Математическая модель вытяжки с утонением стенки толстостенных осесимметричных деталей из анизотропного материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

Дорохов Д. О., канд. техн. наук, доц., mpf-tula@mail.ru, Россия, Орел, Орловский государственный университет

PHYSICAL MEANING OF REAL DEFORM Radchenko S.Y., Dorokhov D.O.

In this work the physical meaning of the proposed new measure strain, called "real strain." Based on analysis of the physical meaning of the proposed measure is given an effective method for calculating strain for bodies of any initial and final geometry. The equivalence of the logarithmic strain measures and real performances.

Key words: deformation, strain measure, the real strain, true strain, method of calculation of deformations.

Radchenko S.Y., doctor of technical sciences, professor, mpf-tula@,mail.ru. Russia, Orel, Orel State University,

Dorokhov D.O., candidate of technical sciences, docent, mpf-tula@mail.ru. Russia, Orel, Orel State University

УДК 621.983; 539.374

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЫТЯЖКИ С УТОНЕНИЕМ СТЕНКИ ТОЛСТОСТЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ДЕТАЛЕЙ ИЗ АНИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА

В.Ю. Травин

Приведена математическая модель вытяжки с утонением стенки толстостенных осесимметричных деталей из анизотропного материала, а также основные соотношения для анализа напряженного и деформированного состояний, силовых режимов и предельных возможностей формообразования.

Ключевые слова: анизотропия механических свойств, деформация, заготовка, напряжение, разрушение, вытяжка с утонением стенки.

Рассмотрим вытяжку с утонением стенки осесимметричной толстостенной цилиндрической заготовки. Материал заготовки жесткопластический, обладает цилиндрической анизотропией механических свойств [1-3]. Течение материала принимается осесимметричным. Анализ процесса вытяжки с утонением стенки реализуется в цилиндрической системе координат. Схема к анализу вытяжки с утонением стенки приведена на рис. 1. Принимаем, что условия трения на контактной поверхности инструмента с заготовкой подчиняется закону Кулона. Течение материала принимается

установившееся.

Рис. 1. Схема к анализу вытяжки с утонением стенки

Кинематика течения материала. Условие несжимаемости материала позволяет установить связь между скоростью течения материала на входе в очаг деформации и выходе из очага деформации

у0[р(РП + ‘0)2 -рРП] = у1[р(РП + ‘1)2 -рРП]. (!)

Откуда следует, что

у = у ‘1(‘1 + 2 Р П). Уо = ‘1(‘1 + 2 Р П) = к (2)

0 1 ‘о(‘о + 2 Р П ) У1 ‘о(‘о + 2 Р П )

Пусть материальная частица на входе в очаг деформации занимает начальное положение, определяемое координатами Ро = Рп + ‘0, 2 = I. На выходе из очага деформации она занимает положение Р1 = р п + ‘1. Принимаем, что линия тока (траектория частицы) - прямая линия, проходящая под углом Ь к оси 2. Угол Ь изменяется от 0 при Р = Р П до а при Р = РП + ‘о если 2 = I, и Р = РП + ‘1, если 2 = 0 .

В целях упрощения можно принять линейное изменение от величины ‘0 от 0 до tga при 2 = I:

tgp = tga ^. (3)

‘0

Компоненты осевой У2 и радиальной Ур скоростей течения могут быть определены по выражениям:

[р + (/ - г)^р]2 -рП

=-ус

22 р -Рп

Гр=-Ус [р+(/- 7 <Ф?-рП ^

22 Р - Р П

(4)

(5)

где ЦР= tga (Р-Р П)

‘0 - tga (I - 2)

Скорости деформаций. Приведем окончательные выражения для определения компонент скоростей деформаций X2, Хб, полученных с учетом выражений (4) и (5), условия несжимаемости материала Хр = -X2 - Хб :

X = ^ = 2у ‘0tga[p‘0-(1 -2)tgaРп].

Хе = — = - V)

7 37 С(р + р п ) к - (/ - 7) ^а] 3

^с к(р + р П ) - 2(1 - 7) ^ар П ](р - р П ) ^а .

