставим их в уравнения, разделим обе части уравнений на е = и, оставляя

члены е0 и е1, получим

/ 1 \ ,/')_„ «(»')

и10% М0 „(г) и30 V ишЛ

.+. ^ ?/') - // К I(г) 2

+ е и11%% М0и к(г) и31 + 21 е иЩ

г2па) _ГЛ(') -I-) = ! 2(я() + ~(' -1))

с ил к ее ес и ие +

ишр0п0 с0 (13)

■ +^ Ш(г) и30)++^ Ш(г) и31)_ 1 1 ^+

) _ „(г)7 (- 1)_1 Чп + ~ (' - 1)

ш

иш! ^^ К 1 ишР0,Щ )с0

II и (') I и (0 =0

И0и10% + „(г) и30 0

(14)

ишР0П0 с0

Приравниваем к нулю коэффициенты при е0, получим систему уравнений

) - ,, ул/'') =о

и10%% 1 п(') и30% с и10%% 0 ишК

ишК

Из этой системы следует

и30 = МУ^, (1 -12 - с2 =0 (15)

иш

Следовательно и10 - произвольная функция, а безразмерная скорость

волны с = дД-1 т. к. с2 = 1 - |. Приравниваем коэффициенты при е в

правых и левых частях уравнений и учитываем предыдущие результаты, тогда получаем

%

„2,.(г) _.. _WшLí,(')

1 и11% М) „(') и31

%

1 у

2 !е

+ 1 и10%% + 2л11- 1 и10т %

!2

(яХ)+~ (' -1)),

еишР0^)с1

М0и11%

+ Ш(') и31 1 М0

V-1

Г 0 !е

= К(')[ (- 1)г-1 Чп + ~ (' -1)

еишР0^(')с02 '

и2

и10%

1 Л0 )2 ( \

+——10 (1-I =

е V

10%%%

Умножим обе части второго уравнения на м0 и продифференцируем по £,

получим систему

МО

Моип£ Мо

итя

Ц) и3Ц

(I)

+ Iи^уИ) 2 + 2 /1 2 1е о^ +

М2 и )

м0 и1О£г

_ /2(Й) + ~хО - 1))

^тРо^О )с0

и я с)^

итя У£

+

1 2 у« а )2

2 Мо /еи1О£

+

(17)

1 я*

е /2

МО I1 МО ^О^?

я(г')/

еи„

гРо^О

' )С 2 СП

Мо

(-1)-1 ^+(I -1)

вычтем из первого уравнения второе и разделив обе части этого уравнения на

2^1

Мо , получим систему уравнении

„(О . итЛ11 М2 ..(}) ..(I) и1О£ + ^ 2 и1О£и1О££

/е 1

1

+ — е

V

/

Мол/1 -М()

2

и

(О

1О££££

2^1 -М02 ^'тРо^О)с02

) + О' -1) -Мо

я) Г а^

/

Э£

(-1)-1+(I -1)

£

(17)

В случае, когда жидкость отсутствует, правая часть уравнении становится равна нулю, и получаются независимые уравнения КдВ. Надо определить правую часть, для чего необходимо решить уравнения гидродинамики для случая кольцевого и кругового сечения трубы.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ОБОЛОЧКИ СО СТОРОНЫ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

КОЛЬЦЕВОЕ СЕЧЕНИЕ

Введем безразмерные переменные и параметры

V = ж ^ V , V = ж ^ V , Г = я + Зг*, г* = ^ г,/ = -

г т ^ г' х т ^ х' 2 ' / /

_ т _ т 2 _ у

Р = + М = 3 = -(1), ^ =

З

я

2

З

Я2 З

Ге]

^ = ^3 = Жт = Жт 3 я = , 3 = 3 Я =

я

2

Зя

-2

/ з я /

/ я /

(18)

£

2

/

Во введенных безразмерных переменных получим гидродинамики

уравнения

8 2 V I У

V I У

8с0 8 0уг

V / . * Ог

с

О V

+ л ¥

0уг Ог

+ V

0уг

х « *

дх

+ ■

ОР От

дv

¥2 vr

_V. Г __' Г

дг *2 (1 + ¥Т *)Ог * (1 + цг * )2

+

82 ОV

8с0 8 дух

V / дг *

О Ч

/

+ Л

V

+ V

+

ОУх

г « *

От

¥ дУ

+ 1

дух

х *

Ох*

+

12 Ох

ар Ох*

2

82 О2V.

