CC BY
38
УДК 621.396:519.15
МОДЕЛ1 ОПТИМАЛЬНИХ ДИСКРЕТНИХ СИГНАЛ1В НА КШЬЦЕВИХ КОМБ1НАТОРНИХ КОНФ1ГУРАЦ1ЯХ1
Пзник В.В., д.т.н., професор
Нацгоналъний унгверситет «Лъвгвсъка полтехнжа», м. Львгв, Украгна,
rvv@polynet.lviv.ua
MODELS OF OPTIMUM DISCRETE SIGNALS ON THE RING COMBINATORIAL
CONFIGURATIONS
Riznyk V. V., Doctor of Engineering, Professor
L 'viv Polytechnic National University, Lviv, Ukraine
Вступ
Для сучасних систем радюлокацп i зв'язку важливе значення мають ме-тоди побудови та способи кодування дискретних сигналiв. Велику групу становлять кодовi послщовност i сигнали, у яких модулящя амплггуди i фази здшснюеться в дискретнi моменти часу. До них належать також бша-рш дискретнi сигнали у виглядi iмпульсних послiдовностей рiзноi довжи-ни, кратноi iнтервалу дискретностi. Цi та iншi сигнали можуть бути вико-ристанi для побудови складнiших одно- й багатовимiрних сигналiв, якi за-довольняють вiдповiднi вимоги до конкретно поставлених задач. Значних успiхiв в розгортанш дослiджень, пов'язаних iз синтезом оптимальних дискретних сигналiв, було досягнуто, завдяки використанню сучасних сис-темних методiв i теорii комбiнаторних конф^урацш. Перехiд вiд традицш-них теоретико-множинних до системних принцитв опису об'еклв поруч iз використанням комбiнаторних методiв оптимiзацii дозволяе знаходити но-вi пiдходи до ефективного вирiшення багатьох задач радюлокацп, телеко-мунiкацii та електрозв'язку.
Огляд методiв onraMi3a^'i
Для синтезу оптимальних дискретних сигнаив широко використову-еться математичний апарат сучасноi теорii комбiнаторних конфiгурацiй, таких як досконаи рiзницевi множини (perfect difference sets) [1], розшире-нi поля Галуа (Galois Fields) [2] та iншi комбiнаторнi конструкцii [3]. Один з пiдходiв до синтезу оптимальних дискретних сигнаив базуеться на вико-ристаннi властивостей «досконалих циклiчних стввщношень», за якими всi числа цього стввщношення й усi суми поруч розмщених чисел утво-рюють натуральний ряд вiд 1 до n -n +1, де n - кiлькiсть чисел у стввщ-ношеннi [4]. В iнших публшащях структури з цими властивостями мають
1 http://radap.kpi.ua/radiotechnique/article/view/1164
назву «щеальна кшьцева в'язанка», також «щеальне кшьцеве вщношення» (1KB) [5-8], а в зарубiжних публiкацiях: Vjazanka [9], Gold Ring Bundle (GRB) [10-12], Golden Numerical Ring (GNR) [13], Idealny Pierscien Liczbowy (IPL) [14, 15], Zloty Pierscien Liczbowy" (ZPL) [16]. В po6oTi [5] було запропоновано метод синтезу оптимальних дискретних систем на ос-HOBi згаданих стввщношень, у виглядi системи взаемопов'язаних просто-ровою структурою множини чисел натурального ряду i множини координат розмщення цих чисел на розгорнутш поверхнi тору. Дослiдження тонко!' структури дво- i тривимiрних 1KB дозволило титзувати !х комбтатор-m властивостi на геометричних конструкцiях вищих вимiрiв, спрямувавши розвiдку в напрямi виявлення нових кластерiв 1KB з уткальними групови-ми властивостями. В [18] з'явилося повщомлення про вщкриття кластеру 1KB «Зiрка Слави Укра!ни» з невiдомими ранiше властивостями, за яких переставляння мюцями наявних векторних елеменлв всерединi к^^во! структури збер^ае унiкальнiсть 1KB. Кластер «зiркових» 1KB збагачуе мо-жливостi опрацювання регулярних методiв побудови нового класу t-вимiрних оптимальних дискретних сигналiв. Bелику групу становлять век-торнi 1KB зiркового типу, якi вiдрiзняються мiж собою лише кiлькома еле-ментами, збер^аючи сво! унiкальнi властивостi.
Дослщження проблеми iснування, перелiку та способiв побудови вище-згаданих математичних структур на основi використання полiв Галуа й те-орii циклiчних рiзницевих множин здiйснено в [5-8, 20]. Опрацювання не-традицiйних пiдходiв та алгоршшв синтезу повних сiмей одно- i багато-вимiрних 1KB з використанням !х iзоморфних перетворень й групових вла-стивостей висвiтлено в [7-8, 17, 18, 25]. B працях [7, 8, 19, 20] здшснена спроба теоретичного узагальнення комбтаторних властивостей багатови-мiрних моделей дискретних систем, побудованих на множит взаемопов'язаних математичних об'еклв та операцт (алгебри в'язанок) з класи-фшащею за рядом ознак. Результати дослщження умов iснування й обчис-лення потужност множин повних сiмей 1KB з вщповщними таблицями побудованих повних шмей одновимiрних 1KB до 30-го порядку та обчис-ленням потужност повних сiмей 1KB до 1000-го порядку були опублжова-нi в [7,20] та в тших працях.
