CC BY
77
УДК 591.711.3
С.П. Романчук, Д.В. Терин, А.М. Кац, Ю.В. Клинаев
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУР И ПРОЦЕССОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ С CORE-SHELL
НАНООБЪЕКТАМИ
Рассматривается метод, позволяющий осуществлять математическое моделирование процессов взаимодействия электромагнитного излучения с core-shell нанообъектами, что особенно актуально с позиций выяснения возможностей получения сред с управляемыми электродинамическими свойствами.
Комплексная диэлектрическая проницаемость, core-shell нанообъекты, теория эффективной среды
S.P. Romanchuk, D.V. Terin, Yu.V. Klinayev, A.M. Katz
MATHEMATICAL MODELLING OF STRUCTURES AND INTERACTION PROCESSES
OF ELECTROMAGNETIC RADIATION WITH CORE-SHELL NANOOBJECTS
The method allowing to carry out mathematical modeling of structures and interaction of the electromagnetic radiation processes with core-shell nanoobjects is considered in this article. It is particularly important in terms of finding opportunities for developing media with controlled electrodynamics properties.
Complex dielectric permittivity, core-shell nanoobjects, effective medium approximation model
В настоящее время разработаны методы получения и экспериментального исследования полупроводниковых металлических, углеродных нанообъектов, свойства которых специфичны [1]. Это объекты, к которым относятся отдельные наночастицы, нанополимеры, нанокластеры, нанопорошки металлов, сплавов, оксидов, карбидов, нитридов, нанокристаллы, нанопористые материалы, углеродные структуры и т.д. [2]. Экспериментальные исследования демонстрируют ранее не известные зависимости физических свойств от размеров наночастиц и кластеров [3]. Большое количество литературы, посвященное изучению свойств и областей применения нано- и мезоскопических объектов: наночастиц и наноструктур, наносистем, указывает на актуальность изучения и особенно на актуальность математического моделирования их структуры и особенностей происходящих в общем случае неравновесных процессов. Взаимодействие рассматриваемых объектов с электромагнитным полем дает возможность выявления закономерностей поведения мезо- и наночастиц под действием электромагнитного поля.
Исследование свойств нанокомпозитных сред представляет собой важную задачу, позволяющую определять в дальнейшем свойства наночастиц, входящих в состав композита. Свойства нанокомпозитов могут значительно отличаться от свойств объемных материалов, и от свойств отдельных наночастиц, формирующих композит. Нанокомпозитные среды являются той базой, на которой создаются новые материалы с заданными структурными, электронными и оптическими свойствами, которые определяются размером, формой и упорядоченностью составляющих их наночастиц, а также факторами заполнения наночастицами.
Важную роль в физике нанокомпозитных сред играет так называемая модель эффективной среды. Суть этой модели состоит в том, что ансамбль нанокластеров можно рассматривать как некую новую среду с эффективной диэлектрической проницаемостью. Очевидным преимуществом данного подхода является то, что в его рамках для анализа распространения излучения в нанокомпозитной среде нет необходимости решать уравнения Максвелла в каждой точке пространства.
Как правило, в модели эффективной среды для оптических задач пользуются электростатическим приближением, условием которого является малость как размера наночастиц, так и расстояния между ними по сравнению с длиной оптической волны в среде. В противном случае неизбежно встает задача рассеяния на составляющих нанокомпозитную среду частицах и интерференции рассеянных волн. В рамках модели эффективной среды мы можем, зная оптические параметры каждого из компонентов композитной среды, а также их концентрацию и геометрическую форму, определить эффективные параметры всей среды как целого.
При разработке математических моделей и математическом моделировании процессов взаимодействия электромагнитного излучения с нанообъектами, кластерами, взвешенными в континуальной среде, моделировании структур металлосодержащих систем возникает задача определения эффективных материальных констант подобных материалов [4].
Рассмотрим соге^Ие11 частицы, которые распределены по случайному закону в газе или вакууме. Согласно модели эффективной среды [5] средняя величина электрической индукции зависит от средней величины напряжённости электрического поля как
где - эффективная диэлектрическая проницаемость, Е - внешнее электрическое поле,
средней эффективной диэлектрической постоянной композита мы должны записать выражение индукции электрического поля для металлического ядра, диэлектрической оболочки и газа.
