Математическое и компьютерное моделирование динамики нелинейных волн в соосных физически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАТИКА

УДК 681.03.06:531.383:532.516

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В СООСНЫХ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБОЛОЧКАХ, СОДЕРЖАЩИХ ВЯЗКУЮ НЕСЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ МЕЖДУ НИМИ

А. Ю. Блинкова, А. Д. Ковалев, И. А. Ковалева, Л. И. Могилевич

Саратовский государственный университет

E-mail: [email protected], [email protected], [email protected] * Московский государственный университет путей сообщения

(Поволжский филиал), Саратов E-mail: [email protected]

Настоящее исследование посвящено анализу распространения нелинейных волн деформаций в упругих физически нелинейных соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними. Волновые процессы в упругой цилиндрической оболочке без взаимодействия с жидкостью ранее исследованы с позиций теории солитонов. Наличие жидкости потребовало разработки новой математической модели и компьютерного моделирования процессов, происходящих в рассматриваемой системе.

Ключевые слова: цилиндрическая оболочка, нелинейные волны деформации, гидроупругость, вязкая несжимаемая жидкость, солитон, базис Грёбнера.

Mathematical and Oomputer Modeling of Nonlinear Waves Dynamics in a Coaxial Physically Nonlinear Shells with Viscous Incompressible Fluid between Them

A. Yu. Blinkova, A. D. Kovalev, I. A. Kovaleva, L. I. Mogilevich

This study focuses on the analysis of nonlinear wave propagation deformations in the elastic physically nonlinear coaxial cylindrical shells containing a viscous incompressible fluid between them. Wave processes in an elastic cylindrical shell without interacting with fluid were previously studied from the standpoint of the theory of solitons. The presence of fluid required developing a new mathematical model and computer modeling of processes occurring in the system.

Keywords: cylinder shell, non-linear deformation waves, hydroelasticity, viscous incompressible liquid, solitary wave, Grobner basis.

Приведение систем алгебраических, дифференциальных и разностных уравнений к канонической форме, называемой базисом Грёбнера [1], представляет собой качественный аналитический метод исследования соответствующих математических моделей.

В частности, при поиске частных решений дифференциальных уравнений методом неопределённых коэффициентов возникают переопределённые системы алгебраических уравнений. Построение базиса Грёбнера позволяет проверить совместность системы, определить, обладает ли система конечным или бесконечным числом решений, а в ряде случаев построить решения в явном виде.

Не для всех моделей, описываемых уравнениями в частных производных, удаётся построить аналитические решения и в этом случае для их исследования можно применять численные эксперименты на соответствующих разностных схемах. Так, для построения разностных схем из первоначально заданных базовых разностных соотноше-

ний, аппроксимирующих исходную систему дифференциальных уравнений, строится базис Грёбнера разностного идеала. Из этого базиса, иногда в нелинейном и всегда в линейном случае, можно извлечь разностную схему, которую невозможно построить традиционными методами генерации разностных схем. Зачастую такие разностные схемы обладают уникальными свойствами, хорошо передающими физику процессов, описываемых исходными дифференциальными уравнениями [2].

Кроме того, знание базиса Грёбнера даёт возможность проверить совместность исходных разностных соотношений, определить произвол в решении, посчитав полином Гильберта, и, применяя специальный вид допустимого упорядочения при его построении, получить другое представление первоначальных разностных соотношений.

В представленной работе данная техника будет использована в качестве примера для анализа распространения нелинейных волн деформаций в упругих физически нелинейных соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними.