Для синтезу бтарних сигналiв й оптимальних кодових послщовностей, якi використовуються в сучасних радiосистемах рiзного призначення, пе-реважно застосовують математичний апарат теорп скiнченних полiв [1, 2]. Ютасичт методи синтезу комбiнаторних конф^урацш, якi базуються на теорii полiв Галуа й рiзницевих множин, не дають повно! гарантii щодо знаходження ушх !х варiантiв з-за необхщност пошуку вiдповiдних полiв для кожного окремого випадку [2]. На вщмту вщ згаданих методiв були розроблет алгоритми для генерацii повних шмей 1KB та циклiчних проек-тивних площин [1], синтез яких не пов'язаний з класичною теорiею комбь
наторних конф^урацш [21-22]. В працях [7, 20] описаш регулярш методи синтезу повних шмей одно- й багатовимiрних 1КВ.
Кiльцева структура системи, як вщомо, забезпечуе майже вдвiчi бiльшу стосовно ланцюжкового впорядкування елементiв кiлькiсть и дискретних станiв, тому в основу методу комбшаторно!' оптимiзацii була покладена модель системи з кiльцевою структурою. Принцип оптимальних структур-них вщношень (ОСВ) базуеться на можливостi розширення дiапазону гар-монiчних (пропорцiйних числам натурального ряду) частин цшого шляхом розбиття симетричного простору на асиметричш сумiжнi сектори за «щеа-льним кшьцевим вщношенням» (1КВ) [5]. Множина рiзноi величини сек-торiв, утворених на такому розбитл, перелiчуе множину чисел натурального ряду 1,2,..., п(п-1) за круговою шкалою вщлшу, де п - число позна-чок [4]. Залежно вiд поставленоi задачi, принцип ОСВ дозволяе формувати оптимальш дискретнi сигнали у виглядi унiтарного (одиничного) [7], двш-кового монолггаого [7, 10-13, 17, 18, 20, 23-27], двшкового циклiчного [7, 20] кодiв, або бiнарних iмпульсних послiдовностей [14-16]. Теоретичним пiдгрунтям 1КВ-структур е алгебрична теорiя чисел [1], теорiя комбшатор-них конфiгурацiй [2] i алгебра в'язанок (В-алгебра) [7]. Одновимiрнi щеа-льнi кiльцевi в'язанки за додаванням утворюються на замкненш (кiльцевiй) послiдовностi одновимiрних векторiв (вщстаней мiж iмпульсами, ширини iмпульсiв тощо), а вимiрнi - на послщовност í-кортежiв (í-вимiрних ве-кторiв). Множина усiх утворених таким способом кшьцевих вектор-сум вичерпуе множину значень просторових координат вузлових точок вимiрноi сiтки, яка покривае фжсоване число разiв поверхню тору вщповь дноi розмiрностi [18, 23]. Оптимiзацiя дискретних систем грунтуеться на ушкальних властивостях просторовоi обертовоi симетрii та асиметрп, вщ-дзеркалених в щеальних кiльцевих вiдношеннях [17, 24].
До кластеру ?-вим1рних 1КВ належать кiльцевi n-послiдовностi цшочи-слових í-кортежiв, множина значень яких, разом iз множиною значень усiх кiльцевих (обчислених з урахуванням вщповщних модулiв) вектор-сум, утворених на цих ¿-кортежах, покривае множину вузлових точок ко-ординатно!' штки з ? циклiчно замкненими осями координат на поверхш торощу вiдповiдноi розмiрностi [17, 25-26]. Векторш 1КВ охоплюють ши-роке коло комбшаторних конструкцiй- вiд iдеальноi кшьцево1' в'язанки чисел до багатовимiрних структур 1КВ з прямим виходом на !х практичне за-стосування в пдро- i квантовiй акустищ [11-13], радiо- та електрозв'язку [19, 24, 25] й сучасних векторних оптимальних шформацшних технолопях [26, 27]. Встановлено, що деякi рiзновиди одновимiрних 1КВ за сво1'ми комбiнаторними властивостями е аналогами класичних комбшаторних конф^урацш, таких як рiзницевi множини, блок-схеми, адамаровi матрицi, скiнченнi проективнi площини i iн. [1, 2]. Двовимiрнi й багатовимiрнi век-торнi 1КВ становлять новий клас ще мало вивчених векторних комбшатор-
них конструкцш [7,10-13,17-18,20,23,25-27], яю за своею чисельнютю в десятки pa3iB перевершують класичш комбшаторш конфiгурацiï [18,23,25].
Постановка задачi
Оптимiзaцiя дискретних сигнaлiв охоплюе багато задач радюлокацп, телемехашки та електрозв'язку, яю пов'язaнi з подоланням складност ю-нуючих методiв та aлгоритмiв синтезу бiнaрних кодованих сигнaлiв й ïm-пульсних послiдовностей на основi клaсичноï теорiï рiзницевих множин i полiв Галуа [1, 2]. Тому актуальною постае проблема опрацювання та дос-лiдження вiдносно простих моделей оптимальних дискретних сигнaлiв. Важливим завданням е встановлення умов юнування моделей оптимальних дискретних сигнaлiв на основi дослiдження зaконiв просторовоï обертово1' симетрп - aсиметрiï. У бiльш загальному плaнi завдання полягае в опрацю-вaннi регулярного методу побудови моделей оптимальних дискретних сиг-нaлiв, зокрема завадостшких кодових послiдовностей та алгоршшв синтезу дискретних сигнaлiв з корисними кореляцшними властивостями.