Сначала рассмотрим первую компоненту - сферические включения соге^Ие11. Если радиус металлического ядра R1, внешний радиус диэлектрической оболочки R2, то толщина оболочки есть R2-R1 [6]. Частица соге^Ие11 находится во внешнем электрическом поле Е0. Согласно электростати-
(1)
объем всего композита. Из уравнения (1) следует, что для определения
ческой теории, выражение для электрического потенциала внутри и снаружи соге-зИеП частицы может быть записано как
Р1 = С1 ГС08в, г < р2 = (С2Г+ С3/г2)со80, И! < г < И2,
р3 = (-Е0г + С4/г2)со8 в, г < И2, где константы С определены из стандартных граничных условий
Р1\г=И1 Р2 1г=И1 ’ Р2 1г=И2 Р3 1г=К,
др1
д г
= £
др2
дг
, £
др2
дг
= £
др3
дг
(2)
(3)
Здесь, £1 эффективная диэлектрическая проницаемость металлического ядра, е2 диэлектрическая проницаемость оболочки, е3 диэлектрическая проницаемость газа (вакуума). После подстановки граничных условий (3) в уравнения (2) мы найдем константы Сг-. Окончательно запишем выражение для электрических потенциалов
9е2£3С
Р1 = -~—2-Т^~Е0 г,г < К],
2а£3 + в£
р2
3&3
К
2а£3 + в£
р3 = -Е0 г
( £1 + 2£2 )Е0 г- ( £1 £2 ) ~Г Е0 г
,К1 < г < К2,
(4)
а£3 - £ К
2а£3 + @£2 г
2 ГЕ0 г,г > К2
где
£ = (К2/Я])3 = (1 +1 )3,1 = (К2 - К1 )/К1, а = (С-1 )£1 +(2С +1 )£2, в =(2 + С)£1 + 2(С-1 )£2 (5)
Подстановка уравнений (4) в уравнение Е = -V р, связывающее индукцию электрического поля и электрический потенциал, дает следующие результаты
9еге.£
Е1 =
2а£3 + /£;
Е0,г < К,,
Е = -е2
3^3
2а£3 + в£2
К
К
£1 + 2£2 - (£1 -£2 Г Е0 + 3(£1 £2 )~Тг( Е0 г)
, К1 < г < К2,
Е3 = Е0 + Ж’
в£2
2а£3 + в£2 г
- 3 а£3 3 Е0 3
в£2 К2
(6)
2а£3 + в£2 г
г( Е0г), г > К2.
В теории эффективной среды рассматриваем двухкомпонентную смесь сферических частиц, которые случайно распределены в эффективной среде. В качестве второй компоненты рассмотрим сферические включения газа. Учтем, что диэлектрическая проницаемость такого композита равна диэлектрической проницаемости эффективной среды. Электрическое поле внутри второй компоненты определим как [7]
Е
Ег
3£
£% + 2£еВ
(7)
Здесь е% - диэлектрическая проницаемость газа или вакуума. Электрическое поле внутри компонент первого типа определи двумя исходными формулами (6) в которых £3=£<^ (из-за того, что обе компоненты распределены в эффективной среде). После подстановки выражений для электрических полей (6) и (7) в уравнение (1) и их интегрирования найдем итоговое уравнения для нахождения эффективной диэлектрической проницаемости [5,6,8]
ра
£2 (3£1 + (а - 1)(£1 + 2£2 )) - £еК (3£2 + (а - 1)(£1 + 2£2)) + (1 - ра) 2£е« ((а - 1)£1 + 2(а + 1)£2 ) + £2 ((а + 2)£1 + 2(а - 1)£2 )
= 0,
(8)
