CC BY
44
УДК 621.396:519.15
МОДЕЛ1 ОПТИМАЛЬНИХ ДИСКРЕТНИХ СИГНАЛ1В НА ВЕКТОРНИХ КОМБ1НАТОРНИХ КОНФ1ГУРАЦ1ЯХ1
Pi3HUK В. В., д.т.н., професор
Нацюналъний ynieepcumem «ЛьeiecbKa полтехнжа», м. Лъвiв, Украша,
MODELS OF OPTIMUM DISCRETE SIGNALS ON THE VECTOR COMBINATORIAL CONFIGURATIONS
Riznyk V. V., PhD DSc, Professor
Lviv Polytechnic National University, Lviv, Ukraine
Вступ
Важливе значення для полшшення яюсних показниюв радютехшчних пристро1в i систем радюзв'язку мають методи просторово1 оптимiзащl дискретних сигналiв та векторних кодових послщовностей. Дослiдження в цьому напрямi вiдкривають перспективи для опрацювання ефективних ме-тодiв оптимiзацil дискретних сигнашв на основi використання комбшатор-них властивостей просторово! симетри та асиметрй. На порядку денному -дослiдження ефективних методiв синтезу оптимальних дво- й багатовимь рних дискретних сигнашв, оптимального просторово-часового розподiлу сигнашв, пошук вигiдного спiввiдношення мiж параметрами векторних кодових сигнашв тощо. У свгт сказаного актуальним постае дослщження векторних комбiнаторних конфiгурацiй як моделей виршення оптимiза-цiйних задач електрозв'язку.
Огляд метод1в просторово1 оптим1заци
Сучаснi методи оптимiзацil систем базуються переважно на класичнш теори комбiнаторних конфiгурацiй [1]. Один з пiдходiв до здшснення про-сторово! оптимiзацil передбачае застосування принципу оптимальних структурних вщношень (ОСВ) для оптимiзацil багатовимiрних системних об'еклв [2]. Цьому сприяло виявлення великого класу дво- та багатовимь рних щеальних кiльцевих в'язанок (1KB) з !х численними iзоморфними й неiзоморфними перетвореннями [3,4]. Багатовимiрнi векторнi 1KB станов-лять великий клас ще мало вивчених векторних комбiнаторних конструк-цiй, якi за рiзноманiтнiстю тонко1 структури та своею чисельнiстю далеко перевершують класичнi комбiнаторнi конфйурацп. Дослщження ушкаль-них властивостей тонко1 структури багатовимiрних 1KB висвiтлено в пуб-лiкацiях [3-5]. Теоретично доведено, що унiкальнi властивостi 1KB закодо-
1 http://radap.kpi.ua/radiotechnique/article/view/1173
ваш в обертовш симетрп як завгодно великого порядку i розмiрностi [3,4]. В [4] з'явилося повщомлення про вщкриття нового кластеру 1КВ з власти-востями, за яких переставляння мюцями векторiв всерединi кшьцево! стру-ктури збер^ае !хню унiкальнiсть. Вперше стало вщомо, що поруч з класи-чними iснують численнi ансамблi рашше невiдомих комбiнаторних конфь гурацiй <^ркового» рiзновиду. Результати пiдтверджуються теоретичними розрахунками та комп'ютерною верифшащею. Це розширюе можливостi опрацювання нових ефективних методiв побудови оптимальних багатови-мiрних дискретних сигналiв. Властивостi зберiгаються пiд час взаемно-однозначного перетворення одновимiрних 1КВ в багатовимiрнi, i навпаки [3,4]. Векторш 1КВ зручно дослiджувати й застосовувати як п-послiдовностi цшочислових í-кортежiв, де розмiрнiсть просторово! структури у виглядi тору. Множина значень усiх кiльцевих вектор-сум кортежiв, утворених на цiй послiдовностi, перелiчуе множину вузлових точок в цикшчно замкненiй t-вимiрнiй системi координат [2-5]. Векторш 1КВ охоплюють велику групу комбiнаторних конструкцiй - вщ iдеальних кiльцевих в'язанок чисел (одновимiрних 1КВ) до багатовимiрних структур. Поняття векторних 1КВ дають змогу розширити сферу фундаментальних i прикладних дослщжень в радiоелектронiцi i сумiжних галузях знань, вод-ночас збагачуючи потенцшш можливостi сучасно! комбшаторно! науки.
Постановка задачi
Постановка задачi полягае в полшшенш якiсних показникiв радютехш-чних пристро!в i систем радiозв'язку шляхом використання оптимальних дискретних сигналiв, побудованих за допомогою послiдовностей векторiв з ушкальними комбiнаторними властивостями - векторних 1КВ. Ключовим завданням постае опрацювання единого тдходу до побудови векторних моделей оптимальних дво- й багатовимiрних дискретних сигналiв з корис-ними властивостями стосовно завадостшкост^ кореляцiйних можливостей, завадостшкост^ самокоректувально! спроможностi.
