Сравнительный анализ процедуры фазирования псевдослучайной последовательности на каналах с зависимыми и независимыми ошибками Текст научной статьи по специальности «Математика»

ХИСАМОВ1 Денис Франгизович, кандидат технических наук

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕДУРЫ ФАЗИРОВАНИЯ ПСЕВДОСЛУЧАЙНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НА КАНАЛАХ С ЗАВИСИМЫМИ И НЕЗАВИСИМЫМИ ОШИБКАМИ

Разработан математический аппарат, для. оценки вероятности неприема псевдослучайной последовательности (ПСП) в биномиальных и составных каналах с релеевскими замираниями при синхронизации по методу зачетного отрезка. На основе полученных результатов даны, практические рекомендации по реализации систем, синхронизации датчиков ПСП на каналах низкого качества.

Ключевые слова: синхронизация, псевдослучайной последовательности, каналы, с релеевскими замираниями, биномиальные каналы.

The mathematical technique to assess the pseudorandom, sequence non-acceptance probability on the channels with, the tropospheric dissipation and the ionospheric reflection of radio waves, as well as in the binomial binary symmetrical channel (BSC) have been developed, in the paper.

Keywords: synchronization of the pseudorandom, sequence, the Rayleigh, fading channels, the binomial channels.

Вывод вероятности неприема ПСП в канале с релеевскими замираниями при разнесенном приеме с автовыбором

Предположим, что параметр релеевского канала не успевает измениться на заданном интервале времени, то есть: Л = 1Л2 =...= Лп = IX... Указанные каналы называются составными каналами с переменными параметрами (КПП) [1]. Такие условия приближенно выполняются, например, для коротковолновых (КВ) каналов, если пт0 < 0,5 с, а для тропосферных каналов при условии пт0 < 0,05 с. Соответственно с учетом скорости передачи по данным каналам получим для КВ-канала п < 0,5^ и и тропосферного п < 0,05и, где и - скорость передачи в канале; т0 - длительность элементарного импульса. Учитывая, что в КВ-канале максимальная скорость передачи равна 300 бодам, легко определить максимальную длину блока, в котором параметр л

можно считать постоянным, она равна: п < 60, или для тропосферного канала, где обычно и = 1200...2 000 000 бод -п < 100 000.

Сделанное предложение будет справедливо для систем синхронизации с «зачетным отрезком» [2], при длине зачетного отрезка (ЗОТ), для КВ-каналов п < 60 и для тропосферных каналов п < 100 000. Известно [2], что длина зачетного отрезка может быть равной: к+т < п < Ы=2к-1, где к - длина линейного рекуррентного регистра (ЛРР) датчика ПСП; т - емкость счетчика совпадений принятого из канала отрезка ПСП с опорной ПСП, формируемой на месте. Тогда для КВ-канала длина зачетного отрезка может изменяться в пределах: к+т < п < 60, а для тропосферного канала: к+т < п < 100 000. Для нахождения вероятности неприема ПСП Рн опишем модель канала синхронизации по «зачетному отрезку» при сделанных предположениях. Разобьем ПСП на интервале анализа N на блоки из п элементов. Получим Z = Ы/п не пересекающих «зачетных от-

1 - доцент кафедры комплексной защиты информации, Кубанский институт информзащиты, Краснодар.

02 2011 SPT.indd 31

резков». Будем считать, что «зачетные отрезки» не зависимы между собой [2, 3] и на длине ЗОТ, по определению составного канала с переменными параметрами ц постоянно. Тогда для вероятности неприема ПСП будет справедливо равенство

рГ=(1-р4")У.

(її

где Рбо(п)-вероятность безошибочного приема блока из п символов в составном КПП.

Для вероятности правильного приема ПСП в составном КПП будет справедливо выражение:

Рр1= 1-Ррз

гпп н •

(2)

Известно [1] , что вероятность безошибочного приема бло ка из п символов в составном канале находится как:

4(»)=р£ М=е£нУ' с'я- ■ «г1.

(3)

«=о

где

н2

2-"+ —•л-5'+у, о(М _ 2 "-1

и О

, , н к + 1-\---п

2

Г=Л^);

О - число ветвей разнесения.

