CC BY
83
Е.А Рогозин, Д-Ф- Хисамов,
доктор технических наук, доцент, кандидат технических наук,
Воронежский государственный Кубанский институт информзащиты
технический университет
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕПРИЕМА ПСЕВДОСЛУЧАЙНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В ДИСКРЕТНЫХ КАНАЛАХ С ПАМЯТЬЮ
MATHEMATICAL MODEL OF UNDERTENTION PSEUDO-CASUAL SEQUENCE IN THE DISCRETE CHANNELS
OF MEMORY
Разработан математический аппарат для оценки вероятности неприема псевдослучайной последовательности (ПСП) в биномиальных и составных каналах с реле-евскими замираниями при синхронизации по методу зачетного отрезка. Проведены сравнительные оценки синхронизации датчиков ПСП в указанных каналах для различных периодов псевдослучайной последовательности и качества канала связи. На основе расчетов даны практические рекомендации по реализации систем синхронизации датчиков ПСП на каналах с памятью.
The mathematical device for an estimation of probability undertention pseudo-casual sequence (PCS) in binomial and compound channels with relay fades is developed at synchronization on a method of a test piece. Comparative estimations of synchronization of gauges APCS in the specified channels for the various periods ofpseudo-casual sequence and quality of a liaison channels are carried out. On the base of calculations practical recommendations on realization of systems of synchronization of gauges APCS in memory channels are given.
Введение
Известные математические модели неприменимы для расчета синхронизации ПСП на нестационарных каналах низкого качества с релеевскими замираниями. Даже при биномиальном распределении ошибок в каналах ДСК они находят ограниченное применение при больших периодах ПСП, так как в формулах фигурирует факториал от периода ПСП. В специальных системах связи для защиты составных сигналов период ПСП выбирается необозримо большим, поэтому найдем аналитические выражения для оценки синхронизации датчиков ПСП специальных систем связи на нестационарных каналах связи с релеевскими замираниями и биномиальных каналах ДСК и произведем расчеты для каналов различного качества при различных периодах ПСП.
Вывод вероятности неприема ПСП в составном канале с переменными параметрами при разнесенном приеме с автовыбором
Предположим, что параметр канала не успевает измениться на каком-то интервале времени, то есть: /Ц= №2 = •••=№=№“ Такое условие приближенно выполняется, например, для коротковолновых (КВ) каналов, если nt0 < 0.5c, или для тропосферных каналов при условии n t0< 0.05c. Соответственно с учетом скорости передачи по каналу получим для КВ канала n <0.5• U и тропосферного n < 0,05• U, где U — скорость передачи в канале; Т0 — длительность элементарного импульса. Учитывая, что в КВ канале максимальная скорость передачи равна 300 бодам, легко определить максимальную длину блока, в котором параметр щ можно считать постоянным, n < 60, или для тропосферного канала, где обычно U=1200—2000000 бод, n <100000.
Следовательно, сделанное предложение будет справедливо для систем синхронизации с «зачетным отрезком», длина зачетного отрезка (ЗОТ) в которых п < 60 для КВ каналов и п < 100000 для тропосферных каналов. Или, учитывая [1], что длина зачетного отрезка складывается и равна: к+т < п <N=2 —1, где к — длина ЛРР; т — емкость счетчика совпадений, можем записать:
для КВ канала: к+т <п < 60 (1)
для тропосферного канала: к+т <п <100000. (2)
Для нахождения вероятности Рн опишем модель канала синхронизации по зачетному отрезку при сделанных предположениях. Для этого разобьем ПСП на интервале анализа N на блоки из п элементов. Получим Z=N/п не пересекающихся зачетных отрезков. Будем считать, что зачетные отрезки независимы между собой [1, 2] и на
длине ЗОТ, по определению составного канала с переменными параметрами /л, посто-
янно. Тогда для вероятности неприема ПСП будет справедливо равенство:
РНз 4-р6о(п)У, (3)
где Рбо(п) — вероятность безошибочного приема блока из п символов в составном КПП. Для вероятности правильного приема можем записать:
РР =1_ рРЗ рпп 1 1н ■
(4)
Известно [4], что вероятность безошибочного приема блока из п символом в составном канале находится как:
Є_1
РЬ(П)= РЦП)= (_1)' • Сд_і ■$,
( '+1)
(5)
і=0
где
н2
о_п , п _ ОІ+1
( ,) 2 +^Г П• 8"_і
с(і+і) =____________2__________.
, , Н2
к+1+------------п
2
ОІ + 1 _ й0 =
'(к+1)
Q — число ветвей разнесения.
Подставляя (5) в (3), получим:
( 0-1 ЛZ
рр = 1- о • ЕН'<-1- . (6)
V '=0 У
Вывод вероятности неприема ПСП в биномиальном канале
По аналогии с составным каналом КПП для вероятности неприема ПСП в биномиальном канале ДСК будет справедлива оценка:
Рб = [і _(і _ р У
А для вероятности правильного приема можем записать:
= і _
пп н
(7)
(8)
где Р=1/(2+Н),
н 2 - а_
77 _ ^2 — отношение средней энергии элемента сигнала на входе приемни-
ка к спектральной плотности помехи.
Оценим вероятность неприема Рн в составном КПП при разнесенном приеме с автовыбором и сравним полученные результаты с синхронизацией ПСП в эквивалентном биномиальном канале.
Сравнительная оценка вероятности неприема ПСП в биномиальном и составном КПП при разнесенном приеме с автовыбором По формулам (6), (4), (7), (8) для различных значений 0, п и N были произведены сравнительные расчеты на ПЭВМ. Результаты расчетов показаны на рис.1 в виде
графиков функций: -^п) ; р6 -^( п) и на рис. 2 в виде графиков функций:
С -Фуп ; Рбп -^(п).
