CC BY
31
УДК 519.816
Н.К. ТИМОФШВА
Мiжнародний науково-навчальний центр шформацшних технологш та систем НАН та МОН Украши
ВЛАСТИВ1СТЬ ПОД1БНОСТ1 В КОМБ1НАТОРИЦ1 ТА КОМБ1НАТОРН1Й
ОПТИМ1ЗАЦП
Описано властивкть подгбностг, яка характерна для генерування комбтаторних множин та задач комб1наторно1 оптимгзацп. Показано, що задач1 подгбт, якщо вони розв 'язуються одним методом або модифкащею одного i того ж алгоритму. Ця властив1сть показана на прикладi статичних та динам1чних задач комбтаторно'1 оптимгзаци.
Ключовi слова: комбтаторна оптимiзацiя, комбтаторна конф^ращя, комбтаторна множина, подiбнiсть задач комбiнаторноï оптим1зацИ] цшьова функщя,
Н.К. ТИМОФЕЕВА
Международный научно-учебный центр информационных технологий и систем НАН и МОН Украины
СВОЙСТВО ПОДОБИЯ В КОМБИНАТОРИКЕ И КОМБИНАТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
Описано свойство подобия, которое характерно для генерирования комбинаторных множеств и задач комбинаторной оптимизации. Показано, что задачи подобны, если они решаются одним методом или модификацией одного и того же алгоритма. Это свойство показано на примере статических и динамических задач комбинаторной оптимизации.
Ключевые слова: комбинаторная оптимизация, комбинаторная конфигурация, комбинаторное множественное число, подобие задач комбинаторной оптимизации, целевая функция
N.K. TIMOFEEVA
International Scientific Training Cente for Information Technologses and Systems
PROPERTY OF SIMILARITY IS IN COMBINATORIC AND COMBINATORIAL OPTIMIZATION
Property of similarity is described, what characteristic for the generation of combinatorial sets and problem of combinatorial optimization. It is shown that problem are similar, if they are solved by one method or modification of the same algorithm. This property is illustrated by the example of static and dynamic combinatorial optimization problems.
Keywords: combinatorial optimization, combinatorial configuration, combinatorial sets, similarity of problems of combinatorial optimization, objective function.
Постановка задачi
В лггератур1 розглядають под1бшсть р1зномаштних ф1зичних явищ, що е узагальненим поняттям геометрично1 под1бносп. В комбшаторнш оптимшцд також мае мюце под1бшсть, яка пов'язана з тим, що для розв'язання задач р1зних клаав використовують ушверсальш методи та алгоритми. Ця властивють в1др1зняеться ввд геометрично1 та описано1 в теорп под1бност1. Для встановлення под1бност1 задач комбшаторно1 оптитзаци необхщно провести 1хнш анал1з з метою виявлення ознак, за якими вони розв'язуються за одшею i пею ж обчислювальною схемою.
Аналiз останшх дослiджень та публiкацiй
В комбшаторищ та комбiнаторнiй оптимiзацiï можна навести багато прикладiв, коли задачi з рiзних класiв розв'язуються за одшею i пею ж обчислювальною схемою, наприклад [1-4]. Ця властивiсть в лiтературi достатньою мiрою не висвгтлена, хоча iснуючi унiверсальнi методи орiентованi на розв'язання рiзноманiтних таких задач. В [5] наведено деяш ознаки, за якими можна встановлювати подiбнiсть задач як в комбiнаторицi, так i в комбшаторнш оптимшцд. За цими ознаками розробляються унiверсальнi алгоритми як для розв'язання задач комбшаторно1 оптимшцд, так i для генерування комбшаторних множин. Тому однiею з проблем в теорп комбшаторно1 оптимiзацiï е виявлення критерiïв подiбностi цих задач з метою узагальнення та використання для 1хнього розв'язання ушверсальних пiдходiв, як1 дають можливiсть знаходити глобальний або наближений до глобального результат.
Формулювання мети досл1дження
Для розв'язання поставлено1 задачi необхвдно видiлити критерiï подiбностi як задач з комбiнаторики, так i задач комбшаторно! оптимiзацiï рiзних класiв. З цiею метою розроблено метод
моделювання прикладних задач в рамках теори комбшаторно! оптишзаци, який показав, що одшею з основних ознак подiбностi е тип аргументу цшьово! функцп та вид задачi (статична або динашчна). Для генерування комбiнаторних конфiгурацiй подiбнiсть визначаеться за способом 1хнього утворення та впорядкування.