р

ЪУр

Хр=*Г = ^

(р + рп ) рк - (I - 7)]

3

2^ 2,2^ 2 о// 2 2

^с ^ар + ^с ^арП - 2(1 - 7)% арП ^с

(р + р п ) к - (/ - 7) ^а]3 р

1V) и,

2 с V

(6)

(7)

(8) (9)

где

и = ^с tg2а (р2 - рП) [3р^с - 4(/ - 7) рп tga + рп^с]-- 2 ^рп (/ - 7) tga[sс - (/ - 7) ^а]2;

V = (р + рп)2 [^с - (/ - 7)^а]4.

Распределение интенсивностей скоростей деформаций вдоль траекторий течения материала. Величина интенсивности скоростей деформаций Х вычисляется по выражению [1, 3]:

2

X, =42(я7 + д0+ «7«е) {^е [(1 + «7 )Хе + Й7X7 )]

+ ЯеЯ7 [Р + Я7)Х7 + яе4е]2 +

2Х 2

+ Яе («7X7 - ЯеХе )2 + іт7 «е (1 + Яе + «7 )

Яр7

2

12

/^л/эяУ2 Яе(1 + Яе + «7)],

(1с)

/

H н М

где Rz = —; R0 = —; Rpz = —; F, G, И, M - параметры анизотропии.

Определим распределение интенсивностей скоростей деформаций вдоль следующих траекторий течения материала:

1) вдоль границы течения материала по пуансону

Р = Р П 0 £ 7 £ 1

2) вдоль границы течения материала по матрице

Р — Р П — ^0 /; \

7 — I =-П-0; р = р п + ^о + (I — 2)*ёи;

tga

л\ ^ / , я0 ' 1

3) вдоль траектории проходящей через точку я = р п + ^ ; 2 = I

г — I = 2

Р—Р П

я0_

2

/ tga; Р = Р п + у + ^ — 2^а;

4) вдоль траектории проходящей через точку я0к = Р п + к; г' = I

п

г — I

Р — Р П — я

ок

tgb

0 £ к £ п при к = п я0к = Р п + Я0.

Выполним осреднение величины интенсивности скорости деформации по очагу деформации по этим п траекториям

X = Х/ 0ср + Хйер + ... + Хяпср х/

пер

п

(11)

Распределение интенсивности деформации вдоль траекторий течения материала. Накопленная интенсивность деформации вдоль траектории определяется по выражению без учёта добавки деформации, связанной с изменением поворота траектории частицы материала при входе в очаг деформации.

tк 0

й\к =0 X dz

/к ТГ Л х/к ТТ

*1к 1 *1

1к I ' г

где к = а,б,в (траектории течения материала).

Для определения этой добавки запишем выражение для определения приращения интенсивности деформации при чистом сдвиге, когда

Х0=ХР=Х1 = ХР0 = х 10=0; ХР1 *0;

12

2dep

R,

Р1

1

V3RZ

Учтём, что

de - 1

Р1 = 2 ^ ’

тогда будем иметь =

2(Я; + Де+ Я Я;) !р =

3Я; • 2 Яр;

2(Я; + Яе + Яе Я;)

ЭЯ,

2Я

-^Р. (12)

Р;

Таким образом, величина накопленной интенсивности деформации вдоль траектории к будет определяться по формуле в очаге деформации

ХікА;

+

г=I

;к

2(Я2 + Ке + ЯеЯ; )

3ЯГ

1

2 Я

-^Рк •

(1Э)

Р;

Если нужно определить накопленную интенсивность деформации в заготовке после деформации, то следует к рассчитанной величине добавить ещё второй член к выражению (13) на выходе из очага деформации. Это позволит оценить механические свойства заготовки с использованием кривой упрочнения

аі = а0,2ср (1 + Аеіср ) , (14)

куда входит величина средней интенсивности деформации в очаге деформации по формуле

Є = Єі 0ср + е/1ср + ... + еіпср (15)

еіср = 3 . (15)

Используя формулы (15), (14), (11) можно рассчитать среднюю ве-1 аіср _ _

личину

= Ці = соті в очаге деформации.

