Моделирование волн деформаций в геометрически и физически нелинейной оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.383:532.516

С.В. Иванов

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛН ДЕФОРМАЦИЙ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ И ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ОБОЛОЧКЕ, СОДЕРЖАЩЕЙ ВЯЗКУЮ НЕСЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ

Работа посвящена компьютерному моделированию распространения нелинейных волн деформации в геометрически и физически нелинейных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость.

Цилиндрическая оболочка, нелинейные волны деформации, гидроупругость, вязкая несжимаемая жидкость, кинк-антикинк

S.V. Ivanov

MODELLING OF DEFORMATION WAVES IN GEOMETRICALLY AND PHYSICALLY CYLINDER SHELL WITH VISCOUS INCOMPRESSIBLE LIQUID INSIDE

This paper deals with computer modeling of nonlinear strain waves in a geometrically and physically nonlinear cylinder shells containing a viscous incompressible fluid.

Cylinder shell, nonlinear deformation waves, hydroelasticity, viscous incompressible liquid, kink-antikink

1. Введение

Для моделей, описываемых уравнениями в частных производных, не всегда удается построить аналитические решения, и в этом случае для их исследования можно применять численные эксперименты на соответствующих разностных схемах. Так, для построения разностных схем из первоначально заданных базовых разностных соотношений, аппроксимирующих исходную систему дифференциальных уравнений, строится базис Грёбнера разностного идеала. Из этого базиса иногда в нелинейном и всегда в линейном случае можно извлечь разностную схему, которую иногда невозможно построить традиционными методами генерации разностных схем. Зачастую такие разностные схемы обладают уникальными свойствами, хорошо передающими физику процессов, описываемых исходными дифференциальными уравнениями.

Исследование посвящено анализу распространения нелинейных волн деформаций в геометрически и физически нелинейной упругой цилиндрической оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость. Волновые процессы в упругой цилиндрической оболочке без взаимодействия с жидкостью ранее исследованы с позиций теории солитонов. Наличие жидкости потребовало разработки новой математической модели и компьютерного моделирования процессов, происходящих в рассматриваемой системе.

В представленной работе техника базисов Грёбнера будет использована для анализа распространения нелинейных волн деформаций в упругих геометрически и физически нелинейных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость.

2. Постановка задачи гидроупругости и построение математической модели методом возмущений. Волновые процессы в упругой цилиндрической оболочке без взаимодействия с жидкостью ранее исследованы в [1, 2]. Получим уравнение динамики, описывающее волну деформации, с учетом наличия жидкости в оболочке с помощью асимптотических методов для решения связанной задачи гидроупругости с соответствующими граничными условиями. Рассмотрим бесконечно длинную упругую цилиндрическую оболочку, внутри которой находится вязкая несжимаемая жидкость. Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости и уравнения неразрывности в цилиндрической системе координат г х записываются в случае осесимметричного течения в виде [3]

дК + К ^ + У дК

дг

дУ

дг

Г + 1 дР

(■л2

дг

дУ

дУ

х + V +Ух

дг

дх р дг

дУ 1 др

—х +------------

дх р дх

= V

г Уг дУх

г + —+ - х

— = V

= 0.

дХ

у дг2

( д V

г+1 Эк+д у У,

Л

г дг дх г

1 дУ д V

Л

дг г дг дх

(1)

дг г дх

На границе с оболочкой выполняется условие прилипания жидкости

^ ди

Уг = —— > Ух = ^ при г=Я1 -W . (2)

дг дг

Здесь г - время; Уг,Ух - проекции вектора скорости жидкости на оси цилиндрической системы координат; р - давление; р - плотность; V - кинематический коэффициент вязкости; и -продольное упругое перемещение оболочек по оси х; W - прогиб, положительный к центру кривизны оболочки; Я1 - внутренний радиус оболочки.

Записывая уравнения движения элемента цилиндрической оболочки в перемещениях для модели Кирхгофа-Лява, считаем материал нелинейно-упругим с кубической зависимостью интенсивности напряжений <Г1 от интенсивности деформаций е1 [4, 5].

<71 = Ее1 - ше1. (3)

Здесь Е - модуль Юнга; т - константа материала, определяемая из опытов на растяжение или сжатие.

