CC BY
23
УДК 544.032.52, 51-72
С.А. Корчагин, Ю.В. Клинаев, Д.В. Терин, С.П. Романчук
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ С МОДЕЛЯМИ ФРАКТАЛЬНЫХ НАНОКОМПОЗИТНЫХ СТРУКТУР
Рассмотрены композитные среды слоистой структуры различных модификаций. На основе теории эффективной среды разработаны математические модели композита сложной структуры, позволяющие определять его электродинамические свойства. Проведено компьютерное моделирование неоднородных дисперсных систем периодической слоистой структуры. Изучены частотные зависимости диэлектрической проницаемости композитных сред, состоящих из периодически чередующихся слоев с различной толщиной и свойствами.
Вычислительный эксперимент, математическая модель, гетерогенные среды, композиционные материалы, модель эффективной среды
S.A. Korchagin, Yu.V. Klinaev, D.V.Terin, S.P. Romanchuk ELECTRODYNAMIC MODELING OF THE COMPOSITE MEDIUM LAYERED STRUCTURE
A composite medium layered structure of various modifications was examined. Mathematical models of complex composite structures were developed using the effective medium theory. These models allow for defining electrodynamic properties of these composites. Computer modeling of heterogeneous structures containing semiconducting inclusion in the insulating medium was conducted. The frequency dependence of the dielectric permittivity in the layered systems consisting of periodically alternating layers with various thickness and properties was studied.
Computing experiment, mathematical model, heterogeneous mediums, composite materials, the effective medium model
Введение
Неуклонное возрастание роли новых поколений композиционных функциональных материалов в жизни современного общества обусловлено тем, что композиты обладают широким спектром физических и химических свойств, позволяющих применять их в самых разнообразных сферах человеческой деятельности. Композитные среды демонстрируют большое многообразие структур неоднородных типов дисперсных систем. Высокий интерес представляют периодические слоистые структуры, обладающие рядом принципиально новых, по сравнению с однородными материалами, свойств [1].
Исследования сложных структур гетерогенных материалов, как правило, сопровождаются попытками построения моделей этих объектов. Изучение особенностей внешнего частотного взаимодействия с электродинамическими параметрами материала имеет важнейшее фундаментальное и
33
прикладное значение. Разработка математических моделей, структура параметров которых соответствует исследуемым объектам в физическом смысле, открывает широкий спектр возможностей для развития технологий новых материалов [2, 3].
Анализ динамики таких моделей позволяет прогнозировать эффективные параметры материалов для их последующего синтеза с наперед заданными свойствами.
В настоящее время предложен ряд моделей для слоистых дисперсных систем, позволяющих рассчитывать эффективные электродинамические параметры. Первые модели по исследованию свойств гетерогенных сред получены в [4, 5]. Основная часть современных математических моделей расчета электродинамических материалов неоднородной структуры, состоящих из периодически чередующихся слоев с различной толщиной и свойствами, рассмотрена в [6-8]. Следует отметить значительные достижения исследователей в данной области.
Однако рассмотренные в указанных работах модели не позволяют решать ряд актуальных в теоретическом и практическом аспектах задач по выявлению электродинамических свойств слоистых периодических структур более сложной морфологии, в частности, фрактальной.
Физические предпосылки и допущения к математическому моделированию электродинамических свойств композита
Для расчета диэлектрической проницаемости дисперсной системы рассматривается макроскопическое поле, усредненное по объемам, большим, по сравнению с масштабами неоднородностей. По отношению к такому среднему полю система является однородной и зачастую изотропной средой и поэтому может характеризоваться определенным эффективным значением диэлектрической проницаемости. Набор кластеров, образующих дисперсную систему, рассматривается как некая новая среда, обладающая тем же уровнем поляризации. Таким образом, зная параметры каждого из компонентов композита, их геометрическую форму и концентрацию, можно определить характеристики гетерогенной среды как целого. Преимуществом такого подхода является то, что для анализа распространения электромагнитного поля в композитной среде отсутствует необходимость решать уравнения Максвелла в каждой точке пространства.
Рассмотрим неоднородную структуру, состоящую из периодически чередующихся слоев с различной толщиной и различными свойствами следующих морфологий (рис. 1).
Рис. 1. Композитные слоистые системы различных морфологий
Такая структура композитного материала приводит к образованию поверхностей раздела, отделяющих области с различными электрическими свойствами. При воздействии электрического поля на такие неоднородные вещества свободные ионы, находящиеся в проводящих или полупроводящих
34
слоях, начинают перемещаться в пределах каждого слоя, который приобретает индуцированный ди-польный момент. Неоднородность структуры материала приводит к ограниченному перемещению зарядов, которые, являясь свободными в пределах одной частицы, по отношению ко всему объему образца оказываются связанными. Для электродинамических характеристик таких материалов в рамках теории эффективной среды, как правило, пользуются так называемыми эффективными параметрами, выражающими соотношения между средней напряженностью поля такой среды и средней плотностью тока. Делать выводы о влиянии параметров различных составляющих структур материала можно только в том случае, если известна связь между параметрами составляющих и эффективными параметрами среды.