з Хер

Определение напряжений в очаге деформации. Уравнения связи между скоростями деформаций и напряжениями для рассматриваемых условий деформирования примет вид [1]:

= 2 о, (Д0Rz + Rz + Я0)^XI — R0X0).

аг - °е =

3 Х

ае-а

ягяе(яг +1+Яе)

2 а (ЯеЯ:+Я; + Яе)(Хе- я: Хр),

ар -а: =

X

Р:

Р 3 Хі Я;(Я; +1 + Яе)

2 а (Яе Я; + Я; + Яе)(ЯеХр-Х;).

3 Хі Яе(Я; +1 + Яе) ;

1 Оі (ЯеЯ; + Я; + Яе ) Х

"3 Хі Яр;Я; ^ ,

(16)

где Ор, Ое, а;, Хр; - нормальные и касательное напряжения, являющиеся функциями р и ;.

Для определения напряжений в очаге деформации располагаем указанными выше уравнениями теории пластического течения анизотропного материала (16) и уравнениями равновесия в цилиндрической системе координат [3]

1

ЭОр ЭТп Ор О0 ЭО0 Э^ гР Эо ^ ^ гР

_Р^_Р2 + _р--------0= 0; ^9= 0; —^ + ^- + -^Р = 0. (17)

Эр Эг р Э0 Эр Эг р

Рассмотрим третье уравнение равновесия из системы (17). Используя соотношения (17) и выражение для определения Хр, получим

Эог +1 О/ср Ъ0+ Ъ0 [р (р ^ +

Эг + з Х,ср RpzRz ^ (Р, ^ ^ +

1 о/ср R0Rz + Rz + R0 Fpz (р,г) = 0 3 Х/ср Rpz Rz р

где ^ (p, г)=2 у0 и; ^ (p, г) )р=др ^ (p, г)=2 Г0 х

х (р + рП)2[Я0 — (/ — г^а]4sоtg2а[9р2яр — 8(1 — г)рпptgа + 2рпряр — 3рПЯ0]

(Р + Р П )4 [я0 — (/ — г ^а]8

— 1 у sоtg2а(р2 — р П )[3ря0 — 4(/ — г)рпtga + рпЯ0]

2 0 (Р + РП)4 [я0 — (/ — z)tgа]8

— 2я0р п (/ — г ^а[Я0 — (/ — г ^а]22(р + р п )[Я0 — (/ — z)tga]4

(Р + Р П )4 [я0 — (/ — г ^а]8 Представим приведенное выше уравнение в виде конечных разностей. С этой целью рассмотрим схему разбивки очага деформации координатными линиями р = const и г = const:

0гтп—1 — 0гтп 1 °/ср R0Rz + Rz + Ъ0 [р ( ^ )]

+ 3 "X Ъ Ъ рР1 (Р тп, гтп ) ]р +

г тп—1— гтп 3 Х/ср Ърг ”

+ 1 °/ср Ъ0^ + Ъ0 (ртп, гтп ) = 0 (18)

3 Х/ср Ърг р тп

Разрешив полученное уравнение относительно о гтп—1, получим

0 =0 — 1 О/ср Ъ0+ Ъ0 [р (р _ )] (_ — _ ) —

игтп—1 ^ гтп 0 е п п ^ р^кт^^т^!^тп—1 ^тп/

3 Х/ср ЪР1Ъ1 Н Р

1 0/ср Ъ0+ Ъ0 (ртп,гтп)

тп тп

3 X ъ ъ (гтп—1 — гтп), (19)

3 Х/ср Ърг р тп

Для интегрирования этого уравнения нужно сформулировать граничные условия. В соответствии с выбранной кинематикой течения на входе в очаге деформации и выходе из него происходит резкое изменение направления течения от вертикального до наклонного к осевой под углом Ь, что связано с разрывом тангенциальной составляющей скорости тече-

ния ур .

