Распространение волны в двух соосных цилиндрических оболочках с вязкой жидкостью между ними с учетом инерции ее движения Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/29-108 Ссылка для цитирования этой статьи:

Могилевич Л.И., Блинков Ю.А., Иванов С.В. Распространение волны в двух соосных цилиндрических оболочках с вязкой жидкостью между ними с учетом инерции ее движения // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2020. №1. DOI: 10.24411/2541-9269-2020-10104

Выполнено при поддержке гранта РФФИ 19-01-00014a_

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛНЫ В ДВУХ СООСНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ С ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ МЕЖДУ НИМИ С УЧЕТОМ ИНЕРЦИИ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ

Могилевич Л.И.1, Блинков Ю.А.2, Иванов С.В.3 1 Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., Россия, Саратов, mogilevichli@gmail.com

2 Саратовский национальный исследовательский государственный университет

им. Н.Г. Чернышевского, Россия, Саратов, blinkovua@gmail.com

3 Саратовский национальный исследовательский государственный университет

им. Н.Г. Чернышевского, Россия, Саратов, evilgraywolf@gmail.com

WAVE PROPAGATION IN TWO COAXIAL CYLINDRICAL SHELLS WITH A VISCOUS LIQUID BETWEEN THEM, TAKING INTO ACCOUNT

THE INERTIA OF ITS MOTION

Mogilevich L.I.1, Blinkov Yu.A.2, Ivanov S.V.3 12Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Russia, Saratov,

mogilevichli@gmail.com 2 Saratov State University, Russia, Saratov, blinkovua@gmail.com 3 Saratov State University, Russia, Saratov, evilgraywolf@gmail.com

Аннотация. Статья посвящена изучению распространения продольных волн деформации в физически нелинейных упругих соосных оболочках с вязкой несжимаемой жидкостью между ними. Учитывается влияние инерции движения жидкости на скорость и амплитуду волны. Методы качественного анализа не позволяют изучать модели волн деформации в случае оболочки, заполненной вязкой несжимаемой жидкостью. Следовательно возникает необходимость применения численных методов. При наличии волн, заданных в обеих оболочках результаты численного эксперимента совпадают с точным решением. В присутствии жидкости энергия передается между оболочками, что продемонстрировал вычислительный эксперемент при наличии волны во внешней оболочке и ее отсутствии во внутренней в начальный момент времени.

Ключевые слова: нелинейные волны, упругие цилиндрические оболочки, вязкая несжимаемая жидкость, разностная схема Кранка-Николсона.

УДК 539.3

DOI: 10.24411/2541 -9269-2020-10104

Abstract. The article is devoted to the study of the propagation of longitudinal deformation waves in physically nonlinear elastic coaxial shells with a viscous incompressible fluid between them. The effect of the inertia of fluid motion on the speed and amplitude of the wave is taken into account. Qualitative analysis methods do not allow studying deformation wave models in the case of a shell filled with a viscous incompressible fluid. Therefore, it becomes necessary to use numerical methods. In the presence of waves specified in both shells, the results of the numerical experiment coincide with the exact solution. In the presence of a liquid, energy is transferred between the shells, which was demonstrated by a computational experiment in the presence of a wave in the outer shell and its absence in the inner shell at the initial time.

Keywords: nonlinear waves, elastic cylindrical shells, viscous incompressible fluid, Crank-Nicolson difference scheme.

Изучение волнового процесса в упругих оболочках широко используется в различных технических областях - например, для передачи информации на большие расстояния. Распространение нелинейных волн деформации в упругих и вязкоупругих оболочках рассмотрено в [1-5]. В этих работах случай взаимодействия оболочек с вязкой несжимаемой жидкостью не рассматривается. В [6,7] рассматривалось взаимодействие оболочки с вязкой несжимаемой жидкостью без учета волновых явлений. Волновые явления в квадратично нелинейной упругой оболочке с вязкой жидкостью внутри рассмотрены в [8] без учета влияния инерции движения жидкости.

