CC BY
13
УДК 621.396:519.15
Модел! оптимальних багатовизшрних сигнал!в на векторних комбшаторних кон^лгуращях
Пзник В. В.
Нацншалышй ушворситот "Лызшська иолггохшка", м. .ilbBiB, Укра'ша E-mail: rvu&polyncl.lviv.ua
Розглядаються модел! оптимальпих багатовим1рпих сигпал!в у вигляд! двшкового мополтю-групового коду, в якому будь-яке кодове слово м!стить по бглыне одного блоку посл1довпо розмщепих за шльцевою схемою одпоймешшх символ!в. а мпожша ycix кодових комбшацш взаемпо однозначно в!дпов1дае множит векторних координат ycix вузлових точок багатовгмрпо! просторово! репптки. число яких зб!гаеться з шльшстю Bcix шльцевих вектор-сум. утворопих па посл1довпост! вектор!в обрапо! ¡деалыкн кгльцево! в'язапки (1KB). Наведет приклади побудови оптималышх багатовим!рпих сигпал1в у вигляд! кодових посл1довпостей. призпачепих для проектувашш сучаспих систем зв'язку та розвитку оптимальпих векторпих шформагцйпих техпологш.
Клюноог слова: 1деальпа шльцева в'язапка: шльцева вектор-сума: векторш даш: з!ркова копф!гура-гця "Слава УкраГш!": цикл!чпа система координат: багатовим!рпа репптка: оптималышй мополтю-груповий код: оптимальш векторш шформагцйш технологи
Вступ
В сучасшй наущ 1 техшщ все ширшого застосува-ння набувають багатовтирш дискретш сигнали, що в загальному випадку е. багатовтпрними функциями просторових незалежних змшних. Наприклад. в системах автоматичного керування такими функциями можуть бути векторш поля, до взаемодш мЬк ланками системи здшсшоеться на контактних полях в1дпов1дно1 розм1рносп, у ф1зищ просто-ровий розподш енерп1 квантового потоку вздовж напрямку вииромпиовання 1 т.п.
Шд час моделювання багатовтпрних сигнашв зручио користуватися поияттям просторово! системи координат. При цьому шд координатами сигналу розумпоть будь-яш аргумонти, на числовш ой яких ироектуються значения сигналу 1 фжсу-сться динамша його змши. У галуз1 радкхрзики використовують модат ввдповщних ф1зичних патв 1 ф1зичних ироцеав, на основ1 яких створюються математичш модат багатовтирних сигнатв. Таш модел1 дають можлившть вивчати 1х загалыи вла-стивость зампиовати ф1зичне моделювання досль джуваних ироцейв математичним, абстрагуючись ввд 1х ф1зично1 ирироди. За допомогою математи-чних моделей с можлившть описувати властивосп багатовтирних сигнал1в 1з залученням бшыного числа визначалышх ознак в доелвджуваних процесах, ввдхиляючи другорядш менш впливов1 ознаки тогцо. Тому синтез, доелвдження та використання власти-востей оптималышх математичних моделей дво- й
1Ьирв://оп. wikipodia.org/wiki/Cy <:Ш:_дгоир
6araTOBiiMipinix сигнатв иабувас важливого значения в радкхрзищ, шформащйних технолоиях та iiimux галузях науки i техн1ки.
1 Огляд метод1в комбшатор-Ho'i оптизшзацп багатовизшр-них сигнал1в
Бшышсть сучасних методов комбшаторно! опти-м1защ1 багатовтпрних сигнатв базуеться на вико-piiCTaiiiii класично! Tcopi'i комбшаторних кошргура-щй [1], алгебрично! Tcopi'i чисел [2], циюпчних груп1 i пашв Галуа [3]. Вони здебшыного стосуються синтезу одно- або двовтпрних моделей, иобудованих на основ! Teopi'i циюпчних р1зницевих множин [4]. Один з метод1в оиттизащ! багатовтирних сигнал1в передбачас використання нетрадищйних комбша-торних конф1гуращй багатовим1рних щеалышх кшьцевих в'язанок (1KB) [5]. В метод1 використо-вусться принцип оптималышх структурних в1дио-шеиь (ОСВ) для багатовтпрних системних об'скт1в. Цьому сприяло виявлення великого класу дво- та багатовтпрних 1KB з i'x числеииими 1зоморфиими й ие1зоморфиими перетвореииями [6]. Встаиовлеио, що 6araTOBiiMipni (або векторш) 1KB об'еднують велику груиу гце мало доелвджених комб1наторних структур, яш за pi3H0MaiiiTiiicTi0 тонко! структу-ри та чиселы!1стю значно перевершують класичн1 K0M6inaT0pni конф1гуращ1. Дослвдження ун1каль-