1. Волновые процессы в упругой цилиндрической оболочке без взаимодействия с жидкостью ранее исследованы в [3,4] с позиций теории солитонов. Рассмотрим бесконечно длинные соосные упругие цилиндрические оболочки, между которыми находится вязкая несжимаемая жидкость. Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости и уравнения неразрывности в цилиндрической системе координат г, х записываются в случае осесимметричного течения в виде [5]

дУ- + у дУг + у дУ- + 1 др _ ^ дЬ т дг х дх р дг

д2 Ут 1 дУт д 2Ут -- +---- +---

дг2 г дг дх2

У-

дУх дУх дУх

—х + Ут—х + Ух—х дЬ дг дх

+ 1 др р дх

д2 Ух

дУт + У- + дУх_ дг г дх

__ + 1 дУх + д^Ух

дг2 г дг дх2

_ 0.

(1)

На границах с оболочками выполняются условия прилипания жидкости:

У- _ -

дW(,) дЬ

Ух _

ди(,)

дЬ

при

_ Д, - W(,).

(2)

В формулах (1) и (2) Ут, Ух — проекции вектора скорости жидкости на оси цилиндрической системы координат; Ь — время; р — давление; р — плотность; V — кинематический коэффициент вязкости; и (,) — продольное упругое перемещение оболочек по оси х; W(,) — прогиб, положительный к центру кривизны оболочки; Я1 — внутренний радиус внешней оболочки; Д2 - внешний радиус внутренней оболочки (Я1 _ Д2 + 5); 5 — толщина слоя жидкости в кольцевом сечении трубы; г _ 1 относится к внешней, а г _ 2 — к внутренней оболочке.

Записывая уравнения движения элемента цилиндрических оболочек в перемещениях для модели Кирхгофа-Ляве, считаем материал нелинейно-упругим с кубической зависимостью интенсивности напряжений и1 от интенсивности деформаций в\ [6]:

а1 _ Ев\ + те3,

(3)

где Е — модуль Юнга; т — константа материала, определяемая из опытов на растяжение или сжатие.

Кроме этого, учтем конструкционное демпфирование в материале оболочки, характеризуемое величиной, пропорциональной дW(,) /дЬ, добавляемой к Даламберовой силе инерции [7].

Уравнения динамики физически нелинейных оболочек с учетом (3) записываются в виде

- 1 + До

Е (,)^0г)

Е(г)^0г) д (ди(,)

1 — д(,)2 дх \ дх

(,) \ ди(,) W(,) ( ди(,)

W(,)

дх Д(,) V дх

До

W(,)

4 т({)Н0) _д_

+ 37-Др дх

W(,)4 3"

До

Н^2 д4W(,) д0г) ди(,) W(,)

'ди(,)

дх

- р( , ) ^ ) _ ) р0 и0 яи.2 _ Ух

дЬ2

1 - До'

( )2

+

+

4 т(г ) )

12 дх4 Я(г) дх Я(г)2 / 3 1 - Д(г )2 Я(г)

( ) До

ди(,)

дх

2

г

г

3

3

1

— 0 +

ди^ Ш/ди^ Ш^

дх Я(0 V дх -

ДГ

+ Ро Ьо —^Т- +

, (¿) (¿КМ дШ(0 , пг-1

+ е4 РО К = (-1)

д£

(4)

Здесь е!г)

коэффициент демпфирования; р0г) — плотность материала оболочки; „о'

(0

коэф-

фициент Пуассона; Я« — радиусы срединной поверхности оболочек; ^ — толщины оболочек

Ь(1)/2 = Д(1) — Д1, Ь(2)/2 = Д2 — ; с(г) — скорость звука в материале оболочки; дХ' ,дп — напряжения со стороны жидкости, находящейся внутри кольцевого сечения.

Если снести напряжения на невозмущенную поверхность оболочек (Ш(г) ^ Д), то можно считать, что поверхностные напряжения со стороны жидкости определяются формулами

,(0

# =

Р^

/дК дК

\ дг

+

дх

дп =

г=Д,-

—р + 2р^-

дУг дг

(5)

г=Д,-

2. Принимая за характерную длину — длину волны I и считая, что соосные оболочки изготовлены из одного материала, т.е. опуская индекс г у Е, т, р0, „о, еэ, перейдем к безразмерным переменным для исследования уравнений (4)

Ш(г) = шт 4°,

ии (') — и^^ и 1 ,

,* Со , * х

= Т х* = У'

Е

со =

Ро (1 — „2)

(6)

Положим

ит /., \

— = ^ = 0(1)'

Т°Г = О(е),

Ш) = ОД. ^ = °(£1/2)'

е9 ^ = 0(б3/2). т = О(е),

со т

(7)

где е ^ 1 — малый параметр в задаче (4).

