CC BY
21
Романчук С. П.,
ЭТИ (филиал) СГТУ ассистент romanchuk_sergey@bk.ru
Терин Д.В.
ЭТИ (филиал) СГТУ, к.ф.-м.н., доцент
terinden@mail.ru
Математическое моделирование композитных сред
В текущее время интерес к изучению нанокомпозитных сред с каждым годом растет. Это обусловлено тем, что постоянно нарастает потребность в новых материалах с заданными электрофизическими свойствами. Нанокомпозитные среды являются базой для разработки новых материалов, т.к. свойства композита могут кардинально отличаться от свойств его компонент. Экспериментальные данные демонстрируют ранее не известные зависимости физических свойств наноматериалов от геометрической формы и размеров частиц. Одной из проблем проектирования материалов с необходимыми свойствами является отсутствие необходимых программных инструментов. В этой статье рассматривается структура узкоспециализированного программного комплекса, при помощи которого осуществляется возможность проектирования композитных сред и прогнозировать их свойства с наперед заданными свойствами компонент. Для разработки программного комплекса были проанализированы некоторые модели комплексной диэлектрической проницаемости гетерогенных дисперсных систем.
Бинарная система, имеющая слоистую структуру (теория Максвела)
шш
_ £ 2 -
1 -V <-► V -
Рис. 1. Бинарная система В набор математических моделей программного комплекса входит бинарная система, имеющая слоистую структуру (рис. 1). Общая формула:
£1£2 ( Л \
£=~л-Т (1)
£1 +\"(£1-£2 )
где £ - комплексная диэлектрическая проницаемость композита, £1 - комплексная диэлектрическая проницаемость первого элемента, £2 - комплексная диэлектрическая проницаемость второго элемента, V - объемная доля второго компонента.
Разбавленные дисперсные системы сферических частиц (теория Вагнера)
Вагнер предложил теорию поляризации поверхности раздела для дисперсной системы, в которой сферические частицы равномерно распределены в дисперсной среде (система разбавлена). В данной теории рассматривается в среде с комплексной диэлектрической проницаемостью £т некоторая сферическая область Ro, содержащая N маленьких сфер с радиусом Яси комплексной диэлектрической проницаемостью £р (рис. 2].
Рис. 2. Разбавленные дисперсные системы сферических частиц Общая формула:
с_£т'2£т +£р-2У (£т-£р) (2) 2ет +£р +V (£т-£р)
где £ - комплексная диэлектрическая проницаемость композита, £т - комплексная диэлектрическая проницаемость среды, £р - комплексная диэлектрическая проницаемость фазы, V - объемная доля второго компонента.
V N (3)
К
где Rc - радиус частиц, R0 - радиус рассматриваемой области, N - количество частиц на рассматриваемую область. Теория эффективной среды.
Важную роль в физике нанокомпозитных сред играет так называемая модель эффективной среды. Суть этой модели состоит в том, что ансамбль нанокластеров можно рассматривать как некую новую среду с эффективной диэлектрической проницаемостью. Очевидным преимуществом данного подхода является то, что в его рамках для анализа распространения излучения в нанокомпозитной среде нет необходимости решать уравнения Максвелла в каждой точке пространства. Как правило, в
модели эффективной среды для оптических задач пользуются электростатическим приближением, условием которого является малость как размера наночастиц, так и расстояния между ними по сравнению с длиной оптической волны в среде. В противном случае неизбежно встает задача рассеяния на составляющих нанокомпозитную среду частицах и интерференции рассеянных волн. В рамках модели эффективной среды мы можем, зная оптические параметры каждого из компонентов композитной среды, а также их концентрацию и геометрическую форму, определить эффективные параметры всей среды как целого [1].
Общая формула:
е,(3ес+(а-1 )(ес +2^))-е#(3^ +(«-1 )(ес+2е,)) ^
р а =
2 е€ ((а-1 )ес +2 (а+1 )е, )+е, ((а+2 )ес +2 (а-1 )е,) (4)
(1-ра) её У
е, +2е*
где £eff - комплексная диэлектрическая проницаемость композита, £с - комплексная диэлектрическая проницаемость ядра, £р - комплексная диэлектрическая проницаемость оболочки, £р - комплексная диэлектрическая проницаемость газа, р - объемная доля второго фазы, а = D3d"3 , d и D - диаметры ядра и наночастицы.
