CC BY
5
УДК 519.816
Н.К. ТИМОФШВА
Мiжнародний науково-навчальний центр шформацшних технологiй та систем НАН та МОН Украши
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРИКЛАДНИХ ЗАДАЧ З ПЕРЕТВОРЕННЯМ ВХ1ДНИХ ДАНИХ ТА П1ДКЛАСИ РОЗВ'ЯЗНИХ ЗАДАЧ В КОМБ1НАТОРН1Й ОПТИМ1ЗАЦ11
Описуеться метод моделювання прикладних задач з використанням теорп комбжторно! onmuMi3awi. 3adaui комбiнаmорноi опmимiзацli - nepe6ipm i в переважнш бiльшосmi е нерозв 'язними. Тому постае проблема зведення нерозв'язних задач цього класу до розв'язних. Розглянуто один споЫб такого зведення з використанням методу моделювання структури вх^дних даних функщями натурального аргументу.
Ключовi слова: комбтаторна опmмiзацiя, вхiднi дат, комбтаторна конф^ращя, розв 'язт задачi, функщя натурального аргументу, комбтаторна функцiя, цыьова функщя.
N.K. TIMOFEEVA
International Scientific Training Cente for Information Technologses and Systems
MATHEMATICAL MODELLING OF THE APPLICATIONS PROBLEMS WITH CONVERSION OF INPUT DATA AND SUBCLASS OF SOLVABLE PROBLEMS IN
COMBINATORIAL OPTIMIZATION
Annotation
The method of modelling of the applications problems is described with the use of theory of combinatorial optimization. To that end on the method of calculation of objective function the type ofproblem (stationary or dynamic), base sets which are given a certain problem, is determined. From input data its type and argument of objective function (combinatorial configuration) is determined. An objective function is also modelling and the amount of variables which it depends from appears. On the last sign the applications problems are divided into subclass the decision of which needs development of hybrid algorithms. The problems of combinatorial optimization are sorting out and there is the insolvable problems in swingeing majority. That is why the problem of comes to the insolvable problems of this class to the solvable problems. In the article one method of such comes is considered with the use of method of modelling of structure of input data by the functions of natural argument. The selection of subclass of the solvable problems after the structure of input data is conducted set of input data by linear, monotonous, periodic functions. It is shown that input data, which are set linear and concave unimodal functions are the problems of Supnick, Kalmancon, Demidenko.
Keywords: the combinatorial optimization, the input data, the combinatorial configuration, the solvable problems, the functions of natural argument, the combinatorial function, the objective function.
Постановка задачь Виб1р ефективних способ1в розв'язання прикладних задач залежить ввд адекватно розроблено! математично! модел1 певно! задача Для моделювання задач цього класу часто використовують цшочислове лшшне програмування. Але так модел не вщображають комбшаторну природу прикладних задач. До того ж задач1 комбшаторно! оптим1заци - переб1рш i в переважнш бшьшосп е нерозв'язними з точки зору !хньо! обчислювально! складность Тому постае проблема зведення нерозв'язних задач цього класу до розв'язних.
Анатз публжацш за темою дослвдження. В переважнш бшьшосп математичш моделi задач комбшаторно! оптимiзацi! будуються з використанням моделi задачi цшочислового лшшного програмування [1]. При цьому деяш автори вважають, що цшьова функщя в них залежить вш багатьох змшних. Але в математичнш лiтературi формальш постановки задач комбшаторно! ошгашзацп розробляються i з урахуванням !хньо! комбiнаторно! природи [2, 3]. В цих постановках цшьова функщя залежить вш однiе! або кшькох змiнних, якими е комбiнаторнi конфцураци рiзних типiв. Також, для деяких клаав задач комбiнаторно! оптимiзацi! (задача про призначення, задача розмiщення, задача комiвояжера) описано пщкласи розв'язних задач, та способи зведення нерозв'язних задач цього класу до розв'язних [3-6]. Розв'язними називають задач^ для яких вщомий спосiб аналiтичного знаходження глобального розв'язку.