Применим метод двухмасштабных асимптотических разложений, вводя независимые переменные

в виде

£ = х* — с£*,

т = е£*

(8)

где с — безразмерная неизвестная скорость волны, т — внутренняя переменная, а зависимые переменные представлены в виде разложения по малому параметру е:

иу = и1о + еиЦ + ..., из = изо + еи31 + ...

(9)

Подставляя (6), (8), (9) в уравнения (4) с учетом оценок (7), получим в нулевом приближении по е линейную систему уравнений, из которой следует связь

т1 (¿) _

ди

ит Л(г)

и определяется безразмерная скорость волны

изо = „о"

д£

(10)

22 с = 1 — „.

(11)

Из следующего приближения по е, учитывая (10) и (11), находится система уравнений, являющихся составными для и1о :

д2 и1о 1( Я«\2 Д^уТ—д 4иЙ +2т / ит ч2 { „2, ГЦ—

+ -2--+ ЕёГЛ ^ — „о + ^У1 — „о

2\ ди1о)

2Я,«

д 2 и

1о

д£ / д£2

Я«2 „2 д3иЙ

—е^

со1е 2 д£3 еитРо^ог)со 2л/Т—„2

«(¿) „ Д(г) ддп ( 1)г-1

(12)

з

2

2

1

В случае отсутствия жидкости правая часть уравнений (12) равна нулю и система распадается на два одинаковых уравнения, представляющих модифицированные уравнения Кортевега — де Вриза — Бюргерса для

ди

—т I (¿)

-и '

дС мситЖО 30 •

3. Для определения правой части уравнения (12) введем безразмерные переменные и параметры

т/ - £0 т/ - .£0.

тг — 7 уг, V х — ^ ух,

I К\

5

г _ Я2

5""

г* — Т

риоо 1-т

р — Р;

, - Л -т Я2 ( £ ■

* — я2 — о(1) А — — - л7Т - Ч^Ь

5 5 Я-2 , Я-2 „„ , 7 — д2 Т — *Т < 1

* < 1, А < 1.

(13)

Подставляя (13) в уравнения гидродинамики (1) и граничные условия (2), представим безразмерные скорость и давление в виде разложения по малому параметру А:

ух — у0 + А у1 + ..., уг — + А у1 +

Р — р0 + АР1 +

(14)

В нулевом приближении по * (5/1 ~ 0 — гидравлическая теория смазки), считая (5/1)(5е0/и) ^ 1 (ползущие течения [6,7]), и в нулевом приближении по А получаем уравнения гидродинамики (классические уравнения гидродинамической теории смазки):

дР0

дг **

— 0,

др0

дх*

20

д 2у дг*

ду°° + ду0 дг* дх*

—0

(15)

и граничные условия

У0 — _ ^

Уг дг*

(1)

У0 — _ ^

Уг дг*

(2)

Из решения задачи (15), (16) следует, что

— 0 при

— 0 при

г* — 1, г* — 0.

