CC BY
92
УДК 621.396:519.15
МОДЕЛ1 ОПТИМАЛЬНИХ РАД1ОСИСТЕМ НА ВЕКТОРНИХ КОМБ1НАТОРНИХ КОНФ1ГУРАЦ1ЯХ1
Пзник В. В., д.т.н., професор
Нацгоналъний унгверситет «Лъвгвсъка полгтехнжа», м. Львгв, Украгна,
rvv@polynet. lviv.ua
MODELS OF OPTIMUM RADIO-SYSTEMS ON THE VECTOR COMBINATORIAL
CONFIGURATIONS
Riznyk V. V., PhD DSc, Professor
Lviv Polytechnic National University, Lviv, Ukraine, rvv@polynet.lviv.ua
Вступ
Оптимальний синтез дискретних систем на 0CH0Bi використання ком-бшаторних методiв i моделей знаходить застосування в радюсистемах pi3-ного призначення. Великий клас становлять задач^ пов'язанi з оптималь-ним розподiлом структурних елементiв або дискретних сигнаив у просто-рьчас за такими показниками як роздшьна здатнiсть, ширина робочого дiапазону, рiвень бокових пелюсткiв, завадостiйкiсть коду та iншi важливi показники. До таких задач належать синтез сигнаив з мтмальними боко-вими пелюстками функцп автокореляцii [1], лiнiйних радiоiнтерферометрiв для систем телескошчного спостереження за космiчними джерелами [2], конструювання антенних решггок з низьким рiвнем бокових пелюстюв [3] та iнших системних об'еклв, де важливе значення мае фактор впливу кшь-костi елементiв просторовоi структури на технiчнi характеристики уше1' системи. Просторове розмiщення елементiв можна розглядати як систему взаемопов'язаних множин лшш i точок !х перетину у виглядi проекцii ко-ординатноi сiтки, що знаходиться на поверхш тору, на площину ма-люнк [4]. Задачi цього класу об'еднаш загальною метою забезпечення пот-рiбних якiсних показникiв роботи системи в розширеному робочому дiапа-зонi просторових частот за наявност фiксованого числа елеменлв антенно!' решiтки. Значних успiхiв у розгортаннi дослiджень на цьому напрямку бу-ло досягнуто, завдяки роботам, як грунтуються на використанш комбша-торних властивостей циклiчних рiзницевих множин [5,6] та полiв Галуа [7]. Запропонований метод побудови радюсистем базуеться на комбiнаторних конфiгурацiях нового типу — щеальних кiльцевих векторних послщовнос-тях. Розглянутi основнi властивост таких послiдовностей та здiйснено по-рiвняльний аналiз iз класичними комбшаторними структурами [5].
1 http://radap.kpi.ua/radiotechnique/article/view/990
Огляд методiв оптимiзацil
Вщомо, що перевагою антенних решiток з нееквiдистантним розмщен-ням елеменлв у порiвняннi з еквщистантними решiтками е значне скоро-чення числа випромiнювачiв без втрати роздшьно1' здатностi при забезпе-ченнi низького рiвня бокових пелюсткiв, що змусило багатьох дослщниюв зайнятися удосконаленням методiв синтезу двовимiрних нееквiдистантних антенних решгток. У патентi Лiпера [8] (1978 р.) запропоновано елементи прямолшшно!' антени розмщувати у вузлах рiвномiрноi сггки так, щоб по-слiдовнiсть порядкових номерiв цих вузлiв утворювала цикичну рiзницеву множину [5]. Пiзнiше були запропоноваш iншi моделi антенних решггок, зокрема способи побудови й алгоритми синтезу двовимiрних антен, якi ба-зуються на двовимiрних узагальнених рiзницевих множинах [9], що дало змогу додатково мiнiмiзувати бокове випромiнювання шляхом обрання найлшшого варiанту рiзницевоi множини серед iнших множин з такими ж параметрами i за результатами порiвняння дiаграм направленостi знайти оптимальний. Один iз методiв побудови оптимальних систем грунтуеться на використаннi щеальних кiльцевих вiдношень (1КВ) — цикичних посль довностей цiлих додатних чисел, у яких ус суми послщовно розмiщених чисел вичерпують натуральний ряд [4]. Ця властивiсть 1КВ була викорис-тана в алгоритмi знаходження оптимального варiанту розмiщення 20-ти антен радiолокацiйноi системи з мiнiмально вщдаленими крайнiми анте-нами для досягнення максимальноi точностi визначення мiсцезнаходження вщдалених радiоджерел [10]. Бiльшiсть дослiджень, пов'язаних iз конс-труюванням радiосигналiв та радютехшчних пристроiв з нееквiдистантною структурою, грунтуеться на використанш теорii цикичних рiзницевих множин [5], математичного апарату алгебрично!' теорii полiв Галуа [5] i скiнченних проективних геометрiй Зшгера [7].