них властивостей тонко! структуры багатовтпрних 1KB висвилено в иублшашях [5.6]. Проглядаеться теоретичний взаемозв'язок структуризацИ' багато-BiiMipinix 1KB з геометричними формами просторо-во1 обортовсм симетрй' шгоговидов (англ. riiariyfolds2). В [5] з'явилося повщомлення про ввдкриття нового кластеру векторних 1KB. яш зберЬають свою ушкалыисть шд час переставляння вектор1в все-редиш шльцево1 структури. Поруч з класичними та нетрадицшними комбшаторними консргуращя-мп icnyiOTb числонш ансамбл1 paiiiine неввдомих комбшаторних кошргурашй «з1ркового» класу, на-званих 31рка «Слава Укра'пи!» [6]. На вщмшу вщ знаних комбшаторних конфЬуращй, ocTainii збе-piraiOTb свою ушкалыисть при взаимному псремь щонш BOKTOpiB ВСОрОДИШ кшьцовсм структури за з1рковою схемою, причому ця властивкть збср1га-сться для двох i бшыне BapiaiiTiB перестановок, залежно вщ порядку та розм1рноста 1KB. До 3ip-кового типу також иалежать числонш р1зновиди 1KB, до шлька BOKTOpiB можуть змпиовати свсм вс-личини, а решта Iii. Bei вони надшеш груповими властивостями, характерннмн для клаенчннх цикль чних груп i можуть продставляти певиий iiiTopec для побудови та дослщжсння моделей оптималышх векторних сигнал1в. BeKTopiii 1KB зручно розгля-дати як гмоопдовносп цшочислових ¿-кортеж1в, яш розмщеш за шльцевою схемою, до ¿-розм1ршсть t-модуляр hoi (mod mi,m2,...,ffl() иросторово! ре-ш1тки mi х Ш2 х ... х mt = п(п — 1)/Д, або mi х Ш2 х ... х mt = п(п — 1)/R + 1 [6]. Множина значень yeix t-модулярних вектор-сум ¿-кортеж1в, утворених на цш иослвдовноста, поро~тчуе множину вузлових точок цикл1чно замкнено! по кожнш oci ¿-вим1рно1 системи координат pisno R раз1в. Векторш 1KB охоплюють великий клас комбшаторних кошргура-цш, яш не мають прямнх аналоив серед клаенчннх р1зновид1в. Поняття векторних 1KB дають змогу розширити сферу фундаменталышх i прикладник дослщжснь в радюелектрошш i сумЬкних галузях знань, водночас збагачуючи иотенцшш можливоста сучаснсм комбшаторно! науки.
2 Постановка задач1
Задача полягас у вдосконаленш метод1в моде-лювання оптималышх багатовтпрних сигнал1в з використанням нетрадицшних комбшаторних кон-ф1гуращй в pemi моделей векторних ¡доалышх кшьцевих в'язанок (векторних 1KB). Ключовим завданням постае дослщження комбшаторних властивостей дво- та 6araTOBiiMipinix 1KB для оптимь зацй' 6araTOBiiMipiiiix сигнатв як ноей'в шформацй'
3 полшшеними техшчними показниками за иад1йи1-стю иересилання векторних даних каналами зв'яз-
-hUps://on. wikipodia.org/wiki/Manifold
-1hUps://on. wikipodia.org/wiki/Modular_arithmotic
Hittps://commons, wikimodia. org/ wiki/Filo:Hy portorus.gif
ку. Завдання включае в себе оирацювання методов оптимального кодування векторних сигнатв.
3 Метод вир1шення завдання
Метод базусться на використанш математично-го апарату алгебри векторних в'язанок (В-алгебри) [6], де елементами в'язанок постають абстрактш модел1 ¿-вим1рних сигнал1в у вигляд1 поапдовно впорядкованих за шльцевою схемою цшочислових кортеж1в. Числов1 значения кортеж1в шдобраш так, щоб вони разом з уйма сумами двох, трьох \ т.д. поелвдовно впорядкованих за шльцевою схемою кор-тежиих набор1в вичериували множину координат вузлових точок ¿-вим1рно1 регштки багатовим1рного простору. Опттпзадоя полягас в покритта фшеова-ним числом п цшочислових ¿-кортеж1в та 1хшми лшшними комбшадоями вузлових точок ¿-вим1рно1 ренптки координат в1ртуалыгого гшертору4. Обчи-слення здшешоють з урахуванням значень ввдповвд-них модуупв по кожнш 1з t цикл1чних координат ще! реш1ткн.
4 Модель двовим1рно1 оптимь зовано1 системи координат
В робота [6] описана модель оптималышх 2Б си-гиал1в у вигляд1 взасмопов'язаиих миожиии чисел натурального ряду \ множини координат розм1гце-ння цих чисел на розгорнутШ поверхш тору. У загальному внпадку модель дозволяе розглядатн ввдношення м1ж сухйрними шдмножинами впорядкованих елемент1в та гхшми просторовнмн координатами в базисному по„ш задано! снстемн координат. Задач1 такого класу зручно дослщжувати на математичних структурах у вигляд1 цикл1чних сп1вв1дношень м1ж поелвдовно виорядкованими кор-тежними наборами вектор1в в1диов1дно1 розм1рно-ст1. Загальна схема двовим1рно1 (t = 2) цикл1чно1 системи координат з в1дл1ком по шоёт^ шоёш2 ввдиосио точки (0,0) приведена на рис. 1.