Викладення основного матерiалу досл1дження
Загальна математична постановка задачi комбшаторноТ оптимiзащT. Наведемо загальну постановку задачi комбшаторно! ошгашзацп. Задачi цього класу, як правило, задаються одшею або кшькома множинами, наприклад А та В, елементи яких мають будь-яку природу. Назвемо щ множини базовими. Наявнi два типи задач. У першому тит кожну з цих множин подамо у виглядi графа, вершинами якого е !! елементи, а кожному ребру поставлено у вiдповiднiсть число с^ е Я, яке називають вагою ребра (Я -множина дiйсних чисел), I е (1,...,«}, t е {1,..., п} , п - к1льк1сть елеменпв множини А, п - шльшсть елементiв множини В. Покладемо, що п = п . Мiж елементами цих множин юнують зв'язки, числовi значения яких назвемо вагами. Величини сназвемо вхiдними даними та задамо !х матрицями, одна з яких комбшаторна. В другому типi задач м1ж елементами задано! множини зв'язшв не iснуе, а вагами е числа V у е Я , у е {1,...,п}, яким у вiдповiднiсть поставлено деяк1 властивосп цих елементiв, числовi значення
яких задаються сшнченними послiдовностями, що також е вхвдними даними. Цi величини визначають значення щльово! функцп.
Для обох титв задач iз елеменпв одше! або к1лькох iз заданих множин, наприклад а/ е А, I е (1,...,п} , утворюеться комбiнаторна множина Ж - сукупшсть комбiнаторних конф^рацш певного типу (перестановки, вибiрки рiзних типiв, розбиття тощо). На елементах м комбшаторно! множини Ж вводиться цiльова функцiя ¥(м). Необхвдно знайти елемент множини Ж, для якого ¥(м) набувае оптимального значення при виконанш заданих обмежень.
Подамо елементи И навдагоналей симетрично! комбшаторно! матрицi Q(wk) комбiнаторною функцiею Р ( / (у), м>к )|™ = (Р1( / (1), м>к ),..., вт ( / (т), м>к )), а елементи И надаагоналей симетрично! матриц С - функщею натурального аргументу ф(у) |т = (ф(1),..., ф(т)), де
п (п — 1) к -
т =--- - к1льк1сть елементiв И наддiагоналей матриць С та Q(w ), И = 1, п — 1. Якщо матрищ
Q(wk) та С - несиметричш, то Р ( / (у), )|т та ф(у) |т мюгять усi !хнi елементи, а т=п2 (або
т = пп ). Функцш цiлi ¥(мк) запишемо як
т
) = ХР/ (/ (7), мк) ф ( у ). (1).
у=1
Для моделювання прикладних задач в рамках теори комбiнаторно! оптимшци необхвдно: а) за способом обчислення цiльово! функцi! визначити вид задачi (статична або динамiчна); б) визначити базовi множини, якими задаеться певна задача; в) за вхщними даними визначити !! тип; г) визначити аргумент щльово! функцi! (комбшаторну конфiгурацiю); д) змоделювати цiльову функцш.
Властивкть подiбностi, яка виникае при генеруванш комбiнаторних множин. Пiд комбшаторною конфiгурацiею розумiемо будь-яку сукупнiсть елеменпв, яка утворюеться з усiх або з деяких елементiв задано! базово! множини А = {а1,..., ап}. Позначимо !! упорядкованою множиною
= (мк,...,мП), де пе (1,...,п} - к1льк1сть елементiв у , Ж = (мк}1 - множина комбiнаторних
конфкурацш. Верхиiй iндекс к (к е (1,..., 1}) у позначае порядковий номер у Ж , 1 - к1льк1сть
у Ж.
Рекурентним комбшаторним оператором назвемо сукупнiсть правил, за допомогою яких з елеменпв
базово! множини А утворюеться комбшаторна конфнуращя . Рiзноманiтнi типи комбшаторних конфiгурацiй утворюються за допомогою трьох рекурентних комбiнаторних операторiв: вибирання, транспозищя, арифметичний.
Сполучення як з повтореннями так i без повторень утворюються единою операщею - вибиранням. Перестановки утворюються або транспозищею або вибиранням. Розбиття числа утворюються однiею операщею - арифметичною. Розбиття п -елементно! множини на пiдмножини утворюються двома рекурентними комбiнаторними операторами: або арифметичним або траиспозицiею. Розмiщения як з
повторениями так i без повторения утворюються двома операщями: або вибиранням або транспозищею. Бшарш послвдовносп можуть утворюватися двома операщями: арифметичною або операцiею вибирання.