(16)

Р0 — 12

ду0

дг *

ду0

их

дг *

ди

(2)

ди

(1)

дг*

дг*

— 6

ди

(2)

ди

йх*

(1)

йх*

дг*

дг*

—6

ди

(1)

ди

(2)

г* =0

дг*

дг*

йх*

йх*

(17)

Учитывая, что были введены переменные (8), (9), а также имея соотношения (10) и (11), из (17) получим

Р0 — / (и30) _ и30)) йС — -т (я(1)и10) _ Д(2)и10))

(18)

С принятой точностью по £, *, А из (5) найдем

-т С0 ду0

—

Ч.Х

ри-

52 дг*

0п —

-т С0 I

г* =1,0

-Р

52 5 '

^ — оП

0п \1

и, следовательно, д(г) ^ дп ив правой части уравнения (12) остается выражение

« 2 Р1 6^0

Р0 5с0£

Я« Я(2) диЮ Я(г) Я(1) ди10)

52

дС

52

дС

(_1)

г — 1

(19)

х

*

г —

2

3

3

3

3

3

3

V

С принятой точностью по —, е положим

R(1) и R(2) = R,

h02) = h0.

Подставляя (19) в уравнение (12), окончательно получим

д2и1о , 1 fR\2 Мол/ 1 - М2 д4ц1о , 2m fum\2 м + ((2Л ^

+ eUJ -2--дё^ + EsVT) ^ - Мо + w V1 - Мо

ди

.2Я,(0

д 2 u

1о

дё / дё2

—£г

R2 м| д3 м1о)

со1е 2 дё3

1о — 6м2 р/

Легко видеть, что замена

ди(1)

R

Ро ^о ¿Со е V 5

ди(2)

дм

(1) 1о

дм

(2) 1о

дё дё позволяет записать систему уравнений (20) в виде

дё дё

П = С1 ё,

(—1)г =0.

t = С2Т

P(i)t + P(i)nnn + 6^(i) — ^V(0nn — (^(1) — ^(2))(—1)г = 0. Постоянные c, c1 ,c2 определяются при подстановке (21) в (20) и имеют вид

1/3

2 р/. v I R I /. 2

С2 = 6"о

(20)

(21)

(22)

2 Р1 v

Ро^о \ 5

С1 =

/

С2 е I т;

R/ Мол/1 — Мо

С=

E R2

Мо

3.

2m u'm 1 — Мо + Мо _

1/2

С1 .

При этом вводится обозначение

к>2 .,2 „2

Л Мо С1 ео1е 2 С2

В случае отсутствия жидкости последние два слагаемых — ) в уравнениях (22) исчезают, и система распадается на два независимых уравнения МКдВ-Б (модифицированные уравнения Кортевега-де Вриза-Бюргерса), которые только при ад =0 превращаются в МКдВ и имеют точное частное решение в виде солитона

к

(23)

Р =

ch(k(n + по) — k3t)

Эти решения при £ = 0 можно взять в качестве начальных условий при решении задачи Коши для системы уравнений (22).

4. Новые решения методом неопределённых коэффициентов для системы уравнений (22) будем

искать в виде

9 = k(n + По) — ^t,

p(i) =

(«е2в + b(i)ee + c(i)

+ d(i).

После подстановки на 11 переменных а(г), 6(г), е(г), к, стд получим достаточно громоздкую систему из 22 уравнений, для исследования которой построен базис Грёбнера. В результате имеем только одно нетривиальное решения для ад = 0:

9 = k(n + по) — ( k3 + ^b2k5 ) t, p(i) =

1 b2k2 + 1 4 ck2

e2e + bee + c

+ 2 bk2.

(24)

Здесь b, c, k — произвольные постоянные. Остальные нетривиальные решения, в том числе и для ад = 0, имеют мнимую часть и должны быть отброшены как не физичные. Для символьных вычислений была использована свободная система компьютерной алгебры Maxima [8], а для построения и работы с базисами Грёбнера [9].

Поскольку для решения (24) выполнено р(1) = р(2), то данное решение будет также являеться и решением МКдВ и переходить в известное решение (23) при b = 0, c = 1/(2k).

о

2

v

в

e

в

e

5. Метод конечных объёмов сводится к дискретизации исходных уравнений, представленных в интегральной форме, в противоположность методу конечных разностей, который обычно применяется к исходным уравнениям в их дифференциальной форме. При этом если исходная система обладала законами сохранения, то построенная разностная схема будет обладать хорошими консервативными свойствами просто по построению. Кроме того, при этом подходе упрощается вывод разностных соотношений на границах вычислительной области.