Метод виршення завдання
В основу методу покладено дослiдження комбiнaторних властивостей багатоелементних послщовностей зi замкненою (кiльцевою) структурою. Розмщення множини елементiв на множинi позицш послiдовностi здшс-нюеться так, щоб усi цi елементи, а також набори з двох, трьох i т.д. посль довно розмщених по юльцю елементiв траплялися визначене число раз у всш сукупностi цих нaборiв. Метод базуеться на використанш властивостей комбiнaторних конфiгурaцiй з юльцевою структурою, елементи яких взаемопов'язаш певними математичними оперaцiями - алгебрично!' теорп в'язанок (В-алгебри) [7]. Елементами таких конструкцш можуть виступати будь-яю об'екти (не обов'язково математичш), а в радютехшчних системах - дискретш сигнали i кодовi символи. У загальному випадку метод дозволяе розглядати вщношення мiж сумiрними пiдмножинaми впорядкова-них елементiв та 1'хшми просторовими координатами в базисному полi задано!' системи координат. Метою постановки таких задач е розвиток единого тдходу до побудови моделей оптимальних дискретних сигнaлiв, який базуеться на використанш ушкальних геометричних властивостей оберто-во1' симетрiï стосовно можливостi розбиття кругового поля на асиметричш частини, пропорцiйнi числам 1KB [5]. Один iз пiдходiв передбачае застосу-вання алгоритму генерацп повних сiмей 1KB методом 1'х покрокового «ви-рощування» на множиш чисел натурального ряду [7, 20-22]. Моделi зручно представляти у виглядi кругово1' дiaгрaми з n точками, яю знаходяться на кожному з n концентрично розмщених навколо центру дiaгрaми рiвнiв. Kожнiй точцi на ушх рiвнях вiд першого до (п-1)-го вiдповiдaе iнше число ряду, а множина точок i множина з'еднувальних лiнiй утворюють кругове симетричне поле оптимально розподшених чисел натурального ряду вщ 1
до Sn-1. Модель набувае вигляду координатно!' сггки, стягнуто!' з noBepxHi тору, де кожне число зустрiчалося рiвно по одному разу [5]. Така конфшу-ращя утворюеться на n- послщовност цiлих додатних чисел (кь к2,..., к,..., kn), розмiщених за кшьцевою схемою, де числа та вс суми з двох, трьох i т. д. поруч розмiщених чисел перелiчують значення чисел натурального ряду вщ 1 до (Sn-1)/R рiвно R разiв. Сума Sn вшх n елементiв одновимiрноi 1KB визначаеться li параметрами [6] :
n2 — n
Sn = ^П + 1 (1)
Цiлочисловий розв'язок рiвняння (1) визначае необхiднi умови юну-вання 1KB з параметрами Sn, n , R. З цього рiвняння можна бачити, що за умови, коли n=R, 1KB вироджуеться в кругову Sn- послщовшсть однако-вих елементiв, утворюючи поле обертово! симетрп Sn-го порядку [17, 24]. Звщси прослiдковуеться теоретичний зв'язок мiж обертовою симетрiею та необхщними умовами iснування моделей оптимальних дискретних кодо-вих сигналiв з параметрами Sn, n, R.
Принцип оптимальних структурних в1дношень
Метою запровадження принципу оптимальних структурних вщношень (ОСВ) е подолання технiчного протирiччя мiж намаганням збiльшити ш-формацiйну спроможнiсть системи й бажанням спростити ii структуру шляхом зменшення числа елементiв та з'еднань в системг Розглянемо кь лька прикладiв застосування цього принципу в задачах конструювання оптимальних дискретних сигнаив рiзного призначення. Зручним шструмен-том для його практичного застосування в оптимiзацiйних задачах радюте-хнiки i електрозв'язку е «щеальна кiльцева в'язанка» (1KB). В ролi елемен-тiв 1KB можуть фшурувати вiдстанi мiж сигналами, тривалiсть кодових iмпульсiв тощо. Серед велико! рiзноманiтностi кодових сигналiв особли-вий штерес викликають циклiчнi коди, завдяки !х високо!' ефективностi стосовно виявлення i виправлення помилок. Алгоритм побудови коду за допомогою 1KB з параметрами Sn , n, R передбачае виконання наступних операцш [7].
1. Пронумерувати ус комiрки одновимiрного масиву довжиною N =Sn та заповнити шформацшними «одиницями» тi з них, порядковi номери яких збшаються з числами zl, (/=1,2,..., n), визначеними за елементами ki , (i= 1,2,..., n) 1KB зпдно формули:
i
Zi = Х К, i = 1,2,..., n (2)
¿=i
2. Заповнити порожш комiрки масиву iнформацiйними «нулями».