Пщхщ, що пропонуеться. Нижче описано метод моделювання прикладних задач з використанням теорп комбшаторно! оптимiзацi!. Цей шдхвд дае змогу виявити комбiнаторну природу цих задач, установити тип аргумента щльово! функцп, яким е комбшаторш конфiгурацi! рiзних типiв. Запропонований метод моделювання вхвдних даних дозволяе видшяти iз нерозв'язних класiв пiдкласи розв'язних задач комбшаторно! ошгашзацп. Показано, що задачi комiвояжера, вхiднi данi в яких моделюються лiнiйними та вгнутими унiмодальними функцiями е задачами Супшка, Кальмансона, Демиденка [7, 8].
Моделювання прикладних задач з використанням теори комбшаторноТ оптимiзацil.
Наведемо загальну постановку задачi комбiнаторно! оптимiзацi! i сформулюемо !! як у po6oTi [3]. Задачi
цього класу, як правило, задаються одшею або шлькома множинами, наприклад А i В, елементи яких мають будь-яку природу. Назвемо щ множини базовими. Наявнi два типи задач. В першому тит кожну з цих множин подамо у виглядi графа, вершинами якого е и елементи, а кожному ребру поставлено у ввдповвдшсть число с^ е Я, яке називають вагою ребра (Я - множина дiйсних чисел); I е {1,...,п}, ^ е {1,..., п}, п - шльшсть елеменпв множини А, п - к1льк1сть елементiв множини В . Покладемо, що п = п . Мiж елементами цих множин юнують зв'язки, числове значения яких назвемо вагами. Величины с^ назвемо вхiдними даними i задамо !х матрицями. В другому тит задач мiж елементами задано! множини зв'язшв не iснуе, а вагами е числа V^ е Я, ] е {1,...,п}, яким у вiдповiднiсть поставлено
деяк1 властивосп цих елементiв, числовi значення яких задаються сшнченними посл1довностями, що також е вх1дними даними. Цi величини визначають значення щльово! функци.
Для обох титв задач iз елеменпв одте! або к1лькох iз заданих множин, наприклад а1 е А, I е {1,...,п} , утворюеться комбшаторна множина Ж - сукупшсть комбiнаторних конфiгурацiй певного
типу (перестановки, вибiрки рiзних типiв, розбиття тощо). На елементах и комбшаторно! множини Ж
*
вводиться цшьова функ^ Е(и). Необх1дно знайти елемент и множини Ж , для якого F(и) набувае екстремального значення при виконаннi заданих обмежень.
За способом обчислення щльово! функцп видiлимо задачi, в яких для певного варiанту розв'язку И значення обчислюеться одночасно. Так1 задачi назвемо статичними. Задачi, в яких в процеа !хнього розв'язання генеруеться поточна шформащя, за якою ощнюеться результат, а пошук оптимального розв'язку проводиться поетапно з обчисленням часткових сум щльово! функци, назвемо динамiчними. Для моделювання прикладних задач в рамках теорп комбшаторно! оптиодзацц необхвдно:
а) за способом обчислення щльово! функцп визначити вид задачi (стащонарна або динамiчна);
б) визначити базовi множини, якими задаеться певна задача;
в) за вхвдними даними визначити !! тип;
г) визначити аргумент щльово! функцп (комбшаторну конфiгурацiю) та шльшсть змшних, вiд яких вона залежить;
д) змоделювати цiльову функцш.
Уточнимо так1 поняття як критерiй та цiльова функщя.
Критерш - ознаки або властивосп, як1 характеризують певний об'ект або зв'язки м1ж об'ектами i е вхвдними даними.
Цшьова функщя - вираз, який формулюеться на основi заданих критерi!в з урахуванням особливостей задач^ за яким обчислюеться i оцiнюеться результат !! розв'язку.