Это изменение направления течения учитывается путем коррекции осевого напряжения на границе очага деформации по методу баланса мощностей.

АР/У/ = Тяр! АРУр, (20)

где

VP 1

AP- = As-AF-; V/ = ^Т-; AP/ =DPZ —. (21)

sm р cos p

На основании соотношений (21) следует, что

Ао/ AF- V0

—------= t spz AFVP (22)

sin p spz p V ;

и

Ао/ =^spztgp. (23)

Используя выражение (21) и (23) найдем

APz =AP/ cos p; Asz AF = Ао- AF- cos p; Asz = tspz sin p cos p. (24)

Заметим, что угол p на входе в очаг деформации определяется по формуле

tgp = <g«(P~P п ),

s0 ’

а при выходе из очага деформации так

tga(p-p п )

tgP

я1

Соотношение (24) будет граничным условием для уравнения (19) при г = /. Компоненты напряжений Ор, 00 и т^2 определяются из уравнений (16).

Отметим особенности полученного решения по распределению напряжений в очаге деформации. Они связаны с выбранной кинематикой течения материала в коническом канале, учитывают возникающие добавки напряжений в связи с изменением направления течения при поступлении материала в очаг деформации и выходе из него. Не учтены граничные условия в напряжениях на контактных поверхностях пуансона и матрицы. Эти условия обычно задаются в виде закона Кулона Ткм = тМ®пМ и ТкП =тПопП, где тМ и тП - коэффициенты трения на контактных поверхностях матрицы и пуансона. При оценке силовых режимов необходимо учитывать эти условия.

Силовые режимы вытяжки с утонением стенки. Определение силы процесса вытяжки осуществляется следующим образом. Рассчитывается на выходе напряжение о г (р) с учетом изменения направления течения материала на входе в очаг деформации и выходе из него. Находится

46

составляющая силы Pz\k для преодоления трения на матрице

/ Sq S1 l /г\ г \

Pz\k = p^MsnMcp(РП + ~ ) cosa • (25)

^ 2 cosa

Сила, разгружающая стенку изделия, определяется по выражению

Pz 2k = pm Пs пПсрр П 1 • (26)

Эта сила должна быть учтена при определении силы процесса.

Таким образом, сила, передающаяся на стенку изделия, будет

р П + s1

Рст = 2p jsz (Р) Р dP + Pz1k , (27)

р П

а сила операции вытяжки будет

р П + s1

P = 2p jsz (P)PdP + Pz1k + Pz2k , (28)

р П

1 L l 1l

где sпМср = L j SnM (L) dL ; L = ; ^р П cp = l j ®рП (l) dl •

l q cos a i q

Величину sпм определим по формуле преобразования компонент напряжений при переходе от одной системы координат к другой

2 -2 -о

sпМ =°р cos a + sz sin a-тр sm2a.

Предельные степени деформации при вытяжке с утонением стенки. Приведенные выше соотношения для определения осевого напряжения позволяют установить предельные возможности операции.

При вытяжке с утонением стенки предельные степени деформации

*

определяют по максимальной величине растягивающего напряжения ssz с учетом упрочнения на выходе из очага пластической деформации [3]:

. * Pcm

szcp £s, s=

zcp — 'JSZ , ~ ч

р 51 (51 + 2 рп )

Величина повреждаемости материала при пластическом формоизменении по деформационной модели разрушения “е вычисляется по формуле [4, 5]:

8 йе,-

“ = 1-------( к .

0 е, пр (1 -“е)

Здесь к - константа материала; е, пр = 8, пр (о / о, ,а,Ь,у) - предельная интенсивность деформации; о = (о1 +о 2 +03 )/ 3 - среднее напряжение; 01,

о2 и оз - главные напряжения; о, - интенсивность напряжения; а, Ь, у -углы между первой главной осью напряжений и главными осями анизотропии х, у и z.

В зависимости от условий эксплуатации или последующей обработки изготавливаемого изделия уровень повреждаемости не должен превышать величины с, т.е.