От

'_^^__х 1___

Т ^ * + 72

(1 + ¥ )Ог I Ох

Оу„

дvv

тт

—* + 7-^^ +--

От (1 + ¥Т ) Ох

= 0;

и граничные условия

^ =

_ 8 ит Ои[1\ _ ди()

/ ^ дг

* ? у г

у„ = --

Ог

при г * = 1 - Ли(1) и г * = -Ли(2).

(19)

Полагая теперь 8 = 0, ¥ = ~ = 0 (нулевое приближение по

/

Я,

(20)

8 /

гидродинамическая теория смазки), а также

получим уравнения гидродинамики

8 8с,

о _

/ V

= 0 -ползущие течения,

ОР

оТ

= 0, Яе

ду„

дг

+ Л

V

0у„

г ~ *

дг

+ V

дУх

х ~ *

дх

ОР д V ОУ Оу

х

+

= 0, Яе =

8 8сп

(21)

и граничные условия: уг

ди

а)

л *

дг

дх* о/^ ' дг* дх" / V

Ух =0 при /=1 -Ли(1) и г* = -Ли(2).

Раскладывая давление и компоненты скорости по степеням малого параметра Л р = ро +ЛР> +..., у = у0 + ЛУ +...,Ух = у0 +Лу1 +... Для первых членов разложения получим уравнения

Ор°

дг *

и граничные условия

= 0, Яе

дУ0 ОР

д2V0 Оу0

х г

Оу 0

* * 2 * * дг дх дГ * дг дх

=0

(22) (23)

V = -

г

у0 =

Ои(1) 0 л * 1

—!^;У0=0 где г =1

дг х

ди(2) 0

дг

у = 0 где г = 0.

*х

2

2

*

*

С точностью до щ, Л получим

Г Л \ л

С08 _ п, пг « 1, С08 _ п, /

ру

У

^тС0

0

8

2

ду

дг

+

82_ ду*

12 дх*

г2---

28

(2)

ру

^тС0

ду

8 дг

г*__Ли (2)

* 1

Г _1 _

- РУС0^-Р _ р0 + 2рУ дУг -

8

и

(1)

Г * _1 _Ли (1) Г1 1 Лиз (25)

р0

8з

рус0^п

18 дг

р0

8з

РУС01™п 83

Р _ 2

8 ауЛ

12 дг *

82 V I У

Р

На первом шаге итерации полагаем Яе _ 0 (гидродинамическая теория смазки) [12]. Из уравнений движения жидкости получаем с учетом граничных условий

Р

дг*

0 _

12/

ди (2) ди (1)

з

V дг дг У

dx

dx

(*2 4г

_ (г _ г л!

(д2и32) д2и31)^

л

дг

^ *2 дг*2 У

dx

(26)

*

*

х

х

3

2

Подставляя найденные значения

ду

дг

в уравнения динамики жидкости

(23), на втором шаге итерации найдем [12].

Р ду

0 _

//

12, ди32) ди31)Л

дг

дг

+ 6Яе 5

С д 2 и (2) д 2и

V

дг

(2г* _ 1)/

61

ди (2) ди (1)

дг

дг*

л *

дг 1

+—Яе 10

л *

дг у

( д 2и (2)

dx (х

д 2 и (1)

дг*

и3

2

дг у

(ХX

(27)

2

2

Учитывая, что введены переменные % = х- сг и т = ег , с = найдем, с учетом того, что е << 1.

2 Мо

Р 0= |

Ор°

п^/ГМ2 (и(0)

п^/ГМ2 (и(0)

и

(2) 30

)- ^Яе(1 - м2)

ди(0) ди

(2)' 30

и

(2) 30

)- ^Яе(1 -М02)

ди

(1) 30

ди(2))

Оу

0

х _

дг

(2г* -1) б^/ГМ2(и

30

Оу

дг

'=1

= бд/1 - М02 (и

30

и

и

(2) 30

^ Я^ 2 \

)--(1 -М02)

' 10 0

ди °) ди30

ди(0

(2) 30

Яе 2

)--(1 -М02)

10 0

V

^ (1) 30

(28)

ди

ди(0

Оу

дг

Оу

'=0

дг

*-1 Г —1

В уравнения входят выражения

Я() Одп

£)