Рассмотрим простейшие слоистые структуры, приведенные на рис. 1а, б. Математические модели, описывающие такие структуры, приведены в [9].
В случае поля, направленного вдоль слоев:
¿е// = (¿^1 + ¿2^2 )/№ + ¿2), откуда ¿^/у = (£/^1 + ¿2^2)/№ + ¿2) и
= (^Ч + ¿2/^2)/(^1 + ¿2) ,
где ¿1 и ¿2 - толщины слоев.
Для поля, направленного поперек слоев ¿е// = (¿^(^ + ¿2))/^^1 + ¿1^2). После преобразования и выделения действительной и мнимой частей, находим
(е/й1+е/й1)2+(е//й2+е//й2)
¿/ = [е^1(е/2+е//2)+е^2(е/2+е//2)](^1+^2) (1)
е// (е/5,+е/5,)2+(е//5.,+е//5.,)2 ( )
¿// = [е/1/dl(е/2+е//2)+е//d2(е/12+е/1/2)](dl+d2) (2)
е// (е/^+е^^е/Ч+е/^)2 ( ) В случае, для которого £// « ¿/ , (1) и (2) могут быть значительно упрощены и принимают следующий вид:
~ [¿1 ¿2 (¿1 + ¿2)№Ч + ¿(¿2),
£е/// * [(¿l//¿l¿2/2 + + ¿2//¿2¿l/2)( ¿1 + ¿2)]/ (¿2¿1 + ¿/¿2)2. Для более сложных слоистых систем так называемой фрактальной структуры глубиной первого и второго уровня авторами предложены следующие модели:
¿е// = (¿1 + +2¿l¿2¿2 + ¿^/(¿1 + ¿2)2 - (рис. 1в),
¿е// = [(¿1 + ¿2 )2 ¿1 ¿2 ] /[2 ¿1 ¿2 ¿1 + ¿2 ¿1 + ¿1 ¿2] - (рис. 1г),
¿е// = - (рис. 1д),
¿ = е2(^1е1+^2е2) - (рис 1е)
е// ¿1е2 + [Й2(Й1е1+Й2е2)/(Й1+Й2)] ^ ' Л
¿е// = (¿^¿1 + +¿l¿2¿2 + 3¿1¿2¿2 + ¿^^/^ + ¿2)3 - (рис. 1,ж),
¿е// ¿е//
¿е// = (¿1 + ¿2 ) 3 ¿1 ¿2 / (¿3 ¿1 + 3¿1¿2¿l¿2 + ¿М) - (рис. 1з),
¿ = (^1+^2)е2(^2е1+^|е1+^1^2(е1+е2) - (рис ^
¿е// = - (рис. 1К).
На основе приведенных моделей авторами разработан программный комплекс [10], позволяющий прогнозировать электродинамические характеристики композита в зависимости от длины волны внешнего воздействия и количественного соотношения компонент, из которых состоит композит. В качестве исходных данных были взяты табличные значения веществ, рассмотренных в [11]. На рис. 2 приведены графики зависимостей комплексной диэлектрической проницаемости веществ 81, Аи, Си от длины волны внешнего воздействия.
Рис. 2. Зависимость комплексной диэлектрической проницаемости от длины волны для Э1, Аи, Си
На рис. 3-10 показаны результаты компьютерного моделирования композитных сред слоистой структуры различных морфологий. Построены зависимости комплексной диэлектрической проницаемости от длины волны внешнего воздействия для слоистых структур первого и второго уровней фрактальности.
Рис. 3. Зависимость комплексной диэлектрической проницаемости от длины волны простейших слоистых структур (рис. 1а, б) ЭьАи
- \ 2'
^^ с1
1" 2" > ,
°0 200 400 600 800 1000°
X, nm
1 ',1" - поле параллельно слоям; 2', 2" - поле перпендикулярно слоям
Рис. 4. Зависимость комплексной диэлектрической проницаемости от длины волны простейших
слоистых структур (рис. 1а, б) Si-Cu.