Як правило, цвдьову функцiю ототожнюють з критерiями, а за !! аргумент приймають вхiднi данi. Але для одних i тих же критерпв цiльову функцш можна змоделювати по^зному, тобто оцiнка проводиться за рiзними виразами i одержуеться рiзний результат. I! аргументом е комбiнаторнi конф^рацп рiзних типiв (перестановки, сполучення, розбиття п -елементно! множини на пвдмножини тощо). До того ж вона може залежати як ввд одте! змiнно! так i вiд багатьох. За щею ознакою задачi комбшаторно! оптимiзацi! роздiляються на пiдзадачi. В цьому випадку для !хнього розв'язання необхвдно розробляти гiбриднi алгоритми.
Зведення нерозв'язних задач комбшаторноТ оптим1защТ до розв'язних за структурою вхщних даних. Задачi комбiнаторно! оптимiзацi! - перебiрнi i в переважнiй бiльшостi е нерозв'язними. Тому постае проблема зведення нерозв'язних задач цього класу до розв'язних. Розглянемо один споаб такого зведення з використанням методу моделювання структури вхвдних даних функщями натурального аргументу [3].
Для видшення пвдклаав розв'язних задач змоделюемо вхiднi дан задачi комбiнаторно! оптимiзацi! першого типу сшнченними послвдовностями. Подамо елементи к навдагоналей
симетрично! комбiнаторно! матрицi ) комбiнаторною функцiею
Р ( I ( ] ), и' )!Г = ( Р1( I (1), и' ),.., Рот ( I ( т), и' )), а елементи к надаагоналей симетрично!
п (п —1)
матриц С - функцiею натурального аргументу ф(]) 1 = (ф(1),...,ф(т)), де т = ■
2
шльшсть елеменпв к наддiагоналей матриць С i ), к = 1, п — 1. Верхнш шдекс ' (' е{1,...,д}) в и1 - порядковий номер и1 в Ж, д - !хня шльшсть. Якщо матрицi ) i С - несиметричнi, то
ß С f С j ), w1 )|m i Ф С j )|m м1стять yci ïxнi елементи, a m=n (a6o m = nn ). Функц1я ц1л1 F С^1 )
m
набуде вигляду F С w1 ) = £ ß j f С j), w1 ) ф С j ).
j =1
Знаючи пpaвилa yтвopення вapiaнтiв poзв'язкy зaдaчi, для pегyляpнoï стpyктypи вxiдниx дaниx (poзглянyтo функцд нaтypaльнoгo apгyментy, як1 зм1нюються як л1н1йн1, мoнoтoннi, пеpioдичнi з piзними дoвжинaми пеpioдiв тoщo), для задач1 кoмiвoяжеpa, задач1 poзмiщення, задач1 пpo пpизнaчення, клaстеpизaцiï, знaйденo глoбaльний poзв'язoк i yстaнoвленo зaкoнoмipнiсть зм1ни значень цiльoвoï функцд для певнoгo впopядкyвaння apгyментy [3, 6]. Видiленo п1дкласи poзв'язниx задач, для якж цiльoвa функц1я змiнюeться oднaкoвo. Haпpиклaд, y задач1 кoмiвoяжеpa для функц1й лiнiйниx, мoнoтoнниx, o^Rrax, вгнyтиx на зaдaнoмy впopядкyвaннi пеpестaнoвoк цiльoвa функц1я змiнюeться як кyскoвo-мoнoтoннa.
У лiтеpaтypi oписaнo п1дкласи poзв'язниx задач кoмiвoяжеpa, вxiднi дан1 в як1й зaдaнo мaтpицями Супн1ка, Демиденка, Kaльмaнсoнa, для якиx в1дoмий глoбaльний м1н1мум. Нижче пoкaзaнo, щo ма^иц^ як1 мoделюються л1н1йними та yнiмoдaльними вгнутими функциями, звoдяться дo задач Супшка, Демиденка, Kaльмaнсoнa [3].