где а = Б3ё 3, ё и Б - диаметры ядра и наночастицы, е1 - диэлектрическая проницаемость ядра, е2 -диэлектрическая проницаемость оболочки, ^ - диэлектрическая проницаемость композитной среды, р-объемная доля металла, £ё - диэлектрическая проницаемость среды-хозяина. После подстановки £1 = £1 + 1£2 и £2 = £2 + \£"2 в (8), последнее сводится к алгебраическому каноническому уравнению с комплексными коэффициентами Л1 = а^ + :
£
г=К
г=К
г=К
г=К
2
3
г
3
3
г
г
а0 — 2ба£2 £1 -2^о^2 £1 +£ва£1 £2 -ейае1 £2 +2^оа(^2) -2^оа(^2 ) -2^о(^2) +2^о(^2 )
■ //ч2 ^__/ч2 , £ * /„ /Л2 Л_2^„ Л2 Л„2,„ //\2 , /\2 ~ /„ / л„ //„ // ,
а1 — -2а(£2) -2(£2 ) -6ра(£2) +6ра(£2 ) +6/ра (£2) -6ра (£2 ) +2(£2) -2£2 £1 +2^2 £1 +3ра £2 £1 -
3ра2£2//£1//+6ра£2/£1/-6ра£2//£1//-а£1/£2/+а£1/£2//+2£8а£1/+4£8а£2/+2а(£2//)2-ра2£8£2/£1/+ра2£8£2//£1//-2ра2£8(£2/)2+2ра2£8(£2//)2-ра£8(£2/)2+ра£8(£2//)2+ра£8£2/£1/-ра£8£2//£1//-2£8£1/+2£8£2 -2ра2£8£1/-4ра2£8£2/+2ра£8£1/-
2pа£g£2;
а2 — 2£1/-2£2/-2ра(£2/)2+2ра(£2//)2-4ра2(£2/)2+4р а2(£2//)2+2ра2£1/+4р а2£2/-2ра£1/+2ра£2/-2а£1/-4а£2/-
2ра2£2 £1/+2ра2£2 £1//+2ра£2/£1/-2ра£2 /£1//;
Ь0 — 88а£1 £2 -4£8£2 £2 +2£8£1 £2 +2£8£2 £1 +4£8а £2 £2 +£8а£1 £2 ; (9)
Ь — 4£2 £2 -2£1 £2 -2£2 £1 -2£8£1 +2£8£2 +ра£8£2 £1 +ра£8£2 £1 -ра £8£2 £1 -ра £8£2 £1 -а£1 £2 -а£1 £2 -4а£2 £2 -4ра2£8£2/£2//-2ра£8£2/£2//+2£8а£1//+4£8а£2//-2ра2£8£1//+2ра£8£1//-4ра2£8£2//-2ра£8£2//+3ра2£2/£1//+3ра2£2//£1/-
12ра£2/£2//+6ра£2£1//+12ра £2//£2/+6ра£2//£1;
Ь2 — -2а£1//-4а£2//+2£1//-2£2//-4ра£2/£2//-2ра2£2/£1//-2р а2£2//£1/-8]э а2£2/£2//+2ра2£1//-2ра£1//+4ра2£2//+2ра£2//+2ра£2/£1/+2ра£2//£1/.
Диэлектрическую проницаемость металлического ядра запишем как [6]
1 4пг . 4па ,1ПЧ
£1 = 1-------------------------------------------------------------------------2-2-+ J-2-2-, ( )
1 у(аг / у +1) Щй)1 / у +1)
где о - статическая проводимость, у - частота электронных колебаний. В случае, если ядро из полупроводникового материала, диэлектрическая проницаемость есть [9]
^2 т2 , Nq2 т
£1 = £-------------------—, £1 =------------------------2 2 • (11)
т*£0 (1 + ю т ) т*£0й(1 + й т )
где £ь* - диэлектрическая проницаемость «решётки», т - время релаксации импульса, N - концентрация носителей заряда, т* - эффективная масса. Подставляя (10) или (11) в соотношения (9), находим эффективную диэлектрическую проницаемость среды.
Для исследования процессов управления взаимодействием электромагнитного излучения с гетерогенными системами, содержащими микронеоднородные слои с наноразмерными толщинами и размерами неоднородностей, меньше дины волны излучения необходимо исследовать зависимость коэффициента отражения от объемной доли проводящей фазы для композитной среды, представляющей собой диэлектрическую матрицу с соге-зИеП включениями. Связь между компонентами эффективной диэлектрической проницаемости композитной среды с соге-зИеП нанообъектами и показателями преломления п и поглощения к запишем как [9]:
/ 2,2 £ — п - к ,
£// — 2пк, ____________ (12)
п — Уг[£ + ■]( £'2 +£ 2 ) ],
(13)
к2 — Чг[-£ + д/(£'2 +£'2) ].