3. Цикичними зсувами отримано!' кодово!' послщовност знайти решта Sn -1 комбшацш.
Hеxaй N =7, тодi елемешти k , (i= 1,2,..., n) IKB з пaрaметрaми Sn=7, n=4, R=2 e числa k1= k2=1, k3=2, ^=З. Резyльтaти побудови зaвaдостiйкого
коду зa допомогою IKB (1, тaблицi 1.
1, 2 ,З) з вкaзaними пaрaметрaми приведенi в
Тaблиця 1
Код, побyдовaний na основ1 IKB (1,1,2,З)
п/п Hyмерaцiя позицш кодових символ1в
1 2 3 4 5 б 7
1 1 1 0 1 0 0 1
2 1 1 1 0 1 0 0
3 0 1 1 1 0 1 0
4 0 0 1 1 1 0 1
5 1 0 0 1 1 1 0
б 0 1 0 0 1 1 1
7 1 0 1 0 0 1 1
Легко побaчити, що будь-ята пaрa порiвнювaниx мiж собою кодових комбь нaцiй мiстить рiвно R iз n «одиничних» символiв в од-нойменних розрядax, що ви-пливae iз влaстивостей IKB. Рештa n -R символiв з од-нieï й стiльки ж з друго!' комбiнaцiï вiдрiзняються вiд символiв, що знaxодяться в однойменних роз-рядax порiвнювaниx кодових комбiнaцiй. Звщси випливae формyлa для ви-зтачення числa d рiзнойменниx символiв, що знaxодяться в розрядax з од-нaковими порядковими номерaми порiвнювaниx послщовностей:
d = 2(n - R) (3)
B зaгaльномy випaдкy пaрaметри n i R IKB можуть обирaтися довшь-но в межax, визнaчениx рiвнянням (1), де n > R, Sn > n, a кшьюсть t1 поми-лок, якi пiдлягaють виявленню чи випрaвленню t2 зa допомогою цього ци-клiчного коду, визнaчaeться формyлaми [7]:
t1< 2(n - R ) - 1 ; t2 < n - R - 1. (4)
Потужнють методу кодyвaння збiльшyeться вдвiчi (вiд Sn до 2Sn), якщо тaблицю 1 доповнити тaблицею тaкиx же розмiрiв, у якш символи «1» зa-писaнi зaмiсть «О», i нaвпaки. При цьому формyлa (З) для визнaчення числa d нa цiй тaблицi зaлишaeться влaстивою, a кодову вiдстaнь d12 мiж кодо-вими комбiнaцiями, як знaxодяться в рiзниx тaблицяx, потрiбно визнaчaти як рiзницю
d1,2 = Sn - 2(n - R ), (5)
aдже бyдь-якa комб^щя з однieï тaблицi e доповненням кодово1' комб^-цiï з другой Мiнiмaльнa кодовa вiдстaнь для коду, який об'eднye обидвi тaблицi, визнaчaeться як менший з двох резyльтaтiв, одержaниx зa (З) тa (5).
Гз (З) - (5) випливaють формули для визнaчення кiлькостi помилок, як можнa виявити aбо випрaвити зa допомогою циклiчного коду вдвiчi збшь-шено1' потyжностi [7]:
tL< 2(71-ñ)-l
, ЯКЩО ^ - R>- (6)
tL < Sn - 2(п - R) Sn-2(n-R + l)
2 ' , якщо Sn<*(n-R). (7)
Формули (6) i (7) дають змогу визначати коректувальну здатнiсть двш-кових циклiчних кодiв вдвiчi бшьшо! потужностi. З порiвняння системи математичних спiввiдношень (6) i (7) випливае, що об'еднаний двома таб-лицями код здатний виправляти лише на одну помилку менше, порiвняно з кодом, утвореним комбшащями одше! з цих таблиць. Анаиз формул (3)-(7) показуе, що зi збiльшенням довжини Sn кодових комбшацш оптимiзо-ваного IKB-циклiчного коду його коректувальна спроможнiсть зростае за нелшшним законом, наближаючись до 24 % виправлених помилок при Sn ~ 100.
Bластивостi 1KB з параметрами (Sn, n) можна використати для виправ-лення багаторазових помилок за допомогою побудови системи контроль-них перевiрок цикичних кодiв.
Алгоритм побудови системи контрольних перевiрок циклiчних кодiв з мажоритарною схемою декодування на основi 1KB (к1, к2 , ..., к , ..., kn) передбачае виконання наступних дiй.
1. Побудувати n числових послiдовностей G1, G2,..., Gi ,., Gn , елемен-ти g(/) яких обчислюються за формулою:
(8)
Знайдена множина послiдовностей чисел - це множина шуканих рiз-ниць, у якiй кожна ненульова рiзниця трапляеться точно R раз.
2. На основi побудовано! множини числових послiдовностей скласти систему контрольних перевiрок, яка визначае схему декодування для двш-кового циклiчного коду (Sn, n ), де Sn - довжина кодових комбiнацiй, n -потужнiсть коду.
Приклад побудови систем контрольних перевiрок циклiчних кодiв за допомогою 1KB (k1=1, к2=1, к3=2, к4=3), n=4, R=2.