Метод виршення завдання
Метод базуеться на використанш теори комбiнаторних конфiгурацiй [1] та алгебри в'язанок (В-алгебри) [2], де елементами в'язанок постають дис-кретш сигнали або кодовi символи. Для полегшеного викладання матерiа-лу шд векторною 1КВ далi будемо розум^и 1КВ будь-яко! розмiрностi, включно з одновимiрною. В роботi [6] описана модель оптимальних дискретних систем у виглядi взаемопов'язаних множини чисел натурального ряду i множини координат розмщення цих чисел на розгорнутш поверхнi тору. У загальному випадку модель дозволяе розглядати вщношення мiж сумiрними пiдмножинами впорядкованих елементiв та !хтми просторови-ми координатами в базисному полi задано! системи координат. Задачi такого класу зручно дослщжувати на математичних моделях у виглядi цик-
лiчних стввщношень мiж послiдовно впорядкованими наборами BeKTopiB вщповщно! p03MipH0CTi. Однак класичнi методи складно використовувати для розбудови оптимальних дискретних сигналiв на векторних кодових послщовностях з-за вiдсутностi зведено! прикладно! теори просторових комбiнаторних конфiгурацiй та достатньо наочних для практичного вико-ристання багатовимiрних моделей векторних сигналiв. Тому актуальною постае проблема опрацювання ефективних методiв дослiдження та синтезу оптимальних сигналiв та iмпульсних послiдовностей на основi векторних 1KB- технологш. На порядку денному опрацювання регулярних мето-дiв синтезу та систематизащя моделей оптимальних дискретних сигналiв на векторних комбiнаторних конф^уращях типу 1KB [2]. Моделi зручно представляти у виглядi кругово! дiаграми з n точками, якi знаходяться на кожному з n концентрично розмiщених навколо центру дiаграми рiвнiв, де кожнiй точцi на уЫх рiвнях вiд першого до (n-1)- го вiдповiдае iнше число ряду, а множина точок i множина з'еднувальних лiнiй утворюють кру-гове симетричне поле оптимально розподшених чисел натурального ряду вiд 1 до Sn-1 у виглядi пласко! розгортки координатно! сiтки, стягнуто! з поверхш тору так, щоб кожне число зустрiчалося рiвно по одному разу [6]. В загальшшому випадку така конф^уращя утворюеться на n- послщовнос-т цiлих додатних чисел (k1, k2,..., ki,., kn), розмiщених за кiльцевою схемою, де числа i всi суми з двох, трьох i т. д. поруч розмщених чисел пере-лiчують значення чисел натурального ряду вщ 1 до (Sn-1)/ R рiвно R разiв.
На вщмшу вiд одновимiрних 1KB двовимiрнi щеальт кiльцевi вщно-шення (2D-IKB) набувають вигляду кiльцевих n -послiдовностей, елеме-нтами яких е 2-кортежi ((kn, k12), (k21, ¿22), ... , (klb ki2),..., (kn1, k^)), де kn=
n
kl (mod m1), kl2= kl (mod m2); m1=n-1, m2=n, i=1, ..., n; ^k = S n. Множину
i=1
2-кортежiв можна розглядати як впорядкований за кшьцевою схемою набiр координат n вузлових точок, проекци яких обмеженi рамками координат-но! сiтки торо!ду в двовимiрнiй цикшчнш системi вiдлiку nx(n-1), а !хт значення разом iз значеннями уЫх !х можливих лiнiйних комбiнацiй пере-лiчують множину координат вузлiв ще! координатно! сiтки. Лiнiйнi ком-бшаци утворюються додаванням послiдовно впорядкованих 2-кортежiв (числових значень координат n базових вузлових точок в згаданш систе-мi вiдлiку) з урахуванням значень модулiв (mod n) i (mod (n-1)). Завдання полягае в тому, щоб за допомогою координат n базових вузлових точок та множини усiх !хтх лiнiйних комбiнацiй покрити R способами множину n(n-1)/R точок координатно! сгтки з вiдповiдними розмiрами, яка покривае поверхню тору з фшсованим кроком квантування за наявност системи вза-емно ортогональних циклiчно замкнених вщносно спшьно! точки вiдлiку осей.
Поняття В-алгебри
Дослщжуючи властивост pi3Hrn видiв комбшаторних конструкцiй на послiдовностях, можна побачити, що Bei вони е довшьними утвореннями, якi базуються на принцип зв'язностi. В [2] запропоновано розглядати мо-делi дискретних систем як математичних об'еклв, елементи i операцп над якими пов'язанi з тополопею структури базово! множини. Такий шдхщ випливае зi само! природи утворення й природного розвитку систем, зок-рема генетичних структур. В'язанка - це впорядкована - послщовшсть, що е базовою множиною, на якш визначена множина операцiй. В'язанка-об'ект складаеться з двох множин (ноЫя в'язанки i множини операцш), причому операцп на носiевi здiйснюються послщовним обходом елементiв носiя з урахуванням ix впорядкування. При цьому дiе правило зв'язностi: операцiям пiдлягають лише безпосередньо пов'язаш мiж собою будь-як математичнi величини або матерiальнi об'екти. Поняття в'язанки служить достатньо узагальненому визначенню В-алгебри (алгебри в'язанок). Вужчi класи в'язанок можуть утворюватися iз загального визначення В-алгебри шляхом накладання на них додаткових обмежень. Одновимiрнi в'язанки В-алгебри утворюються на елементах, як е одновимiрними математичними об'ектами (числа, вiдрiзки, одновимiрнi вектори, кутовi вiдстанi, i т. д.), а вищих вимiрiв - векторами вщповщно! розмiрностi.