ес = е'сМе"с, ер=е'рМе''р (5)
После подстановки (5) в (4), мы получаем алгебраическое
каноническое уравнение с комплексными коэффициентами А=а :
а 0=2 е е с'-2е, е,'' ес" +еёаес' е,'-еёаес" е,'' +2е,а(е,' )2-2е,а(е,'' )2-2е, (е,'' )2+2е, (е,'' )2
а, =-2а(е,' )2-2(е,'' )2-бра(е,' )2 +бра(е,'' )2+бра2(е,' )2-ба2 (е,'' )2 +2(е,' )2-2е,' ес' +2е,'' е с" + 3р а2е,' ес' - 3р а2 е,'' ес" +бр ае,' ес'-бр ае,'ес'' -аес' е,' +аес" е,'' +2 еёаес' +4е ае,' +
, с * , с г , с * , с с , с , ё с ё ,
2«(е,'')2-ра2 еёе,' ес' +р а2 её е," ес" - 2Р а2 её(е,' )2+2Ра2«е (е,'')2-рае,(е,')2 +рае,(е,")2 + раеее„'ес' - рае, е,"ес"-2е,е/ +2 е, е,' - 2ра2е,е/- 4р а2 е, е,' +2р ае ёе с' - 2рае,е,' ;
а2 = 2ес'-2е,'-2ра(е,')2 +2ра(е,'')2-4ра2(е,')2+4ра2(е,'')2 +2ра2ес' +4ра2е,'-
--2 - ' ' +2 2
' , е с +2р а ^ с ' ~ Г ^ ^ , ^ с -т ^ ^, ^ с
2р а ес' +2р а е,' -2аес' - 4ае,' - 2ра е,' е с' +2р а е,'' ес'' +2ра е,' ес' - 2ра е,'' ес'';
Ь0 = еёес' е,'' - 4еёе,'' е,' +2еёес" е,' +2её е," ес' +4еёе," е,' +еёес" е,'; ь 1=4е,'' е,'-2ес" е,'- 2е," ес'- 2еёес" +2 еёе2" +раеёе,'ес" +раеёе," ес' - раеёе,' е с" -
р а2 е ё е," ес' -аес'' е,' -аес' е," -4ае," е,' - 4р а2 е ёе,' е,"-2раеёе,' е,'' +2е ёаес'' +4 еёае,'' -
2 I I , <•> г г л 2 , , ~ и ,-> 2 2
2р а еёес" +2рае,ес''-4ра е ёе,'' - 2раеё е,'' +3ра е,' ес'' +3ра е,'' ес' -
12ра е,' е," +бр а е,' ес" +12р а2 е,''е,' +бр а е,''е с';
Ь2 =-2 а ес "-4 а е," +2ес" - 2е,''- 4Р«е,'е,''- 2Р а2 е,' е с"-2Р а е,''е с'-8ра2е,'е," +2ра2ес'' -2р аес'' +4р а2е,'' +2р ае,'' +2ра е,' ес'' +2ра е,''ес'.
В программном комплексе использованы методы решения полиномиальных уравнений с комплексными переменными: модифицированный метод «обруча», Дженкинса - Трауба, Дюран - Кернера, Аберта - Эрлиха.
1—|
1 Построить графики | Парамет ры- е'11) е'12)
0.5 Щ 3 Щ 2 Щ {.......... 1..........
Тройная система ВЦ!) Тройная система в2(!) е"(1) е"12) 5 0 7 Щ 1.......... 1..........