В данной статье математические модели волнового процесса в бесконечно длинных физически нелинейных соосных цилиндрических упругих оболочках получены методом возмущений по малому параметру задачи. Они отличаются от известных моделей тем, что учитывают наличие несжимаемой вязкой жидкости между оболочками на основе связанных задач гидроупругости. Эти проблемы описываются системой обобщенных модифицированных уравнений Кортевега-де Вриза (МКдВ). Выявлено влияние несжимаемой вязкой жидкости между оболочками на поведение волны деформации в соосных оболочках. Наличие волны деформации во внешней оболочке приводит к появлению волны деформации во внутренней оболочке, которой не было в начальный момент времени, и происходит «передача энергии» (через слой жидкости) от внешней оболочки к внутренней, что

сопровождается уменьшением амплитуды волны во внешней оболочке и, как следствие, уменьшением скорости ее распространения. Одновременно с этим увеличение амплитуды происходит во внутренней оболочке. Из-за изменения амплитуд и скоростей волн в оболочках их скорости и амплитуды с течением времени становятся равными.

Рассмотрим осесимметричные соосные цилиндрические оболочки с вязкой несжимаемой жидкостью между ними.

Рис. 1. Упругие бесконечно длинные соосные цилиндрические оболочки Обозначим: Я1 - радиус внутренней поверхности внешней оболочки; Я2 -

радиус внешней поверхности внутренней оболочки; Я() - радиусы срединных

поверхностей; И() - толщина оболочки; и(г) - продольное упругое смещение;

Ж(г) - прогиб, направленный к центру кривизны (г = 1 для внешней оболочки, г = 2 для внутренней). 8 - ширина щели, занимаемой жидкостью.

Теория деформации А. А. Ильюшина [9] связывает компоненты тензора напряжений ах, сг& с компонентами тензора деформации бх , £& и квадратом интенсивности деформации еи [10]

(г)

&хх)=

Е

1 -Я

Е

1 -А

(с.(0, „-0') 11 т с.(г)2 2 к

т

Е

^ (к) + Аок) 11 - т к)

(г)2-4 (а к )2-(г )2

£ы' ^ А кх + £®

А

3

Ао (2Ао - О . (1 -Ао )2

; а

3

2Ао (2Ао - О (1 -Ао )2 .

1

1

где Е - модуль Юнга; т - постоянная материала, определяемая из экспериментов на растяжение или сжатие; Мо - коэффициент Пуассона материала оболочки.

Запишем связь между компонентами деформаций и упругих смещений в виде [11]

,)= и) _ 2 дЖ). „)= ж()

дх

дх

2

Я

а)

(2)

где х - продольная координата в срединной поверхности; г - нормальная

( ИХ) . .нИ)Л

координата в оболочке

< 2 < 'Л.

2 2

V 2 2 у

Определим силы в срединной

поверхности оболочки и момент по следующим формулам

н

а)

н

(О

н

(")

2

2

2

МХ) = | )М© - | ^¿2; Ы(Х) - | )Ж.

(3)

и(")

^)

и(")

2 2 2 Уравнения динамики для оболочек записываются в виде

дыХг) . (,) д 2и()

х = Ло н()——

д2 м?)

дх 2

+ ■

_д_ дх

дх

х

дх

Ы2

я?

+

1

Я

-М« = л

д V(0

(4)

(О М © - Ло --(_ 1)г _1 я

где ? - время; Л)0 - плотность материала оболочки; я( ), Яп - напряжения со стороны жидкости внутри кольцевого сечения. Подставляя (1) - (3) в (4), получаем уравнения в упругих перемещениях.

ЕН0° д ди(0 _

1 _ Мо дх \ дх

Мо

Ж

(О

Я

(О

4 т

3 Е

ди( )

дх

+ Мо

Ж

(О

Я

(О

М

ди( ) 2

дх

+

, Я(г') VЯ у

2

+

+ М2

гди(0 ^ Ж(0

V дх у

Я

(О

+

н0°2 (д 2ж (г)

12

дх2

3м

ди(0'

V дх у

+

(м2 _ммо )

Ж

( )

Я

( )

о

о

о

п

;

2

>

Р)2тт(' )

= а ^) ^ -

дгг

ем^ е^ д2Ж(0 12(1 - а02 ) дхЛ дх2

4 т

1---3и

3 Е

(еи

у дх у

„/ чди(0 Ж) + 2(^2 -йй) )--~ +

дх Я(0

+

и-

Ж(г) ^ 2 (д 2Ж(г) ^2

Я)

ЕАЦ) д /дЖ

+

а)

1 - и дх\ дх

ди(0

дх

ио

у

Ж) 4 т

+ 3-°^- и 20 1

V дх у

+

(5)

Я(0 3 Е

'ди(0

дх

й)

Ж

Я

(i")