Зв'язок з кодом Баркера
До сигналiв з корисними властивостями належать сигнали Баркера, для яких функщя автокореляцп дорiвнюе одинищ для усix можливих позицiй, за винятком нульово!, коли енергiя тих сигнашв набувае максимально! величини, яка в числовому екшвалени зб^аеться з числом позицiй коду Баркера [7]. Правило переходу вщ 1КВ до коду Баркера полягае в наступному.
Для кожного числа ki, (i= 1,2,..., n) обраного 1КВ з параметрами n, R, Sn знаходять вщповщний цьому числу i-й фрагмент кодово! послiдовностi Баркера (Kl, K2,...,Ki,..., Kn), Ki = (ai, Ö2,., aj ,..., ak), k=ki, де ai = +1, Ц }= -1, j = 2,3,., ki.
Наприклад, за описаним правилом легко перейти вщ 1КВ (1,1,4,3,2) з параметрами n=5, R=2 до кодово! послiдовностi Баркера (+1,+1,+1,-1,-1,-1,+1,-1,-1,+1,-1), що складаеться з п'яти (n =5) послщовно впорядкованих фрагментiв Kb..., K5, де K1= (+1), K2= (+1), K3 =(+1,-1,-1,-1), K4 = (+1,-1,-1), K5=(+1,-1) i мае мшмальний рiвень бiчниx пелюсткiв автокореляцшно! функцп 1/ Sn =1/11.
Вщомо, що iснують кодовi послiдовностi Баркера лише з довжинами N =2, 3, 4, 5, 7, 11, 13 [7]. Цим послщовностям взаемно однозначно вщповь дають наступш варiанти 1КВ (k1 , k2,..., kn ) з параметрами n, R, Sn ; n =2,3,4,5,7,11,13 (Табл.2).
Таблиця 2. Вщповщтсть числових 1КВ кодовим поотдовностям Баркера
1КВ Код Баркера
п Я (к , к2,..., кп ) N
2 2 2 1,1 2 +1,+1
2 1 3 1,2 3 +1,+1,-1
3 2 4 1,1,2 4 +1,+1,+1,-1
3 2 4 1,2,1 4 +1,+1,-1,+1
4 3 5 1,1,2,1 5 +1,+1,+1,-1,+1
4 2 7 1,1,3,2 7 +1,+1,+1,-1,-1,+1,-1
5 2 11 1,1,4,3,2 11 +1,+1,+1,-1,-1,-1,+1,-1,-1,+1,-1
9 6 13 1,1,1,1,3,1,2,2,1 13 +1,+1,+1,+1,+1,-1,-1,+1,+1,-1,+1,-1,+1
Отже, для кожного з восьми вар1ант1в кодових ^послщовностей Баркера юнуе вщповщна 1КВ з параметрами п, Я, £п, яку можна перетворити в послщовшсть Баркера з мш1мальним р1внем б1чних пелюстюв автокореля-цшно! функци 1/£п. За своши автокореляцшними властивостями кодов1 £п-послщовност1, утвореш на 1КВ, зб1гаються з кодами Баркера, що можна трактувати як вщображення геометричних закошв гармони обертово! си-метри-асиметри простору в р1зних комбшаторних конструкщях з кшьце-вою структурою. Це дае змогу глибше зрозумгги взаемозв'язок ушкальних властивостей коду Баркера та 1КВ з фундаментальними законами природи. 1нший напрям передбачае використання векторних 1КВ для кодування оп-тимальних дискретних сигнал1в, в т.ч. у вигляд1 багатовим1рного монол1т-ного коду [2-3,5], та розбудовою модифжацш 1КВ на !х 1зоморфних перет-вореннях в багатовим1рних просторах [4].
Вищенаведеш приклади демонструють можливють застосування принципу оптимальних структурних вщношень (ОСВ) для постановки та вирь шення ряду практично важливих задач перетворення форми дискретних сигнал1в з метою полшшення техшчних показниюв систем кодування й вдосконалення регулярних метод1в синтезу оптимальних дискретних сиг-нал1в.
Правило оптимiзащl кодових послiдовностей
Вщомо, що коректувальна спроможшсть цикшчного коду, побудовано-го на основ1 1КВ з параметрами £п , п, Я досягае свого максимального зна-чення за умови дотримання сшввщношення 5П=2 п [2]:
с1тт =211; 2Д -1; Г2 < Д - 1, якщо п = ^ (1)
с/тт = 2(Д+1); Ь < 2Я +1 ; Г2 < К якщо п = де £п - довжина комбшаци, dm■m - мшмальна кодова вщстань, - число помилок, як можна виявити, ¿2- число помилок, як можна виправити.
З вищенаведеного випливае формула, яка визначае умову забезпечення
найвищо! завадостшкост цикшчного коду з фiксованими значеннями дов-жини { потужносп [2]:
п
' — рякщо п = о{тос1 2)
ь- ,якщо п=1(тос12)
2
Зi спiввiдношення (2) легко вивести концептуальне правило формуван-ня бiнарних кодових послщовностей з високою завадостiйкiстю- правило оптимiзащ! кодових послiдовностей (правило ОКП), як побудованi на ос-новi 1КВ.
Правило ОКП: Найвищог завадостiйкостi набувають 1КВ -по^довност^ в яких кыьюсть рiзнойменних бтарних символiв вiдрiз-няеться мiж собою не бЫьше шж на один символ.