1'Д " - поле параллельно слоям (рис.1в); 2',2" - поле нормально слоям (рис. 1г) 3',3" - поле параллельно слоям (рис.1д); 4',4" - поле нормально слоям (рис.1е)
Рис. 5. Зависимость комплексной диэлектрической проницаемости от длины волны слоистых структур
Э1-Аи глубиной фрактальности 1-го уровня
Рис. 6. Зависимость комплексной диэлектрической проницаемости от длины волны слоистых структур Si-Cu глубиной фрактальности 1-ого уровня
7
0
-
1 \ 3' ^^^
/ / 2",
1",3" /
1 -/
200
400 600
Л. 11111
800
1000
1'Д" - поле параллельно слоям (рис.1ж); 2',2" - поле нормально слоям (рис. 1з) 3',3" - поле параллельно слоям (рис.1и); 4',4" - поле нормально слоям (рис.1 к)
Рис. 7. Зависимость комплексной диэлектрической проницаемости от длины волны слоистых структур Э1-Аи глубиной фрактальности 2-го уровня
Рис. 7. Зависимость комплексной диэлектрической проницаемости от длины волны слоистых структур Si-Cu глубиной фрактальности 2-го уровня
Заключение
Получены зависимости действительных и мнимых компонент эффективной диэлектрической проницаемости от длины волны внешнего воздействия на композитные среды слоистой структуры различных типов.
Исследованы зависимости комплексной диэлектрической проницаемости от частоты внешнего воздействия электромагнитного поля для длин волн А,=100... 1000 нм слоистых систем первого и второго уровня фрактальности.
Полученные данные позволяют наблюдать, что с увеличением уровня фрактальности слоистая структура оказывает все меньшее влияние на изменение электродинамических свойств композита.
Исследование приведенных в работе моделей теоретическим и расчетным путем позволяет определить условия проявления различных электродинамических эффектов и установить оптимальные требования к подготовке натурного эксперимента.
ЛИТЕРАТУРА
1. Глущенко А.Г., Головкина М.В. Отражение электромагнитной волны слоистой структурой сверхпроводник-диэлектрик // Письма в ЖТФ. 199S. Т. 24. № 1. С. 9.
2. Huayang Zhu, Kee R. J. A general mathematical model for analyzing the performance of fuel-cell membrane-electrode assemblies // Journal of Power Sources. 2003. Vol. 117. Issues 1-2. P. 61
3. Boeer K.W. Cadmium Sulfi de as a Model for Photoelectric Researches. Wissen. Z. Humboldt-Univ. Math.- Nat. R. Berlin, 195S/1959. Bd. VIII
4. Перспективы применения структур кремний-на-изоляторе в микро-наноэлектронике и микросистемной технике / А. Л. Асеев, В.П. Попов, В.П. Володин, В.Н. Марютин // Нано- и микросистемная техника. М.: Новые технологии, 2002. С. 23.
5. Clerk Maxwell J. A treatise on electricity and magnetism / J. Clerk Maxwell Oxford: Clarendon Press, 1S73. Т. 2.
6. Maxwell-Garnett J. C. // Philos. Trans. R. Soc. London. 1904. P. 203, 3S5.
7. Челидзе Т.Л., Деревянко А.И., Куриленко О.Д. Электрическая спектроскопия гетерогенных систем. Киев: Наукова думка, 1977. С. 48-60.
8. Высокочастотный нагрев диэлектриков и полупроводников / А.В. Нетушил, Б.Я. Жуховиц-кий, В.Н. Кудин, Е.П. Парин. М.:Госэнергоиздат, 1959. С. 99-105
9. Виноградов А.П. Электродинамика композитных материалов / под ред. Б.З. Каценеленбау-ма. М.: Эдиториал УРСС, 2001. С. 151-163.
10. Математическое моделирование и многокритериальный анализ нелинейных свойств композиционных материалов на основе эффективной среды / С.П. Романчук, Д.В. Терин. Свид. о гос. регистрации программ для ЭВМ № 2014612918/69; заявл. 02.04.2014; зарегистр. 28.05.2014. -[1] с.
11. Palik E.D. Handbook of optical constants of solids. Academic Press, San Diego, 1997. P. 999.
Корчагин Сергей Алексеевич -
аспирант кафедры Техническая физика и информационные технологии Энгельсского технологического института (филиала) Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Клинаев Юрий Васильевич -
доктор физико-математических наук, профессор кафедры Техническая физика и информационные технологии Энгельсского технологического института (филиала) Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Sergey A. Korchagin -
Postgraduate
Department of Technical Physics
and Information Technologies,
Engels Institute of Technology, Yuri Gagarin Saratov
State Technical University of Saratov
Yuriy V. Klinaev -
Dr. Sc., Professor Department of Technical Physics and Information Technologies, Engels Institute of Technology, Yuri Gagarin Saratov State Technical University of Saratov
Терин Денис Владимирович -
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры Техническая физика и информационные технологии Энгельсского технологического института (филиала) Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А
Denis V. Terin -
PhD, Associate Professor
Department of Technical Physics and Information Technologies,
Engels Institute of Technology, Yuri Gagarin Saratov State Technical University of Saratov
Романчук Сергей Петрович -
ассистент кафедры Техническая физика и информационные технологии Энгельсского технологического института (филиала) Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А.
Sergey P. Romanchuk -
Associate Department of Technical Physics and Information Technologies, Engels Institute of Technology, Yuri Gagarin Saratov State Technical University of Saratov
Статья поступила в редакцию 12.08.15, принята к опубликованию