До того ж, кiлькiсть бшарних послiдовностей у !хшй множинi дор!внюе 2п, а к1льк1сть сполучень без
повторення - ввдповвдно 2 — 1.
Таким чином, за способом утворення подiбнi так комбiнаторнi конф!гурацп: бiнарнi послвдовносп та сполучення без повторення; розбиття п -елементно! множини на шдмножини та розбиття натурального числа i перестановки; розмiщения без повторення (з повтореннями) i сполучення без повторень (з повтореннями) та перестановки. Ц множини под!бш за способом генерування, оск1льки вони упорядковуються або одним i тим же алгоритмом або його модифжащею (бiнарнi послвдовносп i сполучення без повторень генеруються модифжащею одного i того ж алгоритму, базова тдмножина розбиття п -елементно! множини на пвдмножини i розбиття натурального числа генеруються одним i тим же алгоритмом). Тобто, оговореш комбшаторш конф!гураци под!бш за способом !хнього утворення та впорядкування.
Подiбнiсть задач комбшаторноТ оптим1защТ, цiльова функцiя в яких визначена на множинi перестановок. До загально! математично! постановки задачi комбшаторно! опташзацп, аргументом щльово! функцп в як1й е перестановка, та яш ввдносяться до статичних, зводяться задачi комiвояжера, про призначення, розмщення одногабаритних об'ектiв у фiксоваиi позицп та ш. Цiльова функщя для них моделюеться однаковим виразом, за яким ощнюеться результат. Завдяки цш властивостi задачi комбшаторно! оптим!зацп, аргументом щльово! функцп в яких е перестановка, на пвдмножиш !зоморфних комбшаторних конфiгурацiй (задача кластеризации) розв'язуються ушверсальними методами, зокрема, методом структурно-алфавiтного пошуку, за однiею i тiею ж схемою [6].
Задача розмщення одногабаритних об 'ектгв. На поверхш з регулярною сггкою посадочних мюць необхвдно розмютити задану множину об'ектiв, яш мають м!ж собою зв'язки, таким чином, щоб сумарна довжина зв'язшв була б мiнiмальною. Значення щльово! функцп в нш зводиться до виразу (1), а И аргумент -перестановка.
Задача про призначення. Задано п посад i п претендента на щ посади. Призначення претендента t на I -у посаду приводить до затрат с^ , (I, t = 1, 2,..., п). Необхвдно розподшити претендента по посадах так, щоб сумарш втрати були б мшмальними. Цiльова функц!я в нш зводиться до виразу (1), а !! аргумент -перестановка.
Задача комгвояжера. Задано п мют, ввдстань м!ж якими вiдома. Координати входу та виходу кожного мiста зб^аються. Необхвдно знайти найкоротший шлях, який проходить через ус! мiста один раз i повертаеться в початковий пункт. Цшьова функщя в цш задач! задаеться виразом (1). Пошук оптимального розв'язку проводиться на множит перестановок.
Наведемо обчислювальну схему пошуку глобального мшмуму для задач! ком!вояжера, задач! про призначення та розмщення одногабаритних модул!в. Глобальний максимум знаходиться аналопчно.
1. Завдання вхвдно! шформацп.
1.1. Якщо необхвдно розв'язати задачу ком!вояжера, то вхвдш дан! задаються симетричною матрицею Q(wk). Уведемо (0,1)-матрицю С . За описаними вище правилами утворюються сшнченш
послвдовносп (функцп в ( / (у), wk ) |Г та ф (у ) |Г). Переход до п. 2. В шшому раз! - перехвд до п. 1.2.
1.2. Якщо необхвдно розв'язати задачу розмщення одногабаритних об'екпв, вхвдш дан! задаються симетричною матрицею Q(wk) та симетричною матрицею С . За описаними вище правилами утворюються
скшченш послвдовносп (функцп в ( / (у), wk )|Г та ф (у ) |Г). Перехвд до п. 2. В шшому раз! - перехвд до п. 1.3.
1.3. Якщо необхвдно розв'язати задачу про призначення, вхвдш дан! задаються двома несиметричними матрицами Q(wk) та матрицею С. За описаними вище правилами утворюються
скшченш послвдовносп (функцп в (I (У), wk )|Г та ф (у ) |Г). Переход до п. 2. В шшому раз! -вважаемо, що вхвдш дан! не задано, переходимо до п. 10.
2. Базову задачу комбшаторно! опташзацп зведемо до упорядковано!, задавши в нш вхвдш дан!
функцями в (I (у), w't )|Г та ф(у)|Г , де в (I (]), w't) <в (I (] +1), wt), ф(у) >ф(у +1). Перейдемо до п. 3.