/ mod m1 mod m2
i • (0,0)
Рис. 1. Схема двовим1рно1 цикл1чно1 системи координат з ввдлшом по modmi i modm2 ввдносио точки (0,0).
На рис. 2 зображена граф1чна схема модат двовтпрного (1 2) сигналу у виглядо кшьцево! п-постдовноси 2-кортеж1в ((к11, к12), (к21, к22),..., (Ы1, Ы2),..., (кп1. кп2)). на яшй зручно демонстру-вати роатзацпо методу оптим1защ1 моделей дво-втпрних сигнатв. Для прикладу нижче наведена граф1чна схема двовим1рно1 (1 2) 1КВ четвертого (п 4) порядку (рис. 2).
(ки, ки) , (¿21, £22) --------------------
(£п1, £п2)
(кц, £12) ---------
Рис. 2. Граф1чна схема модат двовтпрного (1 2) сигналу кшьцево! п-поипдовноси 2-кортолйв ((к11, к12),'(к21, к22),..., (Ы1, Ы2)..... (кп1, кп2))
Елемеитами двовтирноТ 1КВ с впорядковаш за кшьцевою схемою 2-кортеж1 ((1.0). (1.1). (2.2). (0.2)) (рис. 3). Обчислення координат вузлових тонок двовим1рно1 регштки 3 х 4 в цикл1чнш систем! В1Д,ШКу по кожнш ой здшсшоеться постдовним до-даванням впорядкованнх за кшьцевою схемою координат базових 2Б вектор1в з урахуванням модуля 3 \ 4 ввдповвдно. векторш значения яких зб1гаю-ться з вщповвдними елемеитами двовим1рно1 1КВ ((1.0). (1.1). (2.2). (0.2)). Результата обчислень зве-деш в табл. 1. перший стовпчик яко! мктить повний
3 х 4
(0,2) "
....... (2,2)
Рис. 3. Граф1чна схема 2 Б 1КВ ((1,0), (1,1), (2,2), (0,2)).
П1сля розмщення результате обчислення коор-
3х 4
поввдного 1х уиорядкування по рядках 1 стовпчиках, можна побачнтн, гцо множнна кшьцевих (модуляр-них) вектор-сум двовтирно! 1КВ ((1,0), (1,1), (2,2), (0,2)), обчислених по модулю 3 1 4, взаемно однозначно ввдповвдае множит координат двовим1рно1 3 х 4
(0,0) (0,1) (0, 2) (0, 3) (1,0) (1,1) (1, 2) (1, 3) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (2, 3)
Отже, за допомогою чотирьох (п 4) двовтир-них вектор1в 2Б 1КВ та використання 1х послвдов-них сум можна покрити все поле 12-ти вузлових
3х 4
лярнш) систем! вщлшу. При цьому вдалося втршп змеишити число зад1яних вектор1в у пор1внянш 1з
традишйними методами, гцо дозволяе випдно по-слуговуватись цим методом для оптим1заш1 двови-Mipmix сигнал1в, дктаючися до теоретичного Miiii-муму шформащйно1 i структурно! надм1рноста бага-TOBiiMipmix систем опрацювання векторних даних, багатовтпрних систем автоматичного керування та оиттизат! векторних шформацшних технологш.
Табл. 1 Результати обчислення координат вузлових точок ренлтки 3 х 4 за допомогою 1KB ((1,0), (1,1), (2,2), (0,2))
Вузлов1 точки Спойб обчислення координат 3 х 4
(0,0) ((2,2) (0,2) (1,0)) mod (3,4)
(0.1) ((1,1)—(2,2)—(0,2)) mod (3,4)
(0,2) (0,2)
(0,3) ((1,1)—(2,2)) mod (3,4)
(1.0) (1.0)
(1Д) (1Д)
(1,2) (0,2)—(1,0)) mod (3,4)
(1,3) ((1,0)—(1,1)—(2,2)) mod (3,4)
(2,0) ((2,2)—(0,2)) mod (3,4)
(2Д) ((1,0)—(1,1)) mod (3,4)
(2,2) (2,2)
(2,3) ((0,2)—(1,0)—(1,1)) mod (3,4)
5 Модел1 оптимальних багато-визшрних сигнал1в
Модат оптималышх багатовтирних сигнал1в, побудованих на основ1 ¿-вим1рних 1KB, зручно опи-сувати за допомогою граф1чно1 схемп у вигляд1 кшь-цево1 п-послвдовноста, елемеитами яко! е ¿-кортеж1
Ki = (kn, k12,..., kit),
K2 = (&21, k22, ..., k2t),
Ki = (kii,ki2,...,kit),
Kn = (kni, kn2,..., knt)),
де кц = ki (mod mi), ka = ki (mod m^, ..., kit = ki (mod mt).