Гди(| )Л2

V дх у

+

+

(ж (I V Я* у

ди(|) Ж )'

А?)2 (д2Ж« ^

12

V дх у

+ и2 М1М0)

Ж

(')

Я

(')

+ Я(|")

ЕЩ) 1 / ди) Ж) 4 т + 2 " дх Я(1) 3 Е

\ ди(|) 3и-+

дх

1 -и Я

й)

ди(|)"

V дх у

Ж)" (ди «] 2 ( Ж ('))

и V дх у +

Я (0 VЯ"' У

+ й

А

2(1 V д 2ж ("' )^2

12

V дх у

ди ) . ж (|') + и -йй)

(i)

ди(0 Ж(|') дх Я(0

д 2Ж)

= л> А?)

дг2

(- 1)' 1 Я

- I -

дх 1 2 0 я(

Исследуются рассматриваемые проблемы в безразмерных переменных, которые характеризуют задачу. Для волновых задач оболочка считается бесконечной. Для продольных волн в оболочке вводятся безразмерные переменные и безразмерные параметры. Примем длину волны I за характерную длину и ит, wm за характерные значения упругих перемещений.

Ж(') = ^и), и « = и^и«, х* = х, г * = ^ г, г * = г

Я

«'

и (')]

Wm = А0'), ит = ^

(6)

Я

(') '

С0 =

Е

Р0

оболочке.

скорость распространения продольных упругих волн в

<

>

-X

2

<

>

¿0° , Я(,) 0 = £« 1,—

2

т те=0(1),

Я(,) 12 х " Е 12 Я(, )2 12

где е - малый параметр задачи. Введем независимые переменные в виде

2

н(')2 л«2 я«2

= е

(7)

<>■ * м 2 Г *

д = X -(1 - >0 )2 / , Т = е

(8)

где г - медленное время. Представим зависимые переменные в виде асимптотического разложения

= м1(0) + +..., и- = +8/3? + ... (9)

Подставив (6) - (9) в (5) получим систему уравнений в безразмерных переменных. Сохранив члены порядка е получим

ди(,) ди10

птя() 30 • о дд

м) -

,(,-) п30 >0

(10)

Таким образом и

(О 10

произвольная функция. Далее получаем систему

уравнений в приближении е2, из которой выводится разрешающее уравнение

а 2и10)

т

дддт Ее

ит

К I У

(

22 >1 + >2>0 + >1>0

я (г)У я2 (,)

ди1(0) д и\ )

д^

10

д2д

+

+

1 Я2 -> д4и« _

12

е 12

2

д 4д

2^1 ->02 еитР0 ^ С0

Я

У-1

-> Я (I дд

(11)

ди10)

дд

Полученное уравнение (11) является обобщенным МКдВ уравнением для . В отсутствие жидкости правые части уравнений равны нулю, и

получаются два независимых МКдВ уравнения. Нужно определить правую часть (11), решая уравнения гидродинамики.

Уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости и уравнения неразрывности в цилиндрической системе координат (г, 0, х) в случае осесимметричного потока [8] записаны в виде

2

1

дУ

дУ,

дУг 1 др

+ Уг^ + + —- = у дг дг дх р дг

Гд2 У 1 дУ д2У У л

+

+

г г

V дг2 г дг дх2 г2 у

дУ дУ дУ 1 др

х + У —х + У —х + _ др = у г ~ х -

дг

дг

дх р дх

Гд 2Ух 1 дУх д 2УХЛ

Х | Х | х

дг2 г дг дх

V

2

(12)

у

дУг Уг дУх

г + — + —- = 0.

дг г дх

Условия прилипания жидкости выполняются на границе оболочек и жидкости при г = Я. - Ш(Г) (рис. 1) [8].

ди(0 дШ(Г) Ух = = . (13)

х дг г дг

здесь У, У - проекции на ось цилиндрической системы координат вектора скорости; р - давление в жидкости; р - плотность жидкости; у -коэффициент кинематической вязкости. Напряжения со стороны жидкого слоя определяются по формулам

Г А Л ( А Л

Чп = РггСО8 - п(Г), пг + РгхСО^ - п(Г \ Г

v v у

Чх

РХОЗ

Г А Л

- п (Г), п

+ P^cos

Г а л

- п{1 \Г

=я -Ш (Г)

г=Я-Ш (Г)

(14)

ду

Ргг = - р + 2ру—^; РГх = ру

(дУ дУ}

дг

х ~ • г

;Р- = - р+2ру

д>к

дх

у дг дх у

Здесь п(г) - нормаль к срединной поверхности /-той оболочки, пг, п@, Г -единичные векторы базиса (г, 0, х) цилиндрической системы координат, центр которой расположен на геометрической оси. Если мы снесем напряжение на невозмущенную поверхность оболочки, то мы можем считать - п(г) = пг и

= 0.