Постановка задачi
Оптимiзацiя радюсистем охоплюе багато задач, якi пов'язаш з розмь щенням деяко1' множини елеменпв в обмеженому просторi так, щоб досяг-нути бажаного ефекту шляхом вмшого розподiлу цих елеменпв один вщ-носно другого з урахуванням !х взаемодii та впливу на поведшку усiеi системи в реальних просторових вимiрах. Класична постановка задачi опти-мiзацii нееквщистантних двовимiрних решiток пов'язана з такими вимога-ми, як забезпечення низького рiвня бокових пелюсткiв i коефщента перек-риття частотного дiапазону, фшсованого значення дiаграми направленостi на обраних просторових напрямках з низьким i рiвномiрним рiвнем бокового випромшювання, та iншими потрiбними характеристиками, як зале-жать вiд кiлькостi та розмщення випромiнювачiв. Аналогiчною щодо тако1' постановки е задача синтезу оптимальних дискретно кодованих сигналiв, який базуеться на використанш властивостей полiв Галуа. Тому актуаль-
ним постае проблема створення та дослщження вщносно простих для практичних застосувань моделей оптимальних нееквщистантних решiток з дво- й тривимiрною структурами та алгоритмiв синтезу таких моделей для конструювання антенних решiток з потрiбними характеристиками. В бшьш широкому планi завдання полягае в опрацюванш регулярного методу по-будови дво- i тривимiрних моделей оптимальних радiосистем з просторо-вим розподiлом структурних елементiв та алгоршшв синтезу оптимальних дискретно-кодованих радюсигнаив.
Метод вирiшення завдання
В основу методу покладено дослщження комбiнаторних властивостей просторових об'екив у виглядi стввщношень сумiрних пiдмножин впо-рядкованих множин з метою встановлення взаемозв'язкiв мiж частинами цiлого як систем шцидентност [5]. В результатi дослiдження було встано-влено, що системи будь-яко1 фiзичноi природи зi замкненою структурою надшеш корисними для практичного застосування властивостями, суть яких полягае в можливост мiнiмiзацii iнформацiйноi та структурноi надмь рностей системи (зведення iх до теоретичного мiнiмуму) за умови розподь лу ii структурних елеменпв в просторово-часовому вимiрi подiбно до роз-мiщення позначок на круговш шкалi «досконалого кутомiра» [11]. Для ви-рiшення поставленого завдання пропонуеться новий рiзновид комбшатор-них конструкцш, в основi яких лежить поняття и вимiрноi досконало!' цик-лiчноi ^пропорци. Елементи тако1' конструкцii зручно представляти у ви-глядi и кортежiв цiлих додатних чисел, причому кортежi впорядкованi за кiльцевою схемою у виглядi розбиття t -вимiрноi сфери на п сумiжних секцш. Метод базуеться на використаннi властивостей комбшаторних конфiгурацiй, таких як цикичш рiзницевi множини i «досконаи кутом1ри» для синтезу багатовимiрних комбiнаторних конф^урацш з аналогiчними властивостями як зручних моделей оптимальних радюпристро1'в та систем з нееквщистантною структурою. В основу методу покладено принцип оптимальних структурних вщношень, зпдно якого структурш елементи ра-дiосистеми повнiстю або частково взаемопов'язаш правилами комбшацш-ного розмщення елементiв багатовимiрноi системи шцидентносп. Згада-ний принцип грунтуеться на понятт t -вимiрного iдеального кшьцевого вiдношення (1КВ), що е удосконаленим рiзновидом багатовимiрних ком-бiнаторних конф^урацш з циклiчною структурою.
Дослiдження повною мiрою стосуеться методiв синтезу оптимальних радютехшчних систем, в т.ч. антенних решит з нееквiдистантною структурою та дискретних кодових сигнашв.
Структура багатовимiрних 1КВ
Представимо модель t -вимiрноi 1КВ у виглядi кшьцево1' п -послiдовностi (рис. 1), елементами яко! е t -кортежi (^ K2, ..., Ki, ..., Kn);
К. -О"
Кг
Ki= (£ц, ki2, ..., kit),
K2 = (k2i, k22,., k2t), ... , K = (kii, k!2,.,k!t), ... , Kn=(kni, kn2,., knt)), Де
kii= ki (mod m^, ki2= ki (mod m2), ..., kit= ki (mod mt). Множина ycix послщо-вних (кiльцевих) вектор-сум, взятих по комплексному модулю (mb m2, ..., mt), утворюе t -вимiрнy решiткy m^ m2 х... х mt = «(«-1), яка взаемно однозначно вщповщае множит t- вимiрних координат yсiх вyзлiв цiеi решiтки, покриваючи ix рiвно R разiв.
Множину /-кортеж1в можна розглядати як впорядкований за кшьцевою схемою (рис.1) набiр координат « вузлових точок, про-екцii яких обмежет рамками ко-ординатноi сггки «х(«-1) в цикль чнiй системi вiдлiкy, а ixнi зна-чення разом зi значеннями yсix ix можливих лiнiйниx комбiнацiй, взятих у виглядi кiльцевиx вектор-сум, перелiчyють множину координат ушх вyзлiв цiеi координатно!' сiтки. Завдання зводиться до того, щоб за на-явностi просторових координат лише « вузлових точок та 1'хтх комбiнацiй покрити R способами множину «(«-1) точок координатно1' сггки «х(«-1) на поверxнi багатовимiрного тору.
Параметри «, mi (/=i, .., t), S, R , за якими можна визначати та досль джувати комбiнаторнi властивостi t- вимiрниx 1KB, взаемопов'язанi насту-пними залежностями:
- --------------"
К,
Рис. 1. Схема двовим1рно'1 структуры 1KB з п двомюними (t=2) кортежами
П
Ш,
«(«- i) < S < «(«- i)(«- i) n(n~1, або ППшг = n(n~1 +1; (mi,., mt) =i
(i) (2)
1 R V R Розглянемо грyповi властивостi двовимiрниx 1KB з параметрами «=3, mi=2, m2=3, 6< S <i2, R=1. Повна шм'я цього кластеру складаеться iз чоти-рьох варiантiв 1KB третього («=3) порядку А, Б, В, Г : ((1,1), (0,2), (0,1)); ((0,2), (0,1), (1,2)); ((1,1), (1,0), (1,2)); ((0,2), (1,0), (0,1)) вщповщно (табл.1).