Множнна ycix кшьцевих вектор-сум, взятих по комплексному модулю (т1,т2,... ,mt), утворюе ¿-вим1рну регттку т1 х т2 х ... х mt = п(п — 1)/R, або mi х Ш2 х ... х mt = п(п — 1)/R + 1, яка водно-час е множиною ¿-вим1рних иросторових координат вузлових точок та регштки, иричому координа-ти кожно1 вузлово! точки зустр1чаються piBHO R раз1в f ]. Таким чином, множину ¿-кортеж1в 1KB можна розглядати як впорядкований за кшьцевою схемою na6ip координат п базових вузлових точок
8
Ркшик В. В.
i-BHMipHOi реплтки, проекиД яких обмежеш рамками просторово замкнено! на саму себе координатнся с1тки то i х Ш2 х ... х mt в i—виьпршй систем! вадлшу, а множина значень координат цих точок, разом 3i значениями ycix i'x можливих лшшних комбшацш, взятих у виглядо кшьцових (модулярних) вектор-сум. поро~тчують множину вузлових координат ро-ш1тки R раз1в.
Схема t-BHMipHo'i цикл1чно1 системи координат з вадлшом по mod т\, mod То2,..., mod mt вадноено стлыкм точки (0,..., 0) показана на рис. .
На вадмшу вад схемн двовим1рно1 цикл1чно1 системи координат, де вадлш здшсшоеться вад спшьно!' точки (0.0) на взаемно ортогоналышх кшьцових осях по mod то1 i mod то2 (рис. ), що знаходяться на поверхн1 3D тору, в ¿-вим1рнш цикл1чнш систем! координат iciiye t кшьцових осей з вадпком по mod то-i, mod то2, ..., mod TOt вад стльно! точки (0,..., 0) для вадиовадних кшьцових осей. На рис. 4 приведена проекщя на площину малюнку кшьцових осей t-Biraipnoi цикл1чно1 системи координат з вадпком по mod То1, mod то2, ..., mod TOt вад стльно! точки (0,..., 0).
mod mt
/ ./ s'
I ;'"/ • (0,..0)
Рис. 4. Схема ¿-вим1рно1 цикл1чно1 системи координат з вадлшом по mod то1; mod то2, ..., mod то4
(0, . . . 0)
6 Властивоеп з1ркових конфь гурацш «Слава УкраТш!»
Властивосп «з1рковпх» комбшаторних конфигураций зручно представлятп у вигляд1 графа з п вершинами, яш сполучеш mdk собою п ребрами у виглядо замкнено! схеми. На рис. 5 приведен! при-клади здвоених ансамбл1в двовиьпрних (t = 2) 3ip-кових конфЬуращй «Слава УкраТш!» п'ятого (п = 5) порядку у вигляд1 зв'язнпх граф1в.
Кожиш вершиш вадповадае один i3 п ¿-кортеж1в {^1,^2, ...,Ki,..., Кп }, де Ki = (кц, ki2, ..., kit), t — число BHMipie «з1рково1» кшьцево! n-посладовность а кожна пара ребер, якими вершини сполучеш mdk собою, визначае м1сце обмшу t-кортолйв мшцями пад час реконструкщ1 «з1рки» вад одшет кшьцево! посладовносп до iiimo'i 3i збереже-ииям i'l ушкалышх властивостей. З.шва штриховою
лиияо позначоний граф з1рки ((1,1), (1,3), (3,3), (0,3), (2,3)), а суцшыюю - ((1,1), (2,3), (1,3), (0,3), (3,3)). Справа штриховою ((1,1), (1,4), (1,2), (1,0), (1,3)), а суцшыюю ((1,1), (1,0), (1,4), (1,3), (1,2)). Графи з1рок можуть набувати р1зно1 форми \ вад-повадати р1зним видам та порядку групп симотрШ; виб1р иапряму обходу вершин графа та початково! вершини не мае значения.
(1,1) (1,1)
(1,1) (1,1)
Рис. 5. Приклади ансамбл1в двовиьпрних (£ = 2) з1р-кових конфпурацш «Слава УкраЫ!» п'ятого (п = 5) порядку.