Лема 1. Для функци фСj) |m , якoю мoделюeться симетpичнa мaтpиця C = |Ic^f , спpaведливo
-С- +1)
j = ф — 1) — --^у- +1, (1)
де j - нoмеp пoзицiï, в як1й знaxoдиться значення нaтypaльнoгo apгyментy функцп фС j) |m, для якoгo фО) = cst.
Доведення. У дoвiльнiй мaтpицi C poзглянемo лише елементи h навдашналей, h = 1, n — 1. Якщ ypaxoвyються вс1 елементи мaтpицi, то cst мae нoмеp n^ — 1) +t. Вiднiмемo з цьoгo нoмеpa к1льк1сть елеменлв з кoжнoгo pядкa, як1 не вxoдять дo h нaддiaгoнaлей. Ця к1льк1сть дopiвнюe
Л, -(- +1)
У k =-. В pезyльтaтi чoгo i oтpимyeмo фopмyлy (1), щo i дoвoдить лему 1.
k =1 2
Зaпишемo yмoви, якими задаються oгoвopенi вище мaтpицi. Maтpиця Супшка: cst + crl < csr + ctl, csl + ctr > csr + ctl, де 1 < s < t < r < l < n ; ма^иця Kaльмaнсoнa: cst + crl < csr + ctl, csl + ctr < csr + ctl, де 1 < s < t < r < l < n ; ма^иця Демиденка:
cst + crl < csr + cth де 1 < s <t < r <l < n aбо crt + ctt+l + ct+l s — cr t+1 — ctt+l + ct+l t > 0 > 1 < s < t < t +1 < r < n.
Пoклaдемo, щo для jl значення фС jl) = cst, для j2 - вiдпoв1днo фС j'2) = csr, для j'3 значення
фСЫ = csl, для j4 значення фСМ^) = ctr, для j5 значення ФСj5) = ctl, для j6 значення фС^ = crl. Сфopмyлюeмo так1 леми.
Лема 2. Для дoвiльниx значень 1 < s < t < r < l < n спpaведливo
jl < j2 < j5 < j6. (2)
Лема 3. Для дoвiльниx значень 1 < s < t < r < l < n спpaведливo
jl + j4 > j2 + j3 . (3)
Доведення. Викopистoвyючи фopмyлy (1), п1дстaвляeмo вiдпoвiднi значення i oтpимaeмo
. 1Ч -С- +1) 1Ч гСГ +1) . . 1Ч -С- +1) 1Ч ttf +1) ,
n^s — 1) —v J +t + пСг — 1)--v J +1 > n^s — 1) —v J + r + nQ — 1) —+1. П1сля
. Сг — t )Сг +1 +1)
спpoщення мaeмo вlднoшення ЩГ — t) >---. Оскшьки r > t, то це piвнoсильнo
r + t + 1
n >-.
2
Максимальш значення r = n — 1, t = n — 2, для якж oтpимaeмo n > n — 1, щo спpaведливo для дoвiльниx r i t. Це oзнaчae, щo i неpiвнiсть (3) тaкoж спpaведливa, щo i дoвoдить лему 3.
Теорема 1. Якщ фСj)|m - лшшна функц1я з вiд'eмним кутовим кoефiцieнтoм, тo в1дпoв1днa п1дзадача задач1 кoмiвoяжеpa e poзв'язним випaдкoм.
Доведения. Штйну функщю ф(у) | т подамо у виглядi
ФСУ) = к+ Ь , (4)
де к0 - кутовий коефiцieнт прямо!. Вiзьмемо довiльнi значения 1 < £ < ? < г < I < п i для них перевiримо нерiвнiсть, яка справедлива для оговорених розв'язних задач: + сг1 < сг + с11. Вона рiвносильна нерiвностi
фС/1) + фОб ) < фО'2 ) + ФО'5 ) • (5)
Шдставляючи значения (1) i (4) у (5), отримаемо
к0
, 5(5 +1)
n(s -1) —--- +t
2
+ь+к
. 1Ч r (r +1) , n(r -1) - —-- + l
< к0
. s (s + 1) n(s -1) - —-- + r
+ь+к
2
, 1Ч t(t+1) n(t -1) —--- +1
+ ь <
+ Ь.