Уравнения динамики геометрически и физически нелинейной оболочки с учетом (3) записываются в виде [5]

Ек0 д 1 — “0 дх

(

и

ди 1 ( ди_

дх 21 дх

\\

2+1 ( э^л 2

21 дх

+

24

дх2

W

“о Я

[1—

4 т 3 Е

д2и

0 0 дг 2

= —Чх,

1 —“ W

д2W (1 + ди

дх2 I + дх

1“о

7

1 (Эи

21 дх

1 ( дW + —

2 1 дх

+ -

24

дх2

+ -

ди

дх

+

+ -

„ 4 т

1 +-------

3 Е

ди — W\ ди W

дх Я) дх Я

Vу у )_

_д \ ЭW (ди +1 (эи\2 +1 (ЭW\2 + дх | дх дх 2V дх ) 2( дх ) 24

к2 ( э V \

" Эх2

(4)

“о

W

Я

4т 1-----

3Е

ди

дх

w \ Эи w

Я ) дх Я

у

Здесь ро - плотность материала оболочки; “о - коэффициент Пуассона; Я - радиус срединной поверхности оболочки; ко - толщина оболочки (ко/2 = Я — Я1); —о = Е/[ро(1 — “о2)] -скорость звука в материале оболочки; чх , чп - напряжения со стороны жидкости.

Если снести напряжения на невозмущенную поверхность оболочки (W << Я), то можно считать, что поверхностные напряжения со стороны жидкости определяются формулами

Чх

рv\

дУ ЭК

- + -

дг дх

Чп

г =Я

— р + 2рv

ду

дг

(5)

г=Я

Принимая за характерную длину волны I, перейдем к безразмерным переменным для исследования уравнений (4)

Положим

W = н и,

т 3’

^ = £ = 0(1), I к

— = 0(£),

Я

т т * ^о

и = мтм,, г = — г, х

т 1 I

х 1'

н = 0(£), Я

т

Я 1

Е

т = 0(£), £

Я

сп

(6)

(7)

,3/2 ч

где £ << 1 - малый параметр в задаче (4).

Применим метод двухмасштабных асимптотических разложений, вводя независимые переменные в виде

с* & & &

£ = х — сг , т = я , (8)

где с - безразмерная неизвестная скорость волны, т - внутренняя переменная, а зависимые

переменные представим в виде разложения по малому параметру £

и>1 = Мю + £ип + ... М3 = «3о + £<31 +. .. (9)

Для определения правой части уравнения (4) ведем безразмерные переменные и параметры

Ух = нт^х, г* = ^, г* = —0г, х* = х, р= Р^р, х т Я1 х Я1 I I Я^

/ = —= 0( £1/2 ), 1 = ^^ = 0(е), у/ << 1, Я << 1. I Я1

ч

(Ю)

Подставляя (1о) в уравнения гидродинамики (4) и граничные условия (2), представим безразмерные скорость и давление в виде разложения по малому параметру Я

2

2

2

2

V0 +Лу1 + к, Р = Р0 +ЛР1 + ...

(11)

С принятой точностью по Л,у,£ положим Я1 ~ Я и окончательно получим

д 2ит и

10 I ™т

- +

V1 -Д? ди10 д'

Э#Эт ЇЄ 2 д# д# Є ^ Ї

м10 +1 (Я)2 ,о« д4

10

2

д#4

2т ( и

(1

2 У1 - М0

ди

10

)2 д2

10

э#) э#2

(12)

-2

-(2М )2 ^_^Ї^ди^ = о.

А) ^0ЄЯ1С0 д#

Легко видеть, что замена

ди

10

д#

Сф, п = с1#, і = С2Т

позволяет записать уравнение (13) в виде

др др Э ър

др

-^ + 6Р^ + ^7-0Р -°р = 0.

ді дп дп дп

(13)

(14)

Здесь 7 = +1 (при /и0 <1/2 - неорганические материалы), 7 = —1 (при Цй >1/2 - живые организмы) и 7 = 0 (при ц0 = 1/2 - резина).