Остановлено, що чисолыисть ансамбл1в вектор-них з1ркових комбшаторних конфтуращй зростае ирискореними темпами з1 збшыпенням 1х порядку. Так, якщо повна сйм'я з1ркових кошргуращй «Слава УкраТш!» п'ятого (п = 5) порядку об'еднуе десять двовихйрних ансамбл1в по два вар1анти «з1рок» у кожному з них, то вже для сьомого кнуе р1вно 20 ансамбл1в двовиьпрних (£ = 2) «з1рок» з параметрами п = 7, Д = 1, тох = 6, т2 = 7, \ стшьки ж — тривим1рпих (¿=3), де тох = 2, то2 = 3 тоз = 7, два з яких мае по три, 1 18 по 4 «з1рки» ¿-вшшрпих векто-р1в у кожному ансамбл1 з однаковпм 1хшм складом. Щлм того, комбшування з наборами моду.шв дозволяв формувати додатков1 ам'! з 20-ти ансамбл1в з1ркових конф1гуращй у вигляд1 оптималышх дво-вим1рних реш1ток 2 х 2Ы3 х 14, кожеп з яких мае по 2 ансамбл1 з трьох 1 18 з чотирьох конф1гуращй сьомого порядку.
Простий пвдрахунок вказуе на 1снування 60-ти ансамбл1в двовим1рних 1 20-ти тривтирних з1рко-вих конф1гуращй сьомого (п = 7) порядку, як1 нал1чують 234 вар1анти двовим1рнпх 1 78 вар1ант1в тривим1рнпх конф1гуращй. Кожен 1з цих вар1ан-т1в визначае модель оптимально! системи, яка за допомогою лише семи (п = 7) ¿-вим1рних кодо-вих сигпал1в покривае £-вим1рне ф&зове поле 1з п (п— 1) = 42-х вузлових точок координатно! реплтки в1дпов1дних розм1р1в в циюпчнш систем! в1дл1ку, иричому вектори всоредиш кожного ансамблю можуть мшятися м1сцями за правилами «з1рки» так, що система залишаеться оптимальною. Для пор1в-няння слад вадзначнтн, що не кшуе жодного вар1анту одновим1рних 1КВ з параметрами п = 7 Д = 1. У загальиому випадку ¿-вим1рш коиф1гуращ1 «Слава Укра'М!» опиеуються параметрами п, К, тох, то2, ..., то4 — як вадповадп1 1КВ п-го порядку,
кратносп Д та набором модул1в тох, то2,... то4.
..______________ mod m2
mod m1
I
/
Табл. 2 Покриття вузлових точок двовиьпрно! координатно! атки 4 х 5 за допомогою ансамблю "з1рок": ((1,3), (1,1), (2,3), (0,3), (3,3)) та ((1,3), (3,3), (1,1), (0,3), (2,3)).
х
х ми по mod (4,5) «з1ркових» воктор1в
31рка ((1,3), (1,1), (2,3), (0,3), (3,3)) 31рка ((1,3), (3,3), (1,1), (0,3), (2,3))
(0,0) (1,3)—(1,1)—(2,3)—(0,3) (1,1)—(0,3)— (2,3)—(1,3)
(0.1) (3,3)—(1,3) (3,3)—(1,3)
(0,2) (1,3)—(1,1) —(2,3) (3,3)—(1,1)—(0,3)
(0,3) (0,3) (0,3)
(0.4) (0,3)—(3,3) —(1,3) (3,3)—(1,1)
(1.0) (0,3) —(3,3)—(1,3)—(1,1) (1,3)—(3,3) —(1,1)—(0,3)
(1Д) (1,1) (1,1)
(1,2) (3,3)—(1,3) —(1,1) (1,3)—(3,3)—(1,1)
(1,3) (1,3) (1,3)
(1,4) (2,3)—(0,3) —(3,3) (1,1)—(0,3)
(2,0) (1,1) —(2,3)—(0,3)—(3,3) (3,3)—(1,1) —(0,3)—(2,3)
(2Д) (2,3)—(0,3) (0,3)—(2,3)
(2,2) (2,3) —(0,3)—(3,3)—(1,3) (0,3)—(3,3) —(1,3)—(3,3)
(2,3) (2,3) (2,3)
(2,4) (1,3)—(1,1) (2,3)—(1,3)—(3,3)
(3,0) (3,3)—(1,3)—(1,1) -(2,3) (2,3)—(1,3) —(3,3)—(1,1)
(3,1) (0,3)-(3,3) (2,3)—(1,3)
(3,2) (1,1)—(2,3) —(0,3) (1,1)—(0,3)—(2,3)
(3,3) (3,3) (3,3)
(3,4) (1,1)—(2,3) (0,3)—(2,3)—(1,3)
Для шюстращ! ушкалышх властивостей з1рко-вих кошргуращй «Слава УкраШ!» в табл. 2 приведено два способи покриття вузлових точок на
4 х 5
за допомогою ансамблю «з1рок» ((1,3), (1,1), (2,3), (0,3), (3,3)) та ((1,3), (3,3), (1,1), (0,3), (2,3)).