1. За формулою (8) знаходять чотири (n=4) послiдовностi чисел:
G1=(0,1,3,6); G2 =(0,2,5,6); G3 =(0,3,4,5); G4 = (0,1,2,4). (9)
Знайдеш послiдовностi е множиною рiзниць, де кожна ненульова рiз-ниця зустрiчаеться рiвно двiчi (R = 2).
2. Множит послщовностей (9) ставлять у вщповщнють наступну систему контрольних перевiрок:
Х0 + X1 + X3 + X6 = 0, X0 + X2 + X5 + X6 = 0,
X0 + X3 + X4 + X5 = 0, X0 + X + X2 + X4 = 0,
де X (/=0,1,.. .,6) -символи, якi визначають контрольнi спiввiдношення сис-теми.
Отримана система визначае схему декодування для двшкового цикмч-ного коду (7,4).
Алгоритм базуеться на методi побудови системи контрольних перевь рок цикшчних кодiв з мажоритарною схемою декодування [29] та викорис-танш комбiнаторних властивостей 1KB [7].
Висновки
Принцип оптимальних структурних вiдношень (ОСВ) дае можливiсть опрацювати загальний пiдхiд до комбiнаторноi оптимiзацii дискретно-кодованих сигналiв. За способом формування моделей оптимальних дис-кретних сигнаив на IKB-послiдовностях з параметрами n i Sn 1'х можна ро-здiлити на двi групи. До першоi належать послiдовностi з перюдом довжи-ною n, а до другоi - Sn-послiдовностi. Моделi першоi групи застосовують, наприклад, для синтезу оптимальних завадостшких самокоректувальних (монолiтних) кодiв [7] i систем контрольних перевiрок циклiчних кодiв з мажоритарною схемою декодування. Друга група моделей стосуеться по-будови бшарних кодових послiдовностей з низьким рiвнем функцii авто-кореляцii та завадостшких цикичних кодiв довжиною Sn, спроможних ви-правляти до 24 вщсотюв помилок для Sn ~ 100. Дослщження теоретичного зв'язку властивостей 1KB з обертовою симетрiею дозволяе визначати необ-хiднi умови iснування моделей оптимальних дискретних сигнаив. Дво- та багатовимiрнi 1KB за своею чисельнютю перевершують класичнi комбша-торнi конф^урацп в десятки й сотнi разiв [27]. Кластер «шркових» 1KB збагачуе можливостi опрацювання регулярних методiв побудови нового класу багатовимiрних оптимальних дискретних сигнаив. Запропонованi моделi дозволяють розробляти регулярш методи побудови одно- й багато-вимiрних оптимальних дискретних сигнаив рiзного призначення.
Перел1к посилань
1. Singer J. A theorem in finite projective geometry and some applications to number theory / J. Singer // Transactions of American Mathematical Society. - 1938. - Vol.43, No.3. -pp. 377-385. doi: 10.1007/BFb0067359.
2. Hall М. Jr. Combinatorial Theory / M. Jr. Hall. - Blaisell Publishing Company, 1967. -470 p.
3. Riznyk V. V. Researches and Applications of the Combinatorial Configurations for Innovative Devices and Process Engineering / V. V. Riznyk, S. W. Golomb ; CRDF Cooperative Grants Program. - Los Angeles, CA 90089-2565, US, 1996.-10 p.
4. А.с. СССР 429276 МПК G 01f 11/00 Способ дозирования веществ / B. B. Ризнык, заявл. 12.06.72; опубл. 25.05.74., Бюл. № 19.
5. Ризнык B.B. Об одном способе оптимального построения дискретных систем / B. B. Ризнык // Электроника и моделирование. - 1975. - Bbm. 8. - С.12-15.
6. Ризнык B. B. Идеальные кольцевые отношения и возможности их практического
использования / B. B. Ризнык // Автоматика. - 1981. - №3. - с. 87-90.
7. Р1зник B. B. Синтез оптимальних комбшаторних систем / B. B. Р1зник. - Льв1в : Bища школа, 1989. - 165 с.
8. Р1зник B. B. Елементи теорп впорядкованих комбшаторних набор1в / B.B.Рiзник // Навч. поабник.- Kиiв: HMK BO. - 1992.- 88 с.
9. Riznyk V.V. Application of Perfect Distribution Phenomenon for Acoustics and Music / V. V. Riznyk // Proc. of WSES AMT 2000, Acoustic and Music Conf., Montego Bay. -Jamaica, December 20-22, 2000. - pp. 581-585. Available at: http://www.wseas.us/e-library/conferences/
jamaica2000/papers/58.pdf
10. Riznyk V. V. Multi-dimensional Systems Based on Perfect Combinatorial Models / V. V. Riznyk // Multidimensional Systems: Problems and Solutions. - 1998, London: IEE, Savoy Place. - pp. 5/1-5/4. doi: 10.1049/ic:19980164
11. Riznyk V. Application of the gold ring bundles for innovative non-redundant radar or sonar systems/ V. Riznyk, O. Bandyrska // European Physical Journal. - Special Topics. -Vol.154, Iss. 1. - 2008. - pp. 183-186. doi: 10.1140/epjst/e2008-00541-2
12. Riznyk V. Application of the gold ring bundles for innovative non-redundant sonar systems / V. Riznyk, O. Bandyrska, D. Skrybaylo-Leskiv // Archives of Acoustics. - Vol.31, 4(S). - 2006. - pp. 379-384. Available at: http://acoustics.ippt.gov.pl/index.php/aa/article/view/1370
13. Riznyk W. Application of the Golden Numerical Rings for Configure Acoustic Systems of Fine Resolution/ W. Riznyk // Acta Physica Polonica A. - 2011, Vol.119. - pp. 10461049. doi: 10.12693/aphyspola.119.1046
14. Рiзник B. B. Синтез дискретних сигналiв з низьким рiвнем автокореляцшно! фу-нкцп бiчних пелюстюв за допомогою числових в'язанок / B. B. Рiзник, О. Я. Рiзник, Я. П. Юсь // ^м^ютерна iнженерiя та шформацшш технологи. Biсник НУЛП. - 1998. -№351.- с. 132-135.