3. Уведемо множини Р, ^, Р, де Р - множина значень локальних мшмум!в, Р - множина побудованих перестановок, I -му елементу яко! ввдповвдае I -те значення локального мшмуму !з Р, ^ -множина номер!в позицш значень комбшаторно! функцп, для яких знайдено локальний мшмум. Покладемо
к = 1, I = 1. Величина к вказуе на порядковий номер перестановки wk еЖ, що будуеться, а I -
порядковий номер перестановки у множит Р (ввдповвдно значення локального мшмуму у множит ¥ та номера позицш значень комбшаторно! функцп у множинi J). Перехiд до п. 4.
4. За функщею в( I(j), ш1 )|т за розробленими правилами будуемо перестановку мк еЖ. Якщо мк еЖ не змiнила порядок значень у в( I(j), )|т , у множину ¥ заносимо знайдену за
виразом (1) величину ¥(мк), а в Р - ввдповвдно Р[ = мк , переходимо до п. 6. В шшому разi покладаемо
* к к* к ¥ = ¥(м ), м = м . Перехвд до п. 5.
5. Знайдемо поточний локальний мiнiмум. Покладаемо j = 1, j = 1, 5 = 1, js = j, р = 0. Величина j - номер позици значення в( I(j), ) , з яко! продовжуеться побудова перестановки, js -номер позици значення комбшаторно! функцп, з яко! починаеться будуватися чергова перестановка, j -номер позици значення комбшаторно! функцп, для яко! знаходиться локальний мшмум, р - коефщент, який визначае перехвд до пошуку чергового локального мшмуму. Переходимо до п. 6.
6. Покладаемо к = к +1. Побудова чергово! перестановки проводиться за значениями
комбшаторно! функцп, починаючи з в ( I (]г), ) за правилами, описаними нижче у п. п. 6.1-6.3. Якщо
I = 1, то jr = , в шшому разi ]'г = Jr, е J, г = 1,1 -1.
6.1. Якщо розв'язуеться задача розмщення одногабаритних модулiв, перехвд до п. 6.2. Якщо розв'язуеться задача комiвояжера - перехвд до п. 6.3. Якщо розв'язуеться задача про призначення, перехвд до п. 6.4.
6.2. Для задачi розмщення визначаемо адресу х, у матриц Q(wk), де знаходиться значення
в( I (j), м1) . Величини х, у - елементи перестановки е Ж. Номери позицш цих елеменпв у перестановщ визначаються номерами стовпця та рядка, де знаходиться значення ф (j), на яке
перемножуеться значення в( I(j), ). Переходимо до п. 6.5.
6.3. Для задачi комiвояжера номери рядка i стовпця матрицi Q(wk), на перетиш яких знаходиться
в( I(j), м1), е елементами перестановки. Переходимо до п. 6.5.
6.4. У задачi про призначення транспозищя проводиться або рядшв або стовпщв, тому х вважаемо елементом перестановки, а у - номером позици елемента перестановки. Переходимо до п. 6.5.
6.5. Покладаемо j = j +1. Якщо j > т або перестановка уже побудована, переходимо до п. 7. В шшому разi - до п. 6.6.
6.6. Якщо для значення в(I(j), ) елементи перестановки уже визначено, переходимо до п. 6.5, в шшому разi - до п. 6.1.
7. Для одержано! перестановки знаходимо значення щльово! функцп ¥(мк). Якщо
к * 2 / к * о /
¥(м ) > ¥ i к > п /2 , переходимо до п. 6. Якщо ¥(м ) > ¥ i к < п /2 , покладаемо р = р +1. Якщо
р > та, переходимо до п. 8 (та - коефщент, що визачае глибину пошуку оптимального розв'язку). В
к * 2 /
шшому разi покладаемо js = js +1, переходимо до п. 6. Якщо ¥(м ) < ¥ 1 к < п /2 , покладаемо
* к к* к ~ ¥ = ¥(м ), м = м , j = , js = js +1, j = js +1, р = 0 , переходимо до п. 6.
8. Якщо дослвджено околи знайдених локальних мiнiмумiв, переходимо до п. 9. В шшому разi
к* ~
покладаемо ¥1 = ¥ * , Р[ = м , Jl = j , I = I +1, j = + 2 , = - (р -1), 5 = 5 +1, р = 0 . Переходимо до п. 6.
9. За оптимальний розв'язок, який може збнатися з глобальним, приймаемо мк е Ж, для яко! щльова функця iз множини ¥ набувае найменшого значення.