Таблиця 1
Групов1 властивосп 1KB з параметрами п=3, mi=2, m2=3, 6 < S <i2, R=i, t=2
Bарiанти 1KB Bекторнi елементи 1KB Множник (ki, k2) Результат множення 1KB на (ki, k2) Bарiанти 1KB
А (i,i) (0,2) (0,i) (i, 2) (i,2) (0,i) (0,2) Б
Б (0,2) (0,i) (i,2) (0,i) (0,2) (i,i) А
B (i,i) (i,0) (i,2) (i,2) (i,0) (i,i) B
Г (0,2) (i,0) (0,i) (0,i) (i,0) (0,2) Г
Kоефiцiентами мyльтиплiкативного перетворення двовимiрниx (t=2)
BapiarniB 1KB е цiлочисловi 2-кортежi. Множення здшснюють у BipTyanb-ному числовому полi циклiчноi системи координат з урахуванням модуив (mod m\) i (mod m2). В середньому стовпчику ^ei тaблицi знаходиться кое-фiцieнт мультиплшативного перетворення (1,2), в лiвiй половин вписaнi вapiaнти 1KB, а в правш — результати множення коефщента (1,2) на 1KB, якi записан в лiвiй половинi тaблицi 1.
Наприклад, в полi циклiчноi системи координат 2x3, де mi=2, m2=3, процедура послiдовного множення елементiв вapiaнтy А на коефiцieнт перетворення (1,2) здшснюеться наступним чином: (1,1) (1,2)=(11=1(mod
2)=1), (1-2=2(mod 3)=2) ^ (1,2); (0,2)-(1,2)=(0-1=0(mod 2)=0), (2-2=4(mod
3)=1) ^ (0,1); (0,1)-(1,2)=(0-1=1(mod 2)=0), (1-2=2(mod 3)=2) ^ (0,2). Отримана цикшчна послiдовнiсть ((1,2),(0,1 ),(0,2)) е вapiaнтом послщовно-стi Б. Легко побачити, що той же коефщент здiйснюe зворотне перетворення вapiaнтy Б в А Однак, такому перетворенню не пiдлягaють вapiaнти В i Г. Для цих вapiaнтiв множення на вектор (1,2) переводить ix у сaмi себе з реверсним впорядкуванням й дзеркальним розмщенням вектоpiв (табл.
1). З анаизу тaблицi 1 випливае, що кластери 1KB з параметрами n=3, m1=2, m2=3, 6 < S < 12, t=2 включае в себе два iзомоpфнi (А,Б) i два автомо-pфнi (В,Г) вapiaнти двовимipниx комбiнaтоpниx конфiгypaцiй, кожен з яких дае змогу трьома (n =3) лшшними комбiнaцiями вектоpiв покрити yd вyзловi точки двовимipноi розгортки поверхш тору (n-1) x n = 2x3.
Гpyповi влaстивостi t- вимipниx 1KB дають теоpетичнi тдстави для пошуку взаемно iзомоpфниx перетворень piзниx вapiaнтiв всеpединi згада-ного кластеру за допомогою вiдповiдниx коефщенлв. Синтез i до^джен-ня клaстеpiв 1KB показали, що переважна бшьшють 1KB з дво-, три- й бага-товимipною структурами не мають прямих aнaлогiв серед класичних ком-бiнaтоpниx конфiгypaцiй, а становлять окрему групу комбшаторних об'eктiв, що потребують додаткового дослiдження.
Поpiвняння клас-теpiв одно-, дво- i тpивимipниx 1KB з числом елеменпв вiд 3 до 7 представлена у виглядi таблиц (табл.
2). Таблиця шюструе iснyвaння широкого спектру piзниx вapia-нтiв дво- i тpивимip-них 1KB на значно скромшшому фон одновимipниx 1KB. Спостеpiгaeться чiткa тенденщя до стpiмкого збшь-шення кшькост вapiaнтiв дво- i тpивимipниx 1KB зi зростанням порядку n.
Таблиця 1
Характеристика одно-, дво- i тривим1рних 1KB для n=3,.. .7
Порядок 1KB (n) Юльюсть вар1ант1в 1KB Розм1ри 2-вим1рно'1' реш1тки Розм1ри 3-вим1рно'1' реш1тки
1D 2D 3D
3 1 4 - 2x3 -
4 2 24 - 3x4 -
5 1 272 - 4x5, 3x7 -
6 5 256 128 5x6, 3x10 2x3x5
7 0 360 180 6x7, 3x14 2x3x7
Найчисельшшу кшьюсть становлять двовимiрнi 1КВ, серед яких все часть ше по мiрi зростання порядку зустрiчаються рiзнi варiанти взаемного роз-мiщення елементiв за наявност !х однакового складу. Таю властивост ве-кторних 1КВ мають важливе наукове i прикладне значення, тому заслуго-вують на розгортання додаткових дослiджень цього класу комбшаторних структур.