V | е'П] | е"111 | е'[2) | е"(2) |
слоистую структура (теория 5 4.7 3.8 3.5 3.2 2.9 2.6 2.3 ..■•'' 6 2
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 е"(1) 10 20 30 40 50 60 70 8 90 100 е"[1)
Рис.. 3. Основное окно программного комплекса
Программный комплекс позволяет исследовать диэлектрическую проницаемость композитной среды на основе введенных значений свойств компонент материала. Таких, как диэлектрическая проницаемость каждого компонента, объемная доля каждого компонента, форма и размер частиц. Имеется возможность указывать интервал значений свойств среды. Таким образом, при изучении диэлектрической проницаемости бинарной композитной среды имеющую слоистую структуру, система вычисляет в среднем около 1000 полиномиальных уравнений с комплексными переменными.
Детально исследован модифицированный метод «обруча», который позволяет за небольшое количество итераций вычислять корни полиномиальных уравнений п-степени с комплексными переменными. Принцип работы метода опирается на тот факт, что ^г) - аналитическая во всей комплексной плоскости функция, и на принцип максимума модуля аналитической функции.
/(г)=а0+а 12п~1+...+ап, (а(б)
В общих чертах алгоритм выглядит так: для начала фиксируются несколько величин: начальный угол а (0<а<2л;), начальный шаг h (0^<2тс/3), «точность» вычислений Е (Е>0). Далее в комплексной плоскости строится окружность с центром в 0(Ео, R), центр окружности на первом шаге работы алгоритма находится в центре координат, а радиус задается как параметр.
На следующем этапе на обруче фиксируется некоторое количество точек N = 360 / Ь В каждой зафиксированной точке вычисляется значение модуля многочлена таким образом получаем набор значений Fi (1 = 0, N3. Далее находим наименьший индекс s такой, что Fs <= Fi (1 = 0, N3, и если s = 0, то радиус обруча уменьшаем вдвое, иначе центр обруча перемещаем в точку с индексом s, а радиус увеличиваем вдвое. Далее если R < Е, то объявляем цент обруча корнем, иначе продолжаем спуск.
h a
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330
1 78 76 74 82 74 70 72 70 78 88 66 66
5 60 60 64 70 72 62 72 64 62 66 66 60
35 78 66 60 64 78 84 74 76 70 70 60 78
65 66 54 68 56 62 104 64 70 54 70 62 80
95 60 60 82 68 76 62 90 64 64 70 68 54
125 34 34 64 66 74 66 38 38 80 70 70 62
155 34 64 62 72 66 76 42 58 74 62 62 52
185 34 34 34 34 34 34 54 38 36 36 36 58
215 34 34 34 34 34 34 54 38 36 36 36 60
245 34 34 34 34 34 34 54 38 36 36 36 56
275 34 34 34 34 34 34 54 60 36 36 36 56
305 34 34 34 34 34 34 54 60 36 36 36 56
335 34 34 34 34 34 34 54 62 36 36 36 70
360 34 36 36 38 36 36 36 36 36 36 36 34
Рис. 4. Статистика итераций при различных параметрах алгоритма
Таким образом, можно увидеть, что основными параметрами алгоритма является начальный угол а, шаг h и начальный радиус, а также точность вычислений.
Были проведены подсчеты производительности алгоритма при различных начальных значениях 0 < h < 360, 0 < а < 360 (рис. 4). Значениями таблицы является среднее количество итераций алгоритма. Из таблицы видно, что минимальное количество итераций выполняется при значениях: 185 < h < 360 и 0 < а < 150
Литература
1. Buchelnikov V.D. Heating of metallic powders by microwaves: experiment and theory./ V.D.Buchelnikov, D.V.Louzguine-Luzgin, G. Xie, S. Li, N. Yoshikawa, M. Sato, A.P. Anzulevich, I.V. Bychkov, A. Inoue // J. Applied Physics, 2008, 104, P. 113505-1-113505-10.
2. Биленко Д.И. Электродинамические свойства неупорядоченных сред/Д.И.Биленко, Ю.Н. Галишникова, Е.И. Хасина и др. // Физика полупроводников и полупроводниковая электроника. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1986. С.32-51.
3. Биленко Д.И. Комплексная диэлектрическая проницаемость. Плазменный резонанс свободных носителей заряда в полупроводниках. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. 44 с.
4. O. Aberth, Iteration methods for finding all zeros of a polynomial simultaneously. MATHEMATICS OF COMPUTATION, 1973, pp. 339 - 344.