10. Кiнець роботи алгоритму.
Подiбнiсть динамiчних задач комбшаторно! оптим1защ1. Основними ознаками подiбностi для динамiчних задач е змiна результату розв'язання в часi та для його поточного ввдлжу обчислення частково! щльово! функцi!. Для розв'язання задач цього класу, як правило, використовують динамiчне програмування.
До динамiчних задач ввдносяться так1 задачi: сегментацiя та розшзнавання мовленневих сигналiв, задача Джонсона з теорп розкладiв та iн. Визначимо для них аргумент щльово! функцп.
Найпроспша задача з теорп розкладав (задача Джонсона) формулюеться так. Задано п деталей. Кожна з деталей повинна пройти послщовну обробпжу на г машинах. Кожна машина також виконуе одну операцш. Необхщно скласти такий розклад обробигсу деталей, щоб затрачений на щ операци час був би мшмальний за умови, що вш не перевищуе задано1 величини Т. Аргументом щльово! функцп в нш е розмщення без повторень, яке утворюеться шляхом знаходження сполучення !з п елеменпв по й , для якого генеруються й ! перестановок, й е {1,..., п} .
Задача сегментаци мовленневих сигнал!в полягае у видшенш на заданому вщр!зку входного сигналу майже перюдичних та неперюдичних д!лянок, а в майже перюдичних визначаються довжини поточного майже перюду. Розпiзнавания мови - це процес автоматично! обробки мовленневого сигналу з метою визначення послвдовносп сл!в, яка передаеться цим сигналом. Вона полягае у знаходженш для входного сигналу найб!льш правдопод!бного еталону з уах можливих еталонних сигнал!в.
Процес розв'язаиия уах трьох задач описуеться ор!ентованим ацикл!чним графом, а частков! значення щльово! функцп зм!нюються в час! та обчислюються за рекурентними правилами. Можна довести, що при знаходженш оптимального значення частково! щльово! функцп виконуеться принцип Беллмана. Моделювання динам!чних задач з використанням теори комбшаторно! ошгашзацп показуе, що аргументом щльово! функцп в них е виб!рки р!зних титв: сполучення без повторень, розмщення як з повтореннями так ! без повторень. Оскшьки щ комбшаторш конфиураци утворюються послщовним вибиранням елеменпв з базово! множини та формують кортеж! або траекторп, то процес розв'язання цих задач змшюеться в час!. Завдяки цш властивосп пошук оптимального розв'язку в оговорених задачах проводиться поетапно, а сам його процес описуеться ор!ентованим ациктчним графом. З оговореного випливае, що вони под!бш за аргументом щльово! функцп та розв'язуються одним ! тим же методом - динам!чним програмуванням.
Висновки
Задач! комбшаторно! оптим!заци р!зних клаав, а також множини комбшаторних конфиурацш -под!бш, якщо вони розв'язуються за одшею ! пею ж обчислювальною схемою або модифжащею одного ! того ж алгоритму. Под!бшсть задач комбшаторно! оптим!заци встановлюеться за аргументом цшьово! функцп та видом задач! (статична чи динам!чна), а под!бшсть комбшаторних множин - за способом !хнього утворення та впорядкування. Вивчення под!бносп задач комбшаторно! ошгашзаци дозволяе розробляти ефективш ушверсальш пвдходи до !хнього розв'язаиия.
Список використаноТ лiтератури
1. Рейнгольд Э. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика / Пер. с англ. / Э. Рейнгольд, Ю. Нивергельт, Н. Део. - М.: Мир, 1980. - 476 с.
2. Липский В. Комбинаторика для программистов / Пер. с польск. / В. Липский - М.: Мир, 1988.- 213 с.
3. Пападимитриу Х. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность / Пер. с англ. / Х. Пападимитриу, К. Стайглиц. - М.: Мир, 1985.- 510 с.
4. Сергиенко И.В. Модели и методы решения на ЭВМ комбинаторных задач оптимизации / И.В. Сергиенко, М.Ф. Каспшицкая. - К.: Наук. думка, 1981.- 281 с.
5. Тимоф!ева Н.К. Про под!бшсть задач комбшаторно! оптим!заци та ушверсальшсть алгоршшв / Н.К. Тимоф!ева // Системш дослвдження та шформацшш технолог!!. - 2013. - № 4. - С. 27-37.
6. Тимоф!ева Н.К. Метод структурно-алфавитного пошуку та шдкласи розв'язних задач !з класу задач! ком!вояжера / Н.К. Тимоф!ева // УСиМ.- 2008. - № 4 - С. 20-36.
