CC BY
16
УДК 621.983; 539.374
С.С. Яковлев, д-р техн. наук, проф., (4872) 35-14-82, тр^1л1а@гатЫег.ги (Россия, Тула, ТулГУ),
В.И. Платонов, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-14-82, mpf-tula@гambleг.ги (Россия, Тула, ТулГУ),
Е.Ю. Поликарпов, канд. техн. наук, зам. ген. директора, (495) 689-02-65, mpf-tula@гambleг.ги (Россия, Москва, ФГУП «НПО «Техномаш»)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ВЫТЯЖКИ С УТОНЕНИЕМ СТЕНКИ АНИЗОТРОПНЫХ ЗАГОТОВОК
Приведен подход к теоретическому анализу кинематики течения материала, напряженного и деформированного состояний, силовых режимов и предельных возможностей формообразования вытяжки с утонением стенки толстостенных цилиндрических заготовок из анизотропных материалов.
Ключевые слова: анизотропный материал, математическое моделирование, вытяжка с утонением, толстостенная цилиндрическая заготовка, сила, напряжение, деформация, разрушение.
Рассмотрим вытяжку с утонением стенки осесимметричной толстостенной цилиндрической заготовки.
Материал заготовки жесткопластический, обладает цилиндрической анизотропией механических свойств [1]. Течение материала принимается осесимметричным. Анализ процесса вытяжки с утонением стенки реализуется в цилиндрической системе координат. Схема к анализу вытяжки с утонением стенки приведена на рис. 1. Принимаем, что условия трения на контактной поверхности инструмента с заготовкой подчиняются закону Кулона.
Течение материала принимается установившееся.
Условие несжимаемости материала позволяет установить связь между скоростью течения материала на входе в очаг деформации и выходе из очага деформации
(РП + *0)2 - П] = (РП + ^1)2 - ^Р П] . (1)
Откуда следует, что
Рис. 1. Схема к анализу вытяжки с утонением стенки
У = У + 2РП). 1о = ¿1(¿1 + 2РП) = £ (2)
0 1 ¿0(^0 + 2 Р П ) У1 ¿0( ¿0 + 2 Р П )
Пусть материальная частица на входе в очаг деформации занимает начальное положение, определяемое координатами Р0 =рп + ¿0, z = l. На выходе из очага деформации она занимает положение Р1 = р п + . Принимаем, что линия тока (траектория частицы) - прямая линия, проходящая
под углом Р к оси г. Угол Р изменяется от 0 при р = р п до
1р + (/ - 2) ^Р]2 - р П
Ур = -У0---------------------------tgР при р = рп + ¿0, если г = 1, и при
р 2 - р П
Р = Р П + ¿1, если г = 0.
В целях упрощения можно принять линейное изменение tgР от величины ¿о от 0 до tga при г = 1:
tgp = tga .
¿0
Компоненты осевой У2 и радиальной Ур скоростей течения могут быть определены по выражениям
У _ У [р+(/ - 2)^р]2 -рП (3)
=-У0------------2—2--------------------------, (3)
р -рП
Ур=-Ус [р+(/ - 2Г) tgР2]2 -рП tgp, (4)
р -р П
¿0 - tga (/ - г)
Скорости деформаций рассчитываются по формулам [2]
■ 8гр Г. Гр г д¥г ^ дГр дУ2
;р= я ; 5е=—; ^=^; 2§р;=
др р д; д; др
Приведем окончательные выражения для определения компонент скоростей деформаций £2, £е, полученных с учетом выражений (3) и (4) и условия несжимаемости материала £р = -£2 - £е :
с _дУ2_ 2У ¿0 ^[Р ¿0 - (/ - 2) ^ЫРП ]. (6)
£ 2= ~Г~ = 2У0-р-----7^. (6)
д2 (Р + РП ) [^0 - (/ - 2)
С _УР_ У ¿0 [¿0(р + рП) - 2(/ - 2)tgaрП](Р-РП)№ . (7)
£е =— = - У0------------------}-----------;з-----------------. (7)
Р (Р + РП)Р|?0 - (/ - 2)]
С _дУР _ У ¿о ^Р2 + ¿о №рП - 2(/ - 2) ^ 2арП ¿0 . (8)
£Р=^_ = -У0------------------------------------------------й-я-. (8)
др (Р + Рп ) [¿0 - (/ - 2) tga] р
§pz — V
и, U
(9)
где
U = sotg a(p -Рп)[3PSo -4(/ - z)pП^а + Рns0]-
- 2SopП (l - z) tga[so - (l - z)tga]2;
V = (P + PП)2 [so - (l - z)tga]4.