Застосування двовимiрних 1КВ для оптимiзащi решiток iлюструеться на прикладi перетворення рiзницевоi множини з параметрами ^=40, «=13, А=4 [5] у двовимiрну (/=2) кiльцеву послiдовнiсть 1КВ з параметрами 8=и=т1хт2=5х8, п=13, Я=Я=4, /=2 та наступним зменшенням геометрич-них розмiрiв решiтки (рис. 2). Оптимiзацiя здiйснюеться шляхом аналiзу рiзних варiантiв дiаграми направленостi, отриманих на множит цикичних зсувiв двовимiрноi 1КВ в межах вiкна 5x8 та обрання одного або кшькох найлшших варiантiв для синтезу антенноi решггки з потрiбними характеристиками. Розмщення елементiв антени на двовимiрнiй решггщ безпосе-редньо визначаються за координатами (0,0), (1,1), (2,2), (0,5), (2,4), (3,2), (2,6), (4,0), (1,2), (2,3), (4,5), (2,0), (3,1)) [12]. Легко бачити (рис.2), що для зменшення розмiрiв 5x8 решггки до 5x6 без значноi втрати и роздшьно!' здатност i збереження низького рiвня бокових пелюсткiв доцiльно видали-ти елемент (2,6) (позначка "х" на рис.2). Синтез нееквiдистантних антен, оптимiзованих на основi двовимiрних 1КВ, полягае в розмщенш елементiв на решгтщ за координатами, що збiгаються з числовими значеннями 2-кортежiв, ^ пiсля перегляду множини варiантiв з урахуванням циклiчних зсувiв по осях координат в обох напрямках, дзеркальних вщображень, ш-версii, доповнення, мультиплшативного перетворення, — обрання одного або кшькох найлшших варiантiв. На завершальному етапi за допомогою ЕОМ здшснюеться анаиз дiаграми направленостi антени з ощнкою и характеристики за рiвнем бокових пелюсткiв, роздiльною здатшстю, шириною частотного дiапазону, габаритами та шшими показниками.
Застосування 1КВ з параметрами (1, 2) для оптимiзацii дво- i тривимiр-них антенних решгток з метою полш-шення !'х технiчних показникiв дае змогу спростити розрахунки й конс-труювання багатоелементних антен з тисячами симетрично розмщених вь дносно центру решгтки випромшюва-чами, а також пристро1'в узгодження НВЧ трактiв, цифрових фiльтрiв, фа-зообертачiв та систем кодування складних сигнаив. Поруч з методами проектування двовимiрних нееквщис-
Рис. 2. Схема розмщення 12-ти елемент1в симетрично'1 оптим1зовано'1 реш1тки 5х6
тантних антенних решгток з низьким рiвнем бокових пелюстюв [9], запро-понована математична модель i регулярний метод дозволяе знаходити оп-тимальне розмiщення елеменпв нееквiдистантних антенних решiток для тдвищення роздiльноi здатностi радiолокацiйних станцiй, пдроакустич-них комплексiв [15] та формування ефективних систем двовимiрних ште-рферометрiв з покриттям просторових частот в заданш областi [16], де фу-нкцii оптимiзацii взаемного розмiщення елеменпв виконують координати векторiв двовимiрноi 1КВ з вiдповiдно обраними параметрами.
Нижче наводиться приклад використання тривимiрних 1КВ для побу-дови моделей радюлокацшних систем з просторовою структурою. Триви-мiрна 1КВ {(1,1,1), (1,1,2), (1,0,3), (0,2,2), (0,1,4), (0,2,4)} з параметрами п=6, ^1=2, т2=3, т3=5, 5 =31, Я=1 розв'язуе задачу покриття усiх вузлових точок тривимiрноi решгтки 2x3x5 множиною кiльцевих вектор-сум на еле-ментах цiеi 1КВ рiвно одним (Я=1) способом :
(0,0,0) = 1,1,2)+( 1,0,3)+(0,2,2)+(0,1,4)+(0,2,4);
(0,0,1) = 0,2,2)+(0,1,4);
(0,0,2) = 1,1,2)+( 1,0,3)+(0,2,2);
(0,0,3) = 0,1,4)+(0,2,4);
(0,0,4) = 1,0,3 )+(0,2,2)+(0,1,4)+(0,2,4)+( 1,1,1);
(0,1,0) = 1,1,2)+(1,0,3);
(0,1,1) = 1,1,2)+( 1,0,3)+(0,2,2)+(0,1,4);
(0,1,2) = 0,1,2);
(0,1,3) = 0,2,2)+(0,1,4)+(0,2,4)+( 1,1,1)+(1,1,2);
(0,1,4) = 0,1,4);
(0,2,0) = 0,2,2)+(0,1,4)+(0,2,4);
(0,2,1) = 0,1,4)+(0,2,4)+( 1,1,1)+(1,1,2);
(0,2,2) = (0,2,2);
(0,2,3) = 1,1,1)+(1,1,2);
(0,2,4) = (0,2,4);
(1,0,0) = 0,2,4)+(1,1,1);
(1,0,1) = 0,2,2)+(0,1,4)+(0,2,4)+( 1,1,1);
(1,0,2) = 0,2,4)+(1,1,1)+(1,1,2)+( 1,0,3)+(0,2,2);
(1,0,3) = 1,0,3);
(1,0,4) = 1,0,3)+(0,2,2)+(0,1,4);
(1,1,0) = 0,2,4)+(1,1,1)+(1,1,2)+(1,0,3);
(1,1,1) = 1,1,1);
(1,1,2) = 1,1,2);
(1,1,3) = 1,1,1)+(1,1,2)+( 1,0,3)+(0,2,2);
(1,1,4) = 1,1,4};
(1,2,0) = 1,0,3)+(0,2,2);
(1,2,1) = 1,1,1)+(1,1,2)+(1,0,3);
(1,2,2) = 1,1,1)+(1,1,2)+( 1,0,3)+(0,2,2)+(0,1,4);
(1.2.3) = (1,0,3)+(0,2,2)+(0,1,4)+(0,2,4);
(1.2.4) = (0,1,4)+(0,2,4)+( 1,1,1)+(1,1,2)+( 1,0,3).
Рис. 3. Схема структури тривим1рно'1 1КВ {(1,1,1), (1,1,2), (1,0,3), (0,2,2), (0,1,4), (0,2,4)}на решiтцi 2х3х4.