Если исходные уравнения содержат производные выше первого порядка, то метод конечных объёмов нуждается в модификации. Эта модификация получила название интегроинтерполяционного метода, недостатком которого является отход от работы только с интегральными соотношениями и прямая замена производных их конечными разностями. Если на этом этапе добавить интегральные соотношения, связывающие искомые функции с их производными, и затем, использовать алгоритм Бухбергера построения базисов Грёбнера или инволютивный алгоритм, то можно получить соотношения, связывающие только искомые функции [2, 10].

Запишем уравнение (22) в интегральной форме

I _(2<^)3 + пп - п) ^ + ^ -// (р(1) - (-1)* = 0 (25) Удп ^ '

для любой области О. Для перехода к дискретной формулировке сопоставим и(*)П = ^(г)(£п, п^) и выберем в качестве п + \ базового контур, показанный на рис. 1.

Добавим интегральные соотношения:

ГПз +1

/ и(% йп = и(г) ) - ),

^Пт

3 (26)

гПз + 1 ,

У У + 1 У + 2

и

пп йп = и(г)п) - и(г)п(^)• Рис' 1' Базовой контур для Уравне-

Упз ния (25)

Используя для интегрирования по времени и по четным производным по п формулу трапеций, а по нечетным производным по п формулу среднего значения, и полагая ¿п+1 - £п = т, п^+1 - п.? = перепишем соотношения (25),(26) в виде

- ^ ) П + 2и,( ) П - 2^( ) П+2 - 2^( ) П+2^ + ^ппп + )ппп - )ппп+2 - )ппп+2 ) -

- ,, («<■>,;+и«,,;+' - и«,;+2 - «<■),;+')) ■ ^«.г1+и«,;) ■ 2=«(,)П+1 - «<о;■

(и(>) " + иМ ") . = и(0" , - и(0" иМ " ■ 2Л = и(0 " - им "

(и п^ + 1 + и п] ) 2 = и ^ + 1 и ^ ' и пп^ + 1 = и п^+2 и п•

Вводя сеточные операторы сдвига 0п по переменным п соотвественно, запишем уравнения в операторной форме:

(0п + 1) ° и(*) п ■ ^ = (0п - 1) ° и(*), ^ ° и(*) пп ■ 2^ = (0^ - 1) о и(*)п •

Выбирая допустимое лексикографическое упорядочение сначала по функциям и( )пп ^^ и( )пп ^^ >- и(1)п >- и(2)п >- и(1) >- и(2), затем по переменным 0^ >- 0п, можно построить базис Грёбнера, или инволютивный базис [10]. В результате получим в качестве отдельных элементов авторедуцированного базиса Грёбнера следующие разностные схемы для уравнений (22), аналогичные схеме Кранка-Николсона для уравнения теплопроводности:

и(*);+1 - и«;, >«3;++! - и(С)+(и(*)3п+1 - и(*)3;_1)

+

+ 2--^-^-—-— +

т 4Л,

(и(*) - 2и(*);+^ + 2и(*) п+11 - и(*) п+21) + (и(*) П+2 - 2и(*) п+1+2и(о;_1 - и(*) ;_2)

4Л3

- а,

(«Л - 2и(о;+1+и(о) + (««;+1 - ;+и«^ и(*);+1+п _

— (-1) —0.

2 h2

2

Полученные неявные разностные схемы имеют кубическую нелинейность для следующего временного слоя. При построении решения использована следующая линеаризация

3 3 33/ \/2 2 \ 3 23

vk+1 = vk+1 - vk + vk = (vk+1 - vk )(vk + 1 + Vk+1Vk + ) + vk ~ vk+1 ■ 3vk - 2vk ■

Количество итераций для достижения точности 10-12 на следующем временном слое, как правило, не превышало 2. Шаг по времени t брался равным половине шага по переменной п- Программа расчёта была написана на языке Python с использованием пакета SciPy [11] и занимает около 120 строк, включая сам расчёт и построение графиков.