Величина интенсивности скоростей деформаций §, вычисляется по выражению [1]
5 =V 2( Rz + Re + RzRe) R [(1 + Rz )§e + Rz § z )]2 +
+
Re Rz [(1 + Rz )§ z + Re§e]
2
2
+
+ Re(Rz § z - Re§e)2 + ^Re2 (1 + Re + Rz )
2
R
Pz
12
/[VIr1 2 Re(1 + Re + Rz )],
(10)
H
H
M
где = —; Л*е = —. КРг = —. ^, G, Н, М - параметры анизотропии.
G ^ F
Определим распределение интенсивностей скоростей деформаций вдоль следующих траекторий течения материала:
1) вдоль границы течения материала по пуансону
р = р п 0<2</;
2) вдоль границы течения материала по матрице
, р - р П - ¿0 /т \
2 - / =-----------; р = р п + ¿0 + (/ - ;
tga
3) вдоль траектории, проходящей через точку / = р/ + ¿°; 2' = /.
/ tga; р = р п + у + 2(/ - 2)^а;
4) вдоль траектории, проходящей через точку ¿0£ = Р п + к;
п
z -1 = 2
^ So
P-P П- —
V 2
z' = l.
z -1
ок .
tgp
0 < k < « при k = «, s0k = p n + So •
Выполним осреднение величины интенсивности скорости деформации по очагу деформации по этим п траекториям
о. £Юср + £Лср + ••• + £шср ,ЛЛ,
£Ср =----------------------------------------------• (11)
n
/
>
Накопленная интенсивность деформации вдоль траектории определяется по выражению без учета добавки деформации, связанной с изменением поворота траектории частицы материала при входе в очаг деформации.
0
ЄІк |^Ік^ї | £Ік ■
Лг
= |>. ±
т/ 1 ^.к т/ ’
0 1к У1к I *2
где k = а, б, в (траектории течения материала).
Для определения этой добавки запишем выражение для определения приращения интенсивности деформации при чистом сдвиге, когда
£е = £р = ^ = ^Ре = ^е = 0; ^ *0;
12
+ R0 + R0 ^)
Учтем, что
йє
тогда будем иметь йєі
2йє\
R
Pz
1
л/3«7'
>рг
1 ¥Р
2 V,
3Rz • 2Rрz
2(RZTR0+R0RZ}
3Rz
у
2R
-tgP. (12)
Pz
Таким образом, величина накопленной интенсивности деформации вдоль траектории & будет определяться по формуле в очаге деформации
(2(Щ + Щ ЩЩ) I 1
0
'/к
-I
£Ік
+
z—l
zк
3R,
2Rr
(13)
\г у ^Jtvрz
Если нужно определить накопленную интенсивность деформации в заготовке после деформации, то следует к рассчитанной величине добавить еще второй член к выражению (13) на выходе из очага деформации. Это позволит оценить механические свойства заготовки с использованием кривой упрочнения
^І — ^0,2ср (1 + Аєіср ), (14)
куда входит величина средней интенсивности деформации в очаге деформации по формуле
єі0ср + єі1ср + ••• + Є
єіср
'Іпер
(15)
личину
Используя формулы (11), (14), (15) можно рассчитать среднюю ве-
1 ^Іср
3 £
- ц/ - соті в очаге деформации.
/ер
Уравнения связи между скоростями деформаций и напряжениями для рассматриваемых условий деформирования примут вид [1]
<
>
1
п _п 2 а,- (Д ^ + Д № § г - Дб^9 ).