\
зсув1в, оскшьки крайня колонка справа не мютить елеменпв (рис. 3). В основ! методу використаш комбшаторш властивост тривим1рних 1КВ, що дае змогу розробляти спрощеш алгоритми для побудови та дослщження ефективност нееквщистантних 30 антенних систем з мш1м1защею боко-вих пелюстюв без значного попршення решти яюсних показниюв акусти-чних та пдроакустичних комплекшв [17].
З публшацш [1,5-7] та результалв теоретичних дослщжень [12-14] встановлено, що юнуе численна кшьюсть вар1ант1в 1КВ, причому потуж-шсть множин 1КВ, як правило, стр1мко зростае з1 збшьшенням iх порядку та розм1рност1, оскшьки беруться до уваги не лише 1КВ, що е аналогами класичних комбшаторних конф1гурацш (зокрема, р1зницевих множин), але й значно ширший спектр приналежних до кластеру 1КВ комбшаторних структур, як не мають аналопв серед класичних комбшаторних конф1гу-рацш.
Моделi дискретних кодових сигналiв на багатовимiрних 1КВ
Серед задач, пов'язаних 1з побудовою оптимальних дискретних кодових сигнаив, значний штерес представляють сигнали з монолггно впоряд-кованими бшарними р1внями - монолита кодов1 сигнали, як базуються на властивост запропонованих моделей утворювати п(п-1) двшкових кодових комбшацш для кодування ? -вим1рних векторних даних за допомогою дискретних сигнашв. Формування додаткових комбшацш здшснюеться простим обранням або додаванням вiдповiдноi кшькост вектор1в цiеi послщов-ностг Наприклад, для покриття координатноi сiтки 2x3 множиною комбь нацш з трьох (п=3) векторiв можна використати цикичну кодову послщо-внють ((1,0), (1,1), (1,2)) з параметрами п =3, ^1=2, т2=3, 5=9, Я=1, ?=2, яка дозволяе закодувати шiсть (2x3=6) двовимiрних векторiв, простим iх обранням або додаванням (табл. 3).
Легко бачити, що множина векторiв, якi отриманi додаванням векторiв (1,0), (1,1), (1,2) з урахуванням значень вщповщних модулiв (т1=2, т2=3)
(mod2,mod3)
Таблиця 3
Формування комбшацш оптимального монолтгно!" коду на IKB ((1,0),(1,1),(1,2))
Монол1тн1 кодов! rocni-
Координати довноси
вyзлiв реш1тки Значення вагових розряд1в
2x3
(1,0) (1,1) (1,2)
(0,0) 0 1 1
(0,1) 1 1 0
(0,2) 0 1 1
(1,0) 1 0 0
(1,1) 0 1 0
(1,2) 0 0 1
та самих цих векторт покривають yci вузлов1 точки двовим1рно1 с1тки ко ординат 2x3:
(1,1) + (1,0) = (0,1) (1,0) + (1,2) = (0,2) (1,2) + (1,1) = (0,0)
Послщовнють ((1,0), (1,1), (1,2)) дае змогу закодувати yci вектори, чи-слов1 значення яких зб^аються з координатами вузлових точок дво-вимiрноi ciтки 2x3. Легко перевiрити, що використання будь-якого шшого варiантy 1КВ з числа наведених у таблиц 1, дозволяе отримати ана-логiчний результат. Bci варiанти (А, Б, В, Г) у данному випадку е рiвноцiнними. Однак, кожен з них вщповщае iншiй cиcтемi формування комбiнацiй оптимального монолггно-го коду, що дозволяе при необ-хiдноcтi швидко змiнювати систему кодування двовимiрних cигналiв простою замшою одних векторiв кшьце-воi структури векторами iншоi системи кодування.
Метод кодування забезпечуе високу завадостшюсть системи, завдяки влаcтивоcтi монолiтного коду автоматично позбавлятися помилок в реальному чаш простою замшою дискретних cигналiв, як порушують монол1т-ну кшьцеву структуру кодового сигналу, на таю, що ii зберiгають. Серед шших переваг - пiдвищений рiвень надшност роботи в широкому дiапа-зош робочих частот зi збереженням високих яюсних показникiв стосовно захисту вщ неcанкцiонованого доступу.
Таблиця 4 шюструе приклад кодування тривимiрних векторiв просто-ровоi решiтки 2x3x5 на оcновi 3D-IKB ((0,1,0), (0,2,3), (1,1,2), (0,2,2), (1,0,3), (1,1,1)).
З наведенного прикладу можна бачити, що множина ушх кiльцевих вектор-сум, обчислених з урахуванням вщповщних модyлiв, взаемно однозначно вщповщае множинi координат yciх вузлових точок тривим1рно1' решiтки з розмiрами 2x3x5. Таким чином, в даному кодi достатньо задiяти лише шють (n=6) кодових комбiнацiй для кодування n(n-1)=30 тривим1р-них векторiв, дiапазон змiни яких обмежений вiдповiдними значеннями модyлiв. Аналогiчно здiйcнюетьcя кодування повщомлень, представлених у виглядi багатовимiрних маcивiв даних. Можливicть створення таких систем кодування забезпечуеться численною кiлькicтю нового класу за-
пропонованих векторних комбшаторних конф^урацш, для яких наразi не знайдено прямих вщповщниюв серед вщомих комбiнаторних конф^ура-цш [1,5-9].
За чисельнютю, рiзномаштшс-тю та рiвнем впорядкованостi клас-тери векторних 1КВ переважають двовимiрнi модифiкацii класичних рiзницевих множин, що шюструе таблиця 1. Ц переваги можна по-бачити, починаючи з двовимiрних 1КВ третього порядку.