15. Riznyk V. Application of the perfect combinatorial configurations for configure of high performance sonar systems / V. Riznyk // Hydroacoustics Annual Journal. - 2005. -Vol.8. - Gdynia. - pp. 171-178.
16. Riznyk V. Nonrtdundant 2-D and 3-D sonar systems based on Gold Ring Bundles / V. Riznyk, O. Bandyrska, M. Talan // Hydroacoustics Annual Journal. - 2006. - Vol. 9. - Gdynia. - pp. 151-158.
17. Рiзник B. B. Kомбiнаторна оптимiзацiя систем на основi використання спряже-них симетричних та асиметричних структур / B. B. Рiзник // Електротехшчш та комп'ютерш системи. - 2014. - № 13(89). - с. 40-45.
18. Riznyk V. V. Systems Optimization Prospected from Torus Cyclic Groups / V. V. Riznyk // New Development in Pure and Applied Mathematics. - 2015. - Vienna, Austria -pp. 115-119. Available at: http://www.inase.org/library/2015/vienna/bypaper/MAPUR/MAPUR-16.pdf
19. Ризнык B. B. Kомбинаторные конфигурации в оптимизационных задачах электросвязи / B. B. Ризнык // Электросвязь. - 1997. - №2. - с.15-17.
20. Рiзник B. B. Kомбiнаторнi моделi та методи оптимiзацii в задачах шформатики / B. B. Рiзник // Навч. поабник. - Kme : HMK BO. - 1991. - 72 с.
21. Ризнык B. B. Алгоритм построения с помощью ЭBM полных семейств простых и многократных идеальных числовых отношений/ B. B. Ризнык, О. Я. Ризнык // ^н-трольно-измерительная техника. - 1985. - №38. - с.128-131.
22. Riznyk V. Application of the perfect combinatorial configurations for constructing non-redundant sonar or acoustic systems / V. Riznyk // 52 Open Seminar on Acoustics join
with Polish-Scandinavian Structured Conference on Acoustics. - 2005, Poznan-Wagrowiec. -pp. 107-110.
23. Riznyk V. V. Multidimensional Systems Optimization Developed from Perfect Torus Groups / V. V. Riznyk // Int. Journal of Applied Mathematics and Informatics. - 2015. - Vol. 9. - pp. 50-54.
24. Riznyk V. Application of the Symmetrical and Non-symmetrical Models for Innovative Coded Design of Signals / V. Riznyk // Modern Problems of Radio Engineering Telecommunications and Computer Science TCSET'2012. - Lviv. - p. 70.
25. Рiзник B. B. Моделi оптимальних радюсистем на векторних комбшаторних конф1гуращях / B. B. Рiзник // BiOTHR НТУУ «КП1». Серiя Радютехшка, Радюапарато-будування. - 2015. - № 60. - с. 45-58.
26. Рiзник B. B. Моделi оптимальних шформацшних систем на двовимiрних комбь наторних конф1гуращях / B. B. Рiзник // Biсник НУЛП «1нформацшш системи та мере-жЬ. - 2014. - № 805. - с. 196-204.
27. Рiзник B. B. Оптимальш коди на векторних комбшаторних конф1гуращях / B.B.Рiзник // Bira™ НУЛП «1нформацшш системи та мережЪ» - 2015. - № 814. - с. 130-138.
28. Riznyk V. Advanced Engineering Based on the Perfect Combinatorial Configurations/ V.Riznyk // Int. Journal of Engineering Technology and Advanced Engineering (IJETAE). -2011. - Vol. 1, Issue 2. - pp. 124-126.
29. Питерсон У. Коды, исправляющие ошибки / У. Питерсон, Э. Уэлдон. - М. : Мир. - 1976. - 593 с.
30. Bаракин Л. Е. Системы связи с шумоподобными сигналами / Л. Е. Bаракин. - М. : Радио и связь. - 1985. - 384 с.
References
1. Singer J. (1938) A theorem in finite projective geometry and some applications to number theory. Transactions of the American Mathematical Society, vol. 43, no. 3, pp. 377385.
2. Hall М. Jr.(1967) Combinatorial Theory. Blaisell Publishing Company, 470 p.
3. Riznyk V. V. and Golomb S. W. (1996) Researches and Applications of the Combinatorial Configurations for Innovative Devices and Process Engineering. CRDF Cooperative Grants Program, Los Angeles, CA 90089-2565, US, 10 p.