2 9 3 §, Д^Д +1 + Д9) ’
_ _2 а(Д9д+д+ад§9- дг§Р).
а9 ар 3 §, д2 («2 +1+Д9) ;
2 а, (Д9«2 + Д + «9)(Д5§р-§2).
(16)
а„-а 2
Р 2 з §, Д9(«2 +1+Д9)
1 (д9 д + Д2 + ДеК
р2 з с Д Д р2 ’
3 ДР2Д2
где ар, а9, а2, Хр2 - нормальные и касательное напряжения, являющиеся функциями р и 2.
Для определения напряжений в очаге деформации располагаем указанными выше уравнениями теории пластического течения анизотропного материала (16) и уравнениями равновесия в цилиндрической системе координат [3]
дар 5хР2 ар — а9 дао дт гР да^ ^ 2Р
—р + —^ + -р-------9 = 0; да9 = 0; ^Р+да2 + -^Р= 0. (17)
др ді р д9 др д2 р
Рассмотрим третье уравнение равновесия из системы (17). Используя соотношения (16) и выражение для определения §р2, получим
+ 1 *1ер Щ Я2 + Щ + Щ (р>г) 0
3 ^¡ер Щрг Щ Р
где ^рz (р.г) = 2 У0 у ’ (Р’ г))р = (р.г) = ^ У0 х
„ (р + рП)2 |?0 - (/ - 2>&а]4^82а[9р2^о - 8(1 - г)рПр^а + 2рПр^0 - 3рП*0]
X
(р + рП )4 [^0 - (/ - г>8аР 1 у ^82а(р2 - рП )[зр^0 - 4(/ - г)рП*§а + рП^0]
20 (р + рП )4 [*0 - (/ - г>8°]8
- 2^0рП (/ - - (/ - г>8оР2(р + рП )[^0 - (/ - г>8о]4
(р + рП )4 [*0 - (/ - г>8°Р
Представим приведенное выше уравнение в виде конечных разно-
стей:
+1 а,ср Д9Д Д + Д [Р (р _ )1
+ 3 с Д Д V рг \ртп->^тп) к
ти-1— 2тп 3 Ыср Др2 Д2
1 ®icp Rq Rz + Rz + Rq Fpz (Pmn, zmn )_q (18)
3 gi ср Rpz Щ ртп
Разрешив полученное уравнение относительно а ^п _1, запишем
_ 1 аicp Щ ^ ^ „ ч1 („ „ )
аzmn_1 _ аzmn _ ТТ “ “ \: pz (ртп,2тп^(2тп_1 _ 2тп) _
3 ^ср Р
1 аicp ЩЩ + Щ + Щ Fpz(ртп,гти) (z z ) (10)
_ 3^ Щ Щ ^2тп_1 _ 2шп)- (10)
3 Ыср Rpz Rz ртп
Для интегрирования этого уравнения нужно сформулировать граничные условия. В соответствии с выбранной кинематикой течения на входе в очаге деформации и выходе из него происходит резкое изменение направления течения от вертикального до наклонного к осевой под углом Р, что связано с разрывом тангенциальной составляющей скорости течения Vp.
Это изменение направления течения учитывается путем коррекции осевого напряжения на границе очага деформации по методу баланса мощностей:
ДВД =т,р2 №¥р, (20)
где
Vp 1
AP/ = Да/ AF/; V/ = -^; AP/ = APZ — . (21)
sm р cosp
На основании соотношений (21) следует, что
Аа/ AFV
—/------l—p = х spz AF Vp (22)
sin p spz p
и
Да/ =хspztgp. (23)
Используя выражения (21) и (23), найдем
APz = AP/ cosp; Даz AF = Да/ AF/ cosp; Даz = xspz sin pcosp. (24)
Заметим, что угол p на входе в очаг деформации определяется по формуле
^ = ^а(Р~Р П) s0 ’
а при выходе из очага деформации так:
^ = ^а(Р~Р П) s1 ’
Соотношение (24) будет граничным условием для уравнения (19) при z = /. Компоненты напряжений ар, ад и Xpz определяются из уравнений (16).