3 табл. 2 можна бачити, гцо будь-який з двох вар1антав ансамбл1в 1з двох з1ркових конфЬуращй «Слава УкраШ!» ((1,3), (1,1), (2,3), (0,3), (3,3)) та ((1,3), (3,3), (1,1), (0,3), (2,3)) дае змогу за допомогою п'яти (п = 5) двовиьйрних кодових сигнал1в здшенити покриття 20 вузлових точок двовим1рно1 4 х 5
чому вектори всоредиш кожного ансамблю можуть мшятися мкцями за правилами "з1рки".
7 Модел1 оптимальних вектор-них код1в
На вщмшу ввд традицшних методов иеретворен-ня сигнатв в двшковий код, ирикладна тоор1я 1КВ передбачае кодування ¿-вим1рних сигнал1в у двшко-вому монолтго-груповому кода, де будь-якс дозволено кодове слово с комбшащето гцонайбшыно двох впорядкованих за кшьцевою схемою блошв одно-йменних симвотв. Для цього зручно внкорнстатн оптималышй код з монолтго-груповим розподшом однойменннх двшкових символ1в !Т' 1 "0" у кодових комбшащях [6]. Приклад побудови такого коду за
допомогою двовим1рно1 «з1рково1» 1КВ ((1,3), (1,1), (2,3), (0,3), (3,3)) з параметрами п = 5, Д = 1 Ш1 =ф т2 = 5 шюструе табл. .
Табл. 3 Оптималышй монолтю-груповий код иа «3ipKOBifi» 1KB ((1,3), (1,1), (2,3), (0,3), (3,3))
Вектор BaroBi розряди векторного коду
(1,3) (1,1) (2,3) (0,3) (3,3)
(0,0) 1 1 1 1 0
(0.1) 1 0 0 0 1
(0,2) 1 1 1 0 0
(0,3) 0 0 0 1 0
(0.4) 1 0 0 1 1
(3,4) 0 1 1 0 0
В оптимальному монолино-груповому Ь-втирному кода, побудоваиому иа 1КВ, миожииа вах дозволених двШкових комбшащй взаемно однозначно ввдповщае множит багатовтирних координат уах вузлових точок ¿-вгопрно! иросторово! реплтки, число яких збкаеться з ылыастю вах кшьцових сум, утвореиих иа кшьцовш постдовноси воктор1в обрати 1КВ. За наявносп вищезгаданих обмежень цей код набувае статусу оптимального, гцо дозволяс використовувати його властивосп для подолання шформатйно1 та структурно! надм1рноста багато-втирних дискретних сигнатв в радюпристроях \ системах зв'язку.
Перевагами такого методу кодування сигнал1в у дв1йковий код с висока завадостайшсть та швидшеть
виправлення помилок за правилом «свш замшть чужого». коли в момент появи р1зноймсшшх символ1в мЬк однойменними здшсшоеться автоматично йо-го самовиправлення замшою р1зноймешшх символ1в однойменними. Щлм того, при формуванш кодових сигнал1в у вигляд1 монолтго виорядкованих одно-йменних символ1в проетежуетьея зменшення негативного впливу явигца гонок шд чае опрацювання масив1в даних та иерееилання 1х каналами зв'язку. Модат оптималышх векторних код1в, иобудованих на двшковому монолино-груповому кодь можуть знайти заетоеування в шформащйних технолои-ях для ефективного опрацювання потошв векторних даних. багатовтлрних еиетемах автоматичного управлшня для керування р1зними техиолоичними ироцееами 1 еиетемах зв'язку.
8 Анал1з отриманих результатов
Протягом багатьох рошв зуеиллям вчених р1зних кра'ш етворювалаея й дал1 розвиваетьея свиова школа комбшаторного аиал1зу, а разом з нею те-орш комбшаторних конфшуращй [1]. В американо-укра'шському проект [7] С. Голомб5 запропонував об'еднати тоорпо «лппйок Голомба» [8] й 1КВ для '''Достджоння оеновоиоложних математичних прин-цишв етоеовно оптимального розмщення етруктур-них елеменпв розподшоних в простор! або час1 ...
мально розподшоних систем". Ведомо, гцо до «вде-алышх» комбшаторних конфшуращй з роз1мкне-ною структурою належать лише п'ять «доскона-лих» ¡доалышх «дерев Л1ча» [8], у тому чист три щеалыи лшшки Голомба. Достджоння продовжу-ються в напрямку «модуляризащ!» вшцезгаданих конфлуращй [9-11], що еввдчить про актуалыисть ще! проблематики. На вщмшу в1д ¡дсалышх кон-фшуращй 1з роз1мкнсною структурою кшуе наба-гато численшша кшьшеть досконалпх структур з1 замкненою структурою. Результатп пор1внялыгого анатзу й узагалыюння багатьох р1зновцгцв комбша-торних конфшуращй, таких як досконат р1зницев1 миожиии [4], цикшчш блок-схеми [12], геометр!! Зь Шера [13], системи попарно ортогоналышх латин-ських квадратав [14], матрищ Адамара [15], дають шдстави говорити про взаемозв'язок властивостей достджуваних комбшаторних конфигураций з фун-даменталышмн ф1зично-матсматичними законами природи - обертовою симетр1ею 1 натуралышми чи-словими рядами. У двовтпрному простор! обертова еиметр1я порядку 5 = п(п — 1)/Д +1 породжуе иатуралышй ряд чисел шляхом обрання початково! точки на 1КВ п-то порядку \ поопдовним додаван-ням чисел, що трапляються шд час обходу контуру 1КВ як завгодно багато раз1в. Таким чином, мо-
" Соломой Голомб аморикаиський математик, шжонор.