Мо'

/

(-1)

г-1

(29)

Следовательно, имеет

„ ЯЦ= „ Я(1) PVCо0■Wm

М0 , - М0 '

/

/

8

1 8

12^1 -М02[(и(0) -иЗоОО-х—-

2 МоЯ )

- —Я^1 -М02( 10 ^

ди(0) ди (2)

30

)(1-

18

12 Мо Я

(1)

¿2) + Мо

Я(2) ,, Я

/ О£п

(2)

Мо

/

83

12^1 -М?(и32) - и(10))(1

18

(30)

—

2 Мо Я

(1)-

1

—Яе^1 -М02(

ди (2) ди (1)

30

)(1-

18

г)

10 4 '0Ч 12 м0Я(1)'

Найдем выражение, входящие в правую часть уравнений (17).

Учитывая, что ™т/и30 = м0мтЯ(г)м](г)

и

пологая

Я(1) = Я(2)= Я,

^(1) = ^2) = ^ в силу малости ¥, Л для первого уравнения имеем

н

- бМо

р/

V

^3

АА Ясое

0е V 8 У

8

(Ои1(0) 1 8 ^

2 МоЯ

1

--Яе-Л -м02( 9

10 ^ 0 д%2

2,02и1(0) О 2 и(2)

10 )(1 - — 8)

12 м0 Я

г

г

)

Для второго уравнения имеем

2

_ 6 Аз

р

у

ГЯ V Г,ди 1(2п) ди(1)

Р0К ЯС0й

0й V 8 У

8

(-

*10

д£ д£

10 )(1 _18) _

1 - I- д2и(2) д2и(1)

1 ~ Г. Т ,д и10 д

Ю^1 _Л( ^ 5Г

2 М0Я 12 м0 Я

(32)

КРУГОВОЕ СЕЧЕНИЕ

Рассматривая круговое сечение, введем безразмерные переменные и

параметры

с^ Сп * г * с * 1

^г _ ™т~Т уг 'Ух _ ^ ';Г _ ^ _ / г;Х _" Х

1 Я3 Я3 1

I

р _ Щ^р + ро; а _ 0

Я I

Г 1\

V У

;Л _ _ О(е) Я

В этих переменных получим уравнения гидродинамики

щ2 щ

Я3С0

у

ду г г +Л

дг

ду„

V

у —Г + у —г

г ~ * х ~ *

дг дх

дуг_ Л *

У

дР

дг*

_щ2

д2у„ 1 ду„ д2у„ 2 д2у

щ

Я3С0

*2 дг*

ду,

Т ^г

у

/

+ Л

дг *

- д Ч

дГ дг ду,

+щ

дх

уГ

V дг 1 ду

дг

г* дг

дух

* + у,—х х*

дх у

х 2 д V

х + щ - х

дР

дх*

дх*

2

ду

дг

у ду

Г + -Г + ^ _0.

г*

дх*

и граничные условия

ПтЯ3 ди12)

у -3-1-• у _

х 7 ' Г

дг

ди(2) д;*

ду.

ду

(33)

(34)

(35)

ду ду

при г _1 _Ли( ;; уг , ух - ограничены при г _0: г —Г _0, г —х _0. Полагая

дг

дг

теперь щ _ 0 (нулевое приближение по щ - гидродинамическая теория смазки [13]), получаем уравнения гидродинамики

дР

дР " (36)

щ

Я3С0

ду„

_ * дг

+ Л

у

ду

Г *

дг

+ у

дух' х ~ *

дх

дг

+

_ 0;

дР 1 д

дх* г* дг*

дух

дг*

1д

г * дг *

; * . * (*уг ) +

ду

дх*

_0

2

2

г

2

*

г

Раскладывая давление и компоненты скорости по степеням малого параметра Л

-,0 , 1П1 . ___о , о 1 , ___о

р = ро +ЛР' + ...,Ух = Ух0 +Лу1 + ...,Уг = Уг0 +Лу1 + ...

для первых членов разложений получим уравнения

др° Я3с0 Зу°х др°

1 д

дУ

0

дг V дг дх г дг V дг

и граничные условия вида

Ои32). о _ итЯ3 ди{2)

г дг

0

± )+ дух -

дх

= 0

(37)

(38)

у0 =

дг

* ' х

V =

^/ дг

1бё г = 1

ду0

= 0;г

ду0

(39)

= 0 1бё г =0.