4. Riznyk V. V. (1974) Sposob dozirovaniya veshczestv [Method for measure of portions of substances. Patent USSR 429276, G 01F 11/00.
5. Riznyk V. V. (1975) Ob odnom sposobe optimal'nogo postroyeniya diskretnykh system [A method of the optimum design of discrete systems]. Elektronika i modelirovanie, No 8, pp.12-15.
6. Riznyk V. V. (1981) Ideal'nye kol'tsevye otnosheniya i vozmozhnosti ikh praktich-eskogo ispol'zovaniya [An ideal circular relationship and the possibility of their practical use]. Avtomatika, No 3, pp. 87-90.
7. Riznyk V. V. (1989) Syntez optymalnykh kombinatornykh system [Synthesis of the combinatorial optimal systems]. Lviv, Vyshcha shkola, 165 p.
8. Riznyk V. V. (1992) Elementy teorii vporiadkovanykh kombinatornykh naboriv [Elements of combinatorial theory of ordered sets]. Kyiv, NMK VO Publ., 88 p.
9. Riznyk V. V. (2000) Application of Perfect Distribution Phenomenon for Acoustics and Music. Proc. of WSES AMT 2000, Acoustic and Music Conf., Montego Bay. Jamaica, pp. 581-585.
10. Riznyk V.V. (1998) Multi-dimensional Systems Based on Perfect Combinatorial
Models. IEE Colloquium on Multidimensional Systems: Problems and Solutions, London, Savoy Place, P.5/1-5/4.
11. Riznyk V. and Bandyrska O. (2008) Application of the gold ring bundles for innovative non-redundant radar or sonar systems. The European Physical Journal. Special Topics, Vol.154, P.183- 186.
12. Riznyk V., Bandyrska O. and Skrybaylo-Leskiv D. (2006) Application of the gold ring bundles for innovative non-redundant sonar systems. Archives of Acoustics, Vol.31, No 4 (S), pp. 379-384.
13. Riznyk W. (2011) Application of the Golden Numerical Rings for Configure Acoustic Systems of Fine Resolution. Acta PhysicaPolonica A, Vol. 119, pp.1046 -1049.
14. Riznyk V. V., Riznyk O. Ya. and Kis Ya. P. (1998) Syntez dyskretnykh syhnaliv z nyzkym rivnem avtokoreliatsiinoi funktsii bichnykh peliustkiv za dopomohoiu chyslovykh v'iazanok [Synthesis of discrete signals with low side lobe autocorrelation function using numerical chains]. VisnykNU "Lvivskapolitekhnika". Komp'iuterna inzheneriia ta informatsiini tekhnolohii, No 351, pp. 132-135.
15. Riznyk V. (2005) Application of the perfect combinatorial configurations for configure of high performance sonar systems. Hydroacoustics Annual Journal. Vol.8, pp. 171-178.
16. Riznyk V., Bandyrska O. and Talan M. (2006) Nonrtdundant 2-D and 3-D sonar systems based on Gold Ring Bundles. Hydroacoustics Annual Journal, Vol. 9, pp. 151-158.
17. Riznyk V.V. (2014) Combinatorial optimization of systems based on symmetric and asymmetric structure usage. Elektrotekhnichni ta komp'iuterni systemy, No 13(89), pp. 40-45 (in Ukrainian).
18. Riznyk V.V. (2015) Systems Optimization Prospected from Torus Cyclic Groups. New Development in Pure and Applied Mathematics, Vienna, Austria, March 15-17, P.115-119.
19. Riznyk V.V. (1997) Kombinatornye konfiguracyi v optimizacionnykh zadachakh el-ektrosviazi [Combinatorial configurations in optimized problems of telecommunication]. El-ektrosviaz', No 2, pp. 15-17.
20. Riznyk V.V. (1994) Doslidzhennia kombinatornykh konfihuratsii ta ikh zastosuvannia dlia syntezu tekhnichnykh prystroiv i system z neekvidystantnoiu strukturoiu : Avtoref. dys. dokt. tekhn. nauk [Research of the combinatorial configurations and its applications for synthesis of engineering devices and systems with non-uniform structures. Dr. of Sci. (Techn.) diss.]. Vinnycia, 42 p.
21. Riznyk V. V. and Riznyk O. Ya. (1985) Algoritm postroeniya s pomoshch'yu EVM polnykh semeistv prostykh i mnogokratnykh ideal'nykh chislovykh otnoshenii [An algorithm for constructing complete families of simple and multiple ideal numerical relations]. Kontrol'no-izmeritel'naya tekhnika. No 38, pp. 128-131.
22 Riznyk V. (2005) Application of the perfect combinatorial configurations for constructing non-redundant sonar or acoustic systems. 52 Open Seminar on Acoustics join with Polish-Scandinavian Structured Conference on Acoustics, Poznan-Wagrowiec, pp. 107-110.
23. Riznyk V.V. (2015) Multidimensional Systems Optimization Developed from Perfect Torus Groups. International Journal of Applied Mathematics and Informatics, Vol. 9, pp. 5054.
24. Riznyk V. (2012) Application of the Symmetrical and Non-symmetrical Models for Innovative Coded Design of Signals. Modern Problems of Radio Engineering Telecommunications and Computer Science (TCSET), 2012 International Conference on, p. 70.