Из условий непрерывности тангенциальных составляющих напряжённостей на границе раздела сред следуют известные выражения для амплитудного коэффициента отражения
при нормальном падении г*:
- Ж • *-/ • - V
7 - 7 *
г* = геф = 71 7 2 = " 2 ^ , (14)
71 + 7 *2 п *2 +п1
в которых индексами 2 и 1 помечены параметры сред, Z - волновое сопротивление, г и ф -модуль и фаза коэффициента отражения. Коэффициент отражения по мощности - К = 1г12 и фаза коэффициента отражения через показатели преломления и поглощения в соответствии с
(14) записываются следующим образом:
(п2 -п,)2 + к2 , 2п1к2
К = —------ 2 ,2,ф = ат&—-------^-у. (15)
(п2 + п1 ) 2 + к 2 п12 - п22 - к22
Таким образом, предложенный подход позволяет осуществлять математическое моделирование структур и процессов взаимодействия электромагнитного излучения с соге-зИеП нанообъектами,
что особенно актуально как с позиций создания методов и средств анализа и контроля сред, содержащих core-shell нанообъекты, так и выяснения возможностей получения сред с управляемыми электродинамическими свойствами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Суздалев И.П. Многофункциональные наноматериалы / И.П. Суздалев // Успехи химии. 2009. № 78 (3). С. 266-301.
2. Третьяков Ю.Д. Основные направления фундаментальных и ориентированных исследований в области наноматериалов / Ю.Д. Третьяков, Е.А. Гудилин // Успехи химии. 2009. № 78 (9). С. 867-887.
3. Магнитные наночастицы: методы получения, строение и свойства / С.П. Губин, Ю.А. Кокшаров, Г.Б. Хомутов, Г.Ю. Юрков // Успехи химии. 2004. № 74 (6). С. 539-574.
4. Обобщенная формула для расчета электромагнитных констант среды со сферическими включениями / А.М. Тимошенко, В.И. Пономаренко // Радиотехника и электроника. 1996. Т. 41(4).
C. 412-415.
5. Виноградов А.П. Электродинамика композитных материалов / А.П. Виноградов; под ред. Б.З. Каценеленбаума. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 208 с.
6. Heating of metallic powders by microwaves: experiment and theory / V.D. Buchelnikov,
D.V. Louzguine-Luzgin, G. Xie, S. Li, N. Yoshikawa, M. Sato, A.P. Anzulevich, I.V. Bychkov, A. Inoue // Applied Physics. 2008. 104. P. 113505-1-113505-10.
7. Electrodynamics of continuous media, 2nd edition: Vol. 8 (Course of theoretical physics) by L.D. Landau, L.P. Pitaevskii, E.M. Lifshitz, Butterworth-Heinemann, 1984. 460 p.
8. Электродинамические свойства неупорядоченных сред / Д.И. Биленко, Ю.Н. Галишникова,
E.И. Хасина и др. // Физика полупроводников и полупроводниковая электроника. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1986. С. 32-51.
9. Биленко Д.И. Комплексная диэлектрическая проницаемость. Плазменный резонанс свободных носителей заряда в полупроводниках / Д.И. Биленко. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. 44 с.
Романчук Сергей Петрович -
аспирант кафедры «Техническая физика и информационные технологии» Энгельсского технологического института (филиала) Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Sergey P. Romanchuk -
Postgraduate
Department of Technical Physics and Information Technologies Engels Institute of Technology -Branch of Gagarin Saratov State Technical University
Терин Денис Владимирович -
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Техническая физика и информационные технологии» Энгельсского технологического института (филиала) Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Denis V. Terin -
PhD, Associate Professor
Department of Technical Physics and Information Technologies Engels Institute of Technology -Branch of Gagarin Saratov State Technical University
Клинаев Юрий Васильевич -
доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Техническая физика и информационные технологии» Энгельсского технологического института (филиала) Саратовского государственноготехнического университета имени Гагарина Ю.А.
Yuriy V. Klinayev -
Dr. Sc., Professor
Department of Technical Physics
and Information Technology Engels Institute
of Technology - Branch of Gagarin Saratov State
Technical University
Кац Альберт Маркович -
доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Техническая физика и информационные технологии» Энгельсского технологического института (филиала) Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Albert M. Katz -
Dr. Sc., Professor
Department of Technical Physics
and Information Technology Engels Institute
of Technology - Branch of Gagarin Saratov State
Technical University
Статья поступила в редакцию 05.10.11, принята к опубликованию 01.12.11