дг дг

Определим теперь в этих переменных напряжения со стороны жидкости на оболочке. С точностью до Л, ¥ имеем

' Л Л _ Я3 (1 -Ли32))

cos

п, п

г

Я3 (1 - Ли32) 11 + Л¥

cos

Г а л

п, г

V У

Ои32)Л дх *

Л¥ди3^ Я3 (1 -Ли32))

1

дх

Я3 (1 -Ли (2) 11 + Л¥

ди

(2) Л

о

дх

(40)

рv

Чп

с0 ^т

Яо

+ ¥

0у„

Получаем

Мо

дг дх р^со ^

^т Р 2 ОУх

рсо

"=1-Ли(2) Я3 Я3со дг

*=1

Я

р + 2рv т 0 г

ж.

"Мо

Я

О (2Л

VЯ У

/Я3 дт*

V ~ о

рс0 р.

*=1-Ли(2)

Я3с0

V = -Л^Рс0

Оу

Я3с0

дг

*=1

Л V ~ г

-Ро--— Росо р

¥ Я3со

(41)

(42)

*

г

3

*

г

г

г

г

На первом шаге итерации полагаем щ _ 0, опустим первое

слагаемое в уравнении (38) и получим уравнения [12]

дР_ дР1 * 0;_

дг

1 д

_ * * _ * дх* г* дг*

дух

дг

г дг

.0

; 1 ^(Г'у? )+ дух -

дх

_0

(43)

Решение уравнений гидродинамики легко получить (это классические уравнения гидродинамической теории смазки). Из уравнений движения с учетом граничных условий имеем

Р°_16/

д

.0

^_(г*2 _ 1)4 дг

дг

д2

1 итЯ3 ^(2)

2 w„

^ и}2) _/и (?(1х

дг2

1 ^ и<2)

2

/и (2)(х*

(х

итЯ3 д2и12)

^1 дг*2

(44)

Подставляя найденные значения

_ *

дг

в уравнения динамики жидкости

(38), на втором шаге итерации найдем [12]. Найдем

р о_Дл 16

дг *

1 итЯ3 и(2)

V

2 w,

^ и{2) _/и{?((х

2 д

+ _щ_А_°.—

Г у дг

1 итЯ3 и(2)

V2 V

^и(2) _ 4/и^

ду

дг

_1

_д_ - *

дг

8

1 и Я

V

2 w„

^и(2) _/и^

+

(х

+

(45)

1 д

+ _щ_А_°.—

3 у дг *

1 итЯ3 и}^)

/и32)(х^

2 w /

т

*

Учитывая, что введены переменные £ _ х _ Сг

и г _ ег

С _

71

2 Мо

найдем с точностью до е

дР

0

д£

_лД _Мо

8

2М(2)_ итЯ3 ди12) 3 д£

1 Я3С0

-щ-

3 у

8

ди32) итЯ3 д2и12) Л

д£ Wml

1 _Мо

(46)

*

г

*

г

При этом

0у„

дг

г*=1

1 -Мо

4

2и (2) - ил&. ди^

' ^т/ д%

6

¥

Я3с0

V " т

/2ди32) итЯ3 О2ир)Л

V

М?т/ д

1 -Мо

(47)

Тогда учитывая, что —т^и32) = М0иу%% при — = Я(2) = Я в силу малости

итЯ3

¥,Л получаем

Ях -Мо

^ % = V рсо2^ [1 - 2Мо Ч

и

ди(2)

/ д% Яс0

2, и„ О2и(2)

я 1

-рсо2^-Мо2)[(1-2Мо)2 + 12Мо2] яе / 6 / д%

т ^ м10 / д%

(2) 10

2

(48)

УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ОБОЛОЧКИ

Система уравнений становится такой с учетом найденной правой частью (38), (39), (60)

и (1) + ит

и10%т +

2

1 -Мо2

+ 6М(

/е 2 2 Р/ V

и Ш и (1)

1

+ — е

2 „2

V / У

м2^/1 -Мо,.(1) ,

и10%%%% +

2

'ЯУ „Ои(1) ди(2)

0

РоКо Ясое

ое V8У

10

10

2 (1)