Доведення. Будь-якш п - послщовност чисел к = к ¡= 1,2,., п) взаем-но однозначно вщповщае кiльцева ¿-послщовшсть бiнарних (двозначних) символiв Ь=(Ь{, ¡=1,2,.,5*), в якш кожен елемент -послiдовностi вщображе-ний вщповщною парою (Ь, Ьj), (¡,7=1,2,., s), I Ф] , послщовно розмще-них мiж собою на ¿-послщовност однойменних бiнарних символiв, де 5* - сума уЫх чисел - послiдовностi. Оскiльки таких пар юнуе рiвно стiльки, скшьки е чисел в п -послщовност^ кiлькiсть однойменних символiв в кь льцевiй 5* - послiдовностi збйаеться з числом п, а кшьюсть усiх решти ( 5* -п ) символiв може вiдрiзнятися вiд п не бiльше шж на один символ, що задовольняе сшввщношенню (2).
Таким чином, в принциш, будь-яку числову послiдовнiсть, у тому чи^ й 1КВ, можна використати для побудови цикшчного завадостшкого коду, але найлiпший ефект стосовно завадостшкост досягаеться при дотриманнi правила, яке випливае iз (2). Сшд зауважити, що з-за нелiнiйного характеру функщонально! залежностi мiж рiвнем завадостшкосл оптимiзованого коду i його шформацшною надмiрнiстю iснуе можливiсть визначення до-даткового оптимуму за критерiем досягнення максимально! ефективност 1КВ-коду за компромюним спiввiдношенням мiж коректувальними власти-востями коду та його довжиною. За теоретичними розрахунками юнуе як завгодно багато 1КВ з будь-якими великими величинами параметрiв, при-чому потужшсть методiв кодування стрiмко зростае зi збiльшенням дов-жини кодових послщовностей. Так, одновимiрним 1КВ дев'ятого (п=9) порядку вiдповiдае 9, .,18-го - 52 , .,102-го - 1717,., 984-го - 159630 рiз-них варiантiв одновимiрних кодових послщовностей з точнiстю до ревер-сування порядку i змiни знакiв символiв [2]. У цьому перелiку не врахо-вуються 1КВ з 2 < Я < £п . Чисельшсть iнварiантiв 1КВ дае змогу здшсню-вати оптимiзацiю, обираючи лiпшi з них за потрiбними ознаками, напри-клад, методом вiдсiкання або скороченням довжини коду, добором вщпо-вщних значень вагових розрядiв тощо. Це дае можливiсть конструювати
оптимальш кодовi послщовност з тисячами i сотнями тисяч елеменив.
Таблиця 1 Характеристика оптимальних циклiчних IКВ-кодiв довжиною 7 < £п < 43
У таблищ 1 наведена характеристика оптима-льних цикшчних 1КВ-кодiв довжиною 7 < 5п < 43 за числом поми-лок, якi цей код може виправити, та його спроможшстю щодо розшзнавання сигналiв при вiдношеннi сигнал/шум менше одиницi. Функцiя автокореляцй оптимального цикшчно-го 1КВ-коду обчислю-еться за множиною пок-рокових зсувiв ще! пос-лiдовностi за результатом шдсумовування усiх елементiв +1 i -1, пiсля повного циклу покроко-вих зсувiв. Результати обчислень не змшюють-ся вщ реверсування порядку чи змши знакiв елементiв на протилежш в будь-якому з варiантiв £п-послщовностей. Про-глядаеться чiтка закономiрнiсть заповнення таблищ 1, що дозволяе легко визначити числове сшввщношення рiвня бiчних пелюсткiв i головного ш-ку функцп автокореляцй за результатом шдсумовування уЫх елементiв +1 i -1 вщповщно! кодово! £п-послщовност будь-яко! велико! довжини. З таблищ 1 випливае, що оптимальний цикшчний код, представлений у виглядi двiйково! послщовносл довжиною £п елементiв, дозволяе виправляти до (5П-3)/4 помилок, а функщя автокореляцi! цiе! послiдовностi за результатом шдсумовування елеменлв +1 i -1 на будь-якому кроцi цикшчного зсу-ву для послiдовностi будь-яко! велико! величини £п не перевищуе одиницi з точнiстю до реверсування порядку i змiни знакiв кожного з елеменлв.
Правило ОКП лежить в основi опрацювання регулярного методу синтезу оптимальних дискретних сигнашв рiзного призначення: оптимальних циклiчних кодiв пiдвищено! завадостiйкостi, сигналiв з лшшими, нiж в си-гналiв Баркера вщношенням головного пiку функцi! автокореляцй до бiч-
Оптимальний цик-лiчний 1КВ-код Функщя автокореляцй оптимального 1КВ-коду
п Я t2 +1 -1 А 100%
4 2 7 1 3 4 -1 14,286
5 2 11 2 5 6 -1 9,0909
6 3 11 2 5 6 -1 9,0909
7 3 15 3 7 8 -1 6,6667
8 4 15 3 7 8 -1 6,6667
9 4 19 4 9 10 -1 5,2631
10 5 19 4 9 10 -1 5,2631
11 5 23 5 11 12 -1 4,3478
12 6 23 5 11 12 -1 4,3478
13 6 27 6 13 14 -1 3,7037
14 7 27 6 13 14 -1 3,7037
15 7 31 7 15 16 -1 3,2258
16 8 31 7 15 16 -1 3,2258
17 8 35 8 17 18 -1 2,8571
18 9 35 8 17 18 -1 2,8571
19 9 39 9 19 20 -1 2,5641
20 10 39 9 19 20 -1 2,5641
21 10 43 10 21 22 -1 2,3256
22 11 43 10 21 22 -1 2,3256
них. Для синтезу оптимального завадостшкого коду за цим правилом дос-татньо обрати 1KB з такими параметрами, щоб довжина комбшацш цикль чного коду зб^алася з Sn , а величини n i R вщповщали спiввiдношенню (2).