Для здiйснення кластеризации спрощення побудови та дослiджен-ня систем кодування дискретних сигналiв на основi використання багатовимiрних 1КВ доцiльно ви-значитися з вщповщними поняття-ми, якi пов'язанi з оптимальним монолiтним кодом.
К1льцевий монолггний код (КМК), — це множина кодових послiдовностей, всi дозволенi ком-бiнацii яких утворенi з поруч роз-мiщених за кiльцевою схемою не бшьше двох блокiв однойменних символiв.
Числовий оптимальний к1-льцевий код, — це зважений п -розрядний двшковий КМК, ваги розрядiв якого утворюють множи-ну двшкових комбiнацiй в iнтервалi [1, 5], де вс кiльцевi суми ваг цiеi n-послiдовностi, взятi по модулю 5=п(п-1)/Я, перелiчують множину цших додатних чисел в iнтервалi [1, 5] рiвно Я разiв.
Двовим1рний оптимальний к1льцевий код, — це зважений п - розрядний двшковий КМК з двовимiрними вагами розрядiв, у якому множина ушх кшьцевих сум, взятих по модулях т1 та т2 , вiдповiдно, перелiчують вузловi точки двовимiрноi системи координат т1 х т2, яка покривае пове-рхню тору рiвно Я разiв, де т1 т2 = п(п-1)/Я.
Багатовимiрний оптимальний кшьцевий код — це зважений п - розрядний двшковий КМК з I- вимiрними вагами розрядiв, у якому множина
Таблиця 3
Оптимальний 3Б монол1тний код на 1КВ ((0,1,0),(0,2,3),(1,1,2),(0,2,2),(1,0,3),(1,1,1)).
Вектор Кодова комбшащя
(0,0,0) 1 1 1 1 1 0
(0,0,1) 0 0 0 1 1 1
(0,0,2) 0 0 1 1 1 0
(0,0,3) 1 1 0 0 0 0
(0,0,4) 1 1 0 1 1 1
(0,1,0) 1 0 0 0 0 0
(0,1,1) 1 1 0 0 1 1
(0,1,2) 0 0 1 1 1 1
(0,1,3) 1 1 1 1 0 1
(0,1,4) 0 0 0 0 1 1
(0,2,0) 0 1 1 1 1 0
(0,2,1) 1 1 1 0 0 1
(0,2,2) 0 0 0 1 0 0
(0,2,3) 0 1 0 0 0 0
(0,2,4) 1 0 0 0 1 1
(1,0,0) 0 1 1 0 0 0
(1,0,1) 0 1 1 1 1 1
(1,0,2) 1 1 1 1 0 0
(1,0,3) 0 0 0 0 1 0
(1,0,4) 0 0 1 1 0 0
(1,1,0) 1 1 1 0 0 0
(1,1,1) 0 0 0 0 0 1
(1,1,2) 0 0 1 0 0 0
(1,1,3) 0 0 1 1 1 1
(1,1,4) 1 1 0 0 0 1
(1,2,0) 0 0 0 1 1 0
(1,2,1) 1 0 0 0 0 1
(1,2,2) 0 1 1 1 0 0
(1,2,3) 1 0 1 1 1 1
(1,2,4) 1 1 1 0 1 1
ycix кшьцевих сум, взятих по модулях m1, m2 ,..., mt , вщповщно, перелiчy-ють вyзловi точки двовимiрноi системи координат m1 х ...х mt, яка покри-вае поверхню гiперторy рiвно R pa3iB, де m1 m2 . mt = n(n-1)/R.
Висновки
В основу запропонованих моделей i методiв комбiнaторноi оптимiзaцii рaдiосистем покладено загальний принцип гармоншного спiввiдношення частин i цшого — концепцiя iдеaльних кiльцевих вщношень (1KB). Розгля-нyтi мaтемaтичнi моделi синтезу та оптимiзaцii рaдiотехнiчних систем представляють новий клас векторних комбшаторних конфiгyрaцiй з кори-сними властивостями для спрощеного рiшення широкого кола оптимiзa-цiйних задач в Ta^i рaдiоелектронiки, кiбернетики, шформацшно-вимiрювaльноi техшки, i пов'язана з теоретичними та прикладними проблемами aнaлiзy й синтезу систем. Мета дослщження реaлiзовaнa в моделях й алгоритмах, як доведенi до рiвня простих аналмчних сшввщно-шень у виглядi впорядкованих за кiльцевою схемою послщовностей дво- й бaгaтовимiрних векторiв, що утворюють систему iнцидентних сшввщно-шень з властивостями циклiчних груп, причому оптимальнють закладена в сaмiй стрyктyрi цих спiввiдношень. На вiдмiнy вщ одно- i двовимiрних ци-кичних рiзницевих множин, кластер iдеaльних кшьцевих вщношень охоп-люе набагато ширший спектр комбiнaторних моделей синтезу та оптимiзa-цii систем, корисних для прикладних i теоретичних дослiджень системних об'еклв будь-яко!' фiзичноi природи з можливютю прямого застосування у радюелектронних, акустичних чи гiдроaкyстичних системах, радюлокацш-них системах керування, стан яких визначаеться фyнкцiями групи змш-них у виглядi векторних полiв, залежних вiд просторових координат, при-строях НВЧ, методах синтезу оптимальних дискретно-кодованих сигнaлiв з високими якiсними характеристиками за такими показниками як завадос-тшюсть, роздiльнa здaтнiсть, мiнiмiзaцiя функцп aвтокореляцii, а також для ршення векторних задач в iнтересaх розвитку нових застосувань техшки 3D НВЧ. Проглядаеться зв'язок розглянутих геометричних структур iз фундаментальними законами природи у виглядi просторових гармоншно взаемопов'язаних сшввщношень симетрii та aсиметрii [11].