Подставляя (3) в (1) получим:

/ 0-1 \2 — ■ ■ :(м)

Ррз=

-1 и

і=0

(4)

Вывод вероятности неприема ПСП в биномиальном, двоичном симметричном канале

По аналогии с составным каналом КПП для вероятности неприема ПСП в биномиальном, двоичном симметричном канале (ДСК) будет справедлива оценка:

(5)

А для вероятности правильного приема можем записать:

рб =]_рб

* пп * >

(6)

где Р = 1/(2 + Н2),

Н2 = а2/а2 - отношение средней энергии элемента сигнала на входе приемника к спектральной плотности помехи.

По найденным формулам (1), (4), (5), (6) произведем сравнительную оценку вероятности неприема ПСП Рн в составном КПП при разнесенном приеме с автовыбором и в эквивалентном биноминальном канале ДСК.

рб рР3

Н » Н

Н =98

10

10‘

10‘

10'

н г-* / / І 1 1 І /# = \ 18 \ М. рбК -*«

І І * # я # і і і і І і і / / / / / / // /у у Н2=8 * * Н2= 18

і і і і і і і і і і І / -'•У // ♦ / і / * Г * ♦ ♦ / ♦ / ♦ * у \ рР3

і і і і і і 1 ' 1 1 А і /У / *' / 1 / 1 / -1—1 ? / * * / * • / * + / • / • / Н2=98 N=12 7,{2=1

10

20

30 40

50

60

70

Рис. 1. Вероятность неприема ПСП в биномиальном и в составном квазибиномиальном каналах связи

26.05.2011 14:41:52

Сравнительная оценка вероятности неприема ПСП в биномиальном и канале с релеевскими замираниями с автовыбором

По формулам (1), (4), (5), (6) для различных значений Q, п и N были произведены сравнительные расчеты на ПЭВМ. Результаты расчетов показаны на рис. 1 в виде графиков функций: Р. = <Р ( П) . Рн = <Р . П) и на рис. 2 в виде графиков функций: рННН- (р ( п ) Н Рні = нр Н НІ) .

Анализ графиков рис. 1 показывает, что вероятность не-приема Рн в составном КПП гораздо меньше, чем в эквивалентном биноминальном канале. Причем при увеличении отношения сигнал\помеха Н2 эта разница увеличивается. Например, для N = 127, п = 20, Q = 1 и Н2 = 8, вероятность неприема в составном канале Р рн на 3 десятичных порядка меньше, чем вероятность неприема в эквивалентном биномиальном канале Р , а при Н2 = 18, эти вероятности различаются на 4 десятичных порядка. С увеличением же п эта разница убывает. Например, если для N = 127, Q = 1, Н2 = 18 и п = 20 вероятность неприема в составном канале меньше вероятности неприема в биномиальном на 4 порядка, то при п = 50 эта разница убывает и составляет всего лишь два порядка. При увеличении длины ЗОТ п вероятность неприема в составном канале возрастает быстрее, чем в биномиальном, то есть синхронизация в составном канале более критична к выбору длины зачетного отрезка, чем в эквивалентном биноминальном канале. Однако при одинаковых вероятностях неприема вероятность ложной синхронизации в составном КПП будет меньше, чем в биноминальном, за счет удлинения самого зачетно-

го отрезка. Действительно, из графиков видно, что при Р— = р 6 — 60'2 в биноминальном канале п = 11, а в сос-

« Н

тавном п = 40.

Следовательно, в составном канале быстрее можно войти в синхронизм. Это преимущество хорошо видно на рис. 2. С увеличением длины зачетного отрезка п вероятность правильного приема в составном канале Р——* убывает значительно медленнее, чем вероятность правильного приема в эквивалентном биномиальном канале Р . То

ПП

есть в составном КПП вероятность правильного приема ПСП сохраняется на достаточно высоком уровне даже при увеличении п в несколько раз. Расчеты показывают, что с увеличением ветвей разнесения О или периода ПСП N качественные показатели системы синхронизации ПСП в составном КПП резко улучшаются. То есть вероятность неприема стремится к нулю, а вероятность правильного приема ПСП к единице (Р^^ 0, а Р—— ^ 1) (рис. 3). Расчеты показывают, что прием с разнесением и автовыбором целесообразно использовать при Н2 < 8, так как на таких каналах эффективность одиночного приема резко падает, например, из рис. 2 видно, что при N = 127, О = 1 и Н2 = 1 даже при п = 10 вероятность правильного приема ПСП РР3< 0,5.