Пiсля перетворення отримаемо
к
2n - r -1 - 3 2
(r -1 )
< 0.
(6)
Методом постановки можна переконатися, що величина, записана в дужках, не менша за нуль. Тому для справедливосп нерiвностi (6), необхвдно, щоб к0 < 0, що означае спадну послщовшсть
ф( j)\ m.
Перевiримо другу умову для матрицi Кальмансона csi + ctr < csr + cti. Якщо тдставити сюди значения (1), то отримаемо HepibHÎCTb
ь+к
. s (s + 1) n(s -1) - —-- + l
+
\ « t (t +1) t(n -1) —--- + r
к0 + ь >
> к0
. s(s + 1)
n(s -1) - —-- + r
2
+ь+к
, s(s + 1)
n(s -1) - —-- + l
2
+ Ь.
Пiсля перетворень вона стае тотожиiстю. Вiдповiдно, друга умова для матрищ Кальмансона с81 + Сг > с8г + с^ також перетворюеться на тотожшсть.
Отже, лшшна функцiя ф(у) | т перетворюе матрицю ввдстаней в матрицю Кальмансона i Демиденка. Таким чином, дана пiдзадача задачi комiвояжера е розв'язною, що i потрiбно було довести. Теорему 1 доведено.
Вгнутою функцiею на вiдрiзку [с, й] називаеться функщя /(х), для яко! справедливо
/{XL+XL)> 1 f^1) + , де Хь Х2 e[c'd].
Запишемо бiльш загальне визначення для тих же точок з такою нерiвнiстю: f [axj + (1 -a)x2] >af (xj) + (1 -a) f (X2), де 0 < a < 1.
Дискретна функщя з натуральними аргументами 1,2,...,m вгнута, якщо для довшьних трьох
q — p q
значень 1 < p < q < r < m справедливо f (q) >-f (r ) + -—— f (p) .
r-q
r - p
r - p
Теорема 2. Якщо ф(у)|т - вгнута i незростаюча функцiя, то вiдповiдна подзадача задачi комiвояжера е розв'язною.
Доведения. Виберемо дов№ш значення 1 < £ < I < г < I < п i ввдповвдно !м значення
Л, Ь, Ь, М, Н, Зб . ПеPевiPимо неPiвнiсть с5г + сг1 < с*г + сй •
Для цього побудуемо графiк функцп ф(у) |т i зафiксуемо 1! значення ф(у 1), ф(у 2), ф(З 5) i ф(у б). З'еднаемо хордою шнщ функцп i знайдемо ординати точок перетину хорди з абсцисами у та 75 • Запишемо
= ^^ ф(л)+^^ фс/б),
j6- j1
j6- j1
Z2 = ф(л) + фОб). (7)
/ б - Jl j6 - Jl
В силу вгнутост функци справедливо ф(/2) > zi; ф(/5) > Z2; ф(J2) + ф(/5) > zi + Z2 .
Шдставляючи у HepiBHicTb ф( j) + ф(J5) > zi + Z2 значення zi i Z2 , пiсля нескладних
перетворень одержимо
ф(/2 ) + ф(/5 ) >ф(Л) + ф(/б) + i /б + Jl " /2 " /5 ][ф(л)-ф(/б)].