Перелж посилань
1. Свердлик М.Б. Оптимальные дискретные сигналы / М.Б. Свердлик. - М. : Советское радио, 1975. - 200 с.
2. Tompson A.R. Interferometry and Synthesys in Radio Astronomy / A.R. Tompson, J.M. Moran, G.W. Swenson Jr. - New York : Wiley, 1986. - doi: 10.1002/9783527617845.indauth
3. Kopilovich L. E. Minimization of the number of elements in large radio interferometers / L. E. Kopilovich // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 1995. - Vol. 274, No. 2. - pp. 544-546.
4. Ризнык В. В. Об одном способе оптимального построения дискретных систем /
B. В. Ризнык // Электроника и моделирование. - 1975. - Вып. 8. - К. : Наукова думка. -
C.12-15.
5. Холл М. Комбинаторика / М. Холл ; под ред. А.О. Гельфонда и В. Е. Тараканова. - М. : Мир. - 1970. - 470с.
6. Baumert L.D. Cyclic Difference Sets. Lecture Notes in Mathematics. - 1971. - vol. 182. - 167 p.
7. Singer J. A theorem in finite projective geometry and some applications to number theory/ J.Singer // Transactions of the American Mathematical Society. - 1938. - vol. 43, no. 3. - pp. 377-377.
8. Пат US4071848 МКИ H01Q21/22 Thinned Aperiodic Antenna Arrays with Improved Peak Sidelobe Level Control / D.G. Leeper ; заявл. 26.11.1976, US05/745231 ; опубл. 31.01.1978.
9. Копилович Л.Е. Одномерные и двумерные неэквидистантные антенны-решетки с низким уровнем боковых лепестков : препринт №293 / Л.Е. Копилович, Л.Г. Содин ; АН УССР, Ин-т радиофизики и электроники. - 1986. - Харьков : ИРЭ. - 39 с.
10. Чаплин А. Ф. Оптимальные радиосистемы на комбинаторных моделях / А.Ф. Чаплин, В.В. Ризнык, О.Я. Ризнык, Б.В. Коваль, И.Р. Захарчук // Контрольно-измерительная техника. - 1987. - Вып. 42. - С. 84-86.
11. Наукова школа [Електронний ресурс]. - Режим доступу: http://iknit.lp.edu.ua/riznyk/science.html. - Назва з екрану.
12. Рiзник В.В. Дослщження комбшаторних конф^урацш та ix застосування для синтезу техшчних пристро1!в i систем з нееквщистантною структурою: Автореф. Дис.... д-ра техн. наук: 28.10.94 / В. В. Рiзник; Вшницький державний техшчний ушверситет. -Вшниця, 1994. - 42 с.
13. Рiзник В. В. Синтез оптимальних комбшаторних систем / В. В. Рiзник. - Львiв : Вища школа, 1989. - 165 с.
14. Riznyk V.V. Multi-dimensional Systems Based on Perfect Combinatorial Models / V.V. Riznyk // IEE Colloquium on Multidimensional Systems: Problems and Solutions. -1998. - P.5/1-5/4.
15. Riznyk W. Application of the Golden Numerical Rings for Configure Acoustic Systems of Fine Resolution / W. Riznyk // Acta Physica Polonica A. - 2011. - Vol.119, Is. 6A. -P.1046-1049.
16. Riznyk V. Application of the gold ring bundles for innovative non-redundant radar or sonar systems / V. Riznyk, O. Bandyrska // The European Physical Journal Special Topics. - 2008. -Vol.154. - P. 183-186.
17. Riznyk V. Application of the gold ring bundles for innovative non-redundant sonar systems / V.Riznyk, O.Bandyrska, D.Skrybaylo-Leskiv // Archives of Acoustics. - 2006. -Vol.31, №4(S). - P. 379-384.
References
1. Sverdlik M.B. (1975) Optimal'nye diskretnye signaly [Optimum discrete signals]. Moskow, Sovetskoe radio Publ., 200 p.
2. Tompson A.R., Moran J.M. and Swenson G.W. Jr. (1986) Interferometry and Syn-thesys in Radio Astronomy, New York, Wiley
3. Kopilovich L. E. (1995) Minimization of the number of elements in large radio interferometers. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, vol. 274, no. 2, pp. 544-546.
4. Riznyk V. V. (1975) Ob odnom sposobe optimal'nogo postroeniya diskretnykh sistem [On a method of the optimum design of discrete systems]. Elektronika i modelirovanie, No 8, pp. 12-15.
5. Hall M. Jr. (1967) Combinatorial theory. Blaisdell Publishing Company, 470 p.
6. Baumert, L.D. (1971) Cyclic Difference Sets. Lecture Notes in Mathematics, vol. 182, 167 p.
7. Singer J. (1938) A theorem in finite projective geometry and some applications to number theory. Transactions of the American Mathematical Society, vol. 43, no. 3, pp. 377377.
8. Leeper D.G. (1978) Thinned Aperiodic Antenna Arrays with Improved Peak Sidelobe Level Control. Pat. USA No 4071848.
9. Kopilovich L.E. and Sodin L.G. (1986) Odnomernye i dvumernye neekvidistantnye antenny-reshetki s nizkim urovnem bokovykh lepestkov : preprint no 293 [One- and two-dimensional non-uniformly spaced antenna arrays with low side lobe level. Preprint no.293]. Khar'kov, IRE, 39 p.