Отметим особенности полученного решения по распределению напряжений в очаге деформации. Они связаны с выбранной кинематикой течения материала в коническом канале, учитывают возникающие добавки напряжений в связи с изменением направления течения при поступлении материала в очаг деформации и выходе из него. Не учтены граничные условия в напряжениях на контактных поверхностях пуансона и матрицы. Эти условия обычно задаются в виде закона Кулона = ЦМanM и
ткП = ЦПапП, где цм и цп - коэффициенты трения на контактных поверхностях матрицы и пуансона. При оценке силовых режимов необходимо учитывать эти условия.
Определение силы процесса вытяжки осуществляется следующим образом. Рассчитывается на выходе напряжение a z (р) с учетом изменения направления течения материала на входе в очаг деформации и выходе из него. Находится составляющая силы Pzik для преодоления трения на матрице
Pz1k = лЦМ апМср (Р П + ^ )~— cosa . (25)
г 2 cosa
Сила, разгружающая стенку изделия, определяется по выражению
Pz2k = лЦ П апПср Р П1. (26)
Эта сила должна быть учтена при определении силы процесса. Таким образом, сила, передающаяся на стенку изделия
Р П + s1
Рст = 2л Iaz(Р)РdP + Pz1k , (27)
р П
а сила операции вытяжки
Р П + s1
р = 2л Iaz (Р) Р dр + Pzlk + Pz2k , (28)
Р П
1L I 11
где апМср = L íanM (L)dL ; L ; аРПер = 7 \®рП(1)d1 .
l ° cosa i °
Величину апм определим по формуле преобразования компонент напряжений при переходе от одной системы координат к другой
2 -2 -о
anM =аР cos a + az sm a-XрZ sm2a.
При вытяжке с утонением стенки предельные степени деформации определяют по максимальной величине растягивающего напряжения asz с учетом упрочнения на выходе из очага пластической деформации (первый критерий)
*
azcp * aSz, asz =--------(29)
л s1(s1 + 2 Рп )
и по величине степени использования ресурса (второй критерий)
^=1—-х • (30)
е/пр )
Интегрирование в выражении (30) ведется по траектории течения материала. До деформации у = 0. Разрушение будет иметь место при у = 1. Величина х назначается с учетом условий эксплуатации изделия, руководствуясь рекомендациями Колмогорова В.Л. и Богатова А.А. [4 - 6]. Среднее напряжение находится по формуле
а= (ар +а 7 +а0 )/3.
Приведенные выше соотношения могут быть использованы для оценки кинематики течения материала, напряженного и деформированного состояний, силовых режимов и предельных возможностей формообразования процесса вытяжки с утонением стенки толстостенных цилиндрических заготовок из анизотропных материалов.
Работа выполнена по ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)», грантам РФФИ и по государственному контракту в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.
Список литературы
1. Яковлев С.П., Яковлев С.С., Андрейченко В.А. Обработка давлением анизотропных материалов. Кишинев: Квант. 1997.331 с.
2. Сторожев М.В., Попов Е.А. Теория обработки металлов давлением. М.: Машиностроение, 1977. 423 с.
3. Попов Е.А. Основы теории листовой штамповки. М.: Машиностроение, 1968. 283 с.
4. Колмогоров В.Л. Механика обработки металлов давлением. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2001. 836 с.
5. Богатов А.А., Мижирицкий О.И., Смирнов В.С. Ресурс пластичности металлов при обработке давлением. М.: Металлургия, 1984. 144 с.
6. Богатов А.А. Механические свойства и модели разрушения металлов. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2002. 329 с.
S. Yakovlev, V. Platonov, E. Polikarpov
The mathematic simulation of the axisymmetric thinning drawing of anisotropic pieces
The approach for the theoretical analysis of material flow cinematics, stressed and deformed states, power circumstances and extreme deformation levels of the thinning drawing of thick-walled cylindrical details from anisotropic materials are given.
Key words: anisotropic material, mathematic simulation, thinning drawing, thick-walled cylindrical detail, force, stress, deformation, failure.
Получено 04.08.10