Постоянные с, с1, с2,71 определяются при подстановке (14) в (13) и имеют вид

= ^21 - (2М0)2 ] рЇУг> , С =

АЛЄЯ1С0

Я2 2 2 2т(и

С = 6 ^ М0 С1 , °1 = ТГ~

Їй Еє

С2Є

2

1/3

у) (1 -М0 +М1)41 -М2

0

С2С

В случае отсутствия жидкости последнее слагаемое в уравнении (14) исчезает, оно переходит в МКдВ и имеет точное частное решение в виде кинк-антикинк

Р

з дТб Ґ (

=—± о

іапк

кх + і

к

2к3 - 9—

Л)

о

(15)

1))

Эти решения при г = 0 можно взять в качестве начальных условий при решении задачи Коши для уравнения (14).

3. Компьтерное моделирование. В [6-8] развит подход к построению разностных схем, основанный на построении переопределенной системы разностных уравнений, получаемой из аппроксимации интегральных законов сохранения и интегральных соотношений, связывающих искомые функции и их производные.

Запишем уравнение (14) в интегральной форме

,2 + 7 „3

£(-3р2 +0РЪ -Рпп)^ + Р^п-Цорйгйп = 0

(16)

3 ' ' • на • • 4 '

для любой области П. Для перехода к дискретной формулировке сопоставим и" = р(гп,П ■) и выберем в качестве базового контур, показанный на рис. 1.

Рис. 1. Базовый контур для уравнения (16)

V

V

X

Г

2

С

С

2

Добавим интегральные соотношения

n+\d4 = и(t,tfj+l) - и(t, tfj)

In

Используя для интегрирования по времени и по четным производным по П формулу трапеций, а по нечетным производным по 1) -формулу среднего значения, и полагая гп+1 — гп = Т, П;+1 —Ц^ = к, перепишем соотношения (16), (17) в виде

I 0/ 2« 2п+1 2п 2п+1 ) .

у— 2 \и ) + и ] — и )+2 — и )+2) +

^113" 3п+1 3п 3п+1

+—з и І + и ] — и ]+2 — и ]+2 I—

(и и+1 и и+1 П Т

иППі + иППі — иППі+2 — иППі+2 //' 2 +

2 (18) +(<1 — иП+1) • 2к—а(ип;; + ип+і) • кт = 0, ь

Ґ и П\ ь и и

(ип І+1 + ип І) • 2 = иі+1 — иі,

и Л 7 и и

ип ■ 2к = и — ип ..

ЯП]+1 п І+2 П}

За счет выбора допустимого лексикографическое упорядочение сначала по функциям и^п У ип У и , затем по переменным п, }.

В результате получим следующую разностную схему для уравнения (14), аналогичную схеме Кранка-Николсона для уравнения теплопроводности

и+1 и , 2и+1 2п+Ч , / 2и 2и \

иІ — иІ + з (и }+1 — и І—1) + (и }+1 — и }—1) + т 4к

/ и+1 -Л и+1 , -Л и+1 и+1 \ , / и Г\ и . Г\ и и \

(иІ+2 — 2и}+1 + 2иІ—1 — и}—2 ) + (и]+2 — 2и}+1 + 2иІ—1 — иІ—2 )

+

-O1

4h (19)

3И+1 3n+1\ . / 3n 3n S

(U j+1 — U j-1 ) + (U j+1 — U j-1)

12h

n+1 , n U +U

— 7—------- = 0.

2

Полученные неявные разностные схемы имеют квадратичную и кубическую нелинейность для следующего временного слоя. При построении решения использована следующая линеаризация:

Vt+1 = vl+1 — vl + vl = (vk+1 — vk )(vk2+1 + vk+1vk + vl) + vl s vk+1'3v2 — 2vl • vL = vl+1— vk+vk = (vk+1— vk )(vk+1+vk)+vk«vk+1 • 2vk— vl •

Шаг по времени t брался равным половине шага по переменной Т]. Программа расчета была написана на языке Python с использованием пакета SciPy [9].

Результаты проведенного компьютерного моделирования представлены на рис. 2-4. Расчеты позволяют сделать следующие выводы. Наличие жидкости в оболочке приводит к существенному изменению характера распространения в ней продольных волн деформаций. Если в оболочке нет жидкости (эквивалентно условию 7 = 0), уединенная волна (кинк) движется, сохраняя свою первоначальную форму и скорость (см. рис. 2).

Наличие жидкости в оболочке из неорганических материалов (7 = 1) ведет к росту амплитуды волны (см. рис. 3). Таким образом, можно утверждать, что жидкость способствует постоянной дополнительной «подпитке» энергией (из источника первоначального возбуждения), обеспечивающей рост амплитуды.