Для деяких кластерiв оптимальних 1KB юнуе бiльше, шж одна пара комплементарних вiдносно обертово! симетрiï S-го порядку (S=Sn) варiан-тiв Sn-послiдовностей фiксованоï довжини. Шд комплементарними (або симетрично спряженими) розумдать геометричнi, алгебро-графiчнi чи графоаналiтичнi штерпретаци 1KB, якi зручно iлюструвати у виглядi плас-ких асиметричних ф^ур, що доповнюючи одна другу, зливаються в единому круговому полi обертовоï симетрiï вiдносно центральноï точки [3]. Наприклад, для Sn=31 юнуе чотири комплементарнi пари таких 1KB [2]. Наявний взаемозв'язок 1KB i натуральним рядом чисел, закодованим в обертовш симетрп, свiдчить про едшсть джерела iнформацiï про ïx похо-дження.
Оптимальнi векторш кодовi послвдовност
Розширення конструктивних формотворень 1KB може здшснюватися шляхом ïx iзоморфних геометричних перетворень у симетричному вiртуа-льному полi багатовимiрниx системах координат зi замкненою просторо-вою структурою [3-5]. Цьому сприяла розбудова нового рiзновиду комбь наторних конфiгурацiй з параметрами n , R , Sn , S , де Sn S 2 (n-1) [4,5]. На вiдмiну вiд традицiйниx 1KB новi дво- й багатовимiрнi векторнi комбь наторнi конструкци мають ширший дiапазон для комбiнацiйного форму-вання рiзниx варiантiв моделей оптимальних дискретних сигналiв, завдяки використанню вiртуального поля обертово!" симетрп вищих порядкiв.
Розглянемо двовимiрну модель циклiчноï n -послiдовностi, елемента-ми яко1' е впорядкованi 2-кортежi (двовимiрнi вектори) невiд'емниx цiлиx чисел Cn2 = {(kn, ku), (£21, &22),..., (kii, ko),..., (kni, kn2)}, де (knl, kn2) знахо-диться поруч (k11, k12). Ми вимагаемо, щоб множина уЫх можливих векто-рних сум з будь-якого числа послщовно розмiщениx на кiльцевiй сxемi ве-кторiв - вiд 1 до n-1 вичерпували значення координат вузлових точок дво-вимiрноï сггки, що покривае рiвно R раз поверхню тору, створену двома (¿=2) ортогональними осями циклiчноï системи вщлшу. Така послiдовнiсть називаеться векторною 2-IKB з параметрами n, R, m1, m2, прив'язаних до обертово1' симетрп порядку S, де Sn S 2 (n-1)/R. Kiльцевi суми обчислю-ють з урахуванням значень модулiв m1 та m2 для вщповщних осей двови-мiрноï циклiчноï системи вщлжу, де m1 = n, m2=(n-1), або m1=(n-1), m2=n-1. Потужнiсть множини рiзниx варiантiв завадостiйкиx двовимiрниx кодових послщовностей, побудованих на основi 2-IKB, е значно бшьшою вiд потужностi повних Ымей одновимiрниx 1KB з однаковим числом n елемен-тiв. Додатковi варiанти векторних 1KB утворюються в полi обертово1' симетрп вище Sn.-го порядку. Ця рiзниця швидко зростае, вже починаючи дво-вимiрниx кодових послiдовностей на трьох (n=3) векторах. Повна сiм'я та-
ких послщовностей складаеться з чотирьох pi3Hrn BapiarniB [5], тодi як од-новимipнa icHye в единому BapiaHTi [2]. Для послщовностей четвертого (n=4) порядку повна Ым'я двовимipних кодiв обшмае 24 вapiaнти з параметрами R =1, m1 =3, m2 =4 й шють з R =2, mi=2, m2 =3, в той час як однови-мipнi - лише трьома вapiaнтaми [2]. Для п'ятого (n=5) порядку кшьюсть таких вapiaнтiв становить 384, в т. ч. 256 двовимipних i 128 тpивимipних кодових поcлiдовноcтей. Кшьюсть 2-1КВ сьомого порядку, R=1, нараховуе 540 piзновидiв двовимipних кодових послщовностей, якi можна реашзува-ти на множиш комбiнaцiй m1 х m2=42, де m1 набирае значень {2, 3, 6}, а m2 - {7, 14, 21} вщповщно. Додатково ще 180 piзних вapiaнтiв тpивимipних поcлiдовноcтей утворюеться у тому ж дiaпaзонi значень SE для m1 =2, m2 =3, m3=7 [4].