пп

Необходимо отметить, что при данной методике расчета не учитываются чистые интервалы длиной в п знаков, появляющиеся на стыках между смежными зачетными отрезками. Следовательно, (1) и (5) дают верхнюю оценку для Рн. Для сравнения на рис. 1 показан график вероятности неприема ПСП, как функция от длины зачетного отрезка

П ^

г = ф(п), рассчитанный по точной формуле Козлова [4].

эР3 р6

ППу пп

Рис. 2. Оценка вероятности правильного приема ПСП в биномиальном и в составном канале с замираниями

10 20 ЗО 40 50 60 70 80 п

Рис. 3. Вероятность правильного приема ПСП в биномиальном канале и в канале с замираниями при ветвях разнесения О = 1, О = 2, О = 3

Рик

. . . * н = ф(п) при одинаковых Н2 идет ниже

кривой вероятности неприема ПСП в эквивалентном биномиальном канале Р = <р(п), но вероятность неприема н пР3

больше, чем в эквивалентном составном КПП Р . То есть

К

хорошо сохраняется общая закономерность изменения вероятности неприема в биномиальном канале, рассчитанные по формуле Козлова и по формуле (5), полученной в данной работе, что указывает на верность предыдущих выводов относительно сравнительного анализа синхронизации ПСП в составном и биноминальных каналах связи. В отличие от биномиального канала, оценка (4) для составного канала будет мало отличаться от истинной. Действительно, в составном канале вероятность появления оши-

бок на «д» фиксированных местах при одинаковых соотношениях сигнал/помеха Н2 больше, чем в биномиальном, и уменьшается при раздвижении единиц в образце ошибок [1], то есть можем записать:

вероятность появления образца ошибок е1д с расположением единиц на фиксированных местах, при условии, что расстояние между смежными единицами > п; 1д - расстояние между смежными единицами в образце ошибок е1д.

Из (7) видно, что вероятность появления чистого интервала из п символов между смежными ЗОТ будет меньше вероятности его непоявления, то есть существенного увеличения вероятности правильного приема ПСП в составном КПП Рт за счет неучтенных ЗОТ ожидать не приходится. В частности, расчеты показывают, что при п = 50 погрешность за счет неучтенных ЗОТ составит примерно два процента.

В заключение отметим, что полученные результаты можно обобщить на КПП с произвольными параметрами канала . Известно [1], что Р^не зависит от конфигурации ошибок в зачетном блоке, а определяется лишь появлением хотя бы одной ошибки.

На основании этого с достаточной уверенностью можно утверждать, что количественные результаты по синхронизации ПСП полученные для составных КПП, будут справедливы и для каналов с произвольным значением параметра канала ц.

При выводе формул (1), (4), (5) предполагалось независимость зачетных отрезков, хотя в реальных каналах связи такая зависимость может наблюдаться. Поэтому важно получение еще более общих соотношений для вероятностей Рн, учитывающих зависимость смежных зачетных отрезков между собой. Этим вопросам посвящены дальнейшие исследования автора

Литература

1. Коржик В.И., Финк Л.М. Помехоустойчивое кодирование дискретных сообщений в каналах со случайной структурой. - М.: Связь, 1975. — 275 с.

2. Хисамов Д.Ф. Расчет вероятности ложной синхронизации псевдослучайной последовательности по методу зачетного отрезка в биномиальных каналах связи. / Сборник научных работ. — С.-Пб: СПб ВМИ, 2002. - с. 5 - 7.

3. Хисамов Д.Ф. Граничные оценки вероятности синхронизации псевдослучайной последовательности на каналах с произвольным распределением ошибок. / Материалы международного конгресса «Математика в XXI веке»/ 25 - 28 июня 2003 г. - Новосибирск: Академгородок, 2003. http://www.sbras.ru/ws/MMF-21/.

4. Козлов А.Ф. О вычислении вероятности неприема рекуррентного сигнала / Сборник научных трудов ЦНИИИС МО СССР. - М.: 1964. - № 4.