При назначении величин степеней деформации в процессах пластического формоизменения в дальнейшем учитывались рекомендации по степени использования запаса пластичности В. Л. Колмогорова и А. А. Богатова, согласно которым для ответственных деталей, работающих и подвергающихся после обработки давлением термической обработке (отжигу или закалке), допустимой величиной степени использования запаса пластичности следует считать с =0,25, а только для неответственных деталей допустимая степень использования запаса пластичности может быть принята с =0,65 [4, 5].

Величина предельной интенсивности деформации находится по выражению

еіпр ехР

(а0 + cos а + «2 cosЬ + а3 cos у),

где О, и - константы материала, определяемые в зависимости от рода материала согласно работам В.Л. Колмогорова и А.А. Богатова [4, 5]; а0, а\, «2 и аз - константы материала, зависящие от анизотропии механических свойств материала заготовки и определяемые из опытов на растяжение образцов в условиях плоского напряженного состояния [3].

В ряде случаев предельные возможности формоизменения могут быть ограничены локальной потерей устойчивости заготовки. Для анализа локализации деформаций анизотропного материала приведем критерий, основанный на условии положительности добавочных нагрузок и позволяющий рассчитать предельную деформацию [3]:

1 > ах — ахут 1 > ауШ — аХу

2 Меі ^ах - 2аХут + аут2 2 °і^єі у ах - 2ахуШ + ауШ2

3Яу (ях +1) 3ЯуЯх

где ах =——^------——; аху = ' •

х 2( Кх + Яу + КхКу )’ ху 2(Кх + Яу + ЯхЯу)’

3( Яу +1) Ях

ау =--------------у-х----; т = о ,, / О х; Ях = Н / О; Яу = Н / F;

у 2( Ях + Яу + ЯхЯу)’ у х’ х ’ у ’

Ях и Яу - коэффициенты анизотропии; ^, О, ^ - параметры анизотропии.

Приведенные выше соотношения могут быть использованы для оценки кинематики течения материала, напряженного и деформированного состояний, силовых режимов и предельных возможностей формообразова-

ния процесса вытяжки с утонением стенки толстостенных осесимметричных деталей из анизотропных материалов.

Работа выполнена по государственному заданию Министерства образования и науки Российской Федерации на 2012-2014 годы и грантам РФФИ.

Список литературы

1. Яковлев С.П., Яковлев С.С., Андрейченко В.А. Обработка давлением анизотропных материалов. Кишинев: Квант. 1997. 331 с.

2. Теория обработки металлов давлением / Учебник для вузов / В.А. Голенков, С.П. Яковлев, С. А. Головин, С.С. Яковлев, В. Д. Кухарь / Под ред. В.А. Голенкова, С.П. Яковлева. М.: Машиностроение, 2009. 442 с.

3. Яковлев С.С., Кухарь В. Д., Трегубов В.И. Теория и технология штамповки анизотропных материалов / под ред. С.С. Яковлева. М.: Машиностроение, 2012. 400 с.

4. Колмогоров В. Л. Механика обработки металлов давлением. Екатеринбург: Уральский государственный технический университет (УПИ), 2001. 836 с.

5. Богатов А. А. Механические свойства и модели разрушения металлов. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2002. 329 с.

Травин Вадим Георгиевич, канд. техн. наук, mpf-tula@rambler.ru. Россия, Тула, Тульский государственный университет

MATHEMATICAL MODEL HOODS WITH DECREASING THICKNESS OF THE WALL OF

THICK-WALLED AXISYMMETRIC PARTS OF ANISOTROPIC MATERIAL

Travin V.G.

The mathematical model of the hood with decreasing thickness of the wall of thick-walled axisymmetric parts of an anisotropic material, as well as the basic ratios for analysis of stress and strain state, power regimes and limits of morphogenesis.

Key words: anisotropy of mechanical properties, deformation, procurement, voltage, destruction, extractor with утонением wall.

Travin Vadim Georgiyevich, candidate of technical sciences, mpf-tula@rambler.ru, Russia, Tula, Tula State University