Результаты проведённого компьютерного моделирования представлены на рис. 2-3 и позволяют сделать следующие выводы. В первом случае при ад = 0.0 наличие жидкости между оболочками приводит к возникновению уединённой волны деформации (солитона) и во внутренней оболочке, в которой в начальный момент деформации равнялись нулю (рис. 2). Это процесс происходит за счёт «перекачки» энергии (через слой жидкости) от солитона во внешней оболочке и сопровождается падением амплитуды солитона во внешней оболочке и, как следствие, снижением скорости его распространения.

0.15 0.10 0.05 0.00 -0.05

у,® 0.15

0.10

0.05

0.00

-0.05

— ¿=0.00 — ¿=60.08 — ¿=120.15 ..... ¿=180.23 — ¿=240.30 -- ¿=300.38

' V v

/ / / / х-— / __^ ^ у . v XN ч

0 20 40 60 80 V а

— ¿=0.00 — ¿=60.08 — ¿=120.15 ..... ¿=180.23 — ¿=240.30 -- ¿=300.38

^ \ / * ** • ' /\ Л VN' ^ / \ Y \ N

/ У / „ / \ N > \ 4 ч

1 .1

20

40

60

80

V

б

Рис. 2. График численного решения уравнений (22) при ад = 0.0 и с начальным условием, (24) для <^(1) (а) с к = 0.2, по = 40.0, Ь = 1.0, с = 1/(2к) и для </2) = 0.0 (б)

В втором случае ад — 0.0 и (24) не являтся точным решением МКдВ-Б. Как и в первом случае, наличие жидкости между оболочками приводит к возникновению волны деформации во внутренней оболочке, в которой в начальный момент деформации равнялись нулю (рис. 3).

Данный процесс происходит за счёт «перекачки» энергии через слой жидкости от возбуждающей волны во внешней оболочке и сопровождается снижением её амплитуды и скорости распространения.

При этом происходит размазывание солитона, что объясняется наличием диссипации (аа отлично от нуля в отличие от первого случая). В результате, как и в первом случае, во внешней и внутренней оболочках устанавливается волна деформации постоянной амплитуды и скорости распространения.

Проведенное моделирование позволяет сделать вывод, что рассматриваемая механическая система начинает вести себя как единый трёхслойный пакет с двумя несущими слоями (внешняя и внутренняя оболочки), по которым распространяются волны деформации, и заполнителем — слоя вязкой несжимаемой жидкости.

Проведённое компьютерное исследование новой математической модели с использованием теории базисов Грёбнера позволило найти новое аналитическое решение МКдВ, а также построить качественную разностную схему, которая по построению соответствует исходной непрерывной модели.

0.15

0.10

0.05

0.00 -0.05

0 20 40 60 80 V

а

0.15

0.10

0.05

0.00 -0.05

0 20 40 60 80 V

б

Рис. 3. График численного решения уравнений (22) при а9 = 1.0 и с начальным условием, (24) для <^(1) (а) с к = 0.2, по = 40.0, Ь = 1.0, с = 1/(2к) и для </2) = 0.0 (б)

— ¿=0.00 — ¿=60.08 — ¿=120.15 ..... ¿=180.23 — ¿=240.30 -- ¿=300.38

^ Г-. г.

~~ ~ — —

— ¿=0.00 — ¿=60.08 — ¿=120.15 ..... ¿=180.23 — ¿=240.30 -- ¿=300.38

- г.т .1 - - ■.-7. гТ: г

....... - " п

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект 10-01-00177-а) и гранта Президента РФ (проект МД-1025.2012.8).

Библиографический список

1. Grobner Bases and Applications / eds. B. Buchberger, F. Winkler. London Mathematical Society Lectures Notes. Ser. 251. Cambridge University Press, 1998. 522 p.

