Математическое моделирование свойств анизотропных сред Текст научной статьи по специальности «Нанотехнологии»

УДК 544.032.52, 51-71

С.П. Романчук, Ю.В. Клинаев, Д.В. Терин, С.А. Корчагин МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОЙСТВ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД

Рассмотрено влияние анизотропии формы включений на свойства нанокомпозита. Проведен анализ частотной зависимости при различной ориентации проводящих частиц в диэлектрике на основе обобщенной модели Максвелла-Гарнетта. Продемонстрирована зависимость эффективной диэлектрической проницаемости от формы и ориентации включений Au в матрице Al2O3.

Гетерогенные среды, композитные материалы, анизотропные среды, диэлектрическая проницаемость, математическое моделирование

S.P. Romanchuk, Yu.V. Klinaev, D.V. Terin, S.A. Korchagin MATHEMATICAL MODELING OF ANISOTROPIC MEDIA PROPERTIES

The paper considers the effect of the shape anisotropy of inclusions on the properties of the nanocomposite. Analysis of the frequency dependence under various orientations of conductive particles in the dielectric on the basis of the generalized model of the Maxwell-Garnett is conducted. It demonstrates the dependence of effective permittivity of the shape and orientation of the Au inclusions in the Al2O3 matrix f.

Heterogeneous mediums, composite materials, anisotropic media, permittivity, mathematical modeling

Композиты, состоящие из диэлектрической матрицы с проводящими включениями, являются перспективными материалами в технологиях микро- и оптоэлектроники [1]. На свойства нанокомпо-зитного материала сильное влияние оказывают характеристики веществ, которые входят в его состав, а также форма и размер включений и ориентация частиц в матрице. Разнообразие способов и форм включений является основной причиной возникновения оптической анизотропии [2].

Одним из подходов при исследовании свойств нанокомпозитов является теория эффективной среды. Данный подход характеризуется тем, что смесь нанокла-стеров можно рассматривать как новую гомогенную среду с эффективными характеристиками [2]. Особый интерес представляет обобщенная модель Максвелла -Гарнетта с учетом фактора деполяризации [3], т. к. модель охватывает широкий спектр форм частиц и учитывает ориентацию включений в пространстве. Данную модель применяют к матричным средам с включениями в форме сфероидов, что позволяет использовать в качестве частиц включений пластины, стержни, сферы и эллипсоиды вращения [4]. Таким образом, используя обобщенную модель Максвелла - Гарнетта, можно провести анализ электродинамических свойств гетерогенных сред различной морфологии.

Рассмотрим варианты композитов с ориентированными частицами нормально вектору электромагнитного поля (рис. 1 а), коллинеарно вектору электромагнитного поля (рис. 1 б) и с хаотически расположенными частицами (рис. 1 в). Для учета анизотропии формы включений вычисляется фактор деполяризации:

Рис. 1. Расположение включений в матрице относительно вектора поля: а) нормально, (б) параллельно, (в) хаотически

_ аЬс ¥ йз

^X _ 1 ^ . ^2x3/2/ . т,2ч1/2/ . 2\1/2

3 0 (з + а ) (з + Ь ) (з + с )

(1)

где а, Ь, с - длина полуосей эллипсоида вдоль осей координат х, у, г.

Для одиночного эллипсоида с диэлектрической проницаемостью ер, который находится в однородной среде с диэлектрической проницаемостью ет, напряженность поля Е1 внутри эллипсоида при направлении внешнего поля Е0 вдоль оси х выражается следующим уравнением [3]:

е

Е _-—-Е0. (2)

е т + (е р т ) N

Факторы деполяризации для вытянутого и сплюснутого эллипсоида вращения (сфероид) можно получить по следующим соотношениям соответственно (3) и (4) [3].

N _

(1 -а2)(ЛгЛ(а)-а).

а

N _

(1 -р 2)(Ь- аг^(Р))

Р3

(3)

(4)

где а = (1 - Ь2/а2)1/2, в = (Ь2/а2-1)1/2.