жна отрнматн будь яке велико натурально число, що вказуе на геометричне походження натураль-них чисел, иороджених структурою простору. Ця ж властивкть проглядаеться в багатовтпрних про-сторових репптках з1 замкненою структурою, що шдтверджуеться вщиовщними моделями та утворе-ними на цнх моделях натуралышх ряд1в вектор1в апрюр1 будь-яко! велико! розм1рноста \ як завгодно др1бного ступеня роздробленость Звщси випливае, що в розглянутих моделях оптималыисть закладена в самш 1хнш структур!, причому модел1 оптималь-них багатовтпрних сигнал1в на векторних комбша-торних кошргуращях не мають апрюр1 математичних обмежень щодо розм1р1в квантових вектор1в, 1х кшькосп та розхйрносп [5,6,16], а гхш властивосп що не дослщженш.
Основна вщмшшеть запроионованих моделей дискретних сигнал1в иолягае в способ! формування системи кодовнх комбшацш, яш набувають внгляду не бшыне двох постдовно розмщених за кшьце-вою схемою груп однойменних сигнал1в. Отримаш результати достдження властивостей тако! системи кодування (монолтю-групового коду) дозволили встановити ряд 1х переваг та недол1шв. Серед суттевих недол1шв ексионенщалыю зростання ш-формащйно1 надм1рносп за розрядшетю, а серед переваг кодування й завадоспйке опрацювання (пересилання, збереження, декодування, реконстру-кщя тощо) дво- й багатовтпрних сигнал1в в бази-енш систем! векторно! системи координат. Недолш щодо надупрносп компенсуеться автоматичним ви-явленням \ виправленням помилок за правилом «по бшыне двох груп однойменних символ1в разом», що, в свою чергу, дозволяе шдвшцити над1йн1сть \ швидк1сть опрацювання маснв1в векторннх да-ннх. Створення нового класу монол1тно-груповнх векторннх двшкових код1в на основ1 багатовим1р-них 1КВ в1дкривають персиективи для розвитку векторних шформащйних техиолог1й. Векторн11КВ переважають класнчн1 комб1наторш конф1гуращ1 за чиселыистю, просторовою р1зноман1тн1стю та ком-бшаторшгаи властивостями.
В дашй стати увага сфокусована на використан-ш векторних 1КВ як моделей оптималышх багато-вим1рних сигиал1в, як1 па вщмшу вщ оптим1зоваиих лйпйок по мають апрюр1 математичних обмежень щодо кшькосп базових вектор1в базово! множили вектор1в та розм1рност1. Це дае змогу 1х використо-вувати в системах зв'язку для кодування та опрацювання багатовтпрних сигиал1в в шформащйних системах.
Висновки
Модат оптималышх багатовнм1рннх сигнал1в зручно опнеуватн у внгляд1 дв1йкового монол1тно-
юфосор олоктротохшки в Уи1ворситот1 Швдеишй Кал1фории
групового коду, в якому будь-яко кодове слово Mi-стить но бшыно одного блоку поатдовно розмщо-них за кшьцевою схомою одноймонних символ1в, а множила Bcix дозволених двшкових комбшацш взасмно однозначно вщповщае множит координат ycix вузлових точок t-BHMipno'i просторово! реппткн, число яких зб1гаеться з кшьшстю Bcix кшьцових вектор-сум, утворених на п-иослщовносп вектор1в обрати 1KB. Комбшаторш властивоста таких моделей дають змогу збкчынити загальну кшьшсть вжи-ваних векторних сигнал1в ввд п до п(п — 1), завдя-ки використаншо кшьцевих вектор-сум. Потужшсть множини моделей оитималышх багатовтпрних си-гнал1в набагато иеревищус кшьшсть одновтирних аналопв, а вщкриття з1ркових кошргуращй «Слава Укра1н1!», яш надшош нов1тн1ми корисними власти-востями, дае змогу розширити сферу практичного застосування моделей оитималышх багатовтпрних сигнал1в як iiociiB нообхщшн шформагш для ви-конання того чи iiimoro завдання, забезпечуючи полшшоння тохшчних иоказнишв за надшшстю, за-вадостайшстю, захищешстю в1д носанкцюнованого доступу, швидшстю пересилання векторних даних каналами зв'язку, наприклад, оптимального кору-вання одночасно кшькома взаемозв'язаними параметрами якогось ф1зичного процосу. Модат вщкри-вають noBi можливосп для розвнтку оитималышх векторних шформацшних технологш.