Г А Л Г л Л

ООБ - п(Г), пг = 1, ооб - п(г), Г

V у V у

Введем безразмерные переменные и параметры

с,

с

V = w — V ' V = w — V ' г = Я + Зг ' р =

гг г*т 7 уг'гх т г. х' ' 2 1 ' -Р

_ рУ^Ш^т

/

З

З3

■Я;

_ З = 0(1);Я =

Я2 З

Wm . ^т З Я1

/ З Я /

о

Ww w З

; ^ = ^ З = Я^;

Я2 З Я2 З З Я,.

(15)

' I Я I

I I

Разложим давление и компоненты скорости по степеням малого параметра Я:

Я = Я0 +ЯЯ1 +..., Vx = Vx0 +ЯvX + ...^х = Vг0 +Яv1г +..., (16)

Предполагая теперь — = 0, — = 0 (нулевое приближение по — как в

/

я,

/

гидродинамической теории смазки), а также считая З Зс0 < 1, подставляя (15),

/ У

(16) в задачу (12), (13), для первого члена разложения (16) получаем уравнения

дЯ

0 ~ дт0 дЯ0 д \0 дТ0 дТ0 ~ ЗЗс —г = 0; Явд% + = ^; ^ + ^ = 0; Яв = —ЗC0

дг д? дх д/ дг дх / у

и граничные условия

Яп(1) ГЛ1(2)

0 ди3 0 Л * 1 0 ди3 0 Л * л

V.=--Vx =0; где г =1; Vг = —т^; Vx =0; где г =0

' д? * х ' д? С точностью до , Я получаем из (14)

(17)

(18)

Ч?)

WmCo ру ^0

л0

З дг

г =0

* -1 г =1

; Чп

РУС0^т г>0

З

Я0

(19)

Для решения задачи (17), (18) мы применяем итерационный метод, предполагая Яв < 1 [12]. На втором шаге итерации находим

Я' '=Я

12

дп? ди ^

3

ч д? д? у

+ 6 Яв 5

^д 2и (2)

дт

дг

(2г* -1)/

~ *2 д?

2„оЛ

д 2 и

2

д? у

V д?

+ — Я~в 10

д М1^ ^ * 2 д? у

С д 2и32) д2и3^

Л д?

*2

д? у

¿х* (20)

1

1

X

3

2

Формула (20) совпадает с точным решением задачи (17), (18) при гармонических колебаниях для Яе <1 [12]. Подставляя (8) в (20) и учитывая (е << 1), находим

р о=/ *0 (2,

П^ГМ(«<0) - «<20))- 6Яе(1 -

2 Мо

дм310) ди

(2 Л

30

дд дд

dx

дг

■2 (и30)

и

(2) 30

)- — (1

7 10 у

2

Мо

ди (1) ди30

ди

(2 Л

30

дд дд

(21)

ду

дг

*_1 г -1

6л/ГМ2 (и30) - и30))- Яе (1 -

2

Мо

ди (1) ди30

ди

(2 Л

30

дд дд

ду 0

дг

ду 0

*=0

дг

*=1

Уравнения (11) включают в себя выражения

(«■)_ Яг)Ч

Чх М0 7 л г

/ дд

(-Г.

(22)

Найдем выражение в правой части уравнений (11). Учитывая, что

w,

1и (Г)

(г )„(■)

т^ М0итЯ и

10д

и

что Я(1) = Я(2) = Я, К(1) = К(2) = Н0 из-за малости щ, Л

получаем из уравнений (11) с учетом вида правой части (19) - (22) систему уравнений

д 2и<0)

т

дддт Ее

V 1 у

2лА - М0 ("1 + М2М0 + М1М02)(

ди

ОЛ

10

дд

д 2и10)

д 2д

+

+ ■

1 Я2 М02

е /2

2

д Ч?