Анализ графиков рис.1 показывает, что вероятность неприема Рн в составном КПП гораздо меньше, чем в эквивалентном биномиальном канале. Причем при увеличении Н2 эта разница возрастает. Например, для N=127, п=20, 0=1 и Н2=8 вероятность
рР3 _
неприема в составном канале Рн на 3 десятичных порядка меньше, чем вероятность
Т)б 2
неприема в эквивалентном биномиальном канале Рн , а при Н=18 эти вероятности
различаются на 4 десятичных порядка. С увеличением же п эта разница убывает. Например, если для N=127, 0=1, Н2=18 и п=20 вероятность неприема в составном канале меньше вероятности неприема в биномиальном на 4 порядка, то при п=50 эта разница убывает и составляет всего лишь два десятичных порядка. При увеличении п вероятность неприема в составном канале возрастает быстрее, чем в биномиальном. То есть, синхронизация в составном канале более критична к выбору длины зачетного отрезка п, чем в эквивалентном биномиальном канале. Однако при одинаковых вероятностях неприема вероятность ложной синхронизации в составном КПП будет меньше, чем в биномиальном канале, за счет удлинения самого зачетного отрезка. Действительно, из
графиков видно, что при ^9 - В = ю-2 в биномиальном канале п=11, а в составном
п=40.
рб рРз
Р
Н2=98
Следовательно, в составном канале быстрее можно войти в синхронизм. Это преимущество хорошо видно на рис. 2. С увеличением длины зачетного отрезка п веро-
ятность правильного приема в составном канале
Ррз уб пп у
ывает значительно медленнее,
чем вероятность правильного приема в эквивалентном биномиальном канале Рби. То есть в составном КПП вероятность правильного приема ПСП сохраняется на достаточно высоком уровне даже при увеличении п в несколько раз. Расчеты показывают, что с увеличением ветвей разнесения Q или периода ПСП N качественные показатели системы синхронизации ПСП в составном КПП резко улучшаются. То есть вероятность неприема стремится к нулю, а вероятность правильного приема ПСП — к единице
б б
(Е^ ® 0, а Ер ® 1 ), см. рис.3. Расчеты показывают, что прием с разнесени-
ем и автовыбором целесообразно использовать при Н2<8, так как на таких каналах эффективность одиночного приема резко падает, например, из рис.2 видно, что при
N=127, 0=1 и Н2=1 даже при п=10 вероятность правильного приема ПСП РЩП < 0,5 .
Необходимо отметить, что при данной методике расчета не учитываются чистые интервалы длиной в п знаков, появляющиеся на стыках между смежными зачетными отрезками. Следовательно, (3) и (7) дают верхнюю оценку для Р н. Для сравнения на рис.1 показан график вероятности неприема ПСП, как функция от длины зачетного от-
р — ^п) , рассчитанной по точной формуле Козлова [3 ].
резка
0,8
1
Видно, что кривая р = п) при одинаковых Н2 идет ниже кривой вероятности неприема ПСП в эквивалентном биномиальном канале р _ п) , но вероятность
неприема больше, чем в эквивалентном составном КПП . То есть хорошо сохраняется общая закономерность изменения вероятности неприема в биномиальном канале, рассчитанной по формуле Козлова и по формуле (7), полученной в данной работе, что указывает на верность предыдущих выводов относительно сравнительного анализа синхронизации ПСП в составном и биномиальных каналах связи.
В отличие от биномиального канала, оценка (6) для составного канала будет мало отличаться от истинной. Действительно в составном канале вероятность появления ошибок на g фиксированных местах при одинаковых соотношениях сигнал/помеха Н2 больше, чем в биномиальном, и уменьшается при раздвижении единиц в образце ошибок [4], то есть можем записать:
Р
' к Л1 г . у / ^ ( \
< Р <п
V ) V У
(9)
>п
— вероятность появления образца ошибок в; с расположением
8
единиц на фиксированных местах, при условии, что расстояние между смежными единицами > п;
18 — расстояние между смежными единицами в образце ошибок в; .
8 8
Из (9) видно, что вероятность появления чистого интервала из п символов между смежными ЗОТ будет меньше вероятности его непоявления, то есть существенного
ррз
увеличения вероятности правильного приема ПСП в составном КПП Рпп за счет неучтенных ЗОТ ожидать не приходится. В частности, расчеты показывают, что при п=50 погрешность за счет неучтенных ЗОТ составит примерно два процента.
Вывод
В заключение отметим, что полученные результаты можно обобщить на КПП с
Ррз
н не зависит от конфигурации ошибок в зачетном блоке, а определяется лишь появлением хотя бы одной ошибки. На основании этого с достаточной уверенностью можно утверждать, что количественные результаты по синхронизации ПСП, полученные для составных КПП позволят повысить качество проектирования устройств синхронизации ПСП специальных систем связи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Хисамов Д.Ф. Расчет вероятности ложной синхронизации псевдослучайной последовательности по методу зачетного отрезка в биномиальных каналах связи // Сборник научных работ СПб ВМИ. — Санкт- Петербург, 2002. — С. 5—7.
2. Хисамов Д.Ф. Граничные оценки вероятности синхронизации псевдослучайной последовательности на каналах с произвольным распределением ошибок // Математика в XXI веке: материалы международного конгресса 25—28 июня 2003 г. — Новосибирск: Академгородок, 2003. http://www.sbras.ru/ws/ ММБ-21/
3. Козлов А.Ф. О вычислении вероятности неприема рекуррентного сигнала // Сборник научных трудов ЦНИИИС МО СССР. — М., 1964. — N° 4.
4. Коржик В.И., Финк Л.М. Помехоустойчивое кодирование дискретных сообщений в каналах со случайной структурой. — М.: Связь, 1975.