^ J6 - J1 у1
В силу леми 1 вираз у дужках мае додатний знак, тому ф(/2) + ф(/5) >ф(/1) + ф(/б), що
рiвносильно cst + cri < csr + cti. Це означае,що задана фyнкцiя ф(/) | m вщповвдае основнiй yмовi матриц Сyпнiка. Перевiримо другу умову csi + ctr > csr + cti. Безпосередньо можна впевнитися, що
/2 < /3 < /4 < /5 ; /3 + /4 = /2 + /5 . (8)
Розглянемо графiк функци ф(/)| Г на вiдрiзкy [/2, /5] i проведемо хорду, яка з'еднуе 11
ГЛ /2 /5 /б^ /2 /3 /4 /5
вiдповiдно отримаемо
значення ф(/2) i ф(/5). Зробимо пiдстановкy символ1в P = значення типу (7)
z1 = /5-/3 ф(/2) + ^^ ф(/5) , z2 = /5-/4 ф(/2) + ^^ ф(/5) .
/5 - /2 /5 - /2 /5 - /2 /5 - /2
Якщо скласти двi нерiвностi ф((/з) > z1 i ф((/4) > z2, яш випливають iз вгнyтостi функци ф(/) I Г, то отримаемо
/S,- (, о,-
/ + / >/ ^ /3. ] 4 + ф(/5)
/3 + /4 - 2/2 /5 - 72
/ 5 - / 2
У цей вираз тдставимо значення /3 + /4 (нерiвнiсть (8)) i отримаемо
фО'3) + ф(/4) >фО'2) + ф(/5). Це Piвносильно csi + ctr > csr + ctl> тобто задана функцiя ф(;)|Г вщповвдае таблицi вiдстаней, яка е матрицею Супшка. Отже ця тдзадача е розв'язною, що i доводить теорему 2.
Висновок. Описаний метод моделювання прикладних задач з використанням теорп комбiнаторно! ошгашзаци дозволяе визначити вид задачi (стацiонарна або динамiчна), базовi множини, якими задаеться певна задача, аргумент цшьово! функци (комбiнаторнy конф^рацш), формулювати цiльовy функцш та встановлювати к1льк1сть змiнних, ввд яких вона залежить. Видiлення пiдкласiв розв'язних задач дае можливють вивчати структури вхвдних даних, видiляти тi структури, для яких цшьова фyнкцiя змiнюеться однаково i розробляти для них однаковi правила розв'язання. Такий шдхвд зменшуе залежнiсть результату вiд вхвдних даних, що дозволяе розробляти полiномiальнi алгоритми знаходження глобального оптимуму для широкого класу задач комбiнаторно! оптимiзацi!.
Лггература
1. Пападимитриу Х. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность / Х. Пападимитриу, К. Стайглиц. - М. : Мир. - 1985.- 510 с.
2. Сергиенко И.В. Модели и методы решения на ЭВМ комбинаторных задач оптимизации / И. В. Сергиенко, М. Ф. Каспшицкая. - К. : Наук. думка, 1981.- 281 с.
3. Тимофiева Н.К. Теоретико-числовi методи розв'язання задач комбшаторно! оптимiзацi!. Автореф. дис... докт. техн. наук / - 1н-т кибернетики iм. В.М. Глушкова НАН Украни, Кш'в. - 2007. - 32 с.
4. Белов И.С. Альтернированная задача коммивояжера / И. С. Белов // Доп. НАН Украши. - 2004. -№ 8. - С. 15-19.
5. Тимофiева Н. К. Про способи зведення нерозв'язних задач комбшаторно! ошгашзацп до розв'язних / Н. К. Тимофiева // Вюник Вшницького полггехшчного шсти-туту, Вшниця. - 2011 - № 3.-С. 240-244.
6. Тимофеева Н. К. Подклассы разрешимых задач из классов задач комбинаторной оптимизации / Н. К. Тимофеева // Кибернетика и системный анализ.- 2009, № 2 .- С. 97-105.
7. Kalmancon K. Edgeconvex circuits and the traveling salesman problem (1975) Canad. J. Math., Vol. 27, № 5, p.p. 1000-1010.
8. Supnick F. Extreme НашПЮшал lines (1957) Annals of Math., vol. 66, pp. 179-201.