На основе приведённых выражений исследовано влияние анизотропии формы включений в матричном композите на эффективную диэлектрическую проницаемость материала. Для проведения численного моделирования использовались данные из источника [5], диэлектрическая матрица - оксид алюминия (Л1203), проводящие включения - наночастицы золота (Ли), объемная доля включений - 0.1, в диапазоне длин волн от 200 нм до 1000 нм.

Моделирование проводилось с использованием разработанного программного комплекса «Математическое моделирование и многокритериальный анализ нелинейных свойств композиционных материалов на основе эффективной среды» [6].

Построены графики частотной зависимости композита при различной ориентации наноча-стиц (рис. 1-3). Форма частиц от сплюснутых (а = 1 нм, а = 3 нм, Ь = 5 нм) до сильно вытянутых (а = 10 нм, а = 20 нм, а = 100 нм, Ь = 5 нм) сфероидов. Графики демонстрируют зависимость свойств композита от ориентации и формы частиц. Значения диэлектрической проницаемости среды с включениями в форме сфер (а = 5 нм, Ь = 5 нм) на всех графиках остаются неизменными.

Численное моделирование характеристик анизотропной гетерогенной среды позволяет оценить влияние фактора деполяризации на эффективные свойства.

Рис. 2. Частотная зависимость диэлектрической проницаемости композита при коллинеарном расположении частиц относительно вектора поля

Рис. 3. Частотная зависимость диэлектрической проницаемости композита при нормальном расположении частиц относительно вектора поля

Рис. 4. Частотная зависимость диэлектрической проницаемости композита при хаотическом расположении частиц относительно вектора поля

Рассмотрены матричные смеси с включениями в форме сфероидов и представлены результаты исследования зависимости комплексной диэлектрической проницаемости нанокомпозитного материала от формы и ориентации включений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Степанов А. Л. Синтез наночастиц меди в сапфире методом ионной имплантации // Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28. № 20. С. 58-65.

2. Головань Л.А., Тимошенко В.Ю., Кашкаров П.К. Оптические свойства нанокомпозитов на основе пористых систем // Успехи физических наук. 2007. Т. 177. № 6. С. 619-638.

3. Высокочастотный нагрев в электрическом поле / А.В. Нетушил и др. М.: Высш. шк., 1961.

4. Челидзе Т.Л., Деревянко А.И., Кириленко О.Д. Электрическая спектроскопия гетерогенных систем. Киев: Наукова думка, 1977. 230 с.

5. Palik E.D. Handbook of Optical Constants of Solids. Academic, San Diego, CA (1985).

6. Свидетельство № 2014615533 Российская Федерация. Программный комплекс «Математическое моделирование и многокритериальный анализ нелинейных свойств композиционных материалов на основе моделей эффективной среды»: Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ / С.П. Романчук, Д.В. Терин; заявитель и патентообладатель Романчук Сергей Петрович, Терин Денис Владимирович. № 2014612918/69; заявл. 02.04.2014; зарегистр. 28.05.2014. [1] с.

Романчук Сергей Петрович -

ассистент кафедры «Техническая физика и информационные технологии» Энгельсского технологического института (филиала) Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Клинаев Юрий Васильевич -

доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Техническая физика и информационные технологии» Энгельсского технологического института (филиала) Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Терин Денис Владимирович -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Техническая физика и информационные технологии» Энгельсского технологического института (филиала) Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Корчагин Сергей Алексеевич -

аспирант кафедры «Техническая физика и информационные технологии» Энгельсского технологического института (филиала) Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Sergey P. Romanchuk -

Assistant Lecturer,

Department of Technical

Physics and Information Technologies,

Engels Institute of Technology - Branch of

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Yuri V. Klinaev -

Dr. Sc., Professor

Department of Technical Physics and Information Technologies, Engels Institute of Technology - Branch of Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Denis V. Terin -

Ph.D., Associate Professor

Department of Technical Physics and

Information Technologies,

Engels Institute of Technology - Branch of

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Sergey A. Korchagin -

Postgraduate

Department of Technical Physics and Information Technologies, Engels Institute of Technology - Branch of Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Статья поступила в редакцию 15.02.16, принята к опубликованию 15.06.16