10

^ЯеТГМоч ^ 10 ^ 0 д%2

д% д%

д 2и (2)

д и10 У1 д%

)(1

1 8

2 Мо Я'

—

12 Мо -'

= 0;

и (2) + ит

и10Т +

1 1М2.и(2)и(2) + 1ГЯV Мо2^/1 -Мо 2 и1о%и1о%% +

22

+ 6Мо

/е

2 Р/

/

2

V

^Я^3Гди1(20) д и 1(1)

2

и (2) + и10%%%% +

0

РоКо Ясое

1 ~ /- д2и(2)

-Яе^ГМ2(д и10 10 ^

д%1 д% Р/ Я 1

0е V8У

д 2и (1)

д и10 ^

10

д% 12 Мо-

д%

)(1

18 2 Мо -'

—

+

2(1 - 2Мо )2

Р/

V

РоКое Ясо

и

(2) 10%

Р0К0е / 12

1 -Мо2 [(1 - 2Мо)2 + 12Мо ]<%% =0

(49)

1

Можно также ввести обозначения и}1) _ с3ф(1), и^) _ С3ф(2), Т] _ С1 £, г _ с2г.

где

С2 _ 6М0

р1

положим

Р0^е

г Я л2

8

2М0 Я

у

8С

>с1_

С2е

2

V Я У

2

Ал/1 _М02

С3 _

_С2 1е

2

С1 ит V1 _М

.г 2 Р1

_ 6Мо —т р0Н0

Я

к8У

8 1 д/1

М0 С1

8

I е 10 . ч

Р-^2(1 _ 2^0 )2-, РоА) еЯс0 С2

р1 Я л11 _ Г/ , 0 42 , П 4 (1 _ 2М0) + 12м

12М0Я у

^2 _

р0И0 1е 12

С

(50)

(51)

С

1

и получаем систему уравнений

ф<» + 6ф|1)фТ1)+ф»,(1,т +ф<"-ф<2) (фтт'>^т2') _0,

Ф^» + 6ф(2)ф]2)+фт2Т> +Ф<2) _Ф<1)ф21 _фт(1))+^2ф(2)_^3фт(2)_0. ( ) Система уравнений (52) имеет в качестве точного решения при <г2 _ ^ _ 0 (отсутствие жидкости во внутренней оболочке) следующее решение

ф ф совИ2 (Т_ 4к Зг). 1 )

При наличии жидкости внутри второй оболочки требуется численное решение систем уравнений (52) при начальном условии, например

ф(1) _ 2к2ссвЬ_2(к]),ф(2)_0, (54)

или

ф(1) _ 0, ф(2) _ 2к2со8И_2 (к]). (55)

Для численного моделирования рассмотрим разностную схему для уравнений (52), аналогичную схеме Кранка-Николсона для уравнения теплопроводности

\2

И-1-1 И пп +1 тИ +1 тп

77(1 )п +1 77(1 )п (77^ ■ 1 7у(1)2 ■ Л + А/!)2 ^ 77(1 )2 ■ Л

и ] - и ] 2(и 3 +1 - и 3-1) + (и }+1 - и }-1) +

т

п 1

4К

(и^ - 2и(1)п+1 +2и3 - и(1)п-1) + (и(1 )?3'+2 - 2и(1)п+1 +2и3 - и3)

4К:

и (1)3+1 +и (1)3 и (2)Г +и ^

2

С , Л \п +1

2

\П +1

\п+1 .

^77(1 )п +1 77(1)п+11^Г77(1)% 77(1)^ (и(2)п+\ 7/2)п+К ГГ2)» 7,(2)п Л

(и 3 +1 - и 3-1) + (и 3 +1 - и 3-1) (и 3 +1 - и 3-1) + (и 3+1 - и 3-1)

4К

4К

= 0.

(56)

и(2)3+1 - и(2)3 , ---- + 3

т

(и(2)23 +1 - и^3-1) + (и^3+1 - и^3-1)

-,п+1

,(2)

-,п +1

(2)2

(2)2

4К

^n +1

+

+

+

(и(2);+2 - 2и(2)3+1 + 2и(2)3+1 - и(2)3+2) + (и(2)3+2 - 2и(2)3+1 + 2и(2)3-1 - и^-2)

4К:

и (2)3+1 +ии +и ^

2

( , 1",\П +1

2

О

\п +1

\П +1

(ие - и^+Ь + (и^+1 - и3 (и^+1 - и^) + (и^+1 - и^-1)Л

4К

4К

+

и(2)3+1+и(2); ^ (и^1 - и(2)3+о+(и^1 - и(2);-1)

--/Т - —

(2)п+1 (2)п+1 ~

(2)п

,(2)п

+ О

2

О

4К

= 0.