Побудову t -вимipно! кодово! послщовност на 1KB з параметрами n , R зручно pеaлiзyвaти у виглядi кiльцево! n -поcлiдовноcтi, елементами яко! е t -коpтежi (Kb K2, ..., K, ..., Kn); K1= (kn, ku, ..., ku), K2 = (£21, £22,..., fot), ..., Ki = (ki1, kl2,.,k1t), ... , Kn=(kn1, kn2,., knt)), де kn= k (mod m 1), k$= k (mod m2), ..., kit= ki (mod mt). Множина yciх послщовних (кiльцевих) вектор-сум, взя-тих по комплексному модулю (m1, m2, ..., mt), утворюе t -вимipнy решгтку m1x m2 x...x mt = n(n-1)/R. Ця pешiткa покривае поверхню вipтyaльного тору вщповщно! pозмipноcтi piвно R paзiв в замкненш t- вимipнiй циклiчнiй cиcтемi вiдлiкy просторових координат yciх вузлових точок ще! pешiтки. 1ншими словами, множину t-коpтежiв 1KB можна розглядати як впорядко-ваний за кшьцевою схемою нaбip координат n базових вузлових точок t -вимipно! pешiтки, пpоекцi! яких обмеженi рамками просторово замкнено! на саму себе координатно! ciтки m1x m2 x... x mt , а множина значень координат цих точок разом зi значеннями уЫх !х можливих лiнiйних комбша-цш у виглядi кiльцевих вектор-сум, пеpелiчyють множину вузлових координат ще! pешiтки R paзiв.
На вщмшу вiд моделей одновимipних дискретних сигнашв, моделi век-торних поcлiдовноcтей характеризуются далеко бiльшими комбшацшни-ми можливостями кодування cигнaлiв й пpоcтiшими методами побудови. Повш ciм'! <^ркових» 1KB зручно представляти у виглядi нaбоpiв послщо-вно впорядкованих за кшьцевою схемою вектоpiв однакового складу, вза-емне пеpемiщення яких вcеpединi кшьцево! структури утворюють новi ва-piaffrn векторних 1KB [8]. Геометрично множинам повних Ымей векторних 1KB взаемно однозначно вщповщають множини координат цих вектоpiв в циклiчнiй cиcтемi вщлжу !х величин на повеpхнi торо!ду вiдповiдно! роз-мipноcтi [8]. Bcтaновлено, що повнi ciм'! векторних зipкових 1KB склада-ються iз 20 вapiaнтiв для n =5 i 156 вapiaнтiв n =7 з точшстю до реверсування порядку вектоpiв у кiльцевiй поcлiдовноcтi i переставляння число-вих значень !х компонент вcеpединi кожного з вектоpiв. Наприклад, пара зipкових 1KB-поcлiдовноcтей {(1,3), (1,1), (2,3), (0,3), (3,3)} i {(1,3), (3,3),
(1,1), (0,3), (2,3)} вщр1зняються м1ж собою лише взаемним розмщенням елеменпв. Кожна з них описуеться параметрами 1КВ п'ятого (п=5) порядку, т1=4, т2=5, Я=1, яка дае змогу п'ятьма векторами та множиною кшь-цевих сум, отриманих на цих векторах, здшснити покриття множини уЫх 20-ти вузлових точок двовим1рно! реш1тки 4x5 р1вно одним (Я=1) способом. Практична реашзащя передбачае використання оптимального кшьце-вого коду з монолгтно-груповим розподшом однойменних символ1в "1" { "0" у кшьцевих кодових комбшащях [5]. Приклад побудови такого коду шюструе таблиця 2.
Таблиця 2
На вщмшу вщ традицш- Оптимальний монол1тно-груповий код на
них метод1в перетворення 2-1КВ {(1,3), (1,1), (2,3), (0,3), (3,3)}
форми шформацп кодування Вектор Вагов1 розряди векторного коду
сигнал1в в монолгтно- (1,3) (1,1) (2,3) (0,3) (3,3)
груповому код1 ус дозволе- (0,0) 1 1 1 1 0
т кодов1 комбшаци склада-ються щонайбшьше 1з двох (0,1) 1 0 0 0 1
груп однойменних символ1в. (0,2) 1 1 1 0 0
В оптимальному монолгтно- (0,3) 0 0 0 1 0
груповому код1 число уЫх можливих комбшацш з та- (0,4) 1 0 0 1 1
ким способом розподшу од-
нойменних символ1в у кодо- (3,4) 0 1 1 0 0
вих комбшащях зб1гаеться з
кшьюстю р1зних кшьцевих сум. За наявност вищезгаданих обмежень цей код набувае статусу оптимального, що дозволяе використовувати його властивост для подолання шформацшно! та структурно! надм1рност1 тд час побудови дискретних сигнал1в в радюпристроях { системах зв'язку.