References
[1] Woisstoin Е. W. Configuration. From MathWorld Л Wolfram Web Resource.
[2] Kostrikin Л.1. ("2012) Vvedienie v algebru. Osnovy algebry [Introduction into algebra. Foundations of algebra]. MCNMO.
[3] Rowland T. and Woisstoin E. W. Galois Extension Field. From MathWorld Л Wolfram Web Resource.
[4] Woisstoin E. W. Perfect Difference Set. From MathWorld Л Wolfram Web Resource.
[5] Riznyk V. V. (2016) Models of optimum discrete signals on the ring combinatorial configurations. Visn. N'l'UU KP1, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv., no. 64, pp. 10-22. (in Ukrainian)
[6] Riznyk V. V. (2016) Models of optimum discrete signals on the vector combinatorial configurations. Visn. N'l'UU KP1, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv., no. 65, pp. 13-25. (in Ukrainian)
[7] Golomb S.W. and Riznyk V.V. (1996) Researches and Applications of the Combinatorial Configurations for Innovative Devices and Process Engineering. CRDF Cooperative Grants Program, Los Angeles, СЛ 90089-2565, 10 p.
[8] Leach D. (2014) Modular Leech Trees of Order at Most 8. International .Journal of Combinatorics, Vol. 2014, Article ID 218086. DOl: 10.1155/2014/218086
[9] Golomb S. W. (2012) Infinite Sequences with Finite Cross-Correlation-11. Sequences and Their Applications SETA 2012, pp. 110-116. DOl: 10.1007/978-3-642-30615-0_10
[10] Woisstoin E. W. Golomb Ruler. From MathWorld Л Wolfram Wob Resource.
[Ill Toussaint G. T. (2016) The Geometry of Musical Rhythm: What Makes a "Good" Rhythm Good?, CRC Press, pp. 165-174.
[12] Woisstoin E. W. Block Design. From MathWorld Л Wolfram Wob Resource
[13] Woisstoin E. W. Plane. From MathWorld Л Wolfram Wob Resource.
[14] Orthogonal Latin squares. Encyclopedia of Mathematics.
[15] Woisstoin E. W. Hadamard Matrix. From MathWorld Л Wolfram Wob Resource .
[16] Riznyk V. (2016) Multi-modular Optimum Coding Systems Based on Remarkable Geometric Properties of Space, Advances in Intelligent Systems and Computing, pp. 129148. DOl: 10.1007/978-3-319-45991-2_9
Модели оптимальных многомерных сигналов на векторных комбинаторных конфигурациях
Ризнык В. В.
Рассматриваются модели оптимальных многомерных сигналов в виде двоичного монолитно-группового кода, в котором любое кодовое слово содержит не более одного блока последовательно расположенных по кольцевой схеме одноименных символов, а множество всех кодових комбинаций взаимно однозначно соответствует множеству векторных координат всех узловых точек многомерной пространственной решетки, число которых совпадает с количеством всех кольцевых вектор-сум. образованных па последовательности векторов выбранной идеальной кольцевой вязапки. Приведены примеры построения оптимальных многомерных сигналов, предназначенных для проектирования современных систем связи, и развития оптимальных векторных информационных технологий.
Ключевые слова: идеальная кольцевая вязанка: кольцевая вектор-сума: векторные данные: звездная конфигурация "Слава Украине!": циклическая система координат: многомерная решетка: монолитно-групповой код: векторные информационные технологии
Models of optimum multidimensional signals on the vector combinatorial configurations
Riznyk, V. V.
New conceptual models for construction of optimum multidimensional discrete signals as binary monolithic code, in which any allowed code word consists no more than one solid row of the same symbols in the ring topology sequence, named an "Optimum Monolithic Ring" code (OMR-code), are considered. All code combinations of an OMR-code enumerate the set of t.-coordinates specified with respect to t.-dimensional cyclic frame reference exactly R-t.imes. The remarkable technical merits of "Glory-to Ukraine Star" configuration, which properties hold for the same set of an OMR-code in varieties permutations of
its terms is demonstrated, and method for design of two-or multidimensional vector signals coded based on the optimum binary monolithic code is presented. Proposed vector models of discrete signal optimization provide, essentially, a new approach to generalize them to great class of optimized problems in radio-telecommunications, navigation and information technology. Moreover, the optimization embedded in the underlying combinatorial models. The favourable qualities of the Optimum Multidimensional Ring
code provides breakthrough opportunities to apply them to numerous branches of science and advanced technology, with direct applications to vector data telecommunications, vector encoded design, and optimal vector information technology.
Key words: Ideal Ring Bundl; ring vector sum; vector data; "G lory to Ukraine Star" configuration; solid system of ring axes; multidimensional grid; optimum monolithic code; optimum vector information technologies