10. Chaplin A. F., Riznyk V.V., Riznyk O.Ya., Koval' B.V. and Zakharchuk I.R. (1987) Optimal'nye radiosistemy na kombinatornykh modelyakh [Optimum systems on combinatorial models]. Kontrol'no-izmeritel'naya tekhnika. Is. 42, pp. 84-86.
11. Naukova shkola [Scientific school]. Available at: http://iknit.lp.edu.ua/riznyk/science.html.
12. Riznyk V.V. (1994) Doslidzhennia kombinatornykh konfihuratsii ta ikh zastosuvan-nia dlia syntezu tekhnichnykh prystroiv i system z neekvidystantnoiu strukturoiu : Avtoref. dys. dokt. tekhn. nauk [Research of the combinatorial configurations and its applications for synthesis of engineering devices and systems with non-uniform structures. Dr. of Sci. (Techn.) diss.]. Vinnycia, 42 p.
13. Riznyk V. V. (1989) Syntez optymalnykh kombinatornykh system [Combinatorial synthesis of optimal systems]. Lviv, Vyshcha shkola, 165 p.
14. Riznyk V.V. (1998) Multi-dimensional Systems Based on Perfect Combinatorial Models. IEE Colloquium on Multidimensional Systems: Problems and Solutions, pp.5/1-5/4.
15. Riznyk W. (2011) Application of the Golden Numerical Rings for Configure Acoustic Systems of Fine Resolution. Acta Physica Polonica A, vol.119, pp.1046 -1049.
16. Riznyk V. and Bandyrska O. (2008) Application of the gold ring bundles for innovative non-redundant radar or sonar systems. The European Physical Journal Special Topics, Vol.154, pp.183- 186.
17. Riznyk V., Bandyrska O. and Skrybaylo-Leskiv D. (2006) Application of the gold ring bundles for innovative non-redundant sonar systems. Archives of Acoustics, Vol.31, No 4(S), pp. 379-384.
Р1зник В. В. Модел1 оптимальних радюсистем на векторних комбтаторних конф1гурац1ях. Запропоновано метод побудови оптимальних радюсистем, який ба-зуеться на новт комб1наторн1й конструкци - iдеальних кшьцевих векторних посл1дов-ностях (кластерах 1KB). Розглянутi основт властивостi таких по^довностей та здтснено порiвняльний аналiз з рiзницевими множинами. Здтснено огляд методiв оп-тимiзацiг, пов'язаних i3 конструюванням радютехтчних пристрою з нее^дистант-ною структурою та кодових радiосигналiв. Постановка задачi включае в себе опрацювання регулярного методу побудови радюсистем за допомогою векторних комбтаторних конф^урацт типу 1KB, наведена 1х характеристика та приклади за-стосування.
Ключов1 слова: антенна рештка, радюсигнал, оптимiзацiя, кшьцева структура, векторна по^довтсть, ци^чна група, оптимальне спiввiдношення, монолтний код, тор.
Ризнык В. В. Модели оптимальных радиосистем на векторных комбинаторных конфигурациях. Предлжен метод построения оптимальных радиосистем, основанный на новой комбинаторной конструкции - идеальных кольцевых векторных последовательностях (кластерах 1KB). Рассмотрены основные свойства таких последовательностей и произведен сравнительный анализ с разностными множествами. Сделан обзор методов оптимизации, касающихся конструирования радиотехнических устройств с не эквидистантной структурой и кодовых радиосигналов. Постановка задачи включает в себя разработку регулярного метода построения оптимальних радиосистем при помощи многомерных комбинаторных конфигураций 1KB и приведены примеры их применения.
Ключевые слова: антенная решетка, радиосигнал, оптимизация, кольцевая структура, последовательность векторов, группа, оптимальное соотношение, монолитный код, тор.
Riznyk V. V. Models of optimum radio-systems on the vector combinatorial configurations. Method for construction of optimum radio systems, based on a new conceptual model of the systems - Ideal Ring Vector structures (clusters of the IRV) is proposed. IRV clusters are cyclic ordered sequences of t- integer sub-sequences of the sequence which form perfect relationships of t-dimensional partitions over a virtual t-dimensional lattice covered surface of a finite space interval. The sums of connected sub-sequences of an IRV enumerate the set of t-coordinates specified with respect to cyclic frame reference exactly R-times. This property makes IRVs useful in applications which need to partition multidimensional objects with the smallest possible number of intersections. This sort of models can be used for finding optimal solution for wide classes of technological problems based on the idea of "perfect" vector combinatorial constructions, and expanding the applicability of two-, three- and multidimensional IRV as multidimensional cyclic relationships for fundamental and applied research in systems engineering, for improving such quality indices as vector data coding and signal reconstruction, resolving ability and low side lobe antenna design. There are regarded basic properties these models and made comparative analysis of the models with difference sets. It is shown that the IRVs to be in exceed of difference sets multiply, and set of the classical difference sets is subset of the IRVs. Short review of the methods relating to constructing of the optimum models of non-uniform antenna arrays with respect to low side lobe is given. The problem statement involves development the regular method for construction of the optimum radio-systems using two- and three-dimensional IRVs, and some examples are regarded for illustration its technical merits including algorithm of synthesis of two-dimensional symmetric antenna with 12 elements which provides sufficiently low side lobe radiation levels and shows a flat gain over the frequency range is presented. Method for design of two- or multidimensional vector signals coded based on the optimum binary monolithic code is presented.
Keywords: antenna array, radio-signal, optimization, ring structure, optimal relationship, vector sequence, cyclic group, optimum relationship, monolithic code, torus.