25. Riznyk, V. V. (2015) Models of optimum radio-systems on the vector combinatorial configurations. Visn. NTUU KPI, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv., no. 60, pp. 45-58. (in Ukrainian).
26. Riznyk V. V. (2014) Modeli optymalnykh informatsiinykh system na dvovymirnykh kombinatornykh konfihuratsiiakh [Models of optimum information systems on two-dimensional combinatorial configurations]. Visnyk NU "Lvivska politekhnika". Informatsiini systemy ta merezhi, No 805, pp. 196-204.
27. Riznyk V. V. (2015) Optymalni kody na vektornykh kombinatornykh konfihuratsiiakh [Optimum codes on vector combinatorial configurations]. Visnyk NU "Lvivska politekhnika". Informatsiini systemy ta merezhi, No 814, pp.130-138.
28. Riznyk V. (2011) Advanced Engineering Based on the Perfect Combinatorial Configurations. International Journal of Engineering Technology and Advanced Engineering, Vol. 1, Issue 2, pp.124-126.
29 Peterson W. W. and Weldon E. J. (1972) Error-correcting codes. MIT press.
30. Varakin L. E. (1985) Sistemy svyazi s shumopodobnymi signalami [Communication system with noise-like signals]. Moskow, Radio i svyaz', 384 p.
Р1зник В. В. Модел1 оптимальних дискретних сигнал1в на тльцевих комбшаторних конф1гурац1ях. Здшснено огляд метод1в оптим1зацИ дискретних радюсигнал1в. Запропоновано загальний п1дх1д до конструювання на основ1 принципу «оптимальних структурних в1дношень» оптимальних дискретних сигнал1вр1зного при-значення. Приведет алгоритми побудови систем контрольних перев1рок завадостшких цикл1чних код1в з мажоритарною схемою декодування та завадостшких цикл1чних код1в. Представлено кластер комбшаторних конф1гурацш з нев1домими ранше вла-стивостями - «з1ркових» 1КВ, як розширюють спектр потенцшних можливостей ви-користання дво- й багатовимгрних моделей для проектування сучасних систем зв 'язку, нав^аци й розвитку нов1тн1х телекомунтацшних технологш. Досл1джено теоретич-ний зв'язок м1ж обертовою симетргею та необх1дними умовами iснування моделей оптимальних дискретних сигналiв.
Ключов1 слова: дискретний сигнал, кодова по^довтсть, коректувальна здаттсть, оптимальний ци^чний код, обертова симетрiя, принцип оптимальних структурних вiдношень, синтез оптимальних сигналiв.
Ризнык В. В. Модели оптимальных дискретных сигналов на кольцевых комбинаторных конфигурациях. Сделан обзор методов оптимизации дискретных радиосигналов. Предложен общий подход к построению оптимальных дискретных сигналов на основе принципа «оптимальных структурных отношений». Приведены алгоритмы построения систем контрольных проверок циклических кодов с мажоритарной схемой декодирования и кодов, исправляющих до 24% ошибок при длине кодовых комбинаций не более 100 двоичных разрядов. Представлен кластер комбинаторных конфигураций, сохраняющих полезные свойства предложенных моделей оптимальных сигналов при перестановке элементов одного и того же их состава - «Звезды Славы Украины», расширяющий возможности использования многомерных моделей для проектирования современных систем связи, навигации и развития телекоммуникационных технологий. Исследована теоретическая связь между вращательной симметрией и необходимыми условиями существования моделей оптимальных дискретных сигналов.
Ключевые слова: дискретный сигнал, кодовая последовательность, корректирующая способность, оптимальный циклический код, вращательная симметрия, принцып оптимальных структурных отношений, синтез оптимальных сигналов.
Riznyk V. V. Models of optimum discrete signals on the ring combinatorial configurations. The innovative techniques for improving the quality indices of radio-signals for com-
munications and radars with non-uniform structure (e.g. code sequences) with respect to error protection, using novel combinatorial configurations such as cyclic difference sets and Ideal Ring Bundles (IRB)s were regarded. Method for construction of optimum discrete signals, based on these models is proposed. IRBs are cyclic sequences of positive integers, which form perfect partitions of a finite interval [1,N]. The sums of connected sub-sequences of an IRB enumerate the set of integers [1,N-1] exactly R-times. This property makes IRBs useful in applications, which need to partition sets with the smallest possible number of intersections. The models of optimum discrete signals, having previously unknown favorable property, which hold for the same set of the IRBs in varieties permutations of its terms, named the "Glory to Ukraine Stars " have been indicated as a cluster of combinatorial configurations. Some algorithms and useful examples for constructing of optimum cyclic error-correcting codes are presented. It shows that remarkable properties of IRBs have encoded in fine structure of circular symmetry and asymmetry ensembles. There are great classes of new two- and multidimensional IRBs, which being in excess classic models of optimum discrete signals with respect to number and combinatorial varieties. Indicate that the IRBs to be in exceed of classic perfect difference sets multiply.
Keywords: discrete signal, code sequence, correcting ability, optimal cyclic code, circular symmetry, optimum principle of structural relations, synthesis of optimal signals.