Наличие жидкости в оболочке из органических материалов (живые организмы, что соответствует о = —1) ведет к быстрому уменьшению амплитуды волны, то есть к её затуханию (см. рис. 4). Для поддержки процесса распространения волны необходимо периодическое её возбуждение.

— (=0.00 -- «=8.02 • ( = 16.03 (=24.05 (—32.06 " (=40.08

у / '• / •

/ • / / / ; / • / •

/ / ' / •

/ 1 / / / /

0'20 20 40 60 80 100

V

Рис. 2. График численного решения уравнения (14) с начальным условием (15) при о = 0.0, о1 = 6.0, к = 0.2 и для г = 0.0... 40.08

4. Заключение. Проведенное моделирование с использованием компьютерной алгебры позволило выявить особенности поведения волн деформаций в геометрически и физически нелинейной упругой цилиндрической оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость.

Использование базиса Грёбнера для генерации разностной схемы при численном решении задачи Коши для нелинейного уравнения в частных производных третьего порядка по пространственной переменной, позволило получить результат расчета без осцилляций вызываемых численной реализацией. Численная схема также была протестирована на точном решении для о = 0 (см. рис. 2).

Полученный расчет показал влияние вязкой несжимаемой жидкости на поведение нелинейной волны деформации в оболочке в зависимости от величины, характеризующей материал оболочки -коэффициента Пуассона:

— рост амплитуды волны для неорганических материалов,

— падения амплитуды волны для живых организмов,

— отсутствие влияния жидкости для несжимаемых материалов, таких как резина.

В заключение выражаю благодарность профессору Л. И. Могилевичу за постановку задачи и внимание к работе.

Рис. 3. График численного решения уравнения (14) с начальным условием (15) при о = 1.0, о1 = 6.0, к = 0.2 и для г = 0.0.2.00

8 § 0 о 1 л 1 !

г=1.20 £ = 1.80 t —2.40 «=3.01

/ ✓ : / / _—/

/ / / / /

N \ : \ \ 1 1 1 : 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

°°0 20 40 60 80 100

V

Рис. 4. График численного решения уравнения (14) с начальным условием (15)

при а = -1.0, а1 = 6.0, к = 0.2 и для г = 0.0.2.00

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 13-01-00049а

ЛИТЕРАТУРА

1. Землянухин А.И. Нелинейные волны деформаций в цилиндрических оболочках / А.И. Землянухин, Л.И. Могилевич // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. Т. 3. № 1. С. 52-58.

2. Землянухин А.И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках: солитоны, симметрии, эволюция / А.И. Землянухин, Л.И. Могилевич. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 1999. С. 132.

3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. М.: Дрофа, 2003. С. 840.

4. Каузерер К. Нелинейная механика / К. Каузерер. М.: Иностр. лит., 1961. С. 240.

5. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости / А. С. Вольмир. М.: Наука, 1979. С. 320.

6. Блинков Ю.А. Генерация разностных схем для уравнения Бюргерса построением базисов Грёбнера / Ю.А. Блинков, В.В. Мозжилкин // Программирование. 2006. Т. 32. № 2. С. 71-74.

7. Gerdt V.P. Groebner bases and generation of difference schemes for partial differential equations / V.P. Gerdt, Yu.A. Blinkov, V.V. Mozzhilkin // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 2006. Vol. 2. P. 26. http://www.emis.de/journals/SIGMA/2006/Paper051/index.html.

8. Gerdt V.P. Involution and difference schemes for the Navier-Stokes equations / V.P. Gerdt, Yu.A. Blinkov // Computer Algebra in Scientific Computing. Springer Berlin / Heidelberg, 2009. Vol. 5743 of Lecture Notes in Computer Science. P. 94-105.

9. SciPy. http://www.scipy.org/

Иванов Сергей Викторович - Sergey V. Ivanov -

аспирант кафедры «Теплогазоснабжение, Postgraduate

вентиляция, водообеспечение и прикладная Department of Heat and Gas Suuply,

гидрогазодинамика» Саратовского Ventilation,Water Supply

государственного технического университета and Applied Fluid Dynamics,

имени Гагарина Ю.А. Gagarin Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 15.10.12, принята к опубликованию 06.11.12