М2 д4и(1)

"0 д и10 /; --— = -6М0

2

р1 У

Я2

дд

р0К0 &0е

0 ис0е vSу

( ди1(0) ди 1(2)

10

дд дд

1

2 М0 Я

т

дддт Ее

2

и

V 1 у

2лД - М02 ("1 + М2М0 + М1М02

ди|20)

дд

д 2и}20)

д 2д

+

(23)

+■

1 Я2 м0

е /2

2

М2 д4и(2) "0 д и10 /; --— = -6М0

2

р/ У

2

дд^

Я

0 ас0е ^у

Р0К0 &0е

ди1(2) ди 1(1)

10

дд дд

1

2 М0 Я

- — 10 ^

2

Мо

^д2и1(20) д2и(1)^

10

дд2 дд2

1-

1

12 М0 Я

*

1

г

г

2

2

1

2

1

Введем обозначения и^1) = с3ф(1), Ыщ = с3ф(2), ] = сх^ = с2г, где

С2 = 6Мо

р/ V

ой исо V3 у

РоК8

1 -

1

2 ¡о ^

; с1 =

С28

2

V Я у и

2

■Г-

2 ио2

(24)

сз =

^с9 Ев 6——

С ш

с 1 \

V ит

1

2лД - ¡о (¡1 + ¡2 и о + ¡1ио2,

Обозначим

= 6и0

р/ ( Я Л2 £ 1 л/1 -¡о2

Ро Ь

о Ч^У

/ 8 1о

1 -

£

12ио Я у

(25)

и получим систему уравнений из (23) - (25)

г -ффф V» ф ф» ф)=о

ф?> - бф<фф -ф<» и® ф )=о

(26)

Система (26) имеет точное решение:

ф(1) = ф(2) = т(к] + 2к ) (27)

Рассмотрим случай, когда волна деформации присутствует во внешней оболочке и отсутствует во внутренней. Эта задача требует численного решения уравнений (26) с начальными условиями вида

ф(1) = к^(к]),ф(2)=о. (28)

Для численного моделирования используем разностную схему для уравнений (26), аналогичную схеме Кранка-Николсона для уравнения теплопроводности [8,13]

Графики для численного решения уравнений (26) представлены на рисунках 2-4.

2

//■■' •Г/Г >1

11 ■1 | /! ■ 1

■ ■ ■ ; / (■ 1 ■ ч / >7 — . _. .(X) .30 .(И .«I 3.31 <>.!Н ¡1.8?

: • I ч У а: иУ — . _ < - ' - — . _

— 1 =

к» го ) ) > А ) М. ИХ)

1, м

иШ

■ I I 11:4

I щ ч; — . _. .(X) .30 .(И .¡и 3.31 <>.!Н ¡1.6-3

■ : 1 ///// 7>у — . _ < — ■ _ — . _

— 1 =

г) у

Рис. 2. Начальное условие (27) при г = 0, к=0.2, < =1

■ - < = 0.00

—■ ■ =3.30 ■ =С.(Н ( = 0.01 (

■ 13.31 1 = 16,52 1 Н>.бЗ г

0 ¡о 3 ) 1 (И) м. ИХ)

- - ■ - 3.30 .....= <ш - . . _ -г.-Г| - ■ - 13.31 - - ( = 16.52 .....- 19.82

Г

1

1» 20 N. | ) 6 ) ) ИХ)

Рис. 3. Начальное условие (28) при к=0.2. Инерция движения жидкости

отсутствует (< = 0).

а

Ж

/ - , 1*Л /■■'Л //.-V - 1 = 0.00 --г = 3.30 .....= <1.<Н

— , _! - ' - — ■ _ .91 3.31 (¡.Н ¡1.63

— 1 = 1

ю ¡0 3 ) 1 ) 6 м. ИХ)

Ф 'II- 1

; ' 1 ■ >*.' 1- ' //:'/ - ■ - 0.00 - - 1 = 3.30 ... [ = с.с

— , _ ■ — ' - _. .91 3.31 ».н ¡».63

№ 3 ) 1 ) 6 м. ИХ)

Рис. 4. Начальное условие (28) при к=0.2. Учитывается влияние инерции

движения жидкости (<1 = 1).