Графики численного решения уравнений (52) представлены на рисунках 2 и 3. Выполненные вычислительные эксперименты позволили оценить влияние вязкой несжимаемой жидкости во внутренней оболочке и внешней оболочки с учетом инерции жидкости на поведение нелинейной волны деформации. Сначала происходит выравнивание амплитуд с их дальнейшим падением и размызванием. При этом не наблюдается, как показано в [7], что угол наклона амплитуды волны больше во внутренней оболочке. Очевидно к этому приводит учет инреции жидкости.

4-

п

п

0.07

0.00

- 1 = и.ш _ » = 0.41»

/ " // к 1 \ \ _ - • 1 = и.и 1=и Д

//ЛЧ /М № V — г = 1.07 - 1 = 2.46

- • 1 = 2.4 <>

\

20 10 с 1 1 10 2 0 3> 0 4 }

0.07

0.05

<м

- _ _ — ооо = 0.40

• • • = 0.9<> = 1.4*

4 N = 1.97 = 2.4«

\\ — - 2.%

II

\\\

/• ! //

20 10 ( 1 1 | Ю 20 1 1 30 40

Рис.2. Численное решение уравнений (53) с начальными условиями (55) при к = 0.2, ^ = 0.1, <72 = 0.5 и <т3 = 0.4.

Рис.3. Численное решение уравнений (53) с начальными условиями (56) при

к = 0.2, о = 0.1, о2= 0.5 и о3= 0.4.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При наличии жидкости между оболочками происходит перекачка энергии. Амплитуда во второй оболочке падает, а в первой - растет пока они не выровняются (Рис. 2, 3). При наличии жидкости внутри второй оболочки на втором этапе происходит падение амплитуд волн в обеих оболочках за счет вязкости жидкости и уменьшении скорости волн за счет инерции движения жидкости.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 19-01-00014 и гранта Президента Российской Федерации МД-756.2018.8.

Литература

1. Громека И. С. К теории движения жидкости в узких цилиндрических трубах // Собр.соч. М. : Изд-во АН СССР, 1952. С. 149-171.

2. Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны деформаций в цилиндрических оболочках // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. Т. 3, № 1. 1995. С. 52-58.

3. Ерофеев В. И., Клюева Н.В. Солитоны и нелинейные периодические волны деформации в стержнях, пластинах и оболочках (обзор) // Акустический журнал. Т. 48, № 6. 2002. С. 725-740.

4. Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в неоднородных цилиндрических оболочках: новое эволюционное уравнение // Акустический журнал. Т. 47, № 3. 2001. С. 359-363.

5. Аршинов Г. А., Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Двумерные уединенные волны в нелинейной вязкоупругой деформируемой среде // Акустический журнал. Т. 46, № 1. 2000. С. 116-117.

6. Блинкова А. Ю., Иванов С. В., Ковалев А. Д., Могилевич Л. И. Математическое и компьютерное моделирование динамики нелинейных волн в физически нелинейных упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость // Известия Саратовского университета. Новая серия. Физика. Т. 12, № 2. 2012. С. 12-18.

7. Блинков Ю. А., Ковалева И. А., Могилевич Л. И. Моделирование динамики нелинейных волн в соосных геометрически и физически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними // Вестник российского университета дружбы народов. серия: математика, информатика, физика. Т. 3. 2013. С. 42-51.

8. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа : М.: Дрофа, 2003. 840 с.

9. Валландер С. В. Лекции по гидроаэромеханике : Л., Изд. ЛГУ, 1978. 296 с.

10.Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек : М.: Наука, 1972. 432 с.

11.Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости : М.: Наука, 1979. 320 с.

12.Агеев Р.В., Евдокимова Е.В., Ковалева И.А., Могилевич Л.И. Динамика осесимметричного течения вязкой несжимаемой жидкости в упругой трубе кругового и кольцевого сечений // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. - 2017. - № 3; URL: mathmod.esrae.ru/15-50

13.Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712 с.