CC BY
20
УДК 544.032. 52, 51-71
С.П. Романчук, Ю.В. Клинаев, Д.В. Терин, С.А. Корчагин
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СВОЙСТВ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
Проведено компьютерное моделирование многокомпонентных гетерогенных сред. Исследованы частотные зависимости диэлектрической проницаемости матричных композитов с неоднородными включениями в форме сфер и цилиндров. Расчеты проведены при помощи разработанного программного комплекса.
Гетерогенные среды, композитные материалы, математическое моделирование S.P. Romanchuk, Yu.V. Klinaev, D.V. Terin, S.A. Korchagin
MATHEMATICAL MODELING AND MULTICRITERION ANALYSIS
OF THE NONLINEAR PROPERTIES OF THE HETEROGENEOUS MEDIA
The modeling of nonlinear properties of multicomponent heterogeneous mediums. Investigated the frequency dependence of the dielectric constant of the matrix composites with heterogeneous inclusions in the form of spheres and cylinders. The calculations were performed using the developed software.
Heterogeneous mediums, composite materials, mathematical modeling
Введение. Развитие физики наноструктур позволило проектировать новые функциональные композитные материалы с заданными физико-химическими свойствами. Особенностью сред с включениями наночастиц является возможность создания композитного материала, характеристики которого кардинально отличаются от компонент в него входящих. В связи с этим математическое моделирование и анализ свойств гетерогенных сред приобретают особую актуальность.
Модели многокомпонентных гетерогенных сред. В данной работе проведено исследование взаимодействия внешнего электромагнитного поля с гетерогенными многокомпонентными средами различной конфигурации (рис. 1). Первый тип композита (рис. 1 а) представлен смесью проводящих сфер и проводящих цилиндров в диэлектрической матрице, второй тип (рис. 1 б) - смесью неоднородных сфер (сферическая частица в оболочке) и проводящих цилиндров в диэлектрической матрице, третий (рис. 1 в) - проводящие сферы и неоднородные цилиндры (цилиндр в оболочке) в диэлектрике и четвертый тип композита (рис. 1 г) - неоднородные сферы и неоднородные цилиндры в диэлектрической матрице.
Все рассматриваемые модели относятся к так называемым матричным структурам, т.е. среда представлена непрерывной матрицей, в которой взвешены (хаотически или ориентированно) включения в отличие от статистических смесей, где все компоненты являются равноправными. Для определения эффективных параметров композита на основе известных параметров (геометрическая форма, концентрация, ориентация в пространстве) компонент зачастую используют приближение Максвелла - Гарнетта [1] и теорию эффективной среды Бруггемана [2]. В ряде случаев прибегают к использованию модификаций, например формула Максвелла - Гарнетта - Силларса [3] или применяют формулы других авторов (Лоренц - Лорентца - Клаузиаса - Моссоти, Лих-тенекера, Винера, Вагнера, Рэлея, Ландау, Бетхера и др. [4, 5]). Для указанных моделей ограничением для применения служит размер включений, который должен быть много меньше длины волны внешнего электромагнитного излучения. Применение
формулы Максвелла - Гарнетта (1) ограничено рассмотрением сред матричного вида, для которых концентрация включений не более 1/3 всего объема композита, т.к. в ином случае теряется смысл непрерывной среды, окружающей частицу. В случае статистической смеси (концентрация от 1/3 до 2/3 объема) применяют теорию эффективной среды Бруггемана и её модификации.
Для определения эффективных параметров среды необходимо связать электрическую индукцию (П), усредненную по объёму V, и величину напряженности внешнего электрического поля Е0 [5]:
Рис. 1. Модели гетерогенных многокомпонентных сред
П =11 П(г) йг =11 е(г) Е(г).
V
V;
(1)
V г V
Здесь П(г), Е(г) и е(г) локальные значения электрической индукции, напряженности электрического поля и диэлектрической проницаемости. Данная связь и определяет эффективную диэлектрическую проницаемость гетерогенной среды: (П) = ее-д-Е0. Локальное поле Е(г) зависит от формы частиц и их взаимодействия между собой.