Проведенные вычислительные эксперименты позволили оценить влияние вязкой несжимаемой жидкости между оболочками с учетом влияния инерции движения жидкости на поведение нелинейной волны деформации. Согласно рис. 2, начальные условия в обеих оболочках одинаковы. Результат

вычислительного эксперимента совпадает с точным решением (27). Это означает эквивалентность полученной разностной схемы системе генерирующих ее дифференциальных уравнений. Согласно рис. 3, амплитуда волны в первой оболочке уменьшается, а во второй она растет до достижения среднего значения амплитуд в обеих оболочках, что означает передачу энергии через слой жидкости. Согласно рис. 4, как и на рис. 3, происходит передача энергии и скорость волны уменьшается (график на рисунке смещается влево, в сторону отрицательных значений аргумента больше, чем при отсутствии влияния инерции жидкости) из-за влияния инерции движения жидкости.

Система уравнений, обобщающих уравнения МКДВ, выводится из уравнений динамики оболочек с помощью асимптотического метода двухмасштабный разложений и уравнений динамики жидкости с помощью асимптотического разложения, а также метода итерации. Эта система имеет точное частное решение. Она описывает распространение продольных волн деформации в двух упругих соосных цилиндрических оболочках с вязкой несжимаемой жидкостью между ними. Волны распространяются без изменения амплитуд, что подтверждено вычислительным экспериментом. Создание уединенных волн возможно с помощью пьезоэлемента для передачи информации на большие расстояния или для диагностики трубопровода.

Проведенные вычислительные эксперименты позволили оценить влияние вязкой несжимаемой жидкости между оболочками с учетом влияния инерции жидкости на поведение нелинейной волны деформации. Энергия передается при наличии жидкости между оболочками. Амплитуда волны в первой оболочке уменьшается до величины, равной половине амплитуды заданной начальным, а во второй увеличивается от нуля до тех пор, пока амплитуды не выровняются (рис. 3, 4). Скорость волны уменьшается из-за влияния инерции движения жидкости.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 19-01-00014а.

Литература

1. Ерофеев В.И., Потапов А.И. Нелинейные продольные волны в упругих средах с моментными напряжениями // Акуст. журн. 1991. Т. 37. № 3, С. 477-483

2. Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в неоднородных цилиндрических оболочках: новое эволюционное уравнение // Акуст. журн. 2001. Т. 47, № 3. С. 359-363.

3. Ерофеев В. И., Клюева Н.В. Солитоны и нелинейные периодические волны деформации в стержнях, пластинах и оболочках (обзор) // Акуст. журн. 2002. Т. 48, № 6. С. 725-740.

4. Землянухин А.И., Бочкарев А.В. Осесимметричные нелинейные модулированные волны в цилиндрической оболочке // Акуст. журн. 2018 Т. 64. № 4, С. 417-423. DOI: 10.1134/S0320791918040135

5. Zemlyanukhin A. I., Andrianov I. V., Bochkarev A. V., Mogilevich L. I. The generalized schamel equation in nonlinear wave dynamics of cylindrical shells // Nonlinear Dyn. 2019. Т. 98. №1 С. 185-194. DOI: 10.1007/s11071-019-05181-5.

6. Avramov K. V., Mikhlin Y. V., Kurilov E., Asymptotic analysis of non-linear dynamics of simply supported cylindrical shells // Nonlinear Dyn. 2007. T. 47 C. 331-352. DOI: 10.1007/s11071-006-9032-1.

7. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости. М.: Наука, 1979. 320 c.

8. Блинков Ю.А., Блинкова А.Ю., Евдокимова Е.В., Могилевич Л.И. Математическое моделирование нелинейных волн в упругой цилиндрической оболочке, окруженной упругой средой и содержащей вязкую несжимаемую жидкость // Акуст. журн. 2018. Т. 64. № 3, С. 283-288

9. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310 с.

10.Каудерер К. Нелинейная механика.- М.: Издательство иностранной литературы, 1961. 778 с.

11.Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек: учеб. пособие для бакалавриата и магистратуры. 2-е изд. стер. - М.:Издательство Юрайт, 2018. 439 с.

12.Агеев Р.В., Евдокимова Е.В., Ковалева И.А., Могилевич Л.И. Динамика осесимметричного течения вязкой несжимаемой жидкости в упругой трубе кругового и кольцевого сечений // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2017. № 3. URL: mathmod.esrae.ru/15-50 (дата обращения: 06.08.2020).

13. Gerdt V. P., Blinkov Y. A., Mozzhilkin V. V. Grobner bases and generation of difference schemes for partial differential equations. // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 2006 T. 26. № 2. URL http://www.emis.de/iournals/SIGMA/2006/Paper051/index.html