2. Gerdt V. P., Blinkov Yu. AMozzhilkin V. V. Grobner bases and generation of difference schemes for partial differential equations // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 2006. Vol. 2. 26 p. URL: http://www.emis.de/journals/SIGMA/2006/ Paper051/index.html (дата обращения 28.02.10).

3. Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные

волны деформаций в цилиндрических оболочках // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. Т. 3, № 1. С. 52-58.

4. Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках: солитоны, симметрии, эволюция / Сарат. гос. техн. ун-т. Саратов, 1999. 132 с.

5. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М. : Дрофа, 2003. 840 с.

6. Каузерер К. Нелинейная механика. М. : Изд-во иностр. лит., 1961. 240 с.

7. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости. М.: Наука, 1979. 320 с.

8. Maxima, a Computer Algebra System. URL: http:// maxima.sourceforge.net/ (дата обращения 28.02.10).

9. Блинков Ю. А., Гердт В. П. Специализированная УДК 519.713

АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ КОНЕЧНЫХ АВТОМАТОВ

Д. О. Матов

Саратовский государственный университет E-mail: [email protected]

Рассматривается подкласс аффинных преобразований геометрических образов автоматов. Приводятся результаты исследования свойств и вида рассматриваемых преобразований.

Ключевые слова: автомат, геометрический образ, аффинное преобразование.

система компьютерной алгебры GINV // Программирование. 2008. Т. 34, № 2. С. 67-80.

10. Блинков Ю. А., Мозжилкин В. В. Генерация разностных схем для уравнения Бюргерса построением базисов Грёбнера // Программирование. 2006. Т. 32, № 2. С. 71-74.

11. SciPy.org. URL: http://www.scipy.org (дата обращения 28.02.10).

Affine Transformations of Geometrical Images of Finite Automata

D. O. Matov

A subclass of affine transformations on the set of geometrical images of finite automata is investigated. The results about the characteristics and the form of these transformations are described.

Keywords: automaton, geometrical image, affine transformation.

ВВЕДЕНИЕ

В статье исследуется поведение конечных детерминированных автоматов, заданных в виде геометрических образов.

При решении различных задач, связанных с автоматами, как правило, используются традиционные способы задания автоматов (таблицы, графы, матрицы переходов и т.п.). Однако находят свое применение и относительно новые способы задания функционирования автоматов. В 1994 году В. А. Твер-дохлебовым был предложен геометрический подход к изучению автоматов. В рамках этого подхода поведение автомата отображается в геометрических фигурах, в частности, в кривых на плоскости. Была разработана дискретная словарная геометрия, и к изучению поведения автоматов был привлечен аппарат непрерывной математики, в том числе многие инструменты геометрии. Тогда впервые появилось понятие «геометрический образ автомата» как некоторая геометрическая фигура, содержащая в себе всю информацию о его поведении. В 1999 году Л. Б. Тяпаев в рамках геометрического подхода предложил в качестве геометрического образа автомата рассматривать множество точек на плоскости с рациональными координатами. Были рассмотрены многие задачи анализа, синтеза, эквивалентности и распознавания автоматов на основе их задания геометрическими образами [1]. Настоящая статья является продолжением работы [1]. В ней используется предложенный Л. Б. Тяпаевым способ построения геометрических образов автоматов.

Основным объектом исследования являются аффинные преобразования множеств точек, представляющих геометрические образы конечных детерминированных автоматов.

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ АВТОМАТОВ

Пусть автомат А = ($, X, У, <5, А), где Б — множество состояний, X, У — входной и выходной алфавиты, 5 : Б х X ^ Б, А : Б х X ^ У — функции переходов и выходов соответственно. Пусть |Х | = п, |У | = т. С инициальным автоматом (А, з) связано автоматное отображение Л А : X * ^ У *. Геометрическое пространство Г для автомата (А, з) определяется по следующему алгоритму [1].