Модель Максвелла - Гарнетта для матричной среды с включениями в форме сфер выражается
£ еЛ е 2 е Л + 2е 2
, ^ 2 е1 + 2е 2
(2)
где е^ - эффективная диэлектрическая проницаемость нанокомпозита, е1 - диэлектрическая проницаемость матрицы, е2 - диэлектрическая проницаемость частиц включений, V - объемная доля включений.
Для композитов, состоящих из цилиндров, окруженных непрерывной матрицей, можно использовать обобщенную модель Максвелла - Гарнетта с учетом фактора деполяризации [6]:
- = V
(3)
А,2(е еЛ е 2 ) + е 2 е 2 + А,2(е1 е 2)
где Ь1,2 - фактор деполяризации для поля направленного вдоль оси вращения и перпендикулярно оси вращения.
Если в качестве матрицы используется диэлектрик с проводящими включениями, возникает необходимость сначала провести расчет частотной зависимости диэлектрической проницаемости для смеси с сферами используя модель (2).
Полученный результат является набором входных данных для модели (3) в качестве числовых значений диэлектрической проницаемости матрицы. Для частиц в оболочке применяется аналогичный подход.
Таким образом, для включений с любым количеством слоёв, можно использовать формулу (2) [7].
Для проведения компьютерного моделирования и анализа свойств многокомпонентных сред разработан проблемно-ориентированный программный комплекс «Математическое моделирование и многокритериальный анализ нелинейных свойств композиционных материалов на основе эффективной среды» [8].
е
е
2
В ходе создания комплекса разработаны программные модели Максвелла - Гарнетта, Бругге-мана, Лоренц - Лорентца, Лихтенекера, Рэлея и другие. Также разработан функционал для конфигурирования гетерогенных сред различной морфологии, что позволяет провести численные расчеты для рассматриваемых в данной работе композитов. Значения диэлектрической проницаемости веществ загружены в базу данных программного комплекса из источника [9].
На рис. 2 изображены графики зависимости эффективной диэлектрической проницаемости, реальной и мнимой части соответственно, матричной гетерогенной среды с включениями в форме сфер и цилиндров, матрица - 81, включения - А1, объемная доля включений составляет десятую часть композита, радиусы сфер и цилиндров - 10 нм. На изображениях присутствует явное различие зависимости диэлектрической проницаемости композита при хаотическом и ориентированном расположении цилиндров относительно вектора внешнего поля.
Графики на рис. 3 также указывают на зависимость диэлектрической проницаемости от ориентации цилиндров, матрица с включениями в форме сфер, покрытыми оболочкой, и цилиндров, матрица - 81, включения - А1, оболочка - 8102, объемная доля включений составляет десятую часть композита, радиусы сфер и цилиндров 10 нм, ширина оболочки 3 нм.
£' 3
- — - — -- — - -
1 — — ^
-1
/ — -2
1 — -3
Е"3
---">
— -3
М
V
__ —
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 }.(пт) 1(11 т)
Рис. 2. Влияние ориентации цилиндров в матрице на диэлектрическую проницаемость среды, сферы и цилиндры без оболочек: 1 - хаотическое расположение; 2 - ориентированы вдоль вектора поля; 3 - ориентированы нормально вектору поля
.....|
- —- - __—
- 1
- - - - --3 -1-1-
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
).(11Ш)
-1
— -3
о
г --- ------ - ~ ~
- -1-1- -
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Хщга)
Рис. 3. Влияние ориентации цилиндров в матрице на диэлектрическую проницаемость среды, сферы, покрытые оболочками, и цилиндры: 1 - хаотическое расположение; 2 - ориентированы вдоль вектора поля; 3 - ориентированы нормально вектору поля
---2
-- -3
-- - -
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1(пт)
Рис. 4. Влияние ориентации цилиндров в матрице на диэлектрическую проницаемость среды, цилиндры, покрытые оболочками, и сферы: 1 - хаотическое расположение; 2 - ориентированы вдоль вектора поля; 3 - ориентированы нормально вектору поля
Рис. 5. Влияние ориентации цилиндров в матрице на диэлектрическую проницаемость
среды, сферы и цилиндр, покрытые оболочками: 1 - хаотическое расположение; 2 - ориентированы вдоль вектора поля; 3 - ориентированы нормально вектору поля
Модель композита с частицами сферической формы и цилиндров, покрытых оболочками (цилиндры покрыты оболочкой (рис. 4), цилиндры и сферы покрыты оболочками (рис. 5) демонстрирует практически полное отсутствие влияния ориентации частиц в матрице на эффективные характеристики, матрица - 81, включения - А1, оболочка - 8Ю2, объемная доля включений составляет десятую часть композита, радиусы сфер и цилиндров -10 нм, ширина оболочки сферы - 3 нм, цилиндра- 1 нм.
Заключение. В данной работе получены частотные зависимости комплексной диэлектрической проницаемости гетерогенных многокомпонентных сред, состоящих из матрицы и включений в форме сфер и цилиндров, покрытых оболочкой. Показано, что изменение морфологической конфигурации гетерогенной среды значительно влияет на эффективные характеристики. Все расчеты проведены с использованием разработанного авторами программного комплекса «Математическое моделирование и многокритериальный анализ нелинейных свойств композиционных материалов на основе эффективной среды».
ЛИТЕРАТУРА
1. Maxwell-Garnett J.С. Philos. Trans. R. Soc. London 203 385 (1904).
2. Bruggeman D A G Ann. Phys. (Leipzig) 24 636 (1935).
3. Fannin P.C., Marin C.N., Malaescu I., Stefu N. // J. Physics: Condensed Matter. 2007. Vol. 19. № 3. P. 036 104.
4. Челидзе Т.Л., Деревянко А.И., Кириленко О.Д. Электрическая спектроскопия гетерогенных систем. Киев: Наукова думка, 1977. 230 с.
5. Виноградов А.П., Дорофеенко А.В., Зухди С. К вопросу об эффективных параметрах ме-таматериалов // Успехи физических наук. 2008. Т. 178. № 5. С. 511-518.
6. Головань Л.А., Тимошенко В.Ю., Кашкаров П.К. Оптические свойства нанокомпозитов на основе пористых систем // Успехи физических наук. 2007. Т. 177 № 6. С. 619-638.
7. Высокочастотный нагрев в электрическом поле / А.В. Нетушил и др. М.: Высш. шк.,
1961.
8. Программный комплекс «Математическое моделирование и многокритериальный анализ нелинейных свойств композиционных материалов на основе моделей эффективной среды»: Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2014615533 РФ / С.П. Роман-чук, Д.В. Терин; заявитель и патентообладатель Романчук Сергей Петрович, Терин Денис Владимирович. № 2014612918/69; заявл. 02.04.2014; зарегистр. 28.05.2014. [1] с.
9. Palik E.D. Handbook of Optical Constants of Solids. Academic, San Diego, CA 1985.
Романчук Сергей Петрович -
ассистент кафедры «Техническая физика и информационные технологии» Энгельсского технологического института (филиала) Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Клинаев Юрий Васильевич -
доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Техническая физика и информационные технологии» Энгельсского технологического института (филиала) Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Sergey P. Romanchuk -
Assistant
Department of Technical Physics and Information Technologies Engels Institute of Technology -Branch of Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Yuri V. Klinaev -
Dr. Sc., Professor
Department of Technical Physics and Information Technologies Engels Institute of Technology -Branch of Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Терин Денис Владимирович -
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Техническая физика и информационные технологии» Энгельсского технологического института (филиала) Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Корчагин Сергей Алексеевич -
аспирант кафедры «Техническая физика и информационные технологии» Энгельсского технологического института (филиала) Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Denis V. Terin -
Ph.D., Associate Professor Department of Technical Physics and Information Technologies Engels Institute of Technology -Branch of Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Sergey A. Korchagin -
Postgraduate
Department of Technical Physics and Information Technologies, Engels Institute of Technology -Branch of Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Статья поступила в редакцию 12.08.15, принята к опубликованию 10.11.15