В основу запропонованого методу закладено принцип оптим1заци ваго-во! системи п-позицшного коду з /- вим1рними ваговими розрядами, зна-ченнями яких е вектори ? - вим1рно! 1КВ-послщовност1. При цьому забез-печуеться можливють покриття множиною лшшних комбшацш, утворених комбшацшним додаванням будь-якого числа послщовно впорядкованих базових ¿-вим1рних вектор1в 1КВ-послщовност1, множини вузл1в просторо-во! реш1тки ¿-вим1рного тора в ¿-вим1рнш цикшчнш систем1 координат. Додавання базових ¿-набор1в здшснюеться з урахуванням вщповщних мо-дул1в т1, т2, ...т±„ числов1 значення яких пов'язаш з параметрами п { Я /-вим1рно! 1КВ-посл1довност1 сшввщношенням [5]:
П1 п(п -1) -г^ п(п -1)
т або Пт = —Г~ +1 ; (т1, т2, ...тх )=1 (3)
1 1
Bектоpнi модульш суми утворюються на множинi послщовно впоряд-кованих t-вимipних вектоpiв монол^но-групового коду, якi можуть скла-датися з будь-якого числа послщовно впорядкованих за кшьцевою схемою вектоpiв. Подш оптимальних монолiтно-гpyпових кодових поcлiдовноcтей на кластери за деякими формальними ознаками запропоновано в [2].
Висновки
Опрацьовано загальний принцип побудови оптимальних дискретних сигнашв за допомогою векторних 1KB, що дозволяе полiпшити якicнi характеристики сигнашв за такими показниками як коректувальна здaтнicть циклiчного коду, функщя aвтокоpеляцi! iмпyльcних cигнaлiв, самокорек-тувальна cпpоможнicть монолiтно-гpyпового коду. Найвищо! завадостш-коcтi набувають 1KB -послщовност^ в яких кiлькicть piзнойменних бшар-них cимволiв вiдpiзняeтьcя мiж собою не бшьше нiж на один символ. Bек-тоpнi моделi оптимальних дискретних сигнашв, включно з кластером <«ip-кових» комбiнaтоpних конфiгypaцiй за тонкою структурою та чисельшстю вapiaнтiв значно перевершують клacичнi аналоги. Дослщжено зв'язок векторних 1KB з просторовими цикшчними групами t- вимipних тоpо!дiв i з обертовою cиметpieю, яка вiдiгpae об'еднавчу роль в опрацюванш единого пiдходy до синтезу векторних 1KB. Описаш моделi дають змогу виправля-ти до (Sn-3)/4 помилок, розробляти piзнi cтpaтегi! боротьби з помилками та виявляти сигнали при вщношенш сигнал/шум менше 1. Обертова cиметpiя вiдiгpae об'еднавчу роль в опрацюванш единого тдходу до синтезу теоретично незчисленних множин оптимальних одно- й бaгaтовимipних дискретних сигнашв. Bектоpнi 1KB дають змогу розширити сферу фундамента-льних i прикладних доcлiджень в радюелектрошщ i cyмiжних галузях знань, водночас збагачуючи потенцшш можливоcтi сучасно! комбшаторно! науки.
Перел1к посилань
1. Hall М. Jr. Combinatorial Theory / M. Jr. Hall. - Blaisell Publishing Company, 1967. - 470 p.
2. Р1зник B. B. Синтез оптимальних комбшаторних систем / B. B. Р1зник. - Льв1в : Bищa школа, 1989. - 165 с.
3. Р1зник B. B. ^мб^аторна оптим1защя систем на основ1 використання спряже-них симетричних та асиметричних структур / B. B. Р1зник // Електротехн1чн1 та комп'ютерш системи. - 2014. - № 13(89). - с. 40-45.
4. Riznyk V. V. Systems Optimization Prospected from Torus Cyclic Groups / V. V. Riznyk // New Development in Pure and Applied Mathematics. - 2015. - Vienna, Austria -pp. 115-119. Available at: http://www.inase.org/library/2015/vienna/bypaper/MAPUR/MAPUR- 16.pdf
5. Р1зник B. B. Модел1 оптимальних радюсистем на векторних комбшаторних кон-ф1гуращях / B. B. Р1зник // Bicник НТУУ «Kni». Сер1я Радютехшка, Радюапаратобуду-вання. - 2015. - № 60. - с. 45-58.
6. Ризнык B.B. Об одном способе оптимального построения дискретных систем /
В. В. Ризнык // Электроника и моделирование. - 1975. - Вып. 8. - С.12-15.
7. Barker R. H. Group Synchronization of Binary Digital Systems. In: Communication Theory / R. H. Barker, W. Jackson, ed. - New York : Academic Press, 1953. - pp. 273-287.
8. Рiзник В. В. Оптимальш коди на векторних комбтаторних конф^ращях / В.В^зник // Вюник НУЛП «1нформацшш системи та мережЬ». - 2015. - № 814. - с. 130-138.
References
1. Hall М. Jr.(1967) Combinatorial Theory. Blaisell Publishing Company, 470 p.
2. Riznyk V. V. (1989) Syntez optymalnykh kombinatornykh system [Synthesis of the combinatorial optimal systems]. Lviv, Vyshcha shkola, 165 p.
3. Riznyk V. V. (2014) Combinatorial optimization of systems based on symmetric and asymmetric structure usage. Elektrotekhnichni ta komp'iuterni systemy, No 13(89), pp. 40-45 (in Ukrainian).
4. Riznyk V. V. (2015) Systems Optimization Prospected from Torus Cyclic Groups. New Development in Pure and Applied Mathematics, Vienna, Austria, March 15-17, P.115-119.
5. Riznyk, V. V. (2015) Models of optimum radio-systems on the vector combinatorial configurations. Visn. NTUU KPI, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv., no. 60, pp. 45-58. (in Ukrainian).
6. Riznyk V. V. (1975) Ob odnom sposobe optimal'nogo postroyeniya diskretnykh system [A method of the optimum design of discrete systems]. Elektronika i modelirovanie, No 8, pp.12-15.
7. Barker R. H. (1953) Group Synchronization of Binary Digital Systems. In: Communication Theory (W. Jackson, ed.). Academic Press, New York, pp. 273-287.
8. Riznyk V. V. (2015) Optymalni kody na vektornykh kombinatornykh konfihuratsiiakh [Optimum codes on vector combinatorial configurations]. Visnyk NU "Lvivska politekhnika". Informatsiini systemy ta merezhi, No 814, pp.130-138.
Р1зник В. В. Модел1 оптимальных дискретных сигнал1в на векторних комбтаторних конф1гуращях. Запропоновано метод побудови оптимальних дискрет-них сигналов, який базуеться на новт комбтаторнт конструкцИ' - гдеальних кшьцевих векторних посл1довностях (кластерах 1KB). Виявлений великий клас дво- та багато-вим1рних комбтаторних конструкцт, як1 перевершують класичн модел1 дискретних систем за чисельтстю й багатоматттстю варгантгв тонког структури з теоретично необмеженими верхтми значеннями порядку та розмгрностг. Показано, що ун1кальн1 властивост1 останнх закодован в тонкй структур1 обертовог симетрп тору. Наведен приклади побудови оптимальних векторних дискретних сигнал1в i кодо-вих по^довностей, призначених для проектування сучасних систем зв'язку, нав^аци й розвитку векторног комп'ютерног тдустри.
Ключов1 слова: обертова симетрiя, кшьцева векторна по^довтсть, ци^чна гру-па, принцип оптимальних структурних вiдношень, алгебра в'язанок, радюсигнал, кодо-ва по^довтсть, функщя автокореляци, завадосттшсть, оптимальний монолтний код, тор.
Ризнык В. В. Модели оптимальных дискретных сигналов на векторных комбинаторных конфигурациях. Предлжен метод построения оптимальных дискретных сигналов, основанный на новой комбинаторной конструкции - идеальных кольцевых векторных последовательностях (кластерах 1КВ). Обнаружен большой класс двумер-
ных и многомерных комбинаторных конструкций, превышающих по количеству и многообразию тонкой структуры классические модели дискретных систем с теоретически неограниченными верхними значениями порядка и размерности. Показано, что уникальные свойства 1KB закодированы в тонкой структуре вращательной симметрии тора. Приведены примеры построения оптимальных векторных дискретных сигналов и кодовых последовательностей, предназначенных для проектирования современных систем связи, навигации и развития векторной компютерной индустрии.
Ключевые слова: вращательная симметрия, кольцевая векторная последовательность, циклическая группа, принцип оптимальных структурных отношений, алгебра вязанок, радиосигнал, кодовая последовательность, функция автокорреляции, помехоустойчивость, оптимальный монолитный код, тор.
Riznyk V. Models of optimum discrete signals on the vector combinatorial configurations. Method for construction of optimum discrete signals, based on a new conceptual combinatorial model of the systems - Ideal Ring Vector sequences (clusters of the IRV) is proposed. IRV clusters are cyclic ordered sequences of t- integer sub-sequences of sequence, which form perfect relationships of t-dimensional partitions over a virtual t-dimensional lattice covered surface of a finite space interval. The sums of connected sub-sequences of an IRV enumerate the set of t- coordinates specified with respect to cyclic frame reference exactly R-times. This property makes IRVs useful in applications, which need to partition multidimensional objects with the smallest possible number of intersections. There are discover a great class of new two- and multidimensional combinatorial constructions, which being in excess classic models of discrete systems with respect to number and combinatorial varieties with theoretically non-limited values of upper boundaries on order of dimensionality -IRV. It shows that remarkable properties of IRVs encoded in fine structure of torus circular symmetry. There are regarded basic properties these models and made shortest comparative analysis of the models with classical models. Indicate that the IRVs to be in exceed of difference sets multiply, and set of the classical difference sets is subset of the IRVs. Some of useful examples for constructing of the optimum discrete signals, error-correcting codes, and ring monolithic optimum vector codes using IRVs are considered. The problem statement involves development the regular method for construction of the optimum discrete signals using two-and multidimensional IRVs. The favorable technical merits of IRVs sets named "Gloria to Ukraine Stars", which remarkable properties hold for the same set of the IRVs in varieties permutations of its terms is demonstrated, and method for design of two- or multidimensional vector signals coded based on the optimum binary monolithic code is presented. Proposed vector models of discrete signal optimization provide, essentially, a new approach to generalize them to great class of optimized problems in radio-telecommunications, navigation and information technology. Moreover, the optimization embedded in the underlying combinatorial models. The favourable qualities of the Ideal Ring Vector sequences provide breakthrough opportunities to apply them to numerous branches of science and advanced technology, with direct applications to vector data telecommunications, signal processing, encoded design,and information technology. Structural perfection and harmony exist not only in the abstract models but in real world also.
Key words: circular symmetry, ring vector sequence, cyclic group, optimum structural relationships principle, bundle's algebra, radio-signal, code sequence, function of autocorrelation, noise immunity, optimum monolithic